2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第15講 幾何圖形的初步(含答案)

第15講幾何圖形的初步目錄聯(lián)系地址：北京市東城區(qū)龍?zhí)堵?號院4號樓三層電話400-688-1789第1頁共1頁TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點(diǎn)一認(rèn)識幾何圖形題型01幾何圖形的識別題型02幾何體點(diǎn)、棱、面之間的關(guān)系題型03判斷幾何體的截面形狀題型04判斷幾何體的展開圖題型05由展開圖計(jì)算幾何體的表面積或體積題型06正方體展開圖的識別題型07補(bǔ)一個(gè)面使其成為正方體的展開面題型08正方體相對兩面上的字或圖案題型09與七巧板有關(guān)的計(jì)算考點(diǎn)二直線、射線、線段的相關(guān)概念題型01畫直線、射線、線段題型02求直線、線段的數(shù)量題型03求直線相交點(diǎn)的個(gè)數(shù)題型04直線的性質(zhì)題型05線段的性質(zhì)題型06與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算考點(diǎn)三角的相關(guān)概念題型01度、分、秒的換算題型02鐘面角的計(jì)算題型03方向角的表示題型04角平分線的相關(guān)計(jì)算題型05求一個(gè)角的余角、補(bǔ)角題型06與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算考點(diǎn)四相交線題型01點(diǎn)到直線的距離題型02利用對頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求解題型03判斷同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角考點(diǎn)五平行線題型01平行公理的應(yīng)用題型02利用平行線的判定進(jìn)行證明題型03求平行線之間的距離題型04平行線判定的實(shí)際應(yīng)用題型05由平行線的性質(zhì)求角度題型06由平行線的性質(zhì)解決折疊問題題型07平行線的性質(zhì)在實(shí)際生活的應(yīng)用題型08利用平行線的性質(zhì)解決三角板問題題型09根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度題型10根據(jù)平行線性質(zhì)與判定證明考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測認(rèn)識幾何圖形通過實(shí)物和模型，了解從物體抽象出來的幾何體、平面、直線和點(diǎn)等概念.該專題內(nèi)容是初中幾何的基礎(chǔ)，在中考數(shù)學(xué)中屬于基礎(chǔ)考點(diǎn)，年年都會考查，分值為8分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn).大部分地區(qū)在選擇、填空題中考察可能性較大，主要考察平行線的性質(zhì)和判定、方位角、角度的大小等知識，這些知識點(diǎn)考查較容易，另外平行線的性質(zhì)可能在綜合題中出現(xiàn)，考查學(xué)生綜合能力，比如：作平行的輔助線，構(gòu)造特殊四邊形，此類題目有一定難度，需要學(xué)生靈活掌握．對本專題的復(fù)習(xí)也直接影響后續(xù)對其他幾何圖形的學(xué)習(xí)，需要考生細(xì)心對待.直線、射線、線段的相關(guān)概念會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點(diǎn)的意義.掌握基本事實(shí):兩點(diǎn)確定一條直線和兩點(diǎn)之間線段最短.理解兩點(diǎn)間距離的意義，能度量和表達(dá)兩點(diǎn)間的距離.角的相關(guān)概念理解角的概念，能比較角的大小，認(rèn)識度、分、秒等角的度量單位，能進(jìn)行簡單的單位換算，會計(jì)算角的和、差.理解對頂角、余角、補(bǔ)角等概念，探索并掌握對頂角相等、同角(或等角)的余角、同(或)的補(bǔ)的性質(zhì).相交線理解垂線、垂線段等概念，能用三角板或量角器過一點(diǎn)畫已知直線的垂線.掌握基本事實(shí):同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.理解點(diǎn)到直線的距離的意義，能度量點(diǎn)到直線的距離.識別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角.平行線理解平行線的概念.掌握平行線的性質(zhì)與判定定理.了解平行于同一條直線的兩條直線平行.考點(diǎn)一認(rèn)識幾何圖形幾何圖形的概念:我們把實(shí)物中抽象出來的各種圖形叫做幾何圖形,幾何圖形分為平面圖形和立體圖形.立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi)，這個(gè)圖形叫做立體圖形.平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個(gè)部分在同一平面內(nèi)的圖形，這個(gè)圖形叫做平面圖形.正方體展開圖（共計(jì)11種）：口訣：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同層可任意,2）“三個(gè)二”成階梯,3）“二個(gè)三”“日”相連,異層必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此規(guī)律，運(yùn)用定自如.幾何圖形的組成：1）點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形最基本的圖形.2）線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線.3）面：包圍著體的是面，分為平面和曲面.4）體：幾何體也簡稱體.組成幾何圖形元素的關(guān)系：點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體.【擴(kuò)展】名稱頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）存在關(guān)系三棱錐446V+F-E=2長方體8612正八面體6812正十二面體20123011.同一個(gè)立體圖形按不同的方式展開得到的平面展開圖是不一樣的.2.在正方體的展開圖中，一條直線上的小正方形不會超過四個(gè),圖1所示的圖形不是正方體的展開圖.3.正方體的展開圖中不會有“田”字形、“凹”字形的形狀,圖2.圖3所示的圖形不是正方體的展開圖.題型01幾何圖形的識別【例1】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）下列幾何體中，是棱錐的為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分別判斷選項(xiàng)的幾何題即可得到答案．【詳解】解：A.圖形中的幾何體是棱錐，故此選項(xiàng)符合題意；B.圖形中的幾何體是正方體，故此選項(xiàng)不符合題意；C.圖形中的幾何體是圓錐，故此選項(xiàng)不符合題意；D.圖形中的幾何體是圓柱，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了幾何體的識別，掌握各幾何體的特征是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）下面幾何體中，是圓柱的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)圓柱的特征，即可解答．【詳解】解：A.是正方體，故不符合題意；B.是圓柱，故符合題意；C.是圓錐，故不符合題意；D.是球體，故不符合題意，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了認(rèn)識立體圖形，熟練掌握每個(gè)幾何體的特征是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）不透明的箱子中裝有一個(gè)幾何體模型，小樂和小欣摸該模型并描述它的特征．小樂：它有4個(gè)面是三角形；小欣：它有6條棱．則該幾何體模型的形狀可能是（

）A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱【答案】A【分析】根據(jù)幾何體有4個(gè)面是三角形，有6條棱，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵幾何體有4個(gè)面是三角形，∴幾何體不能是棱柱（棱柱側(cè)面均為四邊形，只有三棱柱上下底面是三角形）；又∵幾何體有6條棱，∴選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)符合題意；故選A．【點(diǎn)撥】本題考查幾何體的判斷．熟練掌握常見幾何體的特征，是解題的關(guān)鍵．題型02幾何體點(diǎn)、棱、面之間的關(guān)系【例2】（2020·山東棗莊·中考真題）歐拉（Euler，1707年~1783年）為世界著名的數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家，他在數(shù)學(xué)、物理、建筑、航海等領(lǐng)域都做出了杰出的貢獻(xiàn)．他對多面體做過研究，發(fā)現(xiàn)多面體的頂點(diǎn)數(shù)（Vertex）、棱數(shù)E（Edge）、面數(shù)F（Flat

surface）之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，給出了著名的歐拉公式．（1）觀察下列多面體，并把下表補(bǔ)充完整：名稱三棱錐三棱柱正方體正八面體圖形頂點(diǎn)數(shù)V468棱數(shù)E612面數(shù)F458（2）分析表中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)V，E，.F之間有什么關(guān)系嗎？請寫出關(guān)系式：____________________________．【答案】（1）表格詳見解析；（2）V+F-E=2【分析】（1）通過認(rèn)真觀察圖象，即可一一判斷；（2）從特殊到一般探究規(guī)律即可．【詳解】解：（1）填表如下：名稱三棱錐三棱柱正方體正八面體圖形頂點(diǎn)數(shù)V4686棱數(shù)E691212面數(shù)F4568（2）據(jù)上表中的數(shù)據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)，多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E.面數(shù)F之間存在關(guān)系式：V+F-E=2．【點(diǎn)撥】本題考查規(guī)律型問題，歐拉公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會從特殊到一般探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．題型03判斷幾何體的截面形狀【例3】（2023·河南信陽·二模）妹妹把一密閉且透明的圓柱形水杯中裝一半的水，隨意轉(zhuǎn)動水杯，水面的形狀不可能是（

