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江蘇省南京市弘光中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等比數(shù)列{an}的公比為q,若成等差數(shù)列,則q的值為(
)A.
B.
C.或
D.1或2參考答案:2.(4分)如圖所示為一個(gè)平面四邊形ABCD的直觀圖,A′D′∥B′C′,且A′D′=B′C′,則它的實(shí)際形狀() A. 平行四邊形 B. 梯形 C. 菱形 D. 矩形參考答案:D考點(diǎn): 平面圖形的直觀圖.專題: 計(jì)算題;空間位置關(guān)系與距離.分析: 由直觀圖可知,AB,CD兩條邊與橫軸平行且相等,邊BC與縱軸平行,得到AB與BC兩條相鄰的邊之間是垂直關(guān)系,得到平面圖形是一個(gè)矩形.解答: 解:根據(jù)直觀圖可知,AB,CD兩條邊與橫軸平行且相等,故四邊形ABCD為平行四邊形,邊BC與縱軸平行,∴AB⊥BC,∴平面圖形ABCD是一個(gè)矩形,故選:D.點(diǎn)評(píng): 本題考查平面圖形的直觀圖,考查有直觀圖得到平面圖形,考查畫直觀圖要注意到兩條坐標(biāo)軸之間的關(guān)系,本題是一個(gè)基礎(chǔ)題.3.幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為
()A. B.
C.
D.參考答案:C4.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為(
)A. B.C. D.參考答案:B【分析】函數(shù)向左平移個(gè)單位變?yōu)?,化?jiǎn)得,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍有,整理可得。【詳解】由題得,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍后函數(shù)為,故選B?!军c(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移和伸長(zhǎng)變換,屬于基礎(chǔ)題。5.(5分)一個(gè)幾何體的三視圖尺寸如圖,則該幾何體的表面積為() A. 4+8 B. 20 C. 4+4 D. 12參考答案:D考點(diǎn): 由三視圖求面積、體積.專題: 計(jì)算題;空間位置關(guān)系與距離.分析: 三視圖復(fù)原的幾何體是正四棱錐,根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù),求出幾何體的表面積.解答: 三視圖復(fù)原的幾何體是正四棱錐,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,斜高為2,所以正四棱錐的表面積為:S底+S側(cè)=2×2+4×=12,故選:D.點(diǎn)評(píng): 本題考查由三視圖求幾何體的面積、體積,考查對(duì)三視圖的理解與應(yīng)用,本題解題的關(guān)鍵是用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實(shí)物圖的數(shù)據(jù),再根據(jù)相關(guān)的公式求表面積與體積,三視圖的投影規(guī)則是:“主視、俯視長(zhǎng)對(duì)正;主視、左視高平齊,左視、俯視寬相等”,本題是一個(gè)基礎(chǔ)題.6.已知,,,則三者的大小關(guān)系是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C略7.使得函數(shù)有零點(diǎn)的一個(gè)區(qū)間是
(
)
A
(0,1)
B
(1,2)
C
(2,3)
D
(3,4)參考答案:C8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,則關(guān)于的不等式的解集為(
)A.
B.
C.
