專題11 幾何思想之等腰三角形性質(zhì)與判定綜合專練（解析版）-【考點培優(yōu)尖子生專用】2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊專題訓(xùn)練（滬教版）

編者小k君小注：本專輯專為2022年初中滬教版數(shù)學(xué)第二學(xué)期研發(fā)，供中等及以上學(xué)生使用。思路設(shè)計：重在培優(yōu)訓(xùn)練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識難度層層遞進，由中等到壓軸，基礎(chǔ)差的學(xué)生選做每種類型題的前4題；基礎(chǔ)中等的學(xué)生必做前4題、選做5-8題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題11幾何思想之等腰三角形性質(zhì)與判定綜合專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．如圖，在ABC中，BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，結(jié)論①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】先證明ACP≌MCP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP＝MP，判斷①；再證明ABQ≌NBQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CM＝AC＝5，BN＝AB＝6，結(jié)合圖形計算，判斷②；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判斷③；根據(jù)等腰三角形的判定判斷④即可．【詳解詳析】解：∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACP＝∠NCP，∵AM⊥CE，∴，在ACP和MCP中，，∴ACP≌MCP（ASA），∴AP＝MP，∠CMA＝∠CAM，①結(jié)論正確；∵ACP≌MCP，∴CM＝AC＝5，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABQ＝∠NBQ，∵AN⊥BD，∴，在ABQ和NBQ中，，∴ABQ≌NBQ（ASA），∴BN＝AB＝6，∠BNA＝∠BAN，∴BC＝BN+CM﹣MN＝5+6﹣2＝9，②結(jié)論正確；∵∠BAC＝110°，∴∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°，∵∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN，∴∠CMA+∠BNA﹣∠MAN＝110°，又∵在AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN，∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，∴∠MAN＝35°，③結(jié)論錯誤；④∵AB＝6，AC＝5，∴AB≠AC，∴∠ABC≠∠ACB，∵∠ABC＋2∠ANM＝180°，∠ACC＋2∠AMN＝180°，∴180°－2∠ANM≠180°－2∠AMN，∴∠AMN≠∠ANM，∴AM≠AN，④結(jié)論錯誤，∴正確的結(jié)論有①②，故選：C．【名師指路】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，也考查了等腰三角形的判定．2．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】當(dāng)AB為腰時，分別以點A、點B為圓心，AB長為半徑畫圓，觀察此時滿足條件的格點數(shù)；當(dāng)AB為底邊時，作線段AB的垂直平分線，觀察此時滿足條件的格點數(shù)，由此得到答案．【詳解詳析】解：如下圖：當(dāng)AB為腰時，分別以點A、點B為圓心，AB長為半徑畫圓，觀察可知滿足條件的格點共4個；當(dāng)AB為底邊時，作線段AB的垂直平分線，觀察可知滿足條件的格點共4個，所以C是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形的點數(shù)共8個．故選：C【名師指路】本題考查格點圖中尋找可與已知兩點構(gòu)成等腰三角形的點，熟練掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．3．如圖，ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的高線，E為AB邊上一點，EF⊥BC于點F，交CA的延長線于點G，已知EF＝2，EG＝3．則AD的長為（）

A．2.5 B．3.5 C． D．4【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)推出∠BAD=∠CAD，證明，得到∠G=∠GEA，推出AG=AE，過點A作AH⊥GE于E，求出EH即可得到答案．【詳解詳析】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴，∴∠G=∠CAD，∠GEA=∠BAD，∴∠G=∠GEA，∴AG=AE，過點A作AH⊥GE于E，則AD=FH，GH=EH=EG＝1.5，∴AD=EH+EF=1.5+2=3.5，故選：B．

【名師指路】此題考查等腰三角形三線合一的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．有兩塊相同的直角三角板如圖（１）放置（點A、B、D在同一直線上），其中，．現(xiàn)將繞直角頂點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，交于點H（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)為等腰三角形時，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）

