正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 高一數(shù)學(xué)

5.4.1

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑思想方法

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、正弦函數(shù)的圖象1.畫函數(shù)圖象最基本的方法是什么?如果用描點(diǎn)法畫正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間[0,2π]上的圖象,可取哪些點(diǎn)?2.如何在平面直角坐標(biāo)系中比較精確地描出這些點(diǎn),并畫出y=sinx在區(qū)間[0,2π]上的圖象?提示:把x軸上從0到2π這一段分成12等份,使x0的值分別為

,再在單位圓中,利用正弦函數(shù)的定義,得出x0對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)y0=sin

x0.先畫出點(diǎn)(x0,y0),再將這些點(diǎn)用光滑的曲線連接起來(lái),就得到函數(shù)y=sin

x在區(qū)間[0,2π]上的圖象.3.正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線,是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.答案:B二、“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)的圖象1.在確定正弦函數(shù)的圖象時(shí),哪些點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)?2.“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)圖象的一般步驟是什么?提示:列表?描點(diǎn)?連線.答案:A三、余弦函數(shù)的圖象1.如何由正弦函數(shù)的圖象通過(guò)圖形變換得到余弦函數(shù)的圖象?2.在確定余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的圖象時(shí),哪些點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)?3.余弦函數(shù)y=cosx,x∈R的圖象叫做余弦曲線.它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.4.不等式cosx<0,x∈[0,2π]的解集為

.

【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)正弦函數(shù)y=sinx的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.(×)(2)正弦函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=sin(-x)的圖象完全相同.(×)(3)余弦函數(shù)y=cosx的圖象與x軸有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn).(√)(4)余弦函數(shù)y=cosx的圖象與y=sinx的圖象形狀和位置都不一樣.(×)

合作探究·釋疑解惑【例1】

用“五點(diǎn)法”畫出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖.(1)y=1+2sinx,x∈[0,2π];(2)y=2+cosx,x∈[0,2π].分析:在區(qū)間[0,2π]上找出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),用光滑的曲線連接即可.探究一用“五點(diǎn)法”畫與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象反思感悟1.“五點(diǎn)法”是畫與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的常用方法,“五點(diǎn)”即函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)和最低點(diǎn).2.列表、描點(diǎn)、連線是“五點(diǎn)法”作圖過(guò)程中的三個(gè)基本環(huán)節(jié),注意用光滑的曲線連接五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).探究二利用“圖象變換法”畫與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象【例2】

利用圖象變換法畫出下列函數(shù)的圖象:(1)y=1-cosx,x∈[0,2π];分析:(1)先畫函數(shù)y=cos

x的圖象,再得到y(tǒng)=-cos

x的圖象,最后得到y(tǒng)=1-cos

x的圖象;(2)先將解析式化簡(jiǎn)為y=|cos

x|,再畫出函數(shù)y=cos

x的圖象,最后得到y(tǒng)=|cos

x|的圖象.解:(1)先用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y=cos

x的圖象,再畫該圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱圖象,得到y(tǒng)=-cos

x的圖象,最后將該圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,即得y=1-cos

x的圖象(如圖).(2)由于

,因此只需畫出y=|cos

x|的圖象,y=cos

x的圖象在x軸上方的圖象保持不動(dòng),將x軸下方的圖象關(guān)于x軸作軸對(duì)稱翻折到x軸上方,即得y=|cos

x|的圖象(如圖).本例中,如何利用圖象變換畫出函數(shù)y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的簡(jiǎn)圖?反思感悟圖象變換的規(guī)律1.左右平移變換(1)函數(shù)y=f(x+a)的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的;(2)函數(shù)y=f(x)+b的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.2.對(duì)稱變換(1)函數(shù)y=|f(x)|的圖象是將函數(shù)y=f(x)的圖象在x軸上方的部分不動(dòng),下方的部分對(duì)稱翻折到x軸上方得到的;(2)函數(shù)y=f(|x|)的圖象是將函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸右邊的部分不動(dòng),并將其對(duì)稱翻折到y(tǒng)軸左邊得到的;(3)函數(shù)y=-f(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱;(4)函數(shù)y=f(-x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;(5)函數(shù)y=-f(-x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.探究三

利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象解不等式反思感悟用三角函數(shù)的圖象解三角不等式的方法:(1)畫出相應(yīng)正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的圖象;(2)寫出適合不等式在區(qū)間[0,2π]上的解集;(3)根據(jù)誘導(dǎo)公式一寫出不等式的解集.思想方法利用數(shù)形結(jié)合思想方法解決問題【典例】

方程lgx=sinx的解的個(gè)數(shù)為(

)A.0

B.1

C.2

D.3審題視角:該方程無(wú)法用求根公式求解,且只要求得到方程根的個(gè)數(shù),而函數(shù)y=sin

x和y=lg

x是基本初等函數(shù),其圖象容易畫出,因此可采用數(shù)形結(jié)合的方法,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,觀察它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù),即得方程根的個(gè)數(shù).解:先用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y=sin

x的圖象,再在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出

,并用光滑曲線連接得到y(tǒng)=lg

x的圖象,如圖.

由圖象可知方程lgx=sinx的解的個(gè)數(shù)為3.答案:D反思感悟1.對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)問題,常借助函數(shù)的圖象用數(shù)形結(jié)合的方法求解.2.函數(shù)的圖象是研究函數(shù)的重要工具,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法,能直觀地解決抽象的代數(shù)問題.【變式訓(xùn)練】

方程x2-cosx=0的解的個(gè)數(shù)為(