八年級數(shù)學(xué)上冊 第12章 全等三角形 教案新人教版

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

遵學(xué)?@

【知識與技能】

(1)了解全等形及全等三角形的概念.

(2)理解全等三角形的性質(zhì).

【過程與方法】

在圖形變換以及實(shí)際操作的過程中發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

(1)讓學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)生活中的全等三角形并體驗(yàn)在實(shí)際操作中獲得全等三角形的喜悅.

(2)在運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)的過程中感受數(shù)學(xué)活動的樂趣.

棗學(xué)僧僚

全等三角形的概念及性質(zhì).

逮學(xué)流

掌握兩個(gè)全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角的尋找規(guī)律，能迅速、正確地指出兩個(gè)全等三

角形的對應(yīng)元素.

0具電?

多媒體課件、剪刀

用f裸的?

教師引入：一位哲學(xué)家曾經(jīng)說過“世界上沒有完全相同的兩片葉子”，但是在我們的周

圍，卻有著好多形狀、大小完全相同的圖案.你能舉出這樣的例子嗎？

學(xué)生口答，教師點(diǎn)評并引入本節(jié)新課.

遵學(xué)能

探究1：全等形及全等三角形的相關(guān)概念

教師讓學(xué)生完成以下活動：

1.動手做.

(1)和同桌一起將兩本數(shù)學(xué)課本疊放在一起，觀察它們能夠重合嗎？

(2)把手中的直角三角尺按在紙上，畫出三角形，并裁下來，把直角三角尺和紙三角形

疊放在一起，觀察它們能夠重合嗎？

然后學(xué)生得出全等形的概念，進(jìn)而得出全等三角形的概念：

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫作全等形,能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形.(教

師板書)

2.觀察.

觀察圖12-1-1中AABC與AA'B'C重合的情況.

圖12-1-1

師生共同總結(jié)對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊、對應(yīng)角的概念：

把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫作對應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫作對應(yīng)邊，重

合的角叫作對應(yīng)角.

然后教師指出：全等的符號“名”，讀作“全等于”.教師強(qiáng)調(diào)：記兩個(gè)三角形全等時(shí)，

通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上.例如，AABC與4DEF全等，記作△ABC^A

DEF,其中點(diǎn)A和點(diǎn)D,點(diǎn)B和點(diǎn)E,點(diǎn)C和點(diǎn)F是對應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE,BC和EF,AC和DF

是對應(yīng)邊；/A和ND,NB和NE,NC和NF是對應(yīng)角.

接著教師出示例題：

例1如圖12-1-2,己知AABN絲△ACM,ZB和/C是對應(yīng)角，AB和AC是對應(yīng)邊.寫出其

他的對應(yīng)邊及對應(yīng)角.

師生共同分析：對應(yīng)邊和對應(yīng)角只能從兩個(gè)三角形中找，所以需將4ABN和aACM從復(fù)

雜的圖形中分離出來.根據(jù)元素位置來找對應(yīng)元素，再依據(jù)已知的對應(yīng)元素找出其余的對應(yīng)

元素.然后學(xué)生自主完成.

解：對應(yīng)角為/BAN與ZCAM,ZANB與ZAMC.

對應(yīng)邊為AM與AN,BN與CM.

探究2：全等三角形的性質(zhì)

教師讓學(xué)生把AABC沿直線BC分別進(jìn)行平移、翻折、繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，然后觀察圖形的大

小、形狀是否發(fā)生變化(如圖12-1-3).

師生共同得出結(jié)論：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)只能改變圖形的位置，而不能改變圖形的大小和

形狀.

教師追問：那么在全等三角形中，有沒有相等的角、相等的邊呢？

學(xué)生先思考，再小組交流，得出：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.(教師板書)

接著教師出示例題：

例2已知4DEF四△ABC,AB=AC,且AABC的周長為23cm,BC=4cm,求DE的長.

教師引導(dǎo)學(xué)生先畫出圖形，再進(jìn)行分析，然后師生共同完成，教師板書：

解：因?yàn)锳ABC的周長為23cm,BC=4cm,AB=AC,

所以AB=AC=(23-4)+2=9.5(cm).

因?yàn)椤鱀EFg/\ABC,/.DE=AB=9.5cm.

教師強(qiáng)調(diào)：運(yùn)用全等三角形的定義和性質(zhì)時(shí)，要注意規(guī)范書寫格式.

