2022-2023學(xué)年陜西省榆林市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年陜西省榆林市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若復(fù)數(shù)z=a2—l+（a+l）i是純虛數(shù)，則實數(shù)a=（）

A.1B.-1C.±1D.0

2.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42,

摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是（）

A.0.42B,0.28C.0.3D,0.7

3.若向量N表示“向東航行Mm”，向量石表示“向北航行，，則向量五+方表示（）

A.向東北方向航行2/CTHB.向北偏東30。方向航行2km

C.向正北方向航行（1D.向正東方向航行（1+，石）Mn

4.從某班57名同學(xué)中選出4人參加戶外活動，利用隨機數(shù)表法抽取樣本時，先將57名同學(xué)按

01,02,57進行編號，然后從隨機數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開始往右依次選取兩

個數(shù)字，則選出的第4個同學(xué)的編號為（）

03474373863696473661469863716297

74246292428114572042533237321676

（注：表中的數(shù)據(jù)為隨機數(shù)表第1行和第2行）

A.36B.42C.46D.47

5.如圖，已知水平放置的AABC按斜二測畫法得到的直觀圖為仆C'/y

A'B'C,若=AC'=3,則AABC的面積為（）/

A.3（〃）//

D*

2

6.已知0=弓）3.1,6=3.12,c=Igg，則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.a<b<c

7.盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解.例如，地

震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為=4.8+1.5M,據(jù)此，地

震震級每提高1級，釋放出的能量是提高前的（參考數(shù)據(jù)：?3.16）（）

A.9.46倍B.31.60倍C.36.40倍D.47.40倍

8.我國北宋時期科技史上的杰作啰溪筆淡）收錄了計算扇形弧長的近似計算公式：I蠡=

2

弦+文竺，公式中“弦”是指扇形中圓弧所對弦的長，“矢”是指圓弧所在圓的半徑與圓心

徑

到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓的直徑.如圖，已知扇形的面積為與，扇形所在圓。的

半徑為2,利用上述公式，計算該扇形弧長的近似值為（）

A

A.「+2B.C.D.2<^+1

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，力表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是3”，B表示事件

“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，。表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”，。表示事件“至少出現(xiàn)

一個奇數(shù)點”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.2與B互斥B.力與C互斥C.8與C獨立D.B與。對立

10.以下說法正確的有（）

A."x=0且y=0”是“xy=0”的充要條件

B.若工<<0,則a>b

ab

C.命題使得/+久+1N0”的否定是FER,使得/+%+1<0”

D.當(dāng)％e（0,g）時，s譏％+―—的最小值為21^

Lsinx

11.已知TH,九，Z為三條不同的直線，仇，/?為兩個不同的平面，則下列命題中錯誤的有（）

A.a〃S，THU/,幾u￡=m//nB.I上0,a1/?=l//a

C.m1a,mLn=>n//aD.仇〃S，I1aI1

12.已知半徑為R的球與圓臺的上下底面和側(cè)面都相切.若圓臺上下底面半徑分別為q和萬，

母線長為球的表面積與體積分別為S1和匕，圓臺的表面積與體積分別為S2（參考公式：S2=

1

7T（斤+母+rrl+廠2。）和%（，2=§兀九（爐+廠1廠2+符），其中九是高）.則下列說法正確的是（）

D.瓢最大值送

A.l=rr+r2B.R=Vrrr2C.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點為（2,-1）,則5+4=.

14.我國西部一個地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內(nèi)的概率如下表所示

年降水量（nun）[100,150)[150,200)[200,250)[250,300]

概率0.210.160.130.12

則年降水量在［200,300］（nmi）范圍內(nèi)的概率是

15.如圖，正方體48CD-44的/中，E,F分別是面A/iGDi和

44道1。的中心，貝UEF和CD所成的角是

16.如圖，直徑4B=2的半圓，D為圓心，點C在半圓弧上，AADC=60°,線段4C上有動點

P,則麗?前的最小值為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

已知胃=（4,3）,b=（-1,2）.