A． B．或 C．或 D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，當(dāng)時，得到，可得，當(dāng)時，得到；【詳解詳析】∵，，∴，∵繞直角頂點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，當(dāng)時，則，∴，即；當(dāng)時，∴，∵，∴，∴，即；綜上所述：旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為或．故選C．【名師指路】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．5．如圖，等腰△ABC底邊BC的長為4cm，面積為12cm2，腰AB的垂直平分線EF交AC與點F，若D為BC邊上的中點，M為線段EF上一動點，則△BDM的周長最短為（）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解詳析】

如圖，連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=12，解得：AD=6（cm），∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，∴AD的長為BM+MD的最小值，∴△BDM的周長最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）．故選C．【名師指路】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．6．若等腰三角形的兩邊長分別為3cm和6cm，則這個三角形的周長是()A．12cm或15cm B．15cm C．12cm D．9cm【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系進行求解即可．【詳解詳析】解：由題意可知，等腰三角形的三條邊分別為3cm，3cm，6cm或3cm，6cm，6m，當(dāng)三邊分別為3cm，3cm，6cm時，3+3=6，不滿足三邊關(guān)系，舍去；當(dāng)三邊分別為3cm，6cm，6cm時，滿足三邊關(guān)系，則周長為3+6+6=15cm．故選：B．【名師指路】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形周長的計算，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點，交于點，下面說法正確的是（）①；②；③；④A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】①根據(jù)三角形的中線性質(zhì)、三角形的面積公式即可得；②先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、等量代換可得，再根據(jù)對頂角相等可得，由此即可得；③先根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、等量代換可得，再根據(jù)角平分線的定義即可得；④根據(jù)等腰三角形的判定即可得．【詳解詳析】是的AC邊上的中線，，與等底同高，，則說法①正確；CF是的角平分線，，，是高，，，由對頂角相等得：，，則說法②正確；，是高，，，又，即，，則結(jié)論③正確；根據(jù)已知條件不能推出，不能推出，則說法④錯誤；綜上，說法正確的是①②③，故選：D．【名師指路】本題考查了三角形的中線、直角三角形的兩銳角互余、角平分線的定義、等腰三角形的判定等知識點，熟練掌握三角形的中線、角平分線、高的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．有一種有趣的讀數(shù)法：如圖，在圖紙上確定縱軸與橫軸，從交點O處開始依次在兩軸上畫出單位相同的標(biāo)度，再作兩軸交角的角平分線OP，OP上的標(biāo)度與縱軸上的標(biāo)度在同一水平線上,拿一根直尺，使得它的兩端分別架在橫軸和縱軸上，且OA=a，OB=b，讀出直尺與OP的交點C的標(biāo)度就可以求出OC的長度．當(dāng)a=4，b=6時，讀得點C處的標(biāo)度為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】通過分別向橫軸和縱軸作輔助線得到等腰三角形，建立線段之間的對應(yīng)關(guān)系，同時利用平行線分線段成比例的推理，建立比例關(guān)系式即可求解．【詳解詳析】解：如圖所示，過C點分別向OA、OB作垂線，垂足分別為點D、點E，因為∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴∠BOC=∠AOC=45°，∴∠BOC=∠OCE=∠AOC=∠OCD=45°，∴OE=CE=CD=OD,設(shè)OE=CE=CD=OD=x,∴BE=6-x，∵CE∥OA，∴,∴，∴，∵OP上的標(biāo)度與縱軸上的標(biāo)度在同一水平線上,∴點C處的標(biāo)度等于CD的長，即為，故選：A．【名師指路】本題綜合考查了等腰三角形的判定、角平分線的定義和平行線分線段成比例定理的推論等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是正確理解題意與圖形，能在圖形中得到對應(yīng)等量關(guān)系，能正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形等，本題蘊含了數(shù)形結(jié)合等思想方法．二、填空題9．如果等腰三角形的一條高與一腰所成角是50°，那么這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】100°或40°或140°【思路指引】根據(jù)已知利用三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)進行分析求解，注意分情況進行討論．【詳解詳析】解：①∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠A=40°．②∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠BAC=50°+90°=140°．③∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=50°，∴∠BAC=2∠BAD=100°．故答案為：100°或40°或140°．【名師指路】此題主要考查三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)綜合運用．10．如圖，△ABC中，AB平分∠DAC，AB⊥BC，垂足為D，若∠ADC與∠ACB互補，BC＝5，則CD的長為_________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】10【思路指引】構(gòu)造，再證得，求得EB=BC,再通過等量代換、等角的補角相等求得∠E=∠CDE，則CE=2BC=10．【詳解詳析】解：延長AD.和CB交于點E.∵AB平分∠DAC∴∠EAB=∠CAB又∵∴∠ABE=∠ABC又∵AB=AB∴∴BC=EB=5，∠E=∠ACB，又∵∴∠ACB=∠CDE∴∠E=∠CDE∴.CD=CE又∵CE=2BC=10∴CD=10故答案為：10．【名師指路】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等角的補角相等，能根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找到角與角之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．11．如圖，AB，CD相交于點E，若ABC≌ADE，∠BAC＝28°，則∠B的度數(shù)是____．【標(biāo)準(zhǔn)答案】48°

