（人教A版2019必修第二冊(cè)）數(shù)學(xué)6.1平面向量的概念單元教學(xué)設(shè)計(jì)

6.1平面向量的概念(單元教學(xué)設(shè)計(jì))

一、【單元目標(biāo)】

通過(guò)對(duì)力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景，能理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等

的含義.掌握平面向量的幾何表示，促進(jìn)思維發(fā)展.

(1)構(gòu)造四個(gè)情境，回顧物理知識(shí)，由具體到抽象，讓學(xué)生通過(guò)類(lèi)比歸納總結(jié)出平面向量的兩要素.

從具體到抽象，特殊到一般，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生的類(lèi)比推理素養(yǎng)；

(2)從學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，探究向量的表示，讓學(xué)生充分了解向量的表示，更好的理解向量的概

念，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；

(3)根據(jù)所學(xué)新舊知識(shí)，讓學(xué)生體驗(yàn)、探究、發(fā)現(xiàn)平面向量之間的關(guān)系；

(4)由特殊情況引入，通過(guò)講解與師生互動(dòng)的方式，猜測(cè)推理兩個(gè)平面向量相等的充要條件.

二、【單元知識(shí)結(jié)構(gòu)框架】

1.有向線(xiàn)段

平面向量的幾何表示2.零向量與單位向量

3.平面向量的兩種表示

實(shí)際背景平面向量的概念

1.平行向量

相等向量與共線(xiàn)向量2相等向量

3.共線(xiàn)向量

三、【學(xué)情分析】

1.認(rèn)知基礎(chǔ)

本節(jié)內(nèi)容是本章的基礎(chǔ)，也是學(xué)好平面向量的關(guān)鍵.在學(xué)習(xí)本節(jié)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了物理中矢量的概

念，對(duì)于大小和方向有一定的了解，且清楚平行與相等的一般含義，為介紹平面向量的概念，向量相等，

向量共線(xiàn)奠定了基礎(chǔ).

2.認(rèn)知障礙

一方面，學(xué)生對(duì)于知識(shí)的把握是零碎、分散的.對(duì)向量概念是不了解的，需要在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下探究

體會(huì)向量的兩要素：另一方面，學(xué)生相等的問(wèn)題常常會(huì)默認(rèn)為是數(shù)量上的相等，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.

四、【教學(xué)設(shè)計(jì)思路/過(guò)程】

課時(shí)安排：約1課時(shí)

教學(xué)重點(diǎn)：向量的概念，向量的幾何表示，相等向量和共線(xiàn)向量的概念

教學(xué)難點(diǎn)：向量的概念和共線(xiàn)向量的概念

教學(xué)方法/過(guò)程:

課前預(yù)習(xí)

位移與距離

引入新課

'T力的作用

向量的概念

平面向量的概念

課堂檢測(cè)

課后作業(yè)

五、【教學(xué)問(wèn)題診斷分析】

6.1.1向量的實(shí)際背景與概念

問(wèn)題1：今天老師想做個(gè)調(diào)查，你們每個(gè)人距離學(xué)校有多遠(yuǎn)？老師每天下班開(kāi)車(chē)28公里回到家，那請(qǐng)

大家猜猜我家住哪里？

【破解方法】通過(guò)學(xué)生熟悉的身邊環(huán)境，引發(fā)學(xué)生思考，只有大小，沒(méi)有方向的距離，并不能確定具

體的位置，從而引出物理意義上的位移是一個(gè)既有大小又有方向的量.

問(wèn)題2：那如何才能猜出老師住在哪里？如果給你一副深圳市區(qū)地圖，你能如何定位你家的具體位置

嗎？

【破解方法】在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會(huì)遇到很多量，其中一些量在取定單位后只用一個(gè)實(shí)數(shù)就可以表示

出來(lái)，如長(zhǎng)度、質(zhì)量、年齡等.還有一些量則不是，例如老師家到學(xué)校的位移，老師每天開(kāi)車(chē)上班的車(chē)速，

書(shū)桌上水杯受到的支撐力等等.

問(wèn)題3：給出下列量:①面積；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨溫度;

⑩角度.用你所學(xué)的知識(shí)請(qǐng)你將它們分成兩類(lèi)，并指出它們有什么不同.

【破解方法】通過(guò)物理量中的矢量和標(biāo)量的對(duì)比，凸顯向量的方向和大小這兩大要素.

【教學(xué)過(guò)程】引導(dǎo)學(xué)生回顧己學(xué)過(guò)的數(shù)的概念，從“一支筆”、“一棵樹(shù)”、“一本書(shū)”……中抽象出只有大

小的數(shù)量“1”.類(lèi)似地，我們可以對(duì)力、位移、速度……這些既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象，形成一種新的

量.進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到把這種既有大小又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小沒(méi)有方向的量稱(chēng)為數(shù)

量.向量在物理中常稱(chēng)為矢量，數(shù)量在物理中常稱(chēng)為標(biāo)量.