魂堂??

1.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫作全等形.能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形.

重合的頂點(diǎn)叫作對應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫作對應(yīng)邊,重合的角叫作對應(yīng)角.全等三角形的對應(yīng)邊

相等，對應(yīng)角相等.

2.找全等三角形對應(yīng)元素的方法，注意挖掘圖形中隱含的條件，如公共元素、對頂角等.

懣書酬

12.1全等三角形

探究2：全等三角形的性質(zhì).

探究1:全等形及全等三角形的相關(guān)概念.

投全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角

影能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫作全等形，能夠完全

相等.

區(qū)重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形.

(例2的解冬過程)

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

課時(shí)1“邊邊邊(SSS)”

7邀學(xué)國0

【知識與技能】

(1)明確判定兩個(gè)三角形全等至少需要三個(gè)條件.

(2)掌握“邊邊邊(SSS)”條件的內(nèi)容.

(3)能初步運(yùn)用“邊邊邊(SSS)”條件判定兩個(gè)三角形全等.

(4)會作一個(gè)角等于已知角.

【過程與方法】

使學(xué)生經(jīng)歷探索三角形全等的過程，體驗(yàn)用操作、歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的過程.【情感態(tài)

度與價(jià)值觀】

探究三角形全等條件的判定過程，以觀察思考，動手畫圖，合作交流等多種形式讓學(xué)生

共同探討，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神.

邀掌詹圖

三角形全等的“邊邊邊(SSS)”判定方法.

運(yùn)用“邊邊邊(SSS)”判定方法進(jìn)行簡單的證明.

多媒體課件.

教師引入：如圖12-2-1,教師在黑板上畫兩個(gè)三角形，請仔細(xì)觀察，4ABC與4A'B'

Cz全等嗎？你們是如何判斷的？

圖12-2-1

學(xué)生各抒己見，如動手用紙剪下一個(gè)三角形，將剪下的三角形疊到另一個(gè)三角形上，觀

察這兩個(gè)三角形是否完全重合;測量兩個(gè)三角形的所有邊與角，觀察是否有三條邊對應(yīng)相等,

三個(gè)角對應(yīng)相等.

通浮酶

探究1：三角形全等的條件

教師提出：(1)只給一個(gè)條件(一條邊或一個(gè)角)畫三角形時(shí),畫出的三角形一定全等嗎？

(2)如果給出兩個(gè)條件呢?給出兩個(gè)條件畫三角形時(shí)，有幾種可能的情況，每種情況下畫

出的三角形一定全等嗎？

學(xué)生討論有幾種可能的情況，然后按照下面的條件畫一畫：

①三角形的一個(gè)內(nèi)角是30°,一條邊是3cm；

②三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是30°和50°；

③三角形的兩條邊長分別是4cm和6cm.

學(xué)生分組討論、畫圖、探索、歸納，最后以組為單位展示結(jié)果.

結(jié)果展示：

(1)只給定一條邊時(shí)，如圖12-2-2.

只給定一個(gè)角時(shí),如圖12-2-3.

圖12-2-3

(2)給出的兩個(gè)條件：一邊一內(nèi)角、兩內(nèi)角、兩邊，如圖12-2-4.

可以發(fā)現(xiàn)按這些條件畫出的三角形都不能保證一定全等.

教師提出：如果給出三個(gè)條件畫三角形，你能說出有幾種情況嗎？(三條邊，兩條邊和一

個(gè)角，一條邊和兩個(gè)角，三個(gè)角)在剛才的探索過程中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，已知三個(gè)內(nèi)角不能

保證兩個(gè)三角形全等.下面我們就來逐一探索其余的三種情況.(這節(jié)課只討論第一種情況)

探究2：“邊邊邊(SSS)”

教師讓學(xué)生完成以下活動：

1.任意畫一個(gè)△ABC,再畫一個(gè)△△'B'C',使得A'B'=AB,B'C'=BC,A'C=AC.

教師先讓學(xué)生思考三角形的畫法，再師生共同總結(jié)：

AA'

圖12-2-5

⑴畫B，C=BC；

（2）分別以點(diǎn)B',C為圓心，線段AB,AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A'；

⑶連接A'B',A'C',如圖12-2-5.