（1）求方與3的夾角的余弦值；

（2）若0—商）1（2五+1），求實數(shù)4的值.

18.(本小題12.0分)

在AaBC中，a、b、c分別是內(nèi)角4、B、C的對邊，sin2X+sinAsinC+sin2C=sin2B.

(1)求角B的大??；

(2)若a=5,b=7,求sinC.

19.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/⑴=Asin^x+0)(4>0,3>0,切<力的圖象過點P(芻0),且圖象上與點P最

近的一個最低點是Q(Y，-2).

(1)求/'(x)的解析式；

(2)若/'(a+專)=|,且a為第三象限的角，求sina+cosa的值.

20.(本小題12.0分)

某中學(xué)高一年級舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，從中隨機抽取了一批學(xué)生的成績；經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生

的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)的

分組作出頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計本次競賽成績的第80百分位數(shù)；

(2)若按照分層隨機抽樣從成績在[50,60),[90,100)的兩組中抽取6人，再從這6人中隨機抽取

2人，求至少有1人的成績在[50,60)內(nèi)的概率.

已知函數(shù)/(%)=log2x,g(x)=/(I-x)+/(I+x).

(1)判斷函數(shù)g(x)的奇偶性并予以證明；

(2)若存在x使得不等式g(x)>m-1成立，求實數(shù)zn的最大值.

22.(本小題12.0分)

如圖，在直三棱柱ABC—a/iG中，AB=2C=2,ABLAC,AA1=3,點M,N分別在棱

1-1

44」，且Ci"="iC,4iN4&4CN與AM交于點0.

(1)求證：CN1平面ABM；

(2)求三棱錐4-ABM的體積；

(3)求直線BC與平面ABM所成角的大小.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：z=a2-l+(a+l)i是純虛數(shù)，

則卜2一1=°,解得a=l.

(a+140

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解.

本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：?.?口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，

在口袋中摸球，摸到紅球，摸到黑球，摸到白球這三個事件是互斥的

摸出紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,

???摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對立事件，

???摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3,

故選：C.

在口袋中摸球，摸到紅球，摸到黑球，摸到白球這三個事件是互斥的，摸出紅球的概率是0.42,

摸出白球的概率是0.28,根據(jù)互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1-0.42-0.28,得到結(jié)

果.

本題考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件與對立事件之間的關(guān)系，本題是一個簡單的數(shù)字運

算問題，只要細心做，這是一個一定會得分的題目.

3.【答案】B

【解析】解：如圖,

易知tana=六=?，所以a=30。.故反+3的方向是北偏東30。.

又|3+6|=2km-

故選：B.

根據(jù)向量的方向，畫出圖形，利用向量的加法運算，計算結(jié)果.

本題主要考查向量的三角形法則，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，選出的第1個同學(xué)的編號為47,第2個同學(xué)的編號為43,第3個同學(xué)的編

號為36,

第4個同學(xué)的編號為46.

故選：C.

根據(jù)題意，由隨機數(shù)表分析數(shù)據(jù)，找到選出的第4個同學(xué)的編號，即可得答案.

本題考查簡單隨機抽樣，涉及隨機數(shù)表的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，直觀圖△AB'C'中，AC'A'B'=45°,A'B'=A'C'=3,

rni|101c3<7

r5X3X5x—=—T—?

ZZZO

則小ABC的面積S=2cs=|.

故選：C.

根據(jù)題意，求出直觀圖△AB'C'的面積，由原圖與直觀圖的面積關(guān)系分析可得答案.

本題考查斜二測畫法，涉及平面圖形的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出a,b,c的取值范圍，從而可得結(jié)果.

【解答】

3.111

?6(0,1)，b=3,12>1-c=1g-<0,

c<a<b,

故選：A.

