2019-2020學(xué)年人教A版浙江省舟山市高二第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 含解析

2019-2020學(xué)年高二第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.直線y=xH的傾斜角是（）

2.半徑為2的球的表面積是（）

.16兀a32兀C.16nD.32n

33

已知直線/和平面a,若/〃a,Pea,則過(guò)點(diǎn)夕且平行于/的直線（

A,只有一條，不在平面a內(nèi)

B.只有一條，且在平面a內(nèi)

C.有無(wú)數(shù)條，一定在平面a內(nèi)

D.有無(wú)數(shù)條，一定不在平面a內(nèi)

圓（/2）2+/=4與圓（x-2）2+（y-3）』25的位置關(guān)系為（）

A.內(nèi)切B.外切C.相交D.相離

5.設(shè)m、〃是不同的直線，a、B是不同的平面，下列命題中正確的是（）

A.若m//a,n.LB,m//n9則a_LB

B.若m//a,n-L3,ml.n9則a_LB

C.若勿〃〃，加〃a,〃〃B,則a〃B

D.若歸a,nca,m//B,n//0,則a〃B

6.將正方形48切沿對(duì)角線47折成一個(gè)直二面角則異面直線48和曲所成角的

余弦值為（）

A.—B.返C.返D.返

2223

22

7.若直線/wt+"y=4和圓；/+/=4沒(méi)有公共點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)（加，ri）的直線與橢圓2_/_=的

94

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.至多一個(gè)B.0個(gè)C.1個(gè)D.2個(gè)

8.《九章算術(shù)》中，稱(chēng)底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬，設(shè)〃是正六

棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)、以"為底面矩形的一邊，

則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是（）

9.在長(zhǎng)方體4坑步-48中，DA=DC=\,勿=2,分別在對(duì)角線4〃，曲上取點(diǎn)從N,

使得直線腑〃平面44約，則線段腑長(zhǎng)的最小值為（）

A.—B.返C.—D.2

223

22

10.已知橢圓3彳2/1（a>13>0）的左、右焦點(diǎn)分別為石，點(diǎn)。是橢圓上一點(diǎn)，直

線內(nèi)“垂直于。戶(hù)且交線段AP于點(diǎn)M\F^=2\MP\,則該橢圓的離心率的取值范圍是

C.(0,爭(zhēng)工Cf，1）

二、填空題

11.已知向量之=（1,2,2）,4=（2,x,-1）,則|之|=；若之,B，則x=.

12.某簡(jiǎn)單幾何體的三視圖（俯視圖為等邊三角形）如圖所示（單位：crri）,則該幾何體

的體積（單位：cm）為;表面積為（單位：cm}.

22

13.雙曲線C：A__%=1的漸近線方程為,C上一點(diǎn)。到點(diǎn)A(-5,0)的距離

為7,則點(diǎn)P到點(diǎn)A(5,0)的距離為.

14.正三棱柱48C-48G的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2,則4?與側(cè)面4即4所成角的正弦值

為;點(diǎn)、E為48中點(diǎn)、,則過(guò)8,E,G三點(diǎn)的截面面積為.

15.已知圓C-.(x-2)，/=9,過(guò)點(diǎn)"(1,2)的直線/交圓于/、8兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|=4點(diǎn)

時(shí)，/所在的直線方程是

16.過(guò)拋物線。/=4x的焦點(diǎn)廠的直線與拋物線C交于4、8兩點(diǎn)，則|"1+4|屬1的最小

值為.

17.若四棱錐P-A8CD的惻面月姐內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q,已知0到底面A8CD的距離與。到點(diǎn)P的

距離之比為正常數(shù)幻且動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是拋物線，則當(dāng)二面角。-48-C平面角的大小為

60°時(shí)，〃的值為.

三、解答題：5小題，共74分

18.已知平面內(nèi)三點(diǎn)4(-3,0)、B(5,4)、0(5,-4),

(1)求過(guò)點(diǎn)P且與48平行的直線方程；

(2)求過(guò)點(diǎn)。、/、8三點(diǎn)的圓的方程.

19.如圖所示，在四棱錐。中，PDL平面ABCD,底面ABCD是矩形且CD=2,PD=AD

=1,E、尸分別是微、%的中點(diǎn).

(1)求證：直線￡F〃平面以D;

(2)求證：直線￡FJ■平面PAB.