【思路指引】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，AE＝AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠AEC＝∠ACE，求出∠AEC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可．【詳解詳析】∵△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，∴∠AEC＝∠ACE，∵∠BAC＝28°，∴，∴∠B＝∠D＝∠AEC﹣∠DAE＝76°﹣28°＝48°．故答案為：48°．【名師指路】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)；關(guān)鍵是全等三角形的性質(zhì)．12．用三根木棒首尾相連圍成一個等腰三角形，其中兩根木棒的長度分別為3cm和6cm，則第三根木棒長為_____cm．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】三角形的三邊不等關(guān)系為：任意兩邊之差＜第三邊＜任意兩邊之和，即可求解.【詳解詳析】解：組成等腰三角形的兩根木棒的長度分別為3cm和6cm，當(dāng)3cm為腰長時，3cm+3cm=6cm，不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；當(dāng)腰長為6cm時，能組成等腰三角形，所以，組成等腰三角形的第三根木棒長為6cm，故答案為：6.【名師指路】此題考查了等腰三角形的定義及三角形三邊關(guān)系，熟記三角形三邊關(guān)系式解題的關(guān)鍵．13．如圖，點I為△ABC角平分線交點，AB＝8，AC＝6，BC＝4，將∠ACB平移使其頂點C與I重合，則圖中陰影部分的周長為___．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】連接AI、BI，是角平分線的交點，所以AI是∠CAB的平分線，由平行的性質(zhì)和等角對等邊可得：AD=DI，同理BE=EI，所以圖中陰影部分的周長就是邊AB的長．【詳解詳析】連接，如圖，

點為△ABC角平分線交點，平分，，由平移得：同理可德的周長為陰影部分的周長為故答案為：【名師指路】本題考查了角平分線的定義，平移的性質(zhì)，等角對等邊，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．14．如圖所示，在中，，，點D在CA上，且，動點P從A點出發(fā)沿A→B→C的路線運動，運動到點C停止．在點P的運動過程中，使為等腰三角形的點P有______個．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】點在上時，存在三種情況使為等腰三角，點在上時，存在一種情況使為等腰三角形．【詳解詳析】解：①點在上時，當(dāng)時，∵，，∵，∴，∴,∴；當(dāng)時，；當(dāng)時，；②當(dāng)點在上時，存在，綜上，使為等腰三角形的點P有個，故答案為：．【名師指路】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，注意分情況討論是解本題的關(guān)鍵．15．如圖，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，連結(jié)AD，若∠B＝58°，則∠1的度數(shù)是____．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠CAD=45°，根據(jù)角的和差解答即可．【詳解詳析】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEC，

∴AC=CD，∠CDE=∠BAC，

∵∠B=58°，∠ACB=90°，

∴∠BAC=32°，

∴∠CDE=32°，

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠ADC=45°，

∴∠1=∠ADC-∠CDE=13°，

故答案為：13°．【名師指路】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．16．如圖，中，D為AC中點，E為BC上一點，連接DE，且，若，，則BC的長度為______．