D.隨的值而變化參考答案:C略9.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N,映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n,則在映射f下,象20的原象是
(
)
A.2
B.3
C.4
D.5參考答案:C10.的圖象
(
)
A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B.關(guān)于直線y=x對(duì)稱
C.關(guān)于x軸對(duì)稱
D.關(guān)于y軸對(duì)稱參考答案:D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過(guò)△ABC所在平面α外一點(diǎn),作PO⊥α,垂足為O,連接PA,PB,PC.若PA=PB=PC,則點(diǎn)O是△ABC的
心.參考答案:外考點(diǎn):三角形五心.專題:證明題.分析:點(diǎn)P為△ABC所在平面外一點(diǎn),PO⊥α,垂足為O,若PA=PB=PC,可證得△POA≌△POB≌△POC,從而證得OA=OB=OC,符合這一性質(zhì)的點(diǎn)O是△ABC外心.解答: 證明:點(diǎn)P為△ABC所在平面外一點(diǎn),PO⊥α,垂足為O,若PA=PB=PC,故△POA,△POB,△POC都是直角三角形∵PO是公共邊,PA=PB=PC∴△POA≌△POB≌△POC∴OA=OB=OC故O是△ABC外心故答案為:外.點(diǎn)評(píng):本題考查三角形五心,求解本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題設(shè)條件得出PA,PB,PC在底面上的射影相等,以及熟練掌握三角形個(gè)心的定義,本題是一個(gè)判斷形題,是對(duì)基本概念的考查題.12.已知,則=.參考答案:﹣7【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切函數(shù).【專題】三角函數(shù)的求值.【分析】利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可得到tanα,再利用兩角和的正切公式即可得出.【解答】解:∵,∴,∴,故=,∴.故答案為﹣7.【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系、兩角和的正切公式是解題的關(guān)鍵.13.已知A船在燈塔C東偏北10°處,且A到C的距離為2km,B船在燈塔C北偏西40°,A、B兩船的距離為3km,則B到C的距離為______km.參考答案:【分析】直接利用余弦定理列方程求解即可.【詳解】如圖,由條件知,,由余弦定理得,即,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的實(shí)際應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,則它的前100項(xiàng)之和為.參考答案:100【考點(diǎn)】8E:數(shù)列的求和.【分析】由an=(﹣1)n(2n﹣1),可得a2k﹣1+a2k=(4k+1)﹣(4k﹣1)=2.利用“分組求和”即可得出.【解答】解:∵an=(﹣1)n(2n﹣1),∴a2k﹣1+a2k=(4k+1)(4n﹣1)=2.∴S100=(2﹣1)+(﹣4+1)+…+(﹣200+1)=2×50=100.故答案為:100.15.若直線x﹣y=2被圓(x﹣a)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則實(shí)數(shù)a的值為.參考答案:0或4【考點(diǎn)】J8:直線與圓相交的性質(zhì).【分析】由已知得圓心(a,0)到直線x﹣y=2的距離d==,由此利用點(diǎn)到直線的距離公式能求出實(shí)數(shù)a的值.【解答】解:∵直線x﹣y=2被圓(x﹣a)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,∴圓心(a,0)到直線x﹣y=2的距離d==,∴,解得a=0或a=4,故答案為:0或4.16.已知是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則_______________.參考答案:略17.設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,給出下列命題:(1)若,,,則;(2)若,,,則;(3)若,,,則;(4)若,,,則.上面四個(gè)命題中,正確的命題序號(hào)為
▲
(請(qǐng)寫出所有正確命題的序號(hào))參考答案:(2)(4)三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(10分)(2015秋?合肥校級(jí)月考)已知關(guān)于x的方程:x2+2(a﹣1)x+2a+6=0.(Ⅰ)若該方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(Ⅱ)若該方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)根都大于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2(a﹣1)x+2a+6,x∈[﹣1,1],記此函數(shù)的最大值為M(a),最小值為N(a),求M(a),N(a)的解析式.