2.把畫出的B'C'剪下來，放在aABC上，它們能完全重合嗎？（即全等嗎？）

3.學(xué)生拿出直尺和圓規(guī)，按上面的要求作圖并驗(yàn)證.

教師在此過程中巡視、指導(dǎo).

進(jìn)一步提出問題：作圖的結(jié)果反映了什么規(guī)律？

學(xué)生在思考、實(shí)踐的基礎(chǔ)上，歸納出判定三角形全等的方法.教師板演：三邊分別相等

的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.

教師出示教材P36例1：

在如圖12-2-6的三角形鋼架中，AB=AC,AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架.求證：△

ABD^AACD.

師生共同分析：要證明aABD且ZXACD,只需看這兩個(gè)三角形的三條邊是否分別相等.注

意：題目中的隱含條件是AD是公共邊（AD既是AABD的邊又是AACD的邊，我們稱它為這兩

個(gè)三角形的公共邊）.

分析完之后，師生共同證明，教師板書過程:

證明：???0是BC的中點(diǎn),BD=CD.

在和△,4。。中8D=CD.

,AD=AD,

AABD^/\ACD(SSS).

教師總結(jié)證明三角形全等的書寫格式可分為三部分：一是全等條件的證明；二是羅列兩

個(gè)三角形全等的條件；三是寫三角形全等的結(jié)論.這里要求注明判定方法.(注意強(qiáng)調(diào)書寫過

程的嚴(yán)謹(jǐn)性).

探究3：作一個(gè)角等于已知角

教師：由三邊分別相等判定三角形全等的結(jié)論還可以得到用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已

知角的方法.

師生共同展示：

已知：ZAOB.

求作：NA'O'B',使NA'O'B'=ZAOB.

作法：(1)如圖12-2-7,以點(diǎn)0為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交0A,0B于點(diǎn)C,D；

(2)畫一條射線O'A',以點(diǎn)0'為圓心，0C長為半徑畫弧，交O'A'于點(diǎn)C'；

(3)以點(diǎn)C'為圓心，CD長為半徑畫弧，與(2)中所畫的弧相交于點(diǎn)D'；

(4)過點(diǎn)D'畫射線O'B',則NA'O'B'=ZAOB.

圖12-2-7

完成之后，教師讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)：教材P37練習(xí)第1,2題(學(xué)生首先獨(dú)立思考，然后讓

兩名學(xué)生板演，最后教師點(diǎn)評).

1.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡寫成“邊邊邊”或“SSS”).利用兩個(gè)三角形全

等可進(jìn)行一些相關(guān)的計(jì)算和證明.

2.尺規(guī)作圖：作一個(gè)角等于已知角.

12.2三角形全等的判定

課時(shí)?“邊邊邊(SSS)”

探究1：三角形全等的條件(教材P36例1的證明過程)

投

影探究2：“邊邊邊(SSS)”探究3：作一個(gè)角等于已知角

區(qū)三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡寫成

“邊邊邊”或"SSS")

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

課時(shí)2“邊角邊(SAS)”

【知識與技能】

(1)掌握“邊角邊(SAS)”條件的內(nèi)容.

(2)能初步運(yùn)用“邊角邊(SAS)”條件判定兩個(gè)三角形全等.

(3)知道兩個(gè)三角形具備兩邊和一對角相等時(shí)，不一定全等.

【過程與方法】

使學(xué)生經(jīng)歷探索三角形全等的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察圖形、分析圖形以及動手操作的能力.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

通過探究三角形全等條件的活動，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識和大膽猜想、樂于探索的良

好品質(zhì)及發(fā)現(xiàn)問題的能力.

對“邊角邊(SAS)”條件的理解和應(yīng)用.

運(yùn)用“邊角邊(SAS)”判定方法進(jìn)行簡單的證明.

多媒體課件.

教師出示投影，讓學(xué)生認(rèn)識卡鉗:

如圖12-2-8,把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗）,

在圖中，利用這個(gè)工具就可以測量工件內(nèi)的槽寬，你們能解釋其中的道理嗎？

圖12-2-8

學(xué)生思考之后進(jìn)行簡單的回答，教師點(diǎn)評并引入本節(jié)課題.（板書）

教師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，如果已知兩個(gè)三角形的兩條

邊及一個(gè)角對應(yīng)相等，那么能判定這兩個(gè)三角形全等嗎？

探究1：兩邊及其夾角分別相等（“邊角邊（SAS）”）

教師讓學(xué)生完成以下活動：

圖12-2-91.先任意畫一個(gè)AABC,再畫一個(gè)AA'B'C',使A'B'=AB,A'C=AC,

NA'=NA（即兩邊和它們的夾角相等）.