）A．三角形 B．長方形 C．圓形 D．橢圓【答案】A【分析】根據(jù)圓柱體的截面形狀，判斷即可．【詳解】解：因?yàn)閳A柱的截面形狀可能是圓形，橢圓形或長方形，所以，一個(gè)密閉且透明的圓柱形水杯中裝一半的水，隨意轉(zhuǎn)動水杯，則水面的形狀不可能是三角形．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了截一個(gè)幾何體，熟練掌握圓柱體的截面形狀是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）在一個(gè)密閉透明的圓柱桶內(nèi)裝一定體積的水，將圓柱桶按不同方式放置時(shí)，圓柱桶內(nèi)的水平面不可能呈現(xiàn)出的幾何形狀是（

）A．圓面 B．矩形面 C．梯形面 D．橢圓面或部分橢圓面【答案】C【分析】對不同的放置情況分別判斷，得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)圓柱桶豎直放置時(shí)，液面形狀為圓形，故選項(xiàng)A不符合題意；當(dāng)圓柱桶水平放置時(shí)，液面為矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；無論圓柱桶怎樣放置，圓柱桶內(nèi)的水平面不可能呈現(xiàn)出梯形面，故選項(xiàng)C符合題意；當(dāng)圓柱桶傾斜放置時(shí)，若液面經(jīng)過底面，則液面為橢圓的一部分，若液面不經(jīng)過底面，則液面為橢圓，故選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征．關(guān)鍵是理解用平面去截圓柱體，所得到截面.【變式3-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）分別用一平面去截如圖所示幾何體，能得到截面是矩形的幾何體共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用正方體、圓柱、三棱柱、圓錐、球體的結(jié)構(gòu)特征解答即可．【詳解】解：用一個(gè)平面去截正方體、圓柱、三棱柱，都可以得到截面是矩形，用一個(gè)平面去截圓錐、球體，不可以得到截面是矩形，所以用一平面去截如圖所示幾何體，能得到截面是矩形的幾何體共有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了截一個(gè)幾何體，熟練掌握正方體、圓柱、三棱柱、圓錐、球體的結(jié)構(gòu)特是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，往一個(gè)密封的正方體容器持續(xù)注入一些水，注水的過程中，可將容器任意放置，水平面形狀不可能是（

）A．三角形 B．正方形 C．六邊形 D．七邊形【答案】D【分析】正方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，最少與三個(gè)面相交得三角形，因此截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，即可得到答案；【詳解】解：∵正方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，最少與三個(gè)面相交得三角形，∴截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了正方體的截面，解題的關(guān)鍵是熟練掌握面面相交等到線．題型04判斷幾何體的展開圖【例4】（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列圖形中，為圓錐的側(cè)面展開圖的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)立體圖形的特點(diǎn)及張開圖的特點(diǎn)即可求解．【詳解】解：A.是棱錐的側(cè)面展開圖，不符合題意；B.是圓錐的側(cè)面展開圖，符合題意；C.是圓臺的側(cè)面展開圖，不符合題意；D.是圓柱的側(cè)面展開圖，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查立體圖形的展開圖的識別，掌握圓錐、棱錐、圓柱，圓臺的特點(diǎn)及張開圖的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·湖南長沙·統(tǒng)考三模）如圖，是一個(gè)幾何體的表面展開圖，那么這個(gè)幾何體的名稱是（

）

A．正三棱柱 B．正三棱錐 C．圓柱 D．圓錐【答案】A【分析】由表面展開圖得，這個(gè)幾何體是正三棱柱．【詳解】解：由表面展開圖得，這個(gè)幾何體是正三棱柱，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了幾何體的表面展開圖，解題的關(guān)鍵是熟記幾何體的表面展開圖的特征．【變式4-2】（2023·江西九江·校考模擬預(yù)測）將如圖所示的圓錐的側(cè)面展開，則點(diǎn)A和點(diǎn)B在展開圖中的相對位置正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)B在圓錐的母線上，將圓錐側(cè)面展開后，點(diǎn)B應(yīng)在扇形的半徑上，且A，B間距離為扇面的一半，故可解答．【詳解】解：點(diǎn)B在圓錐的母線上，將圓錐側(cè)面展開后，點(diǎn)B應(yīng)在扇形的半徑上，且A，B間距離為扇面的一半，故選：C【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓錐的側(cè)面展開圖，考核了學(xué)生的空間想象能力．【變式4-3】（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）如圖，是某一個(gè)幾何體的表面展開圖，這個(gè)幾何體是（

）A．五棱錐 B．四棱錐 C．四棱柱 D．三棱柱【答案】D【分析】側(cè)面為三個(gè)長方形，底邊為三角形，故原幾何體為三棱柱．【詳解】解：觀察圖形可知，這個(gè)幾何體是三棱柱．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的是三棱柱的展開圖，從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）將如圖所示的長方體包裝盒沿某些棱剪開，且使六個(gè)面連在一起，然后鋪平，則得到的圖形不可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】依據(jù)長方體的展開圖的特征進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.符合長方體的展開圖的特點(diǎn)，是長方體的展開圖，故此選項(xiàng)符合題意；B.符合長方體的展開圖的特點(diǎn)，是長方體的展開圖，故此選項(xiàng)符合題意；C.符合長方體的展開圖的特點(diǎn)，是長方體的展開圖，故此選項(xiàng)符合題意；D.不符合長方體的展開圖的特點(diǎn)，不是長方體的展開圖，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了長方體的展開圖，熟練掌握長方體的展開圖的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型05由展開圖計(jì)算幾何體的表面積或體積【例5】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）張師傅要制作一個(gè)無蓋長方體玻璃魚缸，切割出來的幾塊玻璃的尺寸如圖所示（單位：dm），則其體積為（

）

A．60dm3 B．72dm3 C【答案】A【分析】設(shè)長方體底面的長和寬分別xdm，ydm，根據(jù)其平面展開圖的相關(guān)數(shù)據(jù)可得關(guān)于x、y【詳解】解：設(shè)長方體底面的長和寬分別xdm，y由平面圖可知，x+y=9y+3=7，解得x=5故魚缸的體積為4×5×3=60dm故選A.【點(diǎn)撥】本題考查了長方體的平面展開圖以及二元一次方程組等知識，弄清長方體的展開圖與圓長方體中長、寬、高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式5-1】（2023·黑龍江大慶·大慶一中?？寄M預(yù)測）如圖是某幾何體的展開圖，則該幾何體的體積為（

）

A．π B．3π C．32【答案】D【分析】由題意知，該幾何體為圓錐，如圖，則BC=12×2=1，AB=2，∠ACB=90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得，【詳解】解：由題意知，該幾何體為圓錐，如圖，則BC=12×2=1，AB=2