20.已知橢圓C：4J^-l(a>b>0)的離心率為E且過(guò)點(diǎn)(-1,4)-

aZ22

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線/交橢圓C于不同的兩點(diǎn)AB,且四中點(diǎn)￡在直線x=-1上，線段四的垂

直平分線交y軸于點(diǎn)P(0,加，求m的取值范圍.

21.如圖，在四棱錐P-/8緲中，四邊形48緲為平行四邊形，△腸為邊長(zhǎng)為2的等邊三

角形，。為四的中點(diǎn)，DOL平面ABP.

(1)求證：ABA.DP-

(2)當(dāng)四邊形/腦為菱形時(shí)，求47與平面板所成角大小的正弦值.

22.如圖，已知拋物線G:？=4x,過(guò)拋物線焦點(diǎn)廠的直線交拋物線C于8兩點(diǎn)，P是拋

物線外一點(diǎn)，連接〃，陽(yáng)分別交拋物線于點(diǎn)C,D,且CD"AB,設(shè)48,緲的中點(diǎn)分別為

MN.

(1)求證：制〃x軸；

(2)若PC或CA,求面積的最小值.

參考答案

一、選擇題：每小題4分，共40分

1.直線尸肝1的傾斜角是（）

【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線尸產(chǎn)1的傾斜角為6,由直線的方程可得其斜率A,則有tan

e=i,結(jié)合e的范圍即可得答案.

解：根據(jù)題意，設(shè)直線尸肝1的傾斜角為e,

直線的方程為：y=A+1,

其斜率〃=1,則有tar）e=1,

又由0W0<n,

.7T

則9=——,

4

故選：B.

2.半徑為2的球的表面積是（）

A.B.C.16nD.32n

33

【分析】由球的表面積公式直接求出表面積即可.

解：由球的表面積公式可得片4n〃=16n,

故選：C.

3.已知直線/和平面a,若/〃a,飛a,則過(guò)點(diǎn)。且平行于/的直線（）

A.只有一條，不在平面a內(nèi)

B.只有一條，且在平面a內(nèi)

0.有無(wú)數(shù)條，一定在平面a內(nèi)

D.有無(wú)數(shù)條，一定不在平面a內(nèi)

【分析】通過(guò)假設(shè)過(guò)點(diǎn)P且平行于/的直線有兩條。與〃的出矛盾，由題意得，〃/且〃

〃/,這與兩條直線加與"相交與點(diǎn)a相矛盾，又因?yàn)辄c(diǎn)P在平面內(nèi)所以點(diǎn)"且平行于/

的直線有一條且在平面內(nèi).

解：假設(shè)過(guò)點(diǎn)戶(hù)且平行于/的直線有兩條m與"

〃/且〃〃/

由平行公理4得m//n

這與兩條直線m與"相交與點(diǎn)P相矛盾

又因?yàn)辄c(diǎn)P在平面內(nèi)

所以點(diǎn)P且平行于/的直線有一條且在平面內(nèi)

所以假設(shè)錯(cuò)誤.

故選：B.

4.圓（/2），7=4與圓（x-2）2+（y-3）?=25的位置關(guān)系為（）

A.內(nèi)切B,外切C.相交D.相離

【分析】根據(jù)題意，分析兩個(gè)圓的圓心與半徑，求出兩圓的圓心距，據(jù)此分析可得答案.

解：根據(jù)題意，圓（/2）?+/=4的圓心為（-2,0）,半徑行=2;

圓（x-2）2+（y-3）?=25的圓心為（2,3）,半徑/=5;

兩圓的圓心距d=?42+32=5,有5-2<d<5+2,

則兩圓相交；

故選：C.

5.設(shè)/、〃是不同的直線，a、B是不同的平面，下列命題中正確的是（）

A.若m//a,nA.B,m//n,則a_LB

B.若m//a,nl.0,m±n,則a_LB

C.若m//n,m//a,n//B,則a〃B

D.若歸a,nc.a,m//0,n//0,則a〃B

【分析】在/中，a與B相交或平行；在8中，由面面垂直的判定定理得a?!_B；在C

中，a與B相交或平行；在〃中，a與B相交或平行.

解：在/中，若〃〃a,n±0,m//n,則由面面垂直的判定定理得a_LB,故/正確；

在8中，若〃〃a,n±0,m±n,則a與B相交或平行，故8錯(cuò)誤；

在C中，若加〃〃，m〃a,n//p,則a與B相交或平行，故C錯(cuò)誤；

在。中，若ga,nca,m//0,n//0,則a與B相交或平行，故〃錯(cuò)誤.