師生共同分析：要畫一個(gè)三角形，首先要確定這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn).

然后教師出示作法，學(xué)生獨(dú)立完成：

如圖12-2-9,⑴畫NDA'E=ZA；

（2）在射線A'D上截取A'B'=AB,在射線A'E上截取A'C'=AC；

⑶連接B'C'.

2.引導(dǎo)學(xué)生剪下三角形，看是不是與原三角形全等.

師生共同得出結(jié)論：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡寫成“邊角邊”

或“SAS”）.

教師補(bǔ)充：也就是說，如果三角形的兩條邊的長度和它們的夾角的大小確定，那么這個(gè)

三角形的形狀、大小就能確定.用符號語言表示為（教師板書）：

p4C=W,

在△ABC與△4'8'C'中，44=

{AB=A'B',

△48C4ZU?C'(SAS).

教師強(qiáng)調(diào)：“SAS”中的“A”必須是兩個(gè)“s”所夾的角.

教師從而解決情境導(dǎo)入中的問題，卡鉗測量工件內(nèi)的槽寬的原理是利用全等三角形的對

應(yīng)邊相等，把不能直接測量的物體“移”到可以直接測量的位置進(jìn)行測量.

接著教師出示投影，讓學(xué)生完成這道練習(xí)題（學(xué)生口答）:

圖12-2-10中全等的三角形有（D）.

圖12-2-10

A.圖（1）和圖（2）B.圖（2）和圖（3）

C.圖(2)和圖(4)D.圖（1）和圖（3）

探究2：兩邊及其鄰角分別相等（邊邊角）

教師提出：如果把“兩邊及其夾角分別相等”改為“兩邊及其鄰角分別相等”，即“兩

邊及其中一邊的對角相等”，那么這兩個(gè)三角形還全等嗎？

學(xué)生分小組進(jìn)行討論，教師在此過程中及時(shí)點(diǎn)撥，畫出反例圖形，如圖12-271.

學(xué)生通過反例說明“已知兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個(gè)三角形全等”不一定成

立(即SSA不一定成立).

教師出示教材P38例2：

圖12-2-12

如圖12-2-12,有一池塘，要測池塘兩端A,B的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)C,從點(diǎn)

C不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B.連接AC并延長到點(diǎn)D,使CD=CA.連接BC并延長到點(diǎn)E,

使CE=CB.連接DE,那么量出DE的長就是A,B的距離，為什么?

教師引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后師生共同分析：如果能證明△ABCgA

DEC,那么就可以得出AB=DE.由題意可知，aABC和aDEC具備“邊角邊”的條件.

師生共同解答，教師板書過程：

[CA=CD,

解：在。和中.41=42,

lCB=CEt

A/)￡：C(SAS).

AB=DE.

最后教師總結(jié)：因?yàn)槿热切蔚膶?yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，所以在證明線段相等或角

相等時(shí)，常常通過證明它們是全等三角形的對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角來解決.

教師讓學(xué)生完成：教材P39練習(xí)第1,2題.讓學(xué)生在黑板上板演，教師點(diǎn)評，并強(qiáng)調(diào)證

明過程的規(guī)范書寫.

1.運(yùn)用“邊角邊(SAS)”判定兩個(gè)三角形全等，注意“邊邊角”不能判定兩個(gè)三角形全

2.判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，要注意使用公共邊和公共角.

12.2三角形全等的判定

課時(shí)?“邊角邊(SAS)”

探究1:兩邊及其夾角分別相等(“邊角

投探究2：兩邊及其鄰角分別相等(邊

影邊(SAS)”)

區(qū)邊角)

(用“SAS”書寫兩個(gè)三角形全等的符號語言表示

(教材P38例2解答過程)

方法)

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

課時(shí)3"角邊角(ASA)""角角邊(AAS)”

【知識與技能】

(1)掌握“角邊角(ASA)”及“角角邊(AAS)”條件的內(nèi)容.

