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文檔簡介
2022-2023學(xué)年遼寧省鐵嶺市六校高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題(本大題共8小題,共40.0分。在每小題列出的選項中,選出符合題目的一項)
1.命題'勺x()eN,靖。一沏一1W0”的否定是()
xx
A.3x0GN,e°—x0—1>0B.VxeN,e—x—1>0
C.VxeW,ez—x—1<0D.ex—x—1<0
2.已知數(shù)列-6,66,-666,6666,-66666,則該數(shù)列的第2024項為()
A.-1(1O2024-1)B.|(1。2°24_1)c._|(102024_1)D.|(1。2°24_1)
3.函數(shù)/@)=箋的導(dǎo)數(shù)/(久)=()
A.xsinx-cosxB.—xsinx-cosxC.xsinx+cosxD.—xsinx+cosx
4.若公比為-3的等比數(shù)列的前2項和為10,則該等比數(shù)列的第3項為()
A.15B.-15C.45D.-45
5.已知函數(shù)/(%)=%+1,g(x)=x2+1,則如圖對應(yīng)的函數(shù)
解析式可能是()
A.y=/(x)+g(%)
B.y=-g。)
c.y=Lf(x)]25(x)
D.y嗡
6.設(shè)7;是數(shù)列{an}的前n項積,則“”=3"”是“{%}是等差數(shù)列”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
7.若存在直線y=kx+b,使得函數(shù)F(x)和G(x)對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足
F(x)>kx+b>G(x),則稱此直線y=kx+b為F(x)和G(x)的“隔離直線”.己知函數(shù)
fM=x2,5(x)=alnx[a>0),若/Q)和g(x)存在唯一的“隔離直線”,則a=()
A.B.2/7C.eD.2e
8.已知數(shù)列{詢}滿足的=1,2冊+1=5?設(shè)砥=(M-3n-2)即,若對于任意的neN*,
42%.恒成立,則實數(shù);I的取值范圍是()
1
A.q,+8)B.[2,+oo)C.[5,+oo)D.[6,+oo)
二、多選題(本大題共4小題,共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)
9.設(shè)數(shù)列{an},{%}都是等比數(shù)列,則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是()
A.{。九+bn}B.1bn}C.{man}(mGR)D.
-01
10.已知a=sin4,b=log215—log25,c=2,則()
A.b>cB.a>cC.c>aD.c>b
11.已知函數(shù)/(x)=e*—ax,則()
A.當(dāng)aWO時,/(x)為增函數(shù)B.3ae(0,+oo),f(x)max=a
C.當(dāng)a=l時,f(x)的極值點為0D.3aG(0,+oo),/(x)min=a
12.已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,f(x+2)為偶函數(shù),/(x)+g(x)=g(2-x),且
當(dāng)xe[0,1)時,f(x)=x,則()
A./(x)為偶函數(shù)B./(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱
C.比腎/(£)=1D.8是函數(shù)/"(%)的一個周期
三、填空題(本大題共4小題,共20.0分)
13.已知集合"={x|x>—1},N={x|x2-x-6<0},則MCN=.
14.若數(shù)列{「%是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,則C5=.
15.已知函數(shù)/'(%)=七宗—I-3sinx+2,若f(a)=1,貝療(一a)=.
16.已知%>0,y>0,且(久+1)(V+1)=2x+2y+4,貝ky的最小值為.
四、解答題(本大題共6小題,共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17.(本小題10.0分)
71
記等差數(shù)列{aj的前項和為%,已知的=—5,3a3+a5=0.
(1)求{冊}的通項公式;
(2)求%以及%的最小值.
18.(本小題12。分)
已知函數(shù)/'(x)=a/—3x2+6(a>0).
(1)若x=1是/(x)的極值點,求a;
(2)當(dāng)a>2時,/。)>0在區(qū)間[一1,1]上恒成立,求a的取值范圍.
19.(本小題12.0分)
已知函數(shù)/(x),g(x)滿足/'(2%-1)+g(x+1)=4x2-2x-1.