在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC=∴幾何體的體積V=1故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)圓錐的展開圖求圓錐體積，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于確定幾何體的形狀．【變式5-2】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）相同規(guī)格（長為14，寬為8）的長方形硬紙板，剪掉陰影部分后，將剩余的部分沿虛線折疊，制作成底面為正方形的長方體箱子，有如圖所示的甲、乙兩種方案，所得長方體體積分別記為：V甲和V乙．下列說法正確的是：（A．V甲>V乙 B．V甲【答案】A【分析】由圖可知，設(shè)甲方案中長方體箱子的正方形底面的邊長為a，長方體的高為b，則4a=82a+b=14，求出a,b【詳解】解：由圖可知，設(shè)甲方案中長方體箱子的正方形底面的邊長為a，長方體的高為b則4a=8解得a=2∴V設(shè)乙方案中長方體箱子的正方形底面的邊長為a，長方體的高為b則2a+2b=14解得∴∵40>36∴V故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了長方體的展開圖，體積，二元一次方程組的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于求出長方體的高，底面正方形的邊長．【變式5-3】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AB所在直線為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)1周，得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的表面積為．【答案】84【分析】先求出直角三角形斜邊AB的長，然后再求出斜邊上的高，最后根據(jù)扇形面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=A∴CD=AC×BC∴該幾何體的表面積為：12故答案為：845【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，圓錐側(cè)面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形面積公式，準(zhǔn)確計(jì)算．【變式5-4】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖為一個(gè)長方體的展開圖，且長方體的底面為正方形．根據(jù)圖中標(biāo)示的長度，此長方體的表面積為．【答案】370【分析】根據(jù)展開圖，可以求得原來長方體的底面的邊長和高，然后計(jì)算長方體的表面積即可．【詳解】解：設(shè)原長方體底面邊長為a，長方體高為b，15=3a，2a+b=26，解得a=5，b=16，∴長方體的表面積為：5×5×2+5×16×4=370，故答案為：370．【點(diǎn)撥】本題考查幾何體的展開圖，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式5-5】（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考三模）如圖，把一個(gè)高9dm的圓柱的底面分成許多相等的扇形，然后把圓柱切開，拼成一個(gè)與它等底等高的近似長方體，它的表面積比圓柱體的表面積增加了36dm2．原來這個(gè)圓柱的體積是【答案】36π【分析】增加的面積等于底面半徑乘以高，再乘以2，由此可以計(jì)算出圓柱的底面半徑，進(jìn)而可以算出圓柱的體積．【詳解】解：圓柱的底面半徑為：36÷2÷9=2（分米），故圓柱的體積為：π×2故答案：36π．【點(diǎn)撥】本題考查圓柱的體積，長方形的面積，長方體的表面積，掌握圓周的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．題型06正方體展開圖的識別【例6】（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）下列哪個(gè)不是正方體的側(cè)面展開圖（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)已知正方體圖形，利用排除法選出正確答案，從底面和側(cè)面的情況進(jìn)行全面的分析，相鄰必不相對．【詳解】根據(jù)已知正方體圖形，從底面和側(cè)面的情況進(jìn)行全面的分析，相鄰必不相對．利用排除法可得D選項(xiàng)正確故選：D【點(diǎn)撥】判斷一個(gè)平面圖形是不是某立體圖形的平面展開圖，需要從底面和側(cè)面的情況進(jìn)行全面的分析，反之相同，在分析過程中需謹(jǐn)記，相鄰必不相對．此類題目的解答有兩種思路∶①根據(jù)已知立體圖形，利用排除法選出正確答案；②將選項(xiàng)中的展開圖還原成成立體圖形與已知立體圖形比較得出正確答案．【變式6-1】（2023·河南南陽·統(tǒng)考二模）下列四個(gè)圖形中，不能作為正方體的展開圖的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】利用不能出現(xiàn)同一行有多于4個(gè)正方形的情況，不能出現(xiàn)田字形、凹字形的情況進(jìn)行判斷，也可對展開圖進(jìn)行還原成正方體進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．可以作為一個(gè)正方體的展開圖，不符合題意；B．不可以作為一個(gè)正方體的展開圖，符合題意；C．可以作為一個(gè)正方體的展開圖，不符合題意；D．可以作為一個(gè)正方體的展開圖，不符合題意；故選：B【點(diǎn)撥】本題考查正方體的展開圖，熟記展開圖的11種形式是解題的關(guān)鍵，利用不是正方體展開圖的“一線不過四、田凹應(yīng)棄之”（即不能出現(xiàn)同一行有多于4個(gè)正方形的情況，不能出現(xiàn)田字形、凹字形的情況）判斷也可．【變式6-2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，將左圖的正方形紙盒切去一角得到下圖，下列選項(xiàng)中，不能作為紙盒剩余部分的展開圖的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)正方體展開圖的特征，由條件結(jié)合圖形驗(yàn)證是否能拼成正方體，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)正方體的展開圖的特征可知：A.圖形是中間四個(gè)連一行，兩邊隨意擺的形式，符合正方體的展開圖，所以A選項(xiàng)正確；B.圖形是二三相連錯(cuò)一個(gè)，三一相連隨意的形式，符合正方體的展開圖，所以B選項(xiàng)正確；C.圖形是三個(gè)兩排一對齊，不符合正方體的展開圖，無法拼成正方體，所以C選項(xiàng)不正確；D.圖形是兩兩相連各錯(cuò)一的形式，符合正方體的展開圖，所以D選項(xiàng)正確；故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方體展開圖的特征，熟練掌握正方體展開圖的各種形式，是解題的關(guān)鍵．題型07補(bǔ)一個(gè)面使其成為正方體的展開面【例7】（2022·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在有序號的小正方形中選出一個(gè)，它與圖中五個(gè)有陰影的小正方形組合后，不能構(gòu)成正方體的表面展開圖的是（

）

A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根據(jù)正方體的展開圖判斷即可得出答案．【詳解】解：①②③都可以構(gòu)成正方體的表面展開圖，它們都屬于“141”型，故A，B，C選項(xiàng)不符合題意；④不可以構(gòu)成正方體的表面展開圖，因?yàn)槌霈F(xiàn)了“田”字，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了正方體的展開圖，掌握正方體的11種展開圖是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·浙江·模擬預(yù)測）在圖中，實(shí)線所圍成的多邊形區(qū)域（陰影部分）是由四個(gè)全等正方形拼接而成的．現(xiàn)在若補(bǔ)上圖中標(biāo)有號碼的其中一個(gè)全等小正方形，則可得到九個(gè)多邊形區(qū)域（每個(gè)區(qū)域恰好含有五個(gè)全等小正方形），試問這九個(gè)多邊形區(qū)域中，可以折成無蓋的正方體容器的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)正方體的展開圖有11種情況：1?4?1型共6種，1?3?2型共3種，2?2?2型一種，3?3型一種，由此判定找出答案即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：補(bǔ)上后能夠折成無蓋的正方體容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，共6個(gè)，故選：D．【點(diǎn)撥】此題考查正方體的展開圖，解決此題的關(guān)鍵是記住正方體展開圖的類型1-4-1型，2-3-1型，2-2-2型，3-3型．以及口訣“凹、田應(yīng)棄之”．【變式7-2】（2022·湖北恩施·統(tǒng)考二模）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，其中陰影部分的5個(gè)小正方形是一個(gè)正方體的表面展開圖的一部分．現(xiàn)在從其余的小正方形中任取一個(gè)涂上陰影，則能構(gòu)成這個(gè)正方體的表面展開圖的概率是（

）A．112 B．17 C．13【答案】D【分析】由正方體表面展開圖的形狀可知，此正方體還缺一個(gè)上蓋，故應(yīng)在圖中四塊相連的空白正方形中選一塊，再根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】解：因?yàn)楣灿?2個(gè)大小相同的小正方形，其中陰影部分的5個(gè)小正方形是一個(gè)正方體的表面展開圖的一部分，所以剩下7個(gè)小正方形．在其余的7個(gè)小正方形中任取一個(gè)涂上陰影，能構(gòu)成這個(gè)正方體的表面展開圖的小正方形有4個(gè)，因此先從其余的小正方形中任取一個(gè)涂上陰影，能構(gòu)成這個(gè)正方體的表面展開圖的概率是47故選：D．【點(diǎn)撥】此題考查了概率公式，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，掌握概率公式是本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·廣東深圳·坪山中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，方格紙（每個(gè)小正方形邊長都相同）中5個(gè)白色小正方形已剪掉，在剩余七個(gè)小正方形中再剪去1個(gè)正方形，恰好使余下部分能折成一個(gè)正方體的概率是．