故選：A.

6.將正方形四面沿對(duì)角線47折成一個(gè)直二面角8-47-。，則異面直線48和⑺所成角的

余弦值為（）

A.—B.返C.返D.迎

2223

【分析】根據(jù)題意可知眼0C,如三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為X軸，y

軸，z軸速立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)m=1,從而可得出4,B,C,〃的坐標(biāo),進(jìn)而得出

向量標(biāo)，而的坐標(biāo)，從而可求出COS＜屈，而〉■的值，進(jìn)而得出異面直線AB和CD

所成角的余弦值.

解：如圖，取4?的中點(diǎn)為0,連接8。，DO,則：OBS-AG,ODLAC,且二面角B-AC-D

：.0B,0C,而三直線兩兩垂直，分別以這三

直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)a=1,則：

/(0,-1,0),8(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,1),

???AB=(1,1,0),CD=(O,-1,1),

??-AB-CD=-1,IAB|=V2，I而|=加，

cos<AB，CD>=AB-CD1

IAB11CD|-2

...異面直線和切所成角的余弦值為工.

2

故選：A.

22

7.若直線mx+〃y=4和圓x+y=4沒(méi)有公共點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)（〃，而的直線與橢圓三上=i的

94

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.至多一個(gè)B.0個(gè)C.1個(gè)D.2個(gè)

【分析】先根據(jù)題意可知原點(diǎn)到直線mx^ny-4=0的距離大于等于2求得m和〃的范圍

可推斷點(diǎn)"（加，n）是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)，根據(jù)圓的方程和橢圓方程可

知圓/+/=4內(nèi)切于橢圓，進(jìn)而可知點(diǎn)。是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，進(jìn)而判斷可得答案.

解：因?yàn)橹本€/7?+〃y=4和圓寸+/=4沒(méi)有公共點(diǎn)，

.一4

所以原點(diǎn)到直線mx^-ny-4=0的距離4廠丁=^>2,

Vm+n

所以/+〃?<4,

所以點(diǎn)P（勿，Z7）是在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn).

T橢圓的長(zhǎng)半軸3,短半軸為2

圓x+y=4內(nèi)切于橢圓

...點(diǎn)。是橢圓內(nèi)的點(diǎn)

過(guò)點(diǎn)P（m,而的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)數(shù)為2.

故選：D.

8.《九章算術(shù)》中，稱(chēng)底面為矩影而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬，設(shè)〃是正六

棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)、以〃為底面矩形的一邊，

則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是（）

【分析】根據(jù)新定義和正六邊形的性質(zhì)可得答案.

解：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，則4-4488,4-44歷滿(mǎn)足題意,

而G,5,C,D,E,和D一樣，有2X4=8,

當(dāng)4/CC為底面矩形，有4個(gè)滿(mǎn)足題意，

當(dāng)4/1￡￡；為底面矩形，有4個(gè)滿(mǎn)足題意，

故有8+4+4=16

故選：D.

9.在長(zhǎng)方體4坑步-48G4中，DA=DC=},如=2,分別在對(duì)角線44微上取點(diǎn)機(jī)N,

使得直線削〃平面447C,則線段制長(zhǎng)的最小值為()

A.—B.亞C.—D.2

223

【分析】作硼〃于點(diǎn)照，作榔1?微于點(diǎn)弧則照期〃/&設(shè)〃照=ZW=x,則例=

x,AW=1-x9由此能求出制的最小值.

解：作硼_L47于點(diǎn)，作制_L6?于點(diǎn)眼

V線段9平行于對(duì)角面ACaAy,

:,林Ny〃AC.

諛DR=DM=x,則枷=2x,NN\=2-2xf

在直角梯形冊(cè)他照中，

MN1=(揚(yáng))2+(2-4x)2=18(%-—)2+—;

99

4.9

???當(dāng)x=￡時(shí)，制的最小值為多

yo

10.已知橢圓￥+^l(a〉b〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為A,點(diǎn)。是橢圓上一點(diǎn)，直

abz

線垂直于。且交線段內(nèi)P于點(diǎn)乂|￡制=2|帆|,則該橢圓的離心率的取值范圍是

()

X

A.（0,/）B.（0,挈）C,（0,苧）D.6,1）

【分析】設(shè)。（m,ri）,\m\<a,又村（-c,0）,Q（c,0）,運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表

示，可得”的坐標(biāo)，再由向量垂直的條件：數(shù)量積為0,由P的坐標(biāo)滿(mǎn)足橢圓方程，化

簡(jiǎn)整理可得，的方程，求得加，由解不等式結(jié)合離心率公式即可得到范圍.