(1)求f(3)+g(3)的值;
(2)若g(x)=2x,求/'(x)的解析式與最小值.
20.(本小題12.0分)
X
已知/(X)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,/(%)=log2(-x)-2.
(1)求/(0)-/(2);
(2)解不等式f(%2+1)>/(10).
21.(本小題12.0分)
已知公差為—2的等差數(shù)列{a,}的前n項和為工,且S5=-5.
(1)求{時}的通項公式;
(2)若數(shù)列{7^一}的前n項和為7;,證明:〃一白-為定值.
anan+l£an+l
22.(本小題12.0分)
已知函數(shù)/(X)=|%2—%—xlnx.
(1)求f(x)的圖象在點(1J(1))處的切線方程;
(2)證明:/(%)4-cosx-1>0.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:命題"3%0€N,_Xo_1<o”是存在量詞命題,其否定是全稱量詞命題,
所以命題'勺殉6N,一出一1W0”的否定是:VxeN,ex-x-l>0.
故選:B.
根據(jù)存在量詞命題的否定求解作答.
本題主要考查了存在量詞命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.
2.【答案】C
【解析】解:-6,66,一666,6666,一66666,...的通項公式為(一1)“義1(IO71-1),
故該數(shù)列的第2024項為-|(1。2。24_1).
故選:C.
由已知數(shù)列的規(guī)律先求出通項公式,進(jìn)而可求.
本題主要考查了由數(shù)列的項的規(guī)律求解數(shù)列通項公式,屬于基礎(chǔ)
3.【答案】B
【解析】解:由/。)=等,
zg、_(cosx)'x-x'cosx_—xsinx-cosx
付/f(X)—^2=^2.
故選:B.
根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)公式即可求解.
本題主要考查了函數(shù)的求導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
4.【答案】D
【解析】解:由題意得a1+a?=%-3al=10,
2
所以的=—5,a3=-5x(―3)=-45.
故該等比數(shù)列的第3項為-45.
故選:D.
由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可求解.
本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
5.【答案】D
【解析】解:對于4函數(shù)/'(X)=x+;在(1,+8)上單調(diào)遞增,而g(x)=X?+1在(1,+8)上單調(diào)
遞增,
因此函數(shù)y=/(x)+g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,不符合題意,A不是;
對于B,因為/(I)=2,g(l)=2,因此x=1是函數(shù)y=/(x)-g(x)的零點,不符合題意,B不是;
對于C,[/(乃]2=/+?+2,顯然函數(shù)y=[f(x)]2是偶函數(shù),而函數(shù)y=g(x)是偶函數(shù),
因此函數(shù)y=丁(乃]2g(X)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,不符合題意,C不是;
對于D,/(%)=日里,因此丫=黑=9,定義域為(-8,0)11(0,+8),
且在(-8,0),(0,+8)上單調(diào)遞減,并且是奇函數(shù),圖象在第一、三象限,符合題意,D是.
故選:D.
根據(jù)給定的函數(shù),借助對勾函數(shù)的單調(diào)性、取特值判斷48;利用奇偶函數(shù)性質(zhì)判斷C:推理判斷D
作答.
本題主要考查了函數(shù)性質(zhì)在函數(shù)解析式求解中的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中檔題.
6.【答案】A
【解析】解:若〃=3",則%=3;當(dāng)n22時,即=J彳=£,=3,
所以,對任意的neN*,an=3,則即+1-即=0,此時,數(shù)列{斯}是等差數(shù)列,
故""=3n”能得出“{一}是等差數(shù)列”,
若“{即}是等差數(shù)列”,不妨設(shè)冊=九,則7nM3%
un,)
即“{即}是等差數(shù)列”不能得出Tn=3,
所以"〃=3"'是"{即}是等差數(shù)列”的充分不必要條件.
故選:A.
由7;=3"求出加的表達(dá)式,結(jié)合等差數(shù)列的定義可判斷充分條件;舉特例可判斷必要條件,綜合
可得結(jié)論.