【標(biāo)準(zhǔn)答案】17【思路指引】取BC的中點F，連接DF，由三角形中位線定理可得，DF∥AB，再由可得△DFE是等腰三角形，且EF=DF，則CF可求出來，從而可求得BC的長度．【詳解詳析】如圖，取BC的中點F，連接DF則BC=2CF∵D點是AC的中點∴DF是△ABC的中位線∴，DF∥AB∴∠CFD=∠ABC∵∴∠CFD=2∠DEC∵∠CFD=∠DEC+∠FDE∴∠DEC=∠FDE∴∴∴故答案為：17

【名師指路】本題考查了等腰三角形的判定，三角形中位線定理，取BC的中點F得到等腰△DEF是關(guān)鍵．17．如圖，在中，，，點D在AC邊上，點E在BC邊上，且DB平分，，，則_____________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】過點作，交的延長線于點，過點作交的延長線于點，根據(jù)設(shè)，通過導(dǎo)角可得，，進而可得，進而證明，推出，根據(jù)直角的面積等于求得，進而求得【詳解詳析】解：如圖，過點作，交的延長線于點，過點作交的延長線于點，設(shè)則DB平分，又故答案為：．【名師指路】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形三線合一，能找到全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題18．如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．（1）求證：AD＝BE；（2）求∠AEB的度數(shù)；（3）探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM⊥DE于點M，連接BE①∠AEB的度數(shù)為②判斷線段DM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需要說明理由）【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）見解析；（2）60°；（3）①90°；②AE=BE+2DM【思路指引】（1）證明△ACD≌△BCE即可得證AD=BE；（2）根據(jù)△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，由△DCE為等邊三角形，可得∠CDE＝∠CED=60°，進而即可∠ADC＝∠BEC＝120°，根據(jù)∠AEB=∠BEC-∠CED即可求得；（3）①方法同（1）證明△ACD≌△BCE，再根據(jù)（2）的方法即可求得∠AEB的度數(shù)；②由△DCE為等腰直角三角形，CM⊥DE可得，根據(jù)△ACD≌△BCE可得則【詳解詳析】解：（1）∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE＝∠CED=60°，∴∠ADC＝∠BEC＝120°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°（3）①∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=90°-∠DCB=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC，∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED=45°，∴∠ADC＝∠BEC＝135°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°故答案為：90°②∵△DCE為等腰直角三角形，CM⊥DE∴△ACD≌△BCE即AE=BE+2DM【名師指路】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明△ACD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝4，點P從點A出發(fā)，沿折線A－B－C－A以每秒2個單位長度的速度向終點A運動．點Q從點B出發(fā)，沿折線B－C－A以每秒1個單位長度的速度運動．P、Q兩點同時出發(fā)，點P停止時，點Q也隨之停止．設(shè)點P運動的時間為t秒．（1）當(dāng)P、Q兩點重合時，求t的值．（2）當(dāng)△BPQ是以PQ為底邊的等腰三角形時，求t的值．（3）當(dāng)△BPQ是直角三角形時，直接寫出t的值．

【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）4；（2）或；（3），5，1，6【思路指引】（1）P比Q快1個單位長度，P落后Q4個單位長度，算出追上的時間即可得t的值；（2）分兩種情況：①當(dāng)點P在邊AB上，點Q在邊BC上時，BP＝BQ，②當(dāng)點P、Q都在邊AC上時，AP＝CQ，列出等量關(guān)系式求出t的值即可；（3）分情況討論：當(dāng)時和時，根據(jù)等邊三角形的長度，確定P、Q位置即可求出t的值．【詳解詳析】（1）∵P比Q快1個單位長度，P落后Q4個單位長度，∴追上的時間為；（2）