解：設(shè)夕（m,,\m\<a,

又萬(wàn)（-c,0）,月（c,0）,\F,M\=2\MP\,

AF!M=(x什c,y>,MP=n-yi),

』M=2豌,

〃-、

.z二2in一c,—2n),

.?.踮=爭(zhēng)，

oo

又而=(勿，〃),OPA-FiM.

/?OP*F2M=0,,??綻盧.?〃=0,

oo

化為8=m(2C-m),

2

由"在橢圓上，可得：〃2=6（1-，），

a

2

可得加(2c-加)=Z>2(1--77-),

a

2

化為￡77^-2mc^a-c2=0,

a

22

解得777=3--a,或777=曳上"耳(舍去)，

cc

2

由月--a<a9可得2c>a,

c

即有e=￡〉工，又0VeV1,

a2

<e<1.

2

11.已知向量之=（1,2,2）,4=（2,x,-1）,則I口=3;若察＞1，則x=0.

【分析】利用向量的模和向量垂直的性質(zhì)直接求解.

解：?.?向量之=（1,2,2）,4=（2,x,-1）,

?,*Ial=41+4+4=3；

若（L],則W?E=2+2X-2=0,解得X=0.

故答案為：3,0.

12.某簡(jiǎn)單幾何體的三視圖（俯視圖為等邊三角形）如圖所示（單位：加），則該幾何體

的體積（單位：cd）為」表面積為3向+1L（單位：cB）.

【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，進(jìn)一步求出幾何體的體積和表面積.

解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：

該幾何體為，底面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為3的正三棱柱.

故吟X2X2X亨X3=3愿，

A2X/X2X2X亨+3X2X3=3V3+18.

故答案為：3^3，3^3+18

22A

13.雙曲線C：七■=］的漸近線方程為片土告*，C上一點(diǎn)，到點(diǎn)E(-5,0)的

距離為7,則點(diǎn)P到點(diǎn)為(5,0)的距離為13.

【分析】求得雙曲線的a,b,c,可得漸近線方程；討論"在右支上不可能，結(jié)合雙曲

線的定義可得所求值.

解：雙曲線C：a=3,6=4,c=5,

可得漸近線方程為尸土受；

O

若P在雙曲線的右支上，可得|M|2>c=8,

C上一點(diǎn)P到點(diǎn)片(-5,0)的距離為7,可得P在左支上，

可得|所|-I%|=2a=6,

即有I所1=7+6=13,

4.

故答案為：y=i—x,13.

14.正三棱柱48C-48G的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2,則4G與側(cè)面4sB4所成角的正弦值

為_(kāi)返_;點(diǎn)￡■為中點(diǎn)，則過(guò)8,E,G三點(diǎn)的截面面積為_(kāi)孑叵_.

44

【分析】以4為原點(diǎn)，在平面48C內(nèi)過(guò)4作4?的垂線為x軸，4C為y軸，44,為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出4G與側(cè)面磔4所成角的正弦值；取47中點(diǎn)

D,連結(jié)〃￡DG,則過(guò)8,E,G三點(diǎn)的截面為梯形由此能求出過(guò)區(qū)，E,G三

點(diǎn)的截面面積.

解：以4為原點(diǎn)，在平面48c內(nèi)過(guò)/作4c的垂線為x軸，4c為y軸,

/Mi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),4(0,0,2),G(0,2,2),8(百，1,0),

AC「(0,2,2),7B=(丙，1，0)，AAj=(0,0,2),

設(shè)平面的法向量^=(x,y,z),

n?AB=J^x+y=0

則，取得若=(1,0),

n?AA1=2z=0

設(shè)4?與側(cè)面/比4所成角為。，

則4G與側(cè)面儂4所成角的正弦值為：

sine_ln?ACj_2百”

門(mén)?|記廠斫F

取4；中點(diǎn)。連結(jié)犯，Da,

...點(diǎn)￡為48中點(diǎn)，則過(guò)8,E,G三點(diǎn)的截面為梯形網(wǎng)C,

.?.過(guò)8,E,G三點(diǎn)的截面面積為：

§梯形DEBSM/X(1+2)XJ他2+了)2-(￡了=

故答案為：返，色晅.