6.1.2向量的幾何表示

問(wèn)題4：實(shí)數(shù)在數(shù)軸上是如何表示出來(lái)的？

【破解方法】類(lèi)比數(shù)量用實(shí)數(shù)表示，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，尋求平面向量的幾何表示.用“帶箭頭

的線(xiàn)段”表示浮力，是初中物理已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容，根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，將這一內(nèi)容再次進(jìn)行條理化、

系統(tǒng)化，讓舊知自然地遷移出新知；類(lèi)比實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義，尋求向量模的表示及幾何意義.

【教學(xué)過(guò)程】在學(xué)生回答問(wèn)題4之后追問(wèn)：數(shù)量可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，那么向量呢？我們能不能找

到一種幾何圖形來(lái)表示平面向量呢？引導(dǎo)學(xué)生回顧物理學(xué)科中力和位移的表示方式，回顧實(shí)數(shù)中絕對(duì)值符

號(hào)的使用，讓學(xué)生探究平面向量的凡何表示和字母表示，探究向量的大小的表示方式，即向量的模的概念.

通常，在線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)中，規(guī)定一個(gè)順序，假設(shè)A為起點(diǎn)，8為終點(diǎn)，我們就說(shuō)線(xiàn)段AB具有方向，

具有方向的線(xiàn)段叫做有向線(xiàn)段.通常在有向線(xiàn)段的終點(diǎn)處畫(huà)上箭頭表示它的方向.以A為起點(diǎn)、8為終點(diǎn)的有

向線(xiàn)段記作AB，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度也叫做有向線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度，記作|.

向量也可以用字母Q、b、c……表示

問(wèn)題5：在數(shù)軸上，哪些實(shí)數(shù)比較特殊？那在你畫(huà)的有向線(xiàn)段中，哪些有向線(xiàn)段比較特殊呢？

【破解方法】引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比實(shí)數(shù)集，挖掘向量集中的特殊元素.通過(guò)0、1這兩個(gè)特殊實(shí)數(shù)類(lèi)比出零向量

和單位向量的概念.

【教學(xué)過(guò)程】在學(xué)生找出0、1這兩個(gè)特殊實(shí)數(shù)之后，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比發(fā)現(xiàn)向量集合中兩個(gè)特殊的向量,

一個(gè)是長(zhǎng)度為零的向量，叫做零向量.一個(gè)是長(zhǎng)度為1個(gè)單位的向量，叫做單位向量.明確向量是既有大小又

有方向的量.研究向量需要將代數(shù)形式和幾何形式相結(jié)合.

6.1.3相等向量與共線(xiàn)向量||..........

AB

--。~~r

問(wèn)題6：如圖，分別指出方格紙（由邊長(zhǎng)為1的正方形格拼成）上向量A3、

CD——0------------------

CD、Eb的方向和大小，并說(shuō)明這三個(gè)向量的方向和大小的關(guān)系.

【破解方法】通過(guò)探索我們發(fā)現(xiàn)：向量A3與CD具有大小相等方向相反

的特征，從而總結(jié)得出長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.A3與方向相同，線(xiàn)段所在的直線(xiàn)相

互平行，得出平行向量的概念：方向相同或相反的向量.記作AB規(guī)定：零向量與任意向量平行.

a、仄c是一組平行向量，任作一條與a所在直線(xiàn)平行的直線(xiàn)，，在I上任取一點(diǎn)0,在I上分別作出O4=a,OB

=b,OC=c,這組平行向量可以平移到一條直線(xiàn)上，因此，平行向量也叫共線(xiàn)向量.

問(wèn)題7：下列說(shuō)法中正確的是

①非零向量。與非零向量入共線(xiàn)，向量b與非零向量c共線(xiàn)，則向量。與向量c共線(xiàn)；

②任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；

③向量a與〃不共線(xiàn)，則a與〃所在直線(xiàn)的夾角為銳角：

④零向量模為0,沒(méi)有方向；

⑤始點(diǎn)相同的兩個(gè)非零向量不平行；

⑥兩個(gè)向量相等，它們的長(zhǎng)度就相等；

⑦若非零向量AB與CD是共線(xiàn)向量，則A、B、C、D四點(diǎn)共線(xiàn).