本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了充分條件和必要條件的定義,屬于基礎(chǔ)題.
7.【答案】D
【解析】解:當(dāng)/(吟=/與gQ)=alnx相切時,只有唯一的“隔離直線”,
且“隔離直線”為公切線.設(shè)切點為(沏,%),
a
f(%o)=g'(X0)nn2%o=
則比,所以看=\T~^,=2e.
/(a)=g(珀’'CL
=alnx0
故選:D.
設(shè)出切點坐標(biāo),由公切線列出等量關(guān)系,求解即可.
本題考查公切線問題,屬于中檔題.
8.【答案】A
【解析】解:由數(shù)列{即}滿足%=1,2斯+1=即,得{即}是首項為1,公比為我等比數(shù)列,冊=去,
于是勾=中要,(n+l)2-3(n+l)-2n2-3n-2_n(n-5)
勾+i_b=
n2時1=
當(dāng)1工九<5時,bn+1>bn9當(dāng)且僅當(dāng)n=5時取等號,當(dāng)n>6時,bn+1<&n,
因此當(dāng)nV5時,數(shù)列{匕}單調(diào)遞增,當(dāng)n>6時,數(shù)列{%}單調(diào)遞減,
則當(dāng)九=5或71=6時,,(6n)max=p而任意的九€N*,AN跖恒成立,貝以日,
所以實數(shù)2的取值范圍是百,+8).
故選:A.
根據(jù)給定條件,求出數(shù)列{即},{%}的通項,再求出數(shù)列{b}的最大項作答.
本題主要考查數(shù)列遞推式,考查運算求解能力,屬于中檔題.
9.【答案】BD
【解析】解:根據(jù)題意,數(shù)列{斯},{匕}都是等比數(shù)列,設(shè){即}的公比為生,{匕}的公比為Q2,
依次分析選項:
對于4當(dāng)an+bn=0時,數(shù)列{冊+%}不是等比數(shù)列,不符合題意;
對于B,數(shù)列{%},{b}都是等比數(shù)列,anbn*0,同時有一%=勺1勺2的-15_1,則數(shù)列{即?。?/p>
定是等比數(shù)列,符合題意;
對于C,當(dāng)=0時,man=0,數(shù)列{man}不是等比數(shù)列,不符合題意;
對于D,對于數(shù)歹喘},就力0且黑=言*比,數(shù)列焉}一定是等比數(shù)列,符合題意.
故選:BD.
根據(jù)題意,由等比數(shù)列的定義依次分析選項是否正確,綜合可得答案.
本題考查等比數(shù)列的判定,注意等比數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
10.【答案】AC
【解析】解:顯然7T<4<2兀,則(1=sin4<0,
-01
b=log2=log23>log22=1>0<c=2<2°=1,
所以a<c<b,A正確,8錯誤,C正確,。錯誤.
故選:AC.
利用三角函數(shù)的符號法則判斷a的正負(fù),利用對數(shù)運算法則及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較b與1的大小,再
比較正數(shù)c與1的大小作答.
本題考查函數(shù)值的大小比較,注意運用三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想和
運算能力,屬于中檔題.
11.【答案】ACD
【解析】解:當(dāng)a40時,由/'(%)=e*-ax,得/'(x)=e*—a>0,所以/(x)為增函數(shù),所以A
正確;
當(dāng)a=1時,由/''(X)=e*—1=0,得x—0,
當(dāng)x<0時,f,(x)<0,當(dāng)x>0時,f'(x)>。,
所以/(無)的極小值點為0,所以C正確;
當(dāng)a>0時,/'(X)=ex—a,當(dāng)x<Ina時,/'(x)<0,當(dāng)x>,na時,/z(x)>0,
所以f(x)在(一8,Ina)上單調(diào)遞減,在(Ina,+8)上單調(diào)遞增,
所以/QOmE=/(/na)-a-alna,
當(dāng)a=l時,=a,所以8錯誤,。正確.
故選:ACD.