44

15.已知圓C-.(x-2)，/=9,過(guò)點(diǎn)/(1,2)的直線/交圓于4、8兩點(diǎn)，當(dāng)|即卜隊(duì)歷

時(shí)，/所在的直線方程是x=1或3=4y-11=0.

【分析】分別就直線斜率存在于不存在兩種情況考慮，結(jié)合直線與圓相交的性質(zhì)可求.

解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程x=1,此時(shí)交點(diǎn)4(1,2&),8(1,-2&),

滿(mǎn)足題意，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線為y-2=〃(x-1),Fpkx-y?-2-k=0,

則圓心(2,0)到直線/rx-妙2-〃=0的距離d=^T==-,

Vl+kZ

2

則根據(jù)直線與圓相交的性質(zhì)可得，魚(yú)@一+(2、歷)2=9,

1+k2

解可得，k=--,此時(shí)直線方程為3A+4y-11=0.

4

故答案為x=1或3A+4y-11=0.

16.過(guò)拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)廠的直線與拋物線C交于/、8兩點(diǎn)，則|4月+4|明的最小

值為9

【分析】利用拋物線的性質(zhì)，即過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于48兩點(diǎn)，則

再結(jié)合柯西不等式即可得解?

|AF||BF|p

1,1_2.

解：拋物線的焦點(diǎn)尸（1,0）,由拋物線的性質(zhì)可知,|AF|*|BF|7T'

|AF|+4|BF|=(|AF|+4|BF|)喘廣島’)

+4,BF|

>3Apl?溫T^,TBFT)J(I+2)2=a當(dāng)且僅當(dāng)|/內(nèi)=2|用時(shí)取等號(hào),

故答案為：9.

17.若四棱錐夕-/岐的側(cè)面物內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q,已知。到底面ABCD的距離與。到點(diǎn)P的

距離之比為正常數(shù)冗且動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是拋物線，則當(dāng)二面角P-48-C平面角的大小為

60°時(shí)，〃的值為返.

一2一

【分析】設(shè)二面角P-48-C平面角為e,點(diǎn)。到底面483的距離為|。￥|,點(diǎn)。到定直

線48得距離為d,則d=呵,再由點(diǎn)。到底面48緲的距離與到點(diǎn)P的距離之比為

siny

正常數(shù)〃，可得|小|=也且L由此可得sinC=A,則由cos。=cos60°小可求％值.

k2

解：如圖,

設(shè)二面角，-四-c平面角為e,點(diǎn)。到底面48微的距離為

點(diǎn)。到定直線四得距離為</,貝”4W|=ofeine,即d=1啊.

sinU

丁點(diǎn)〃到底面ABCD的距離與到點(diǎn)，的距離之比為正常數(shù)A,

.iQHl.則1ml_幽

..呵_k'則倒一丁’

?.?動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是拋物線，

A\PQ\=d,即也吐=IQH,,則sinC=?.

ksinU

二面角P-A8-C的平面角的余弦值為cos。=di.sin28={l-k2=cos60°

解得：〃=返（A>0）.

2

故答案為：返.

2

三、解答題：5小題，共74分

18.已知平面內(nèi)三點(diǎn)4(-3,0)、B(5,4)、0(5,-4),

(1)求過(guò)點(diǎn)。且與平行的直線方程；

(2)求過(guò)點(diǎn)氏/、8三點(diǎn)的圓的方程.

【分析】(1)根據(jù)題意，求出直線48的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程分析可得答案；

(2)根據(jù)題意，設(shè)圓心為乂則照在用的垂直平分線上，有8、P的坐標(biāo)可得附在x軸

上，設(shè)附(a,0),進(jìn)而可得(a-5)2+(0-4)2=(>3)2,解可得a的值，據(jù)此可得

圓心坐標(biāo)和半徑，即可得答案.

解：(1)根據(jù)題意，平面中點(diǎn)4(-3,0)、8(5,4),

則=—生12—=工

5-(-3)2,

則過(guò)點(diǎn)。且與四平行的直線方程為(/4)(x-5),即x-2y-18=0;

(2)根據(jù)題意，設(shè)圓心為M,

又由8(5,4)、〃(5,-4),則"在8。的垂直平分線上，即“在x軸上，設(shè)"(a,0),

則有(a-5)2+(0-4)』(>3)北解可得：a=2；

則圓心"的坐標(biāo)為(2,0),半徑/?=(井3)=5,

則要求圓的方程為(*-2)%/=25,

19.如圖所示，在四棱錐，-483中，PDL平面ABCD,底面他步是矩形且微=2,PD=AD

=1,E、尸分別是必、用的中點(diǎn).