7.【答案】B

【解析】解：記地震震級提高至里氏震級M+1,釋放后的能量為%,

由題意可知，lgE]一IgE=4.8+1.5(M+1)-(4.8+1.5M)=1.5,

即]g今=1,5,所以卷=1015=lOV^Ox31.60.

故選：B.

記地震震級提高至里氏震級M+1,釋放后的能量為由題意可推得仞邑-國石=1.5,根據(jù)對

數(shù)的運算，結(jié)合指對互化以及指數(shù)累的運算，即可得出答案.

本題考查了函數(shù)模型的實際應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：設(shè)扇形的圓心角為a,

由扇形面積公式可知卜22xa=竽，所以a=：,

如圖，取筋的中點C,連接0C,交AB于點D,

則OC14B.易知NO/!。=7，貝I。。=2s譏g=1,

oo

所以CD=2-1=1,AD=2cosa-V-3,AB=2AD=2V_3>

27

所以扇形弧長的近似值為/門=弦+江=48+也=生』.

AB4T徑20A2

故選：C.

根據(jù)扇形的面積公式可得圓心角大小，進而根據(jù)弧長的近似計算公式即可求解.

本題主要考查了扇形的面積公式，考查了扇形弧長的近似計算公式，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BC

【解析】解：對于選項4事件4與事件B都包含事件(1,2),所以不互斥，錯誤；

對于選項2,很明顯事件a與事件c互斥，正確；

對于選項C,事件8的發(fā)生與事件。的發(fā)生沒有關(guān)系，所以互不影響，相互獨立，正確；

對于選項。，B表示事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，。表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”，很

明顯不是對立事件，錯誤.

故選：BC.

根據(jù)互斥事件和對立事件的定義，即可判斷正誤.

本題考查互斥事件和對立事件的概念，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：對于4當(dāng)％=。且y=。時，有工y=0；當(dāng)xy=。時，x=0或y=0,得不出無=。且

y=0.所以，"x=0且y=0"是"xy=0"的充分不必要條件，故A錯誤；

對于B,由工<〈<0可知ab>0,由不等式的性質(zhì)，可得a>6成立，故8正確；

對于C,由存在量詞命題的否定可知命題“mxeR,使得+久+120”的否定是“VxeR,使

得/+X+1<0”,故C正確；

對于D,令t=s出x€(0,1),因為t+|在(0,1)上單調(diào)遞減，所以t+：>3,故。錯誤.

故選：BC.

分別判斷充分條件和必要條件是否成立，即可判斷4項；根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可判斷B項；寫出

存在量詞命題的否定，即可判斷C項；換元t=sExe(0,1),根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求出

t+->3,即可判斷。項.

本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，考查了命題的否定，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于

基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABC

【解析】解：對于2：若a〃￡,mea,nu0,則ni與n可能平行，也可能異面，故A錯誤;

對于B：若alp,則〃/a或Zua,故8錯誤；

對于C：若m1a,mln,貝!Jn〃a或nua,故C錯誤；

對于D：a〃￡,I1a,易得I10,故。正確.

故選：ABC.

根據(jù)線、面位置關(guān)系逐一判斷得到相應(yīng)的結(jié)果.

本題考查空間中線、面位置關(guān)系的判斷，屬基礎(chǔ)題.