(2)能初步運(yùn)用“角邊角(ASA)”及“角角邊(AAS)”條件判定兩個(gè)三角形全等.【過程

與方法】

使學(xué)生經(jīng)歷作圖、證明等探究過程，從而提高學(xué)生分析、作圖、歸納、推理等能力.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

通過探索和動手操作的過程，體會數(shù)學(xué)思維的樂趣，激發(fā)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，通過合作交

流，培養(yǎng)合作意識，體驗(yàn)成功的喜悅.

掌握三角形全等的“角邊角”“角角邊”判定方法.

運(yùn)用“角邊角”“角角邊”的判定方法進(jìn)行簡單的證明.

多媒體課件.

i.復(fù)習(xí)舊知：

(1)三角形中已知三個(gè)元素，包括哪兒種情況？

(2)到目前為止，可以作為判定兩三角形全等的方法有幾種？分別是什么？

學(xué)生舉手回答，教師點(diǎn)評并表揚(yáng).

2.教師引入：在三角形中，已知三個(gè)元素的四種情況中，我們研究了三種，接著探究

已知兩角一邊是否可以判定兩三角形全等.(板書課題)

教師：已知兩角和一邊對應(yīng)相等有兩種情況，首先我們研究第一種情況，即兩角及這兩

角的夾邊對應(yīng)相等.

探究1：“角邊角(ASA)”

教師提出問題：如果''兩角及一邊”條件中的邊是兩角所夾的邊，那么這兩個(gè)三角形全

等嗎？

學(xué)生完成以下活動：

1.先任意畫一個(gè)△ABC,再畫一個(gè)△△'B'C',使得/A'=NA,NB'=ZB,AzB'=AB.

教師指導(dǎo)aA'B'C'的作法：

如圖12-2-14,(1)作線段A'B',使A'B'=AB；

圖12-2-14

(2)分別以A',B'為頂點(diǎn)，A'B'為一邊在A'B'的同旁畫NDA'B',NEB'A',

使/DA'B'=ZCAB,ZEB'A'=ZCBA；

(3)射線A'D與B'E相交于一點(diǎn)，記為點(diǎn)C',即可得到4A'B'C'.

2.將畫好的AA'B'C'剪下來，放到aABC上，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形全等.

3.教師讓學(xué)生模仿上一節(jié)所學(xué)的“邊角邊”定理，用一句話來總結(jié)一下：兩角和它們的

夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡寫成“角邊角”或“ASA”).

教師補(bǔ)充：也就是說，三角形的兩個(gè)角的大小和它們的夾邊的長度確定了，這個(gè)三角形

的形狀、大小就確定了.

教師出示教材P40例3：

A

如圖12-2T5,點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC,ZB=

NC.求證:AD=AE.

師生共同分析：證明4ACD絲Z\ABE,就可以得出AD=AE.

學(xué)生寫出證明過程，教師點(diǎn)評.

證明：在和△A8E中，

[44=乙4(公共角)，

J.4C=4B,

ASA).

/.AD=AE.

探究2：“角角邊(AAS)”

教師提出問題：如果把“兩角和它們的夾邊分別相等”改為“兩角及鄰邊分別相等”，

即“兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等”，兩個(gè)三角形還全等嗎？

教師出示教材P40例4：

如圖12-2T6,在AABC和ADEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF.求證：△ABC^aDEF.

AD

圖12-2-16

教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的已知條件，讓學(xué)生思考解題思路：如果能證明NC=NF,就

可以利用“角邊角”證明^ABC和aDEF全等，由三角形的內(nèi)角和定理可以證明NC=/F.

學(xué)生分小組交流想法，教師點(diǎn)評.師生共同完成證明過程，教師板書：

證明：在AABC中，ZA+ZB+ZC=180°,

AZC=180°-ZA-ZB.

同理NF=180°-/D-/E.又/A=/D,NB=/E,

二ZC=ZF.

在aABC和aDEF中，ZB=ZE,BC=EF,ZC=ZF,

.,.△ABC^ADEF（ASA）.

教師:我們從這道例題可以得到兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個(gè)三角形

全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）.也就是說，三角形的兩個(gè)角的大小和其中一個(gè)角的

對邊的長度確定了，這個(gè)三角形的形狀、大小就確定了.

教師緊接著讓學(xué)生完成P41練習(xí)第1,2題.學(xué)生板演，教師點(diǎn)評.