【答案】2【分析】根據(jù)正方體的11種展開圖的模型求解，即可得到答案．【詳解】解：由正方體的11種展開圖的模型可知，把圖中的⑥或⑦剪去，余下部分能折成一個(gè)正方體，即概率為27故答案為：27【點(diǎn)撥】本題考查了正方體的展開圖，概率公式，熟記正方體的11種展開圖的模型是解題關(guān)鍵題型08正方體相對兩面上的字或圖案【例8】（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)P，Q是一正方體展開圖上的兩個(gè)頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)P，Q在正方體上的位置標(biāo)記正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)正方體展開圖直接判斷即可得到答案；【詳解】解：由圖像可得，P，Q在相對的兩面，且與相鄰正方形頂點(diǎn)重合，故P，Q在同一條棱上，故選C；【點(diǎn)撥】本題考查正方體展開圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握展開圖的相對相鄰面及相鄰棱之間的關(guān)系．【變式8-1】（2023·河南信陽·校考三模）習(xí)近平總書記在黨的二十大報(bào)告中提出：“新時(shí)代十年的偉大變革，在黨史、新中國史、改革開放史、社會主義發(fā)展史、中華民族發(fā)展史上具有里程碑意義”將“二”“十”“大”“里”“程”“碑”這六個(gè)漢字分別寫在某正方體的六個(gè)面上，下圖是它的一種展開圖，則在原正方體中，與“里”字所在面相對的面上的漢字是（

）

A．十 B．二 C．程 D．碑【答案】B【分析】將正方體的展開圖還原成立體圖，即可求解【詳解】解：若以“大”字作為正方體的底面可知：“十”、“碑”為前后兩個(gè)面；“二”、“里”為左右兩個(gè)面；“程”、“大”為上下兩個(gè)面．故選：B【點(diǎn)撥】本題考查正方體展開圖相對兩個(gè)面上的字．將展開圖還原成立體圖是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（2023·河南信陽·校考三模）下列正方體的展開圖中，每個(gè)面上都有一個(gè)漢字，則“口”的對面是“手”的展開圖是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.“口”的對面是“洗”，故A不符合題意；B.“口”的對面是“勤”，故B不符合題意；C.“口”的對面是“洗”，故C不符合題意；D.“口”的對面是“手”，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了正方體相對兩個(gè)面上的文字，熟練掌握根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測）有一個(gè)正方體，6個(gè)面上分別寫有數(shù)字.5.6，有3個(gè)人從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示．如果記6的對面的數(shù)字為a，2的對面的數(shù)字為b，那么a+b的值為（

）

A．6 B．7 C．8 D．11【答案】B【分析】由圖一和圖二可看出1的對面的數(shù)字是5；再由圖二和圖三可看出3的對面的數(shù)字是6，從而2的對面的數(shù)字是4，從而可得答案．【詳解】解：從3個(gè)小立方體上的數(shù)可知，與寫有數(shù)字1的面相鄰的面上數(shù)字是2，3，4，6，所以數(shù)字1面對數(shù)字5，與寫有數(shù)字3的面相鄰的面上數(shù)字是1，2，4，5，所以立方體面上數(shù)字3對6．故立方體面上數(shù)字2對4．則a=3，b=4，那么a+b=3+4=7．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查靈活運(yùn)用正方體的相對面解答問題，解題的關(guān)鍵是按照相鄰和所給圖形得到相對面的數(shù)字．【變式8-4】（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖的正方體紙盒，只有三個(gè)面上印有圖案，下面四個(gè)平面圖形中，經(jīng)過折疊能圍成此正方體紙盒的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】四個(gè)選項(xiàng)中的圖都是正方體展開圖的“1-4-1”結(jié)構(gòu)．由正方體可以看出，有圖案的三個(gè)面兩兩相鄰．【詳解】解：四個(gè)選項(xiàng)中的圖都是正方體展開圖的“1-4-1”結(jié)構(gòu)．由正方體可以看出，有圖案的三個(gè)面兩兩相鄰；A，C，D選項(xiàng)折成正方體后有圖案的面有兩個(gè)相對，不符合題意；B選項(xiàng)折成正方體后，有圖案的三個(gè)面兩兩相鄰；

的展開圖是

故選：B．【點(diǎn)撥】正方體展開圖“1?4?1”結(jié)構(gòu)，折成正方體后，兩個(gè)“1”相對，“4”組成側(cè)面，間隔面相鄰．關(guān)鍵是明白有圖案的三個(gè)面兩兩相鄰．【變式8-5】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）如圖，已知一個(gè)正方體是三個(gè)面分別標(biāo)有〇、◎、※三種圖案，則它的展開圖可能是（）A．B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正方體表面展開圖的特征進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，選項(xiàng)A中“〇面”“◎面”“※面”的對面都是“空白”，故選項(xiàng)A符合題意；選項(xiàng)B中的“◎面”與“※面”是對面，與題意矛盾，故選項(xiàng)B不符合題意；選項(xiàng)C中的“〇面”與“◎面”是對面，與題意矛盾，故選項(xiàng)C不符合題意；選項(xiàng)D中的“◎面”與“※面”是對面，與題意矛盾，故選項(xiàng)D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查正方體的展開圖，掌握正方體表面展開圖的特征是正確解答本題的關(guān)鍵．正方體展開圖相對面的確定方法：1）同一行或同一列，間隔一個(gè)面的兩個(gè)面是相對面；2）“Z”字型圖案中，兩端點(diǎn)處的兩個(gè)面是相對面.題型09與七巧板有關(guān)的計(jì)算【例9】（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）如圖，七巧板起于我國先秦時(shí)期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板．下列由七巧板拼成的表情圖中，是軸對稱圖形的為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念逐項(xiàng)分析判斷即可，軸對稱圖形的概念：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．【詳解】解：選項(xiàng)A，B，D均不能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對稱圖形；選項(xiàng)C能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對稱圖形；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．【變式9-1】（2023·廣東深圳·校考三模）七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的，如圖，是一個(gè)用七巧板拼成的裝飾圖，放入長方形ABCD內(nèi)，裝飾圖中的三角形頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，三角形①的邊GD在邊AD上，則BFBEA．1+22 B．22 C．【答案】D【分析】設(shè)七巧板正方形的邊長為x，根據(jù)正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)分別表示出BF，BE的長，即可求解．【詳解】解：設(shè)七巧板正方形的邊長為x，∴2BE∴BE∴BE=2∴BF=1∴BF故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，七巧板，勾股定理，正方形的性質(zhì)，表示出BF，BE的長是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023·江西宜春·統(tǒng)考二模）七巧板是我們祖先的一項(xiàng)偉大創(chuàng)造，被興為“東方魔板”．在一次“美術(shù)制作”活動課上，小明用邊長為4cm的正方形紙片制作了如圖所示的七巧板（如圖1），并設(shè)計(jì)了一幅作品“我跑步，我快樂”創(chuàng)作畫（如圖2），則創(chuàng)作畫中陰影部分的面積是cm

【答案】5【分析】先求出最小的等腰直角三角形的面積=18×【詳解】解：最小的等腰直角三角形的面積=18×∴陰影部分的面積為4+1=5cm故答案為：5【點(diǎn)撥】本題主要考查了圖形的剪拼、七巧板，解題的關(guān)鍵是求出最小的等腰直角三角形的面積，學(xué)會利用分割法求陰影部分的面積．【變式9-3】（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考三模）七巧板是中國民間流傳的一種傳統(tǒng)智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四邊形組成的．如圖，有一塊邊長為42的正方形厚紙板ABCD，做成如圖①所示的一套七巧板(點(diǎn)O為正方形紙板對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AD、CD的中點(diǎn)，GE∥BI，IH∥CD)，將圖①所示七巧板拼成如圖②所示的“魚形”，則“魚尾

【答案】6【分析】依據(jù)勾股定理即可得到AC的長，進(jìn)而得出FI=EI=2，EF=4，即可得到“魚尾”MN的長．【詳解】解：∵正方形厚紙板ABCD的邊長為42∴AD=CD=42∴AC=A又∵AG=GO=OH=CH，∴FI=EI=2，EF=4，∴NM=EF+IF=6，故答案為：6．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板問題，掌握七巧板的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．【變式9-4】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考模擬預(yù)測）七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，且邊長為4，那么陰影部分面積為．