12.【答案】ABC

【解析】解：對于2選項，取圓臺的軸截面力BCD,

則四邊形4BCD為等腰梯形，

圓臺的外接球球心為。，則球心。在截面A8CD內(nèi)，

在截面ABCD內(nèi)，設(shè)圓。切梯形4BCD的邊4B、BC、

CD、D4分別于點E、F、G、H,

由切線長定理可得力E=4",DG=DH,故4D=

DH+AHDG+AE,§PZ=r1+r2,4對；

對于8選項，連接。。、0A,因為=AO=A0,OE=OH,

所以，△ZOE三△4。"，所以N04E=N04”,^AOAH=~^BAD,

■\

同理可得N4D。=.ADC,因為2B//CD,貝!JNBAD+N4DC=180。，

所以L+^ADO=j(ABAD+N4DC)=jx180°=90°,故N4。。=90°,

由圓的切線的性質(zhì)可知，OH1AD,所以乙DOH=90。一/。。/7=NCMD,

由tan/。。"=tanzOTlD,可得黑=空

OHAH

即。=即7?2=勺上，故/?=^^7^,B對；

對于C選項，/=京"rM2+珍一7TX2R（r彳+，優(yōu)2+棧）=丑+「。2+母,

V1~凱R3—4/—2”2，

Si=以丁彳+"+丁1/+丁2/）=7什日+（廠1+72）2=丁什日+丁1丁2,故%=K1,C對；

S2-4"/?2一姐吃一2廠1丁2'$2叱''

Si_2丁1丁2_2,2_2

對于。選項，因為心力「2，則理=而疥不=五HI<77豆豆G=百，D錯.

rrr

2l［r2x

故選：ABC.

作出圓臺的軸截面，利用切線長定理可判斷4選項；在截面2BCD內(nèi)，設(shè)圓。切梯形力BCD的邊4B、

BC、CD、DA分別于點E、F、G、H,推導(dǎo)出tanND。"=tanNOAD,可判斷B選項；利用圓臺、

球體的表面積、體積公式可判斷C選項；利用基本不等式可判斷。選項.

本題考查了臺體和球體的表面積和體積公式的應(yīng)用，屬難題.

13.［答案】2。

【解析】解：因為平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點為（2,-1）,

所以z=2—i=>z=2+i,

|z+i|=|2+2i|=V4+4=2c.

故答案為：2V"攵.

先求出z,再結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查共輾復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】0.25

【解析】解：觀察圖表年降水量在［200,300］（小，6）范圍內(nèi)有兩部分

一部分在［200,250］,另一部分在［250,300］

年降水量在［200,300］（m,zn）范圍內(nèi)應(yīng)該是［200,250與［250,300］兩部分的概率和

所以年降水量在［200,300］（小，爪）范圍內(nèi)的概率=0.13+0.12=0.25

故答案為0.25

先根據(jù)頻率分布表觀察年降水量在［200,300］（小，6）范圍內(nèi)有幾種情形，然后將這幾種情形的概

率相交即可求出年降水量在［200,300］（小，6）范圍內(nèi)的概率.

本題主要考查了頻率分布表，以及等可能事件的概率問題，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】45°

【解析】解：設(shè)正方體48CD—481GD1的棱長為2,

以4為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，

C

則E(l,l,2),尸(1,0,1),C(2,2,0),D(2,0,0),

則前=(0,—CD=(0,-2,0),

設(shè)EF和CD所成的角是0,

舐函_v~2

則cos。=

\EF\-\CD\一~

：.e=45°,

即異面直線EF與CD所成的角為45。.

故答案為：45°

以4為坐標(biāo)原點建立空間坐標(biāo)系，分別求出EF和CD的方向向量，代入向量夾角公式，可得答案.

本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為向量

是解答的關(guān)鍵.

16.【答案】1

【解析】解：設(shè)布=2芯(0W4W1)，

則麗=DA+AP=DA+AAC=DA+A(DC-DA)=(1-A)+ADC，

vZXDC=60°,\DC\=\DA\=\\~BA\=1-則育?比=|/|?|尻|cos60。=

所以，DP-BA=[(1-A)DA+ADC]-2DA=2(1-A)DA+2ADA-DC

=2x(1—A)+24x—=2—AG[1,2].

因此，麗?瓦?的最小值為1.

故答案為：1.

設(shè)9=4萬(0W4W1)，可得出9=(1-4)瓦？+4方乙計算得出瓦T反=g,利用平面向量

數(shù)量積的運算性質(zhì)可得出麗.瓦?關(guān)于2的表達式，結(jié)合4的取值范圍可求得麗?瓦?的最小值.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)N?6=—4+6=2，|a|=V42+32=5，|b|=(―I)2+22-A/-5.