教師最后總結(jié)：（1）已知兩個(gè)三角形的兩組角對應(yīng)相等，要證明這兩個(gè)三角形全等，應(yīng)

選擇判定方法“ASA”或“AAS”.（2）在運(yùn)用“ASA”或“AAS”判定三角形全等時(shí)，同樣要注

意題目中的隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角等.

最后，教師提出：到此為止，在三角形中已知三個(gè)條件探索兩個(gè)三角形全等的問題已全

部結(jié)束.然后讓學(xué)生把兩個(gè)三角形全等的判定方法做一個(gè)小結(jié).學(xué)生自我回憶總結(jié)，然后小組

討論、交流，補(bǔ)充：

邊邊邊（SSS）,邊角邊角AS）,角邊角（ASA），角角邊（AAS）.

1.用“角邊角”“角角邊”判定兩個(gè)三角形全等.

2.用三角形全等來證明線段或角相等.

3.到目前已經(jīng)學(xué)習(xí)了四種判定兩個(gè)三角形全等的方法.

12.2三角形全等的判定

課時(shí)?“角邊角（ASA）”“角角邊（AAS）”

探究2：“角角邊"（AAS）

探究1：“角邊角（ASA）”

兩角分別相等且其中一組等角的對

兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，

邊相等的兩個(gè)三角形全等，可以簡

可以簡寫成“角邊角（ASA）.”

寫成“角角邊（AAS）”.

（教材P40例3的證明過程）

（教材P40例4的證明過程）

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

課時(shí)4"斜邊直角邊(HL)”

【知識與技能】

(1)探索和了解直角三角形全等的條件一一“斜邊、直角邊(HL)”.

(2)會運(yùn)用“斜邊、直角邊(HL)”判定兩個(gè)直角三角形全等.

【過程與方法】

讓學(xué)生在合作交流中獲取知識，組織學(xué)生通過觀察、發(fā)現(xiàn)、交流、體驗(yàn)、說理歸納等活

動，感知并掌握直角三角形的判定方法.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

通過創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲，通過動手操作等活動，讓學(xué)生樂于探究，培養(yǎng)學(xué)生

獨(dú)立思考和合作交流的能力.

探究直角三角形全等的條件.

靈活運(yùn)用直角三角形全等的條件進(jìn)行證明.

多媒體課件.

圖12-2-18

教師出示投影：如圖12-2-18,舞臺背景的形狀是兩個(gè)直角三角形，工作人員想知道這

兩個(gè)直角三角形是否全等，但兩個(gè)三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量其長度.你們

能幫他想個(gè)辦法嗎？

學(xué)生思考之后，回答：

方法一：測量斜邊和一個(gè)對應(yīng)的銳角("AAS")；

方法二：測量沒遮住的一條直角邊和一個(gè)對應(yīng)的銳角（“ASA”或“AAS”）.

教師繼續(xù)指出：工作人員只帶了一把卷尺，他測量了兩個(gè)三角形沒有被遮住的直角邊和

斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別相等，于是他就肯定“這兩個(gè)直角三角形是全等的”.你們相信他的結(jié)

論嗎？

學(xué)生回答：這兩個(gè)三角形都是直角三角形，也許是全等的.因?yàn)樗€有直角這個(gè)特殊條

件.

教師點(diǎn)評：有道理，但科學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模裉煳覀兙蛠硖骄俊皟蓚€(gè)直角三角形全等的條

件”.（板書課題）

探究1：“斜邊、直角邊（HL）”

教師：對于兩個(gè)直角三角形，除了直角相等的條件外，還要滿足兒個(gè)條件，這兩個(gè)直角

三角形就全等了？

教師出示教材P42探究5：

師生共同按照下面的步驟做一做（如圖12-2-19）：

畫一個(gè)RtZ\A'B'C',使/C'=90°,B'C=BC,A'B'=AB.

圖12-2-19⑴畫NMC'N=90°；

⑵在射線C'M上截取B'C=BC；

（3）以點(diǎn)B'為圓心，AB長為半徑畫弧，交射線C'N于點(diǎn)A'；

（4）連接A'B'.

教師提問：RtaA'B'C'就是所求作的三角形嗎？

接著讓學(xué)生把畫好的Rt^A'B，C'剪下來放在RtaABC上，觀察這兩個(gè)三角形是否全

等.