如圖，當(dāng)點P在邊AB上，點Q在邊BC上時，BP＝BQ，即，∴，

如圖，當(dāng)點P、Q都在邊AC上時，AP＝CQ，即，∴，綜上，t的值為或；（3）

如圖，當(dāng)，點P在邊AB上，點Q在邊BC上時，∵是等邊三角形，∴，∴，即，∴，解得：，

如圖，當(dāng)，點P、Q都在邊AC上時，∵是等邊三角形，∴點P為AC中點，，

如圖，當(dāng)，點P在邊AB上，點Q在邊BC上時，∵是等邊三角形，∴，∴，即，∴，解得：，

如圖，當(dāng)，點P、Q都在邊AC上時，∵是等邊三角形，∴點Q是AC中點，，綜上：t的值為，5，1，6．【名師指路】本題考查等邊三角形上的動點問題，掌握等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（探索發(fā)現(xiàn)）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點A、B分別是y軸、x軸上兩個動點，直角邊AC交x軸于點D，斜邊BC交y軸于點E（1）如圖1，已知C點的橫坐標(biāo)為﹣1，請直接寫出點A的坐標(biāo)（2）如圖2，當(dāng)?shù)妊黂t△ABC運動到使點D恰為AC中點時，連接DE，求證：∠ADB＝∠CDE（拓展應(yīng)用）（3）如圖3，若點A在x軸上，且A（﹣4，0），點B在y軸的正半軸上運動時，分別以O(shè)B、AB為直角邊在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，連接CD交y軸于點P，當(dāng)點B在y軸的正半軸上運動時，BP的長度是否變化？若變化請說明理由，若不變化，請直接寫出BP的長度為【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）A（0，1）；（2）見解析；（3）不變，2【思路指引】（1）如圖（1），過點C作CF⊥y軸于點F，構(gòu)建全等三角形：△ACF≌△BAO（AAS），結(jié)合該全等三角形的對應(yīng)邊相等易得OA的長度，由點A是y軸上一點可以推知點A的坐標(biāo)；（2）過點C作CG⊥AC交y軸于點G，則△ACG≌△BAD（ASA），即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G，由∠DCE=∠GCE=45°，可證△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G，從而得到結(jié)論；（3）BP的長度不變，理由如下：如圖（3），過點C作CH⊥y軸于點H，構(gòu)建全等三角形：△CBH≌△BAO（AAS），結(jié)合全等三角形的對應(yīng)邊相等推知：CH=BO，BH=AO=4．再結(jié)合已知條件和全等三角形的判定定理AAS得到：△CPH≌△DPB，故BP=HP=2．【詳解詳析】解：（1）如圖（1），過點C作CF⊥y軸于點F，∵CF⊥y軸于點F，∴∠CFA=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∵∠CAB=90°，∴∠CAF+∠BAO=90°，∴∠ACF=∠BAO，在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△BAO（AAS），∴CF=OA=1，∴A（0，1）；（2）如圖2，過點C作CG⊥AC交y軸于點G，∵CG⊥AC，∴∠ACG=90°，∠CAG+∠AGC=90°，∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠DAO=90°，∴∠AGC=∠ADO，在△ACG和△ABD中，，∴△ACG≌△BAD（AAS），∴CG=AD=CD，∠ADB=∠AGC，∵∠ACB=45°，∠ACG=90°，∴∠DCE=∠GCE=45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE=∠AGC，∴∠ADB=∠CDE；（3）BP的長度不變，理由如下：如圖，過點C作CH⊥y軸于點H．∵∠ABC=90°，∴∠CBH+∠ABO=90°．∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBH=∠BAO．∵∠CHB=∠AOB=90°，AB=AC，∴△CBH≌△BAO（AAS），∴CH=BO，BH=AO=4．∵BD=BO，∴CH=BD．∵∠CHP=∠DBP=90°，∠CPE=∠DPB，∴△CPH≌△DPB（AAS），∴BP=HP=2．故答案為：2．【名師指路】本題考查了三角形綜合題．主要利用了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形．21．如圖，等邊△ABC的邊長為10cm，點D在邊AB上，且AD=4cm，點P在線段BC上，以每秒2cm的速度由點B向點C運動，同時點Q在線段CA上，由點C向點A運動．設(shè)點P運動時間為t秒，若某一時刻△BPD與△CQP全等，求此時t的值及點Q的運動速度．【標(biāo)準(zhǔn)答案】當(dāng)t=2s，點Q運動的速度為2cm/