【答案】3【分析】將正方形ABCD的面積分成16等份，看陰影部分占幾份即可．【詳解】解：如圖所示，正方形ABCD的面積可以分成16等份，

其中△BJE占1份，平行四邊形HPFD占2份，∵正方形ABCD的邊長為4，∴S正方形∴S陰影=【點(diǎn)撥】本題考查七巧板相關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出陰影部分所占面積與正方形面積之比．考點(diǎn)二直線、射線、線段的相關(guān)概念一、直線、射線、線段的相關(guān)概念直線射線線段概念直線是幾何圖形基礎(chǔ)，是一個(gè)不做定義的原始概念.直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線.直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段.圖形表示方法直線AB或直線BA直線m射線OA射線n線段AB線段l端點(diǎn)個(gè)數(shù)無1個(gè)2個(gè)延伸、度量情況可向兩方無限延伸不可度量只能以一方無限延伸不可度量不能延伸，可以度量不同點(diǎn)線段向一方延伸就成為射線，向兩方延伸就成為直線相同點(diǎn)都是直的線直線的性質(zhì)：1）直線公理:經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線，簡稱：兩點(diǎn)確定一條直線；2）經(jīng)過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條，過兩點(diǎn)的直線只有一條，過三點(diǎn)就不一定了.兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離.線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短.簡稱：兩點(diǎn)之間，線段最短.線段的長度比較方法：1)度量法:分別用刻度尺測量線段AB.線段CD的長度，再進(jìn)行比較2)疊加法:讓線段某一段端點(diǎn)重合，比較另一邊兩端點(diǎn)的位置.線段中點(diǎn)的概念：把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)叫線段中點(diǎn).11.線段的長度可以度量，所以能夠比較線段的長短，而且線段的長度是非負(fù)數(shù).2.一條線段的中點(diǎn)只有一個(gè).3.某一個(gè)點(diǎn)要成為一條線段的中點(diǎn)必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：1）點(diǎn)必須在這條直線上.2）它把這條線段分為兩條相等的兩條線段.題型01畫直線、射線、線段【例1】（2023·河北廊坊·校考三模）如圖，已知A、B兩點(diǎn)，畫射線AB，按照上述語句，下列畫法正確的是（

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)射線的概念即可得到答案．【詳解】解：已知A、B兩點(diǎn)，畫射線

，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了射線的定義，熟練掌握射線的定義：由線段的一端無限延伸所形成的直線，是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）下列各選項(xiàng)中的射線EF和直線AB能相交的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)線段、射線、直線的性質(zhì)和圖判斷即可．【詳解】解：A.射線EF延伸，不能與AB相交，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.能相交，故本選項(xiàng)正確；C.射線只能向F點(diǎn)方向延伸，不能向E點(diǎn)方向延伸，因此不能相交，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.射線只能向F點(diǎn)方向延伸，不能向E點(diǎn)方向延伸，因此不能相交，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了對線段、射線、直線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：直線能向兩方無限延伸，射線只能向一方無限延伸，而線段不能延伸．【變式1-2】（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）如圖，若線段PC與線段OA有一個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)C可以是（

）A．點(diǎn)D B．點(diǎn)E C．點(diǎn)Q D．點(diǎn)M【答案】A【分析】把P與各點(diǎn)的連線段畫出來即可得到答案.【詳解】解：如圖，若線段PC與線段OA有一個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)C可以是D，故選A【點(diǎn)撥】本題考查的是線段的概念，熟記線段的特征是解本題的關(guān)鍵.題型02求直線、線段的數(shù)量【例2】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)C在線段BD上，過A，B，C，D中的兩點(diǎn)可以畫一條直線，其中過點(diǎn)C的直線有（

）

A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】A【分析】根據(jù)直線的特征即可得到答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C的直線有AC，BD，共

故選：A．【點(diǎn)撥】此題考查了直線的條數(shù)，熟練掌握直線的特征是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）1000m的大道兩側(cè)從起點(diǎn)開始每隔10m各種一棵樹，相鄰兩棵樹之間放一盆花，這樣需要（

）A．樹200棵，花200盆 B．樹202棵，花200盆C．樹202棵，花202盆 D．樹200棵，花202盆【答案】B【分析】用1000÷10求得大道一側(cè)的間隔數(shù)，用間隔數(shù)加上1就是一側(cè)植樹的棵數(shù)，再乘2就是兩側(cè)一共植樹的棵數(shù)，用間隔數(shù)乘2就是兩側(cè)一共要放多少盆花，【詳解】解：種花：1000÷10×2=100×2=200（盆）種樹：（1000÷10+1）×2=101×2=202（棵）答：這樣需要202棵樹，200盆花．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查線段上端點(diǎn)問題．為使其更直觀，用圖示法來說明．樹用點(diǎn)來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉(zhuǎn)化為一條非封閉或封閉的線上的“點(diǎn)數(shù)”與相鄰兩點(diǎn)間的線的段數(shù)之間的關(guān)系問題．【變式2-2】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）哈齊高鐵于2015年開通，是我國目前最北端的高速鐵路，開通8年時(shí)間，方便了千千萬萬大慶市民出行，也推動了龍江經(jīng)濟(jì)發(fā)展．從大慶西站到哈爾濱站中間有4個(gè)車站，共有種票價(jià)．（注：擬設(shè)每兩個(gè)城市之間的票價(jià)相同）【答案】15【分析】把中途4站看作線段AB上的4個(gè)點(diǎn)，數(shù)出線段的數(shù)量即可求解．【詳解】把中途4站看作線段AB上的4個(gè)點(diǎn)．線段共有：5+4+3+2+1=15（條），所以有15種不同的票價(jià)．故答案為：15．【點(diǎn)撥】本題考查了線段數(shù)量問題，將問題轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．題型03求直線相交點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例3】（2023·安徽蚌埠·校考二模）將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數(shù)為（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可求解．【詳解】如圖所示，將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數(shù)為7塊故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了直線分平面問題，理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·四川達(dá)州·四川省渠縣中學(xué)?？级＃┰谄矫嬷校瑑蓷l直線最多只有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線最多有3個(gè)交點(diǎn)…若n條直線最多有325個(gè)交點(diǎn)，則n的值為（

）A．24 B．25 C．26 D．27【答案】C【分析】從簡單情形考慮：分別求出2條、3條、4條、5條直線相交時(shí)最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出規(guī)律即可解答．【詳解】解：2條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交最多有1+2個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交最多有1+2+3個(gè)交點(diǎn)；5條直線相交最多有1+2+3+4個(gè)交點(diǎn)；…所以n條直線相交最多有1+2+3+4+5+…+（n-1）=12n（n-1∴12n(n?1)=325解得n=26（負(fù)值已舍去），則n值為26．故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查圖形的變化規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．【變式3-2】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）2條直線最多有S1個(gè)交點(diǎn)，3條直線最多有S2個(gè)交點(diǎn)，按照規(guī)律依此類推，2023條直線最多有S2022個(gè)交點(diǎn)，則1A．20231012 B．40442023 C．40452023【答案】B【分析】先求出S1，S2，S3，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可得S【詳解】解：根據(jù)題意得：S1S2S3……，由此發(fā)現(xiàn)，Sn∴S2022∴1==2=2=4044故選：B【點(diǎn)撥】本題主要考查了直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)字類規(guī)律題，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型04直線的性質(zhì)【例4】（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，工人砌墻時(shí)，先在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使砌的磚在一條直線上．這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是（

）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．垂線段最短 D．三角形兩邊之和大于第三邊【答案】B【分析】由直線公理可直接得出答案．【詳解】解：建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，這種做法用幾何知識解釋應(yīng)是：兩點(diǎn)確定一條直線．故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了直線的性質(zhì)，要想確定一條直線，至少要知道兩點(diǎn)．【變式4-1】（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四條線段a，b，c，d中的一條與擋板另一側(cè)的線段m在同一直線上，請借助直尺判斷該線段是（

）A．a(chǎn) B．bC．c D．d【答案】A【分析】根據(jù)直線的特征，經(jīng)過兩點(diǎn)有一直線并且只有一條直線即可判斷．【詳解】解:設(shè)線段m與擋板的交點(diǎn)為A，a，b，c，d與擋板的交點(diǎn)分別為B，C，D，E，連結(jié)AB.AC.AD.AE，根據(jù)直線的特征經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線，利用直尺可確定線段a與m在同一直線上，故選擇A．【點(diǎn)撥】本題考查直線的特征，掌握直線的特征是解題關(guān)鍵．題型05線段的性質(zhì)【例5】（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）如圖，A,B兩地間修建彎河道與修建直的河道橋相比，增加了河道橋的長度，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（