學(xué)生由此可以得到判定兩個(gè)直角三角形全等的一個(gè)方法:斜邊和一條直角邊分別相等的

兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.教師出示教材P42例5：

D

圖12-2-20

如圖12-2-20,AC±BC,BD1AD,垂足分別為C,D,AC=BD.求證：BC=AD.

師生共同分析：要想證明BC=AD,首先應(yīng)尋找和這兩條線段有關(guān)的三角形，這里有ABAD

和aABC,AADO和△BC0,其中0為DB,AC的交點(diǎn)，經(jīng)過對條件的分析，發(fā)現(xiàn)AABD和aBAC

具備全等的條件.

師生共同完成證明過程，教師板書：

證明：VAC±BC,BD1AD,

...NC與ND都是直角.

(AB=BA,

在RtA/WC和RtARlD中

\AC=BD,

/.RtA4BC^RtAB?ID(HL).

BC=AD.

教師接著提問：你能夠用幾種方法判定兩個(gè)直角三角形全等？

學(xué)生回答：直角三角形是特殊的三角形，所以不僅能用一般三角形判定全等的方法“SAS”

“ASA”“AAS”“$S$"，還能用直角三角形獨(dú)有的判定全等的方法一一“HL”.

最后教師總結(jié)：對于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角分別相等，或兩條直角邊分別相

等，則這兩個(gè)直角三角形全等.如果滿足斜邊和一條直角邊分別相等，這兩個(gè)直角三角形也

全等.在判定三角形全等的各個(gè)條件中，一個(gè)必要的條件為至少有一條邊對應(yīng)相等.判定兩個(gè)

三角形全等時(shí)，要注意對應(yīng)邊、角的相對位置關(guān)系，然后按照以下思路尋求解題方法：

(1)已知兩邊找夾角一SAS找直角一HL找第三邊一SSS

(2)已知兩角找夾邊一ASA找一角的對邊~AAS

(3)已知一邊一角邊為角的對邊一找一角一AAS邊為角的鄰邊找夾邊的另一角一ASA

找邊的對角fAAS找夾角的另一邊一SAS

緊接著，讓學(xué)生完成：教材P43練習(xí)第1,2題.(學(xué)生板演，教師點(diǎn)評)

-=^gs??

1.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或

“IIL”).

2.直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它.同時(shí)，直角三

角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，“HL”定理是直角三角形全等獨(dú)有的判定方法，所

以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件.

12.2三角形全等的判定

課時(shí)。“斜邊、直角邊(HL)”

投探究:“斜邊、直角邊(HL)”(教材P42例5的證明過程)

影

區(qū)斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全

等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”)

第十二章全等三角形

12.3角的平分線的性質(zhì)

課時(shí)一角的平分線的性質(zhì)

【知識與技能】

(1)掌握已知角的平分線的畫法.

(2)利用角的平分線的定義進(jìn)行簡單的證明與計(jì)算.

(3)利用全等三角形證明角的平分線.

(4)掌握角的平分線的性質(zhì).

(5)了解角的平分線的性質(zhì)在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用.

【過程與方法】

經(jīng)歷角的平分線的畫法和角的平分線的性質(zhì)的探索過程，體會探索、研究問題的基本方

法，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)來源于生活.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

在探究角的平分線的作法及性質(zhì)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣,獲得解決問題的

成功體驗(yàn)，增強(qiáng)解決問題的信心.

角的平分線的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解題.

靈活運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解題.

多媒體課件.

復(fù)習(xí)引入教師提出問題：

1.角的平分線的概念.

2.點(diǎn)到直線（射線）的距離的概念.

學(xué)生舉手回答.

探究1：角的平分線的畫法

圖12-3-1

教師引入：工人師傅常常用一種簡易平分角的儀器（如圖12-3T）,其中AB=AD,BC=DC.

將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE,AE就是NDAB的

平分線.你能說明它的道理嗎？

學(xué)生分組討論，說明簡易平分角儀器的原理，并寫出證明過程.（教師提示：用全等三角

形的知識）

教師：其實(shí)這種平分角的方法告訴了我們作已知角的平分線的一種方法.

然后教師引導(dǎo)學(xué)生用尺規(guī)作圖：

已知：ZAOB.

求作：/AOB的平分線.

A

M

0^3/B

圖12-3-2

先讓學(xué)生討論作法，再由教師總結(jié)作法，師生共同作圖：

(1)以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交0A于點(diǎn)M,交0B于點(diǎn)N.