對于4,對函數(shù)求導(dǎo)后判斷,對于BD,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而可求出函數(shù)的最值,
對于C,直接求解函數(shù)的極值點即可.
本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,屬于中檔題.
12.【答案】ABD
【解析】解:依題意,WxeR,/(x)+g(x)=g(2-x),即有/(2-x)+g(2-x)=g(x),
兩式相加整理得/(乃+/(2-%)=0,因此/(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,B正確;
由/Q+2)為偶函數(shù),得/(一%+2)=/(%+2),于是f(x+2)=-/(%),
有/(x+4)=-/(x+2)=/(x),因此函數(shù)的周期為4,8是函數(shù)的一個周期,力正確;
由/(乃+/(2—x)=0,得/(一?+/(2+為=0,而/(x+2)=
因此f(—x)=f(x),f(x)為偶函數(shù),A正確;
由當(dāng)%6[0,1)時,f(x)=X,得/(4)=/(0)=0,而f(l)=0,/(2)=-/(0)=0,/(3)=-/(I)=0,
即有/(I)+/Q)+/(3)+/(4)=0,酒f(k)=505/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(I)+
/(2)+/(3)=0,C錯誤.
故選:ABD.
根據(jù)給定等式推理可得f(%)+/2-x)=0,結(jié)合/(x+2)為偶函數(shù),再逐項判斷作答.
本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,考查運算求解能力,屬于中檔題.
13.【答案】(-L3)
【解析】解:解不等式/—%—6<0,得—2<x<3,即N={x|—2<x<3},而”={x\x>-1},
所以MCN=(-1,3).
故答案為:(—1,3).
解一元二次不等式化簡集合N,再利用交集的定義求解作答.
本題考查了一元二次不等式的解法,交集的定義及運算,考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.
14.【答案】256
【解析】解;依題意可得“=2"T,則,=23即cs=28=256.
故答案為:256.
利用等比數(shù)列通項公式求解即可.
本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
15.【答案】3
【解析】解:因為/(%)=------F3sinx4-2,
CC
所以f(一工)+/(%)=2——3sinx+2+——F3sinx+2=4,
若f⑷=1,則f(一。)=4—/(a)=3.
故答案為:3.
由已知先求出f(%)+/(-x)=4,結(jié)合f(a)=1即可求解/(-a).
本題主要考查了函數(shù)奇偶性在函數(shù)求值中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
16.【答案】9
【解析】解:由(%+l)(y+1)=2%+2y+4,x>0,y>0,得xy=x+y+3Z2jxy+3,
當(dāng)且僅當(dāng)尤=y時取等號,
因此(Jxy)2—2Jxy—32O解得Jxy。3,BPxy>9,
由{:)3%+曠+3,而%>0,y>0,解得%=y=3,
所以當(dāng)%=y=311寸,xy取得最小值9.
故答案為:9.
變形給定等式,再利用均值不等式求解作答.
本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
17.【答案】解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
由的=—5,3a3+%=0,得3(—5+2d)+(—5+4d)=0,
解得d=2,于是an=%+(ri—l)d=2n—7,
所以數(shù)列{即}的通項公式是Qn=2n-7.
(2)由(1)知,Sn=色券-n=5+(}7),n=n2_6n)
顯然%=5-3)2-92-9,當(dāng)且僅當(dāng)n=3時取等號,
所以S”=n2-6n,S.的最小值為—9.
【解析】(1)根據(jù)給定條件,求出公差d,再求出通項作答.
(2)由(1)結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式求解作答.
本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.