參考答案:【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】(Ⅰ)方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,從而判別式△>0,這樣便可得出a<﹣1,或a>5,即得出了實(shí)數(shù)a的取值范圍;(Ⅱ)該方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)根都大于1,從而判別式△>0,由(Ⅰ)知a<﹣1,或a>5,并且小根滿足大于1,即,解出該不等式,再根據(jù)a還需滿足a<﹣1,或a>5即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍;(Ⅲ)先求f(x)的對(duì)稱軸,x=1﹣a,討論1﹣a和區(qū)間[﹣1,1]的關(guān)系:分1﹣a≤﹣1,﹣1<1﹣a≤0,0<1﹣a<1,和1﹣a≥1四種情況,在每種情況里,根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性或取得頂點(diǎn)情況及端點(diǎn)值的比較,便可得出f(x)在[﹣1,1]上的最大值,和最小值,最后便可寫出M(a),N(a).【解答】解:(Ⅰ)該方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根;∴△=4(a﹣1)2﹣4(2a+6)>0;解得a<﹣1,或a>5;(Ⅱ)該方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,根據(jù)(Ⅰ)便知,a<﹣1,或a>5;且這兩個(gè)根都大于1;∴;即;∴;∴;解得;∴;∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(,﹣1);(Ⅲ)f(x)的對(duì)稱軸為x=1﹣a;∴①1﹣a≤﹣1,即a≥2時(shí),f(x)在[﹣1,1]上單調(diào)遞增;∴M(a)=f(1)=4a+5,N(a)=f(﹣1)=9;②﹣1<1﹣a≤0,即1≤a<2時(shí),M(a)=f(1)=4a+5,N(a)=f(1﹣a)=﹣a2+4a+5;③0<1﹣a<1,即0<a<1時(shí),M(a)=f(﹣1)=9,N(a)=f(1﹣a)=﹣a2+4a+5;④1﹣a≥1,即a≤0時(shí),f(x)在[﹣1,1]上單調(diào)遞減;∴M(a)=f(﹣1)=9,N(a)=f(1)=4a+5;∴綜上得,,.【點(diǎn)評(píng)】考查一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根時(shí)判別式△的取值情況,一元二次方程的求根公式,二次函數(shù)的對(duì)稱軸,以及根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性或取得頂點(diǎn)情況,及對(duì)端點(diǎn)值的比較,從而得出函數(shù)最值的方法.19.(本小題滿分12分)計(jì)算求值:(1)已知,求的值(2)計(jì)算:參考答案:(1);(2)52。20.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,E為B1D1的中點(diǎn).(1)求證:直線AC⊥平面B1BDD1;(2)求證:DE∥平面ACB1.參考答案:(1)證明:在正方體中,平面,平面,
…………2分在正方形中,
…………4分又平面,平面,直線平面
…………7分(2)證明:設(shè)連結(jié)在正方體中,所以四邊形是平行四邊形.則有
…………9分分別為為的中點(diǎn),四邊形是平行四邊形.
…………11分又平面,平面,平面.
…………14分21.已知x為實(shí)數(shù),用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù).(1)若函數(shù),求的值;(2)若函數(shù),求f(x)的值域;(3)若存在且,使得,則稱函數(shù)f(x)是函數(shù),若函數(shù)是函數(shù),求a的取值范圍.參考答案:(1)1,2;(2){0,1};(3)且且.【分析】(1)根據(jù)取整函數(shù)的定義直接計(jì)算;(2)考慮與之間的大小關(guān)系,從而得到的值域;(3)對(duì)進(jìn)行分類討論:,利用單調(diào)性證明在時(shí)不成立,當(dāng)時(shí),再對(duì)分類討論:,由此求解出的取值范圍.【詳解】(1)f(1.2)=1,f(-1.2)=-2;(2)因?yàn)閇]=[]或[]=[]+1所以若函數(shù)的值域?yàn)閧0,1}(3)當(dāng)函數(shù)f(x)=x+是Ω函數(shù)時(shí),若a=0,則f(x)=x顯然不是Ω函數(shù),矛盾.若a<0,則一個(gè)增函數(shù),所以f(x)在(﹣∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)不存在m<0,使得f(m)=f([m]),同理不存在m>0,使得f(m)=f([m]),又注意到m[m]≥0,即不會(huì)出現(xiàn)[m]<0<m的情形,所以此時(shí)f(x)=x+不是Ω函數(shù).當(dāng)a>0時(shí),設(shè)f(m)=f([m]),所以m+=[m]+,所以有a=m[m],其中[m]≠0,當(dāng)m>0時(shí),因?yàn)閇m]<m<[m]+1,所以[m]2<m[m]<([m]+1)[m],所以[m]2<a<([m]+1)[m],當(dāng)m<0時(shí),[m]<0,因?yàn)閇m]<m<[m]+1,所以[m]2>m[m]>([m]+1)[m],所以[m]2>a>([m]+1)[m],記k=[m],綜上,我們可以得到:a>0且?k∈N?,a≠k2且a≠k(k+1).【點(diǎn)睛】本題考查新定義背景下的取整函數(shù)
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