1

(2)分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于一MN的長為半徑畫弧，兩弧在/A0B的內(nèi)部相交于點(diǎn)

C.

(3)畫射線0C.射線0C即為所求,如圖12-3-2.

教師緊接著提出問題：你們能說明0C為什么是NA0B的平分線嗎？

學(xué)生進(jìn)行交流，教師提示(可證明△M0C彩△N0C),然后讓學(xué)生寫出證明過程.教師巡示

并指導(dǎo).

探究2：角的平分線的性質(zhì)

教師讓學(xué)生完成以下活動：

1.任意作一個(gè)/A0B,作出/A0B的平分線0C.在0C上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P畫出OA,0B

的垂線，分別記垂足為D,E,測量PD,PE并作比較，你得到什么結(jié)論？

2.在0C上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試.

3.通過以上測量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？

學(xué)生動手操作，獨(dú)立思考，然后舉手回答自己的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生互相補(bǔ)充，教師指導(dǎo)，一起

概括出角的平分線的性質(zhì)：

角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

教師進(jìn)一步提問：你們能通過嚴(yán)格的邏輯推理證明這個(gè)結(jié)論嗎？

教師首先引導(dǎo)學(xué)生分析命題的條件和結(jié)論.如果學(xué)生感到困難，可以讓學(xué)生先將命題改

寫成'’如果……那么……”的形式，再引導(dǎo)學(xué)生逐字分析結(jié)論，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)并找出結(jié)論中的隱

含條件(垂直).最后讓學(xué)生畫出圖形，用符號語言寫出已知和求證，并獨(dú)立完成證明過程.

接著師生共同概括證明幾何命題的一般步驟:一般情況下，我們要證明一個(gè)幾何命題時(shí)，

可以按照類似于以下的步驟進(jìn)行，即

1.明確命題中的已知和求證；

2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證；

3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.

最后教師歸納：利用角的平分線的性質(zhì)可直接推導(dǎo)出與角的平分線有關(guān)的兩條線段相

等，但在推導(dǎo)過程中，不要漏掉垂直關(guān)系的書寫.以后涉及角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的

垂線段時(shí)，可直接得到其相等，不必再通過證兩個(gè)三角形全等而走彎路.

教師出示例題：

圖12-3-3

例1如圖12-3-3,在△例C中,ZC=90",AM平分/CAB,BM=5.2cm,點(diǎn)M至！IAB的距

離為3cm.求BC的長.

師生共同分析：只需補(bǔ)出點(diǎn)M到AB的距離，利用角的平分線的性質(zhì)得到CM=3cm,從

而求出BC的長.

師生共同完成證明過程，教師板書：

解：過點(diǎn)M作MNJ_AB于點(diǎn)N,，MN=3cm.

：AM平分/CAB,ZC=90°,

.\CM=MN=3cm.

又：BM=5.2cm,

:.BC=CM+BM=3+5.2=8.2（cm）.

進(jìn)而教師讓學(xué)生獨(dú)立完成：教材P50練習(xí)第2題（學(xué)生完成之后，教師點(diǎn)評）.

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了角的平分線的性質(zhì)是由三個(gè)條件（一條角平分線，兩條垂線段）得到一

個(gè)結(jié)論（線段相等），角的平分線的性質(zhì)可獨(dú)立地作為證明兩條線段相等的依據(jù).

12.3角的平分線的性質(zhì)

課時(shí)?角的平分線的性質(zhì)

投探究1：角的平分線的畫法（例1的解答過程）

影探究2：角的平分線的性質(zhì)

區(qū)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等

第十二章全等三角形

12.3角的平分線的性質(zhì)

課時(shí)2角的平分線的判定

【知識與技能】

掌握角的平分線的判定，能靈活運(yùn)用角的平分線的判定解題.

【過程與方法】

通過學(xué)生自主探索、操作、領(lǐng)會和感悟角的平分線的判定，并能體會感性認(rèn)識與理性認(rèn)

識之間的聯(lián)系與區(qū)別.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

通過認(rèn)識的升華，使學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，也使學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué).

角的平分線的判定.

靈活運(yùn)用角的平分線的判定解題.

多媒體課件.

教師出示教材P49思考:

s

圖12-3-4

如圖12-3-4,要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且