(1)求證：直線用〃平面外D;

(2)求證：直線日」平面PAB.

p

7/E//

B/4

【分析】(1)取〃中點(diǎn)//,利用中位線及平行線的傳遞性即可得證;

(2)借助第一問(wèn)，只需證明的，平面〃8即可.

【解答】證明：(1)取21中點(diǎn)〃，連接兒DH,

易知6/為△外。的一條中位線，故FHHAB,且

又￡為⑦中點(diǎn)，ABCD為矩形,

C.DE//AB,且DE-^AB,

：.DE//FH,且DE=FH,

二四邊形仔物為平行四邊形，

：.EF//HD,

?.?"不在平面外。內(nèi)，仞在平面〃。內(nèi)，

〃平面PAD-,

(2)'：PD=AD,，為〃中點(diǎn)，

:.HDAPA,

又PDL平面ABCD,48在平面48面內(nèi)，

:.PD,AB,

又血LAD,PDCAD=D,且陽(yáng)，4〃均在平面乃仞內(nèi)，

.?.48_L平面PAD,

又仞在平面外。內(nèi)，

又月4rMF=/,且都在平面外8內(nèi)，

:.HDL平面PAB,

又EF//HD,

.?.￡FJ?平面PAB.

D

20.已知橢圓C：2y+^^l(a〉b〉0)的離心率為《，且過(guò)點(diǎn)(-1,1-)-

a"/22

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線/交橢圓C于不同的兩點(diǎn)/、8,且四中點(diǎn)￡在直線x=-1上，線段的垂

直平分線交y軸于點(diǎn)。(0,而，求m的取值范圍.

【分析】(1)由離心率及過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)及a,b,c之間的關(guān)系求出橢圓的方程；

(2)由題意設(shè)直線/的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和，進(jìn)而求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入直

線求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出48的中垂線的方程.令x=0求出P的縱坐標(biāo)，即加的

表達(dá)式，分斜率大于0和小于0兩種情況用均值不等式求出m的取值范圍.

[19

解：(1)由題意知：—=—,-7+7=1,t>=a-c,解得：a2=4,6=3,

a2az4b2

22

所以橢圓的方程為：工_上=1；

43

(2)設(shè)直線/的方程為：y=k(x-1),k*Q,設(shè)4(x,p,8(x',y'),聯(lián)立直

線與橢圓的方程整理得：(3+4*)x-8*2A+4(〃-3)=0,/X,=-空°

3+41?

所以中點(diǎn)￡的橫坐標(biāo)為x=^-=-^r

23+4kJ

代入直線可得￡■的縱坐標(biāo)y?k--1)='--3ky,

3+4k23+4k"

所以48的垂直平分線方程為：y=-—"-4K)一3k與尸。聯(lián)立可得y

k3+4k23+4k

k---

3+4k2W+4k，

K

]

所以m=3,

—+4k

k

當(dāng)a>0時(shí)，g+4k>4jWk<0,7-+4k*s_4V3>

kk

所以欣/的取值范圍：[*,*].

21.如圖，在四棱錐夕-/夕⑺中，四邊形483為平行四邊形，△我為邊長(zhǎng)為2的等邊三

角形，0為48的中點(diǎn)，DO工平面ABP.

(1)求證：ABLDP;

(2)當(dāng)四邊形483為菱形時(shí)，求4?與平面夕曲所成角大小的正弦值.

【分析】(1)推導(dǎo)出。aL/B,PO±AB,從而AB工平面APO,由此能證明四_L〃2

(2)以。為原點(diǎn)，以為x軸，”為y軸，必為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量

法能求出/C與平面板所成角大小的正弦值.

解：(1)證明：YDO工平面ABP,A叱平面ABP,：.DO±AB,

?.?△4仍為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，。為48的中點(diǎn)，

：.P01.AB,

'：POV\D0=0,：.AB1.平面APO,

?：PDa平面APO,

：.ABrDP.

(2)解：?以。為原點(diǎn)，04為x軸，0P為y抽,如為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

4（1,0,0）,C（-2,0,禽，D（0,0,禽，P（0,