,一7、a-b22<3

COS<CL,b>=一————

|a||b|5<525

(2)a—A,b=(4+43—22),2a+b=(7,8)，

又(a—Ab')_L(2a+b)，，.(a—Ab')■(2a+b)=7(4+A')+8(3—22)=0，

解得2=y

【解析】⑴利用湍即可得出.

(2)(a-26)1(2a+K)，可得位一4石)?(2方+9)髭0,解得人

本題考查了向量數(shù)量積運算法則、向量夾角公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與

計算能力，屬于中檔題.

22222

18.【答案】解:(1)vsin>l+sinAsinC+sin2c=sinB,由正弦定理可知,a+ac+c=b9

??.COSB=次.2-相=界=T，??-56(0,71).

2ac2ac2J

(2)a-5,b=7,則由余弦定理知〃=a2+c2—2accosB,

即72=52+c2-2x5ccos等化簡得c2+5c-24=0,解得c=3或c=一8(舍去).

由正弦定理知肅=焉則s譏。=￥=歲=答?

【解析】(1)利用正弦定理結(jié)合余弦定理可求得COSB,再結(jié)合角B的取值范圍可求得角B的值;

(2)利用余弦定理可得出關(guān)于c的等式，解出c的值，再利用正弦定理可求得s譏C的值.

本題主要考查三角形中的幾何計算，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)?.?函數(shù)/(%)=h譏(3%+9)(4>0,3>0,依|<今的圖象過點尸七,0),

且圖象上與點P最近的一個最低點是Q(-?-2),

???4=2,J=f=亮+￡???3=2.

423126

再根據(jù)2"kEZ,求得(P=_2.?.f(x)=2sin(2x

(2)f(a+777)=I=Isinla,???sin2a=

12olo

???a為第三象限的角，??.sina+cosa——JQsina+cosa)2=—V1+sin2a=一2^.

v4

【解析】(1)由圖象的頂點坐標(biāo)求出4由周期求3,根據(jù)函數(shù)的零點求出0,可得函數(shù)的解析式.

(2)由題意，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式的，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號,

求得結(jié)果.

本題主要考查根據(jù)函數(shù)y=4s仇(3X+W)的部分圖象求函數(shù)的解析式，三角函數(shù)的求值問題，屬

于中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意得，10(0.005+0.030+0.035+a+0.010)=1,

所以a=0.020,

因為10x0.005=0.05,10x0.030=0.3,10x0.035=0.35,10x0.02=0.2,10x0.01=0.1,

所以成績在80(分)以下的頻率為0.05+0.3+0.35=0.7<0.8,

成績在90(分)以下的頻率為0.05+0.3+0.35+0.2=0.9>0.8,

所以第80百分位數(shù)p￡(80,90),即p=80+10x若/=85.

(2)因為［50,60),［90,100)的頻率之比為0.005：0.010=1：2,

所以從［50,60)中隨機抽取6X：=2人，從［90,100)中隨機抽取6X|=4,

從［50,60)中抽取的2人記為a,b,從［90,100)中抽取的4人記為1,2,3,4,

從這6人中隨機抽取2人的樣本空間為。={12,13,14,1a,lb,23,24,2a,2b,34,3a,3b,4a,4b,ab］,共

有15個樣本點，

設(shè)事件4表示“至少有1人的成績在［50,60)內(nèi)”，

則4={la,lb,2a,2b,3a,3b,4a,4b,ab}共有9個樣本點，

所以至少有1人在［50,60)內(nèi)的概率為2(4)=言="

【解析】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用、百分位數(shù)的定義以及古典概型概率公式的運用，屬

于基礎(chǔ)題.

(1)利用頻率之和為1,列式求a,由百分位數(shù)的定義求解第80百分位數(shù)即可；

(2)先求出從［5