）

A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．平行于同一條直線的兩條直線平行C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)確定一條直線【答案】A【分析】把A，B兩地看作兩個(gè)點(diǎn)，再利用線段公理作答即可．【詳解】解：A，B兩地間修建彎河道與修建直的河道橋相比，增加了河道橋的長度，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是：兩點(diǎn)之間，線段最短．故選：A．【點(diǎn)撥】本題是線段公理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意、熟知兩點(diǎn)之間，線段最短是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，利用隧道，把彎曲的公路改直，就能縮短兩地的路程，這其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是．

【答案】兩點(diǎn)之間，線段最短【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短，解答即可．【詳解】解：由線段的性質(zhì)可知：兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段，這些所有的線中，線段最短，故答案為：兩點(diǎn)之間，線段最短．【點(diǎn)撥】本題主要考查了線段的性質(zhì)，即兩點(diǎn)之間線段最短．題型06與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算【例6】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，某同學(xué)用直尺畫數(shù)軸．?dāng)?shù)軸上點(diǎn)A，B分別在直尺的1cm，9cm處，若點(diǎn)A對應(yīng)-4，直尺的0刻度位置對應(yīng)-6，則線段AB中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為（

A．4 B．5 C．8 D．12【答案】A【分析】根據(jù)題意得出1cm代表數(shù)軸上兩個(gè)單位長度，求出線段AB中點(diǎn)對應(yīng)直尺5cm處，再求線段【詳解】解：∵點(diǎn)A.B分別在直尺的1cm，9cm處，點(diǎn)A對應(yīng)-4，直尺的0刻度位置對應(yīng)∴1cm∴線段AB中點(diǎn)對應(yīng)直尺1+92∴線段AB中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為：-4+2×4=4故選：A．【點(diǎn)撥】題目主要考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，理解題意是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，不完整的數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，原點(diǎn)在A.B之間，沿原點(diǎn)將負(fù)半軸折疊到正半軸上，點(diǎn)A落在點(diǎn)B左側(cè)4個(gè)單位長度處，則線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為（）

A．2 B．-2 C．4 D．-4【答案】A【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，求出OC的長即可得出線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)．【詳解】如圖，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，A

設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為a，則OA=OA∴AB=-2a+4．∴AC=1∴OC=AC-OA=-a+2--a即線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為2．故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)軸、折疊以及線段的中點(diǎn)問題，準(zhǔn)確畫出示意圖，求出線段中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A、B、O、C在數(shù)軸上的位置如圖所示，O為AC的中點(diǎn)，若AB=2，點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)為m，則點(diǎn)C所對應(yīng)的數(shù)是(

)A．-2-m B．--m-2 C．-【答案】D【分析】先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再求出點(diǎn)C坐標(biāo)．【詳解】AB=2,B為m則A點(diǎn)坐標(biāo)為：m-2B點(diǎn)與A點(diǎn)互為相反數(shù)，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為：-故選：D【點(diǎn)撥】本題考查數(shù)軸上的點(diǎn)的位置和坐標(biāo)，找到不同點(diǎn)之間是數(shù)量關(guān)系是本題關(guān)鍵．【變式6-3】（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是-1，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，線段AB=2，則點(diǎn)C表示的數(shù)是．

【答案】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)平分線段進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，線段AB=2∴AC=22∴點(diǎn)C表示的數(shù)是：22故答案為：22【點(diǎn)撥】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，以及線段的中點(diǎn)．熟練掌握線段中點(diǎn)的定義，以及數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．【變式6-4】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）A，B，C，D四個(gè)車站的位置如圖所示．

(1)A.C兩站的距離；(2)C.D兩站的距離；(3)若a=6，C為AD的中點(diǎn)，求b的值．【答案】(1)3a(2)(3)4【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)系式，合并即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意列出關(guān)系式，去括號合并即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)中點(diǎn)的定義列出方程計(jì)算即可求解．【詳解】（1）∵AC=AB+BC=a+b+2a-b=3a∴A.C兩站的距離為：3a；（2）∵CD=BD-BC=∴C.D兩站的距離為：a+3b；（3）∵C為AD的中點(diǎn)，∴∴3a=a+3b,當(dāng)a=6時(shí)，3×6=解得b=4．【點(diǎn)撥】此題考查了整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵考點(diǎn)三角的相關(guān)概念角的定義（靜態(tài)）：由公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角.角的定義（動態(tài)）：由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的圖形.角的分類：∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°角的表示方法：角的表示圖例適用范圍注意事項(xiàng)用三個(gè)大寫字母表示記作：∠ABC或∠CBA任何情況都適用表示頂點(diǎn)的字母一定要寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè).用一個(gè)大寫字母表示記作：∠O1）以這個(gè)字母為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)；2）當(dāng)在一個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)或兩個(gè)以上的角時(shí),其中的任意一個(gè)角都不能用一個(gè)大寫英文字母表示.用一個(gè)數(shù)字表示任何情況都適用在靠近頂點(diǎn)處畫上弧線，表示出角的范圍，并注上數(shù)字或小寫的希臘字母用一個(gè)希臘字母表示角度制：以度、分、秒為單位的角的度量制.度、分、秒的運(yùn)算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（160）′；1″=（136001周角=2平角=4直角=360°.角的大小的比較：1）疊合法：使兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合，比較另一邊的位置；2）度量法：分別用量角器測量兩個(gè)角的大小，再進(jìn)行比較.角的平分線的概念：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線.【性質(zhì)】①若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC=12∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC②角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．余角的概念：如果兩個(gè)角的和等于直角，就說這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)是另一個(gè)的余角.補(bǔ)角的概念：如果兩個(gè)角的和等于平角，就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)是另一個(gè)的補(bǔ)角.【性質(zhì)】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的補(bǔ)角相等.11.因?yàn)樯渚€是向一方無限延伸的，所以角的兩邊無所謂長短，即角的大小與邊的長短無關(guān).2.角的大小可以度量，可以比較.3.在進(jìn)行度、分、秒運(yùn)算時(shí)，由低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化或由高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化要逐步進(jìn)行.4.一條射線要成為一個(gè)角的平分線必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：1）射線必須在角的內(nèi)部.2）它把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角.5.鈍角沒有余角.6.互為余角、補(bǔ)角是兩個(gè)角之間的關(guān)系,7.兩個(gè)角互為余角、互為補(bǔ)角只與角的度數(shù)有關(guān)，與角的位置無關(guān).只要它們的度數(shù)之和等于90°或180°，就一定互為余角或補(bǔ)角.題型01度、分、秒的換算【例1】（2023·廣西賀州·統(tǒng)考一模）比較大?。?0.15°40°15'（用>、=、【答案】<【分析】把兩個(gè)度數(shù)統(tǒng)一即可判斷．【詳解】解：40.15°=40°+0.15°=40°+0.15×6040°9故答案為：<．【點(diǎn)撥】本題考查了角的度數(shù)的表示，正確記憶度、分、秒是60進(jìn)制是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·浙江·二模）把下面的角度化成度的形式：118°20'42【答案】118.345°【分析】先將整數(shù)后面的小數(shù)部分變成最小單位秒，然后再化為度，最后與整數(shù)部分相加即可．【詳解】解：20'42''=20×60''+42''=1242''，1242''÷3600=0.345°，∴118°20'42''=118.345°，故答案為：118.345°．【點(diǎn)撥】題目主要考查角度間的換算，熟練掌握運(yùn)用換算進(jìn)率是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）計(jì)算：80°-45°17'=_________．【答案】34°43【分析】①兩個(gè)度數(shù)相減，被減數(shù)可借1°轉(zhuǎn)化為60′，再計(jì)算；②1度＝60分，即1°＝60′，依據(jù)度分秒的換算即可得到結(jié)果．【詳解】①80°-45°17②48°39故填：34°43'【點(diǎn)撥】本題主要考查了度分秒的換算，在進(jìn)行度、分、秒的運(yùn)算時(shí)也應(yīng)注意借位和進(jìn)位的方法．題型02鐘面角的計(jì)算【例2】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）在3：30、6：40、9：00、12：20中，時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌茸畲蟮氖牵?/p>