【答案】①⑥

【解析】①向量共線(xiàn)即方向相同或相反，故非零向量間的共線(xiàn)關(guān)系是可以傳遞的；

②相等向量是共線(xiàn)的，故四點(diǎn)可能在同一直線(xiàn)上；

③向量不共線(xiàn)，僅指其所在直線(xiàn)不平行或不重合，夾角可能是直角或銳角；

④零向量不是沒(méi)有方向，它的方向是任意的；

⑤向量是否共線(xiàn)與始點(diǎn)位置無(wú)關(guān)；

⑥兩個(gè)向量相等，它們的長(zhǎng)度相等，方向相同；

⑦共線(xiàn)向量即平行向量，非零向量與CB是共線(xiàn)向量，可能A、B、C、D四點(diǎn)共線(xiàn)，也可能AB、

CD平行.

【破解方法】從向量的定義可以看出，向量既有代數(shù)特征又有幾何特征，因此借助于向量可將代數(shù)問(wèn)

題與兒何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化.零向量是一特殊向量，它似乎很不起眼，但又處處存在.因此，正確理解和處理零向

量與非零向量之間的關(guān)系值得我們重視.對(duì)于平行向量或共線(xiàn)向量，它們可以在同一直線(xiàn)上，也可以所在直

線(xiàn)互相平行，方向可以相同也可以相反；相等向量則必須大小相等、方向相同.

問(wèn)題8：如圖，。是正六邊形A8CDEF的中心，分別寫(xiě)出圖中與向量殖，彷，沈相等的向量，與

向量力共線(xiàn)的向量;

B

Q

DE

【解析】與殖相等的向量有N，前，肆；

與防相等的向量有成，劭，成；

與求相等的向量有9,Fb,Eb.

與向量動(dòng)共線(xiàn)的向量有9個(gè)：DX,Ep,Fk,Ab,0X,0b,Db,Bt,Ch.

【破解方法】本題考查了共線(xiàn)向量與相等向量的判斷；方法：

1、如果兩個(gè)向量所在的直線(xiàn)平行或重合，那么這兩個(gè)向量是共線(xiàn)向量；

2、共線(xiàn)向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線(xiàn)向量；

3、非零向量的共線(xiàn)具有傳遞性，即向量a,b,c為非零向量，若?！?。，h//c,則可推出?！╟；

六、【教學(xué)成果自我檢測(cè)】

1.課前預(yù)習(xí)

設(shè)計(jì)意圖：落實(shí)與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.

1、判斷下列命題的真假（真命題用：4表示；假命題用：x表示）

（1）如果那么AB>C。；（）

（2）若a,b都是單位向量，則。=人；（）

（3）若a=",且。與Z?的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；（）

（4）零向量的大小為0,沒(méi)有方向；（）

【答案】（1）x；（2）x；（3）{（4）x；

【解析】對(duì)于（1）；向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小，所以，（1）是假命題；

對(duì)于（2）：。與b都是單位向量，則|a|=|6|=l,但a與石方向可能不同；所以，（2）是假命題；

對(duì)于（3）；是真命題；

對(duì)于（4）；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的：所以，（4）是假命題：

2、下列判斷正確的是（）

A.長(zhǎng)度為0的向量都是零向量B.零向量是最小的向量

C.單位向量都相等D.單位向量都是同方向向量

【答案】A

【解析】由零向量的定義知A正確；由于向量是不能比較大小的，故B不正確；顯然由于不注意方向所以

C錯(cuò)因，D不正確；故選A；

3、下列說(shuō)法正確的是（）

A.若則B.若|〃|=|）|,則。=Z?

C?若Q=人，則。〃Z?D.則〃，〃不是共線(xiàn)向量

【答案】C；

【解析】向量不能比較大小，所以A不正確；。=人需滿(mǎn)足兩個(gè)條件：a,〃同向且|=誨所以B不

正確；a,b是共線(xiàn)向量只需方向相同或相反，所以D不正確，故選C：

4、下列命題中正確的有（）

A.溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量B.向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)

C.向量a與人不共線(xiàn)，則。與b都是非零向量D.若|a|>|b|,貝ija>6

【答案】C；

【解析】溫度沒(méi)有方向，所以不是向量，故A錯(cuò)；向量的模也可以為0,故B錯(cuò)；向量不可以比較大小，

故D錯(cuò)；若￡,心中有一個(gè)為零向量，則3與方必共線(xiàn)，故若3與各不共線(xiàn)，則應(yīng)均為非零向量，故C對(duì)；

5、己知在平面內(nèi)點(diǎn)O固定，且10Al=2,則A點(diǎn)構(gòu)成的圖形是（）

A.一個(gè)點(diǎn)B.一條直線(xiàn)C.一個(gè)圓D.不能確定

【答案】C；

【解析】由于|次|=2,所以A點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以。為圓心，半徑為2的圓；故選C；

6、在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點(diǎn)。為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，且NOCB=30。，|屈|=2,則|祀尸

【答案】1:

【解析】連接AC,由|灰1=|彷|得/A8C=NOCB=30。，又NACB=90。，則|祀1=；|融|=京2=1（宜角三

角形