18.【答案】解:(1)已知/(X)=Q%3—3/+6,函數(shù)定義域為R,
所以r(%)=3ax2—6x,
若x=1是/(x)的極值點,
此時((1)=3Q—6=0,
解得Q=2,
當(dāng)Q=2時,ff(x)=6/-6%=6x(%—1),
當(dāng)%<0時,f(%)>0,/(%)單調(diào)遞增;
當(dāng)0<x<1時,f(x)<0,/(%)單調(diào)遞減;
當(dāng)%>1時,f(x)>。,f(%)單調(diào)遞增,
則%=1是/(%)的極小值點,
綜上,a=2;
(2)易知尸(%)=3a%2-6%,
當(dāng)%<0時,f(x)>0,/(%)單調(diào)遞增;
當(dāng)0<x<5時,/(X)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)時,f(x)>0,/Q)單調(diào)遞增,
當(dāng)a>2時,0<|<1,
所以函數(shù)/'(X)在(-1,0)上單調(diào)遞增,在(0,$上單調(diào)遞減,
在。,1)上單調(diào)遞增,
因為f(x)>0在區(qū)間[一1國上恒成立,
r/(-l)=-a+3>0
所以1,24,
[f/('=一滔+6>0
解得?<a<3,
又a>2,
所以2<a<3,
綜上,a的取值范圍為(2,3).
【解析】(1)由題意,對函數(shù)/(x)進(jìn)行求導(dǎo),因為x=l是/(x)的極值點,可得((1)=0,代入即
可求出a的值,將a的值代入函數(shù)解析式中對其進(jìn)行檢驗,進(jìn)而即可得到答案;
(2)對函數(shù)/(x)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)得到/(%)的單調(diào)性,將/(x)>0在區(qū)間上恒成立,轉(zhuǎn)化
'f(-l)=-a+3>0
成結(jié)合a>2,即可求解.
"$=一白+6>。
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運算能力.
19.【答案】解:(1)因為函數(shù)/(x),g(x)滿足f(2x-1)4-g(x+1)=4x2-2x-1,
所以當(dāng)x=2時,f(3)+g(3)=4x22-2x2-1=11.
(2)由g(x)=2x,得g(x+l)=2%+2,于是/'(2x-1)+2x+2=4/-2x-1,
222-
即/(2x-1)=4x-4x-3=(2x—l)—4.因此/'(x)=%—4,當(dāng)x=0時,f(x)mtn=4,
所以f(x)的解析式是f(x)=X2-4,最小值為—4.
【解析】(1)根據(jù)給定條件,取x=2代入計算作答.
(2)求出/(2乂-1)的解析式,再利用配湊法求出/(x)的解析式,并求出最小值作答.
本題主要考查了函數(shù)值及函數(shù)解析式的求解,屬于基礎(chǔ)題.
20.【答案】解:(1)因為/(x)是定義在R上的奇函數(shù),
所以〃0)=0,
X
因為當(dāng)x<0時,/(x)=log2(-x)-2,
所以/(—2)=臉2-2-2=本
故f⑵=-*,/0)一汽2)=*
(2)因為當(dāng)%<0時,/(x)=log2(-x)-2”單調(diào)遞減,
x
故當(dāng)%>0時,-%<0,/(-%)=log2x-(1)=-/(%),
故/(x)=-log2x+6產(chǎn)單調(diào)遞減,
由+1)>/(10)可得/+1<10,
解得—3<x<3,
故不等式的解集為(-3,3).
【解析】(1)由已知結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)先求出/(0),結(jié)合奇函數(shù)及已知x<0時函數(shù)解析式可求
/(-2),進(jìn)而可求f(2),代入即可求解;
(2)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性即可求解不等式.
本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)求值中的應(yīng)用,還考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性在不等式求
解中的應(yīng)用,屬于中檔題.
21.【答案】解:(1)由題意得S5=5%+半x(—2)=-5,
解得%=3,
故a九=3—2(n—1)=-2n+5.
(2)證明:因為0n0n+i=(-2n+5)(-2n+3)=(2n-5)(2n-3)=2(2/-5-2九-3%
設(shè)勾=
anan+l
所以〃=瓦4-b2+/+,',+%
即〃為定值一1
物+16
【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出的,再用等差數(shù)列的通項公式即可;
(2)根據(jù)(1)知.=曰通泊砌=(2^(2~3?利用裂項相消法求出7n即可證明,
本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”,考查了推理能力與運算能力,
屬于中檔題.
22.【答案】解:(1)因為/(x)=|/—x-
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