）A．3：30 B．6：40 C．9：00 D．12：20【答案】D【分析】根據(jù)時(shí)針的旋轉(zhuǎn)角減去分針的旋轉(zhuǎn)角，可得答案．【詳解】解：A.3：30時(shí)時(shí)針與分針的夾角是90°-1B.6：40時(shí)時(shí)針與分針的夾角是30°×2-30°×40C.9：00時(shí)時(shí)針與分針的夾角是90°，D.12：20時(shí)時(shí)針與分針的夾角是30°×4-30°×20所以時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌茸畲蟮氖?2：20，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了鐘面角，利用了時(shí)針與分針的夾角是時(shí)針的旋轉(zhuǎn)角減去分針的旋轉(zhuǎn)角．【變式2-1】（2020·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列選項(xiàng)中，表示點(diǎn)P在點(diǎn)O的2點(diǎn)鐘方向的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)P在點(diǎn)O的2點(diǎn)鐘，而2點(diǎn)與12點(diǎn)相隔2格，每格30°即可求解；【詳解】∵點(diǎn)P在點(diǎn)O的2點(diǎn)鐘方向，，而2點(diǎn)與12點(diǎn)相隔2格，每格30°，∴表示點(diǎn)P在點(diǎn)O的2點(diǎn)鐘方向的圖形為：

故答案選D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了鐘面上時(shí)針和分針的角度問題，根據(jù)每格的度數(shù)是30°計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·廣東珠?！ぶ楹Ｈ蓍b學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，圓形掛鐘分針針尖到圓心的距離10cm，經(jīng)20分鐘，分針針尖轉(zhuǎn)過的弧長是（

）A．256πcm B．203πcm C．356πcm D．【答案】B【分析】根據(jù)弧長公式可求得．弧長公式為l=nπr180【詳解】解：l=nπr180=20×6×π×10180=203π故選：B．【點(diǎn)撥】主要考查了圓周的弧長公式和鐘表上分針?biāo)哌^的角度與時(shí)間之間的關(guān)系．弧長公式為l=nπr180，需要注意的是求弧長需要知道圓心角的度數(shù)和半徑；分針1分鐘走過的角度為6°題型03方向角的表示【例3】（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測）甲、乙兩艘輪船同時(shí)離開同一港口，各自沿一固定方向航行，航行的速度均為12海里/小時(shí)，甲船用1.5小時(shí)到達(dá)點(diǎn)A處，乙船用2小時(shí)到達(dá)點(diǎn)B處，且A，B兩點(diǎn)相距30海里．若甲船沿著北偏東30°的方向航行，在下列方向中，乙船的航行方向可以是（

）A．南偏東60° B．南偏西60° C．南偏西30° D．北偏西30°【答案】A【分析】依照題意畫出圖形，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間可求出OA，OB，根據(jù)OA，OB，AB的長度，利用勾股定理的逆定理即可得出∠AOB＝90°，結(jié)合∠NOA的度數(shù)即可求出∠SOB的度數(shù)，此題得解．【詳解】解：如圖，設(shè)港口為O，OA=12×1.5=18km∵182∴OA∴△AOB為直角三角形，且∠AOB=90°，∵∠NOA=30°，∴∠SOB=60°，∴乙客輪的航行方向?yàn)槟掀珫|60°，

故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根據(jù)OA、OB、【變式3-1】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，有A，B，C三個(gè)地點(diǎn)，且AB⊥BC，從A地測得B地的方位角是北偏東43°，那么從C地測B地的方位角是（）

A．北偏西47° B．南偏西43° C．北偏東43° D．南偏東47°【答案】D【分析】如圖，建立方位圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CDB=∠EAB=43°，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求出∠BCD，即為從C地測B地的方位角.【詳解】解：如圖，由題意可得AE∥CD，∠EAB=43°，∴∠CDB=∠EAB=43°，∵AB⊥BC，∴∠BCD=90°-43°=47°，即從C地測B地的方位角是南偏東47°；故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了方位角、平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目，正確理解題意、求出∠BCD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.【變式3-2】（2023·河北·模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°的方向上，∠CBA=60°，則點(diǎn)C在點(diǎn)B的（

）

A．南偏東30° B．西偏東30° C．東騙西30° D．北偏西30°【答案】A【分析】如圖，過點(diǎn)B作BE∥AD，由平行線的性質(zhì)得到∠ABE=∠BAD=30°，由∠CBA=60°得到∠CBE=∠CBA-∠ABE=30°，即可得到答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BE∥AD，

∵∠BAD=30°，∴∠ABE=∠BAD=30°，∵∠CBA=60°，∴∠CBE=∠CBA-∠ABE=30°，∴點(diǎn)C在點(diǎn)B的南偏東30°，故選：A【點(diǎn)撥】此題考查了方向角的相關(guān)計(jì)算和平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型04角平分線的相關(guān)計(jì)算【例4】（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥OF，已知∠BOF=20°，OC平分∠AOE，則

A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】D【分析】先求出∠EOA的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義得到∠AOC的度數(shù)，由此利用對頂角相等得到答案．【詳解】∵EO⊥OF∴∠EOF=90°，∵∠BOF=20°∴∠EOA=180°-90°-20°=70°，又∵OC平分∠AOE，∴∠AOC=故選：D．【點(diǎn)撥】此題考查了角平分線的定義，對頂角相等，正確掌握角平分線的定義求角度是解的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，直線AB和CD交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，若∠1+∠2=80°，則∠AOE的度數(shù)為（

）A．60° B．70° C．75° D．80°【答案】B【分析】根據(jù)對頂角、鄰補(bǔ)角的定義以及角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠1=∠2，∠1+∠2=80°，∴∠1=∠2=40°，∴∠AOD=180°-40°=140°，又∵OE平分∠AOD，∴∠DOE=∠AOE=1故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查對頂角、鄰補(bǔ)角，理解對頂角、鄰補(bǔ)角的定義，掌握角平分線的定義是正確解答的前提．【變式4-2】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖：OC是∠AOB的角平分線，l∥OA，若∠1=59°，則∠2的度數(shù)為（）

A．59° B．61° C．62° D．64°【答案】C【分析】先由l∥OA求出∠AOC，再由角平分線的定義求出∠AOB，然后根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求出∠2的度數(shù)．【詳解】∵l∥OA，∴∠AOC=∠1=59°．∵OC是∠AOB的角平分線，∴∠AOB=2∠AOC=118°，∵l∥OA，∴∠2=180°-118°=62°．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考一模）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=25°，則∠CON的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】D【分析】先利用角平分線的定義可得∠AOM=∠COM=35°，再根據(jù)垂直定義可得∠MON=90°，然后利用角的和差關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵射線OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠COM=25°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON-∠COM=65°，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了垂線，角平分線的定義，熟練掌握垂直定義是解題的關(guān)鍵．題型05求一個(gè)角的余角、補(bǔ)角【例5】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知∠A和∠B互余，若∠A=52°，則∠B的度數(shù)為（

）A．52° B．48° C．38° D．28°【答案】C【分析】根據(jù)余角的性質(zhì)直接解答．【詳解】∵∠A和∠B互余，∠A=52°，∴∠B=90°-∠A=38°．故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握余角的性質(zhì)．【變式5-1】（2023·云南文山·統(tǒng)考一模）已知∠A=72°25'，則∠A的補(bǔ)角度數(shù)為（

）A．108°25' B．17°35' C．【答案】D【分析】利用補(bǔ)角的含義結(jié)合角度的減法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠A=72°25∴∠A的補(bǔ)角為180°-72°25故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的是補(bǔ)角的含義，角度的四則運(yùn)算，掌握“補(bǔ)角的含義以及角的60進(jìn)位制”是解本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）如圖，直線l1∥l2，直線l3與l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥l2【答案】37°45'【分析】根據(jù)已知條件得出AC⊥l1，則【詳解】解：∵l1∥l∴AC⊥l∴∠1+∠2=90°∵∠1=52°15∴∠2=90°-52°15故答案為：37°45【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，求一個(gè)角的余角，角度的計(jì)算，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型06與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算【例6】．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在AB上，EC平分∠AED，若∠2=50°，則∠1的度數(shù)為（A．45° B．50° C．65° D．80°【答案】C【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角求出∠AED，利用角平分線求出∠AEC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠1的度數(shù)．【詳解】解：∵∠2=50°，∴∠AED=180°-∠2=130°，∵EC平分∠AED，∴∠AEC=1∵AB∥∴∠1=∠AEC=65°，故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了鄰補(bǔ)角的定義，角平分線的定義，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）如圖所示的是一桿桿秤，桿秤是利用杠桿原理來稱質(zhì)量的簡易衡器，由木制的帶有秤星的秤桿、金屬秤砣、秤鉤、提繩等組成．在稱物品時(shí)，提繩AB與秤砣繩CD互相平行，若∠α=92°，則∠β的度數(shù)為（A．92° B．90° C．88° D．86°【答案】C【分析】根據(jù)平角的定義，平行線的性質(zhì)求解．【詳解】∵∠α=∴∠BCD=180°-92°=88°∵AB∴∠β=∠BCD=88°故選：C【點(diǎn)撥】本題考查平角的定義，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）已知∠α和∠β是對頂角，且∠α和∠β互余，則∠β的度數(shù)為（

）A．45° B．30° C．90° D．【答案】A【分析】根據(jù)對頂角及余角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵∠α和∠β是對頂角，∠α和∠β互余，∴∠α=∠β，∠α+∠β=90°，∴2∠β=90°，∴∠β=45°，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了對頂角的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個(gè)觀測站，AB=2km，從A測得船C在北偏東45°的方向，從B測得船C在北偏東22.5°的方向．則∠ACB的度數(shù)【答案】22.5°【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB延長線于點(diǎn)D，用余角定義計(jì)算出∠CAD和∠CBD的度數(shù)，然后用三角形外角性質(zhì)求出∠CAB的度數(shù)．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB延長線于點(diǎn)D，∵從A測得船C在北偏東45°的方向，∴∠CAD=90°-45°=45°，∵從B測得船C在北偏東22.5°的方向，∴∠CBD=90°-22.5°=67.5°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=22.5°．【點(diǎn)撥】本題考查了方位角，余角，三角形外角，熟練掌握方位角的定義，余角的定義及計(jì)算，三角形外角性質(zhì)及計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．【變式6-4】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）按要求完成如下兩個(gè)小題．（1）已知一個(gè)角的余角是這個(gè)角的補(bǔ)角的14（2）如圖，已知直線AB和CD相交于O點(diǎn)，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=26°，求∠BOD的度數(shù)．【答案】（1）60°；（2）38°【分析】（1）設(shè)這個(gè)角為x度，表示出這個(gè)角的余角是（90-x）度，補(bǔ)角是（180-x）度，然后列出方程求解即可；（2）根據(jù)垂直的定義可得∠COE=90°，然后求出∠EOF，再根據(jù)角平分線的定義求出∠AOF，然后求出∠AOC，再根據(jù)對頂角相等解答即可．【詳解】解：（1）設(shè)這個(gè)角為x度，則這個(gè)角的余角是（90-x）度，補(bǔ)角是（180-x）度，由題意得：90-x=14（180-x解得x=60，所以這個(gè)角是60°；（2）∵CO⊥OE，∴∠COE=90°，又∵∠COF=26°，∠EOF=90°-26°=64°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=64°，∴∠AOC=64°-26°=38°，∵∠AOC與∠BOD是對頂角，∴∠BOD=38°．【點(diǎn)撥】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義，角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，（1）設(shè)出未知數(shù)列出方程是解題的關(guān)鍵，（2）準(zhǔn)確識圖，找出各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四相交線一、相交線直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)不重合的兩條直線之間的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行.垂線的概念：當(dāng)兩條相交直線所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，交點(diǎn)叫做垂足.垂線的性質(zhì)：1）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.2）兩條直線互相垂直，則它們之間所形成的四個(gè)角為直角.3）在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線垂直于另一條.垂線段最短定理：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.二、相交線中的角第一種對頂角與鄰補(bǔ)角種類圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角（∠1與∠2）有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線∠1=∠2鄰補(bǔ)角（∠3與∠4）有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.∠3+∠4=180°第二種同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角同位角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，在被截兩條直線同側(cè)，具有這樣位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯(cuò)角.（同旁同側(cè)）如：∠1和∠5.內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯(cuò)角.（內(nèi)部異側(cè)）如：∠3和∠5.同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，在被截兩條直線內(nèi)部，具有這樣位置關(guān)系的一對叫同旁內(nèi)角.（同旁內(nèi)側(cè)）如：∠3和∠6.【速記同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角】三線八角的概念：指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個(gè)角，其中同位角4對，內(nèi)錯(cuò)角有2對，同旁內(nèi)角有2對.正確認(rèn)識這八個(gè)角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同側(cè)”;內(nèi)錯(cuò)角要抓住“內(nèi)部和異側(cè)”;同旁內(nèi)角要抓住“同旁和內(nèi)部”.11.線段與線段、線段與射線、線段與直線、射線與射線或射線與直線垂直，是指它們所在的直線互相垂直.2.垂線是一條直線，而垂線段是一條線段.3.對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角.4.如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角.5.如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角.6.兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對頂角只有一個(gè).7.兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有2對對頂角，有4對鄰補(bǔ)角.8.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是指具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角，是成對出現(xiàn)的，對它們的識別要結(jié)合圖形.題型01點(diǎn)到直線的距離【例1】（2023·河北秦皇島·模擬預(yù)測）如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，則下列說法不正確的是（

）

A．線段AC的長是點(diǎn)A到BC的距離 B．線段AD的長是點(diǎn)C到AB的距離C．線段BC的長是點(diǎn)B到AC的距離 D．線段BD的長是點(diǎn)B到CD的距離【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離判斷即可得到答案．【詳解】解：A.線段AC的長是點(diǎn)A到BC的距離，正確，不合題意；B.線段AD的長是點(diǎn)A到CD的距離，錯(cuò)誤，符合題意；C.線段BC的長是點(diǎn)B到AC的距離，正確，不合題意；D.線段BD的長是點(diǎn)B到CD的距離，正確，不合題意；故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查的是點(diǎn)到直線的距離，掌握其概念是解決此題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·浙江杭州·校聯(lián)考三模）如圖，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，A，O，B，C在直線l上，且PO⊥l，其中PA=3.5，則點(diǎn)P到直線l的距離可能是（）

A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5【答案】A【分析】根據(jù)垂線段最短解決此題．【詳解】解：根據(jù)垂線段最短，PO<PA=3.5，∵3.2<3.5<4<4.5，∴A符合要求．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，熟知“垂線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）點(diǎn)A為直線BC外一點(diǎn)，AC⊥BC于點(diǎn)C，AC=6．點(diǎn)P是直線BC上的動點(diǎn)，則線段AP長可能是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】D【分析】利用垂線段最短得到AP≥AC，然后對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：如圖，

∵AC⊥BC，∴AP≥AC，而AC=6即AP≥6．故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線距離，垂線段最短，利用垂線段最短得到AP≥AC是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）AD是Rt△ABC的角平分線，若AB=4，BD=3，則點(diǎn)D到AC距離為（

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】如圖所示，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DB=3即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，∵AD是Rt△ABC的角平分線，DB⊥AB∴DE=DB=3，∴點(diǎn)D到AC距離為3，故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，熟知角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．題型02利用對頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求解【例2】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB于點(diǎn)O．若∠COE=35°，則∠AOD的度數(shù)為（A．105° B．115° C．125° D．135°【答案】C【分析】根據(jù)垂線的定義可得∠BOE=90°，根據(jù)∠BOC=∠BOE+∠COE，根據(jù)對頂角的定義∠AOD=∠BOC，即可