2016年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅰ）

2016年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標I）

一、選擇題：本大/■共12小題，每小題5分，在每小屋給出的四

個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.15分）設(shè)集AA=儀x??4x-3<0}，B=lx|2x-3>0}.則AC

B=()

A.(-3,-1)B.(-3,-|)C.(1,電

D.你3)

2.(5分)設(shè)(1+i>x=1+yi,其中x,y是實數(shù)，則x-yi=<

A.1B.y/2C.V3D.2

3.（5分）已知等差數(shù)列W前9項的和為27.a/8,則宣此（

A.100B.99C.98D.97

4.（5分）某公司的班車在7：00,8：00,8：3。發(fā)車.小明

在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，旦到達發(fā)車站的

時刻是隨機的，則他等車時間不超過1。分鐘的概率是（）

Ai7嗚

5.（5分）已知方程￥--上一=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦

點間的距離為4,則n的取值范圍是（）

A.（-1,3）B.（-1,V3）C.（0,3）D.（0.百）

6.（5分）如圖，某幾何體的三視圖是三個￥徑相等的圓及每個圓

中兩條相比垂直的半徑.若該幾何體的體枳是駕二則它的表面

枳是（）

A.17nB.18nC.20nD.28n

A.ac<bcB.ab’vbac

C.alogbc<blog4cD.logac<logbC

9.（5分）執(zhí)行卜.面的程序框圖.如果輸入的x=0.y=l.n=l

則輸出x,v的值滿足（）

A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x

10.（5分）以拋物線C的頂點為回心的圓交C于A、B兩點，交C

的準踐J：D、E兩點.已知|AB|=4^,|DE|=2?,則C的焦點

到準線的距離為（）

A.2B.4C.6D.8

11.（5分）平血a過正方體ABCD-AiBCDi的頂點A.a〃平面CBQ,,

aCI平面ABCD=m,aA平面ABBiAi=n?則m,n所成角的正弦

值為（）

A?有C.坐D1

2233

12.（5分）已知函數(shù)f（x）=sin（3x-<|>）（3>0,由式一x=-

:為f（X）的零點，x=:為v=f（*）圖象的對稱軸,且f（x）

44

在（表，第）上單調(diào)，則3的最大色為（）

A.11B.9C.7D.5

二、澳空愿，本大屆共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）設(shè)向量最（m,1）.b=（1.2）,且Ja：2-

b|a?則m=.

14.（5分）（2x+4）5的展開式中，x，的系數(shù)是?（用數(shù)字

填寫答案）

15.（5分）設(shè)等比數(shù)列｛aj滿足ai+aa=10.aj+a4=5,則aa2…

的最大值為.

16.（5分）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型

材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料妹g,用5個

工時;生產(chǎn)?件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg.乙材料0.3kg,用3

個工時，生產(chǎn)件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)?件產(chǎn)品B的

利澗為900元.該企業(yè)現(xiàn)存甲材料150kg,乙材料90kg.則在不

超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最

大值為元.

三、解答題：本大題共5小題，滿分60分，解答布寫出文字說明、

證明過程或演算步■.

17.（12分）△ABC的內(nèi)角A,B.C的對邊分別為a,b.c,己

知2cosc（acosBbcosA）=c.

（I）求C；

（n）若Z^ABC的面積為竽，求AABC的局長.

18.(12分)如圖，在以A,B，C,D,E,F為頂點的五面體

中，曲ABEF為正方形，AF=2FD,ZAFD=90,.11二面向D?

AF-E與二面角C-BE-F都是60°.

(I)證明平面ABEFJ.平面EFDCt

?II)求二面角E-BC-A的余弦值.

19.(12分)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被

淘汰.機罌有一易損零件.在購進機隅時，可以顛外購買這種零

件作為備件，每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購

買.則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損

零件.為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的

易損零件數(shù)，褥如圖柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機踞更換的易損零

件數(shù)發(fā)生的概率，記X衣示2臺機器二年內(nèi)共盅更換的易損零件

數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).

<I)求X的分布列；

(H)若要求P(XWn)20.5,確定n的最小值:

(ni)以購買月?lián)p零件所需費用的期望也為決策依據(jù)，在n=19與

n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個？

20.(12分》設(shè)園K.產(chǎn)2x-15=0的圓心為A,宜線I過點B(L0)

且與x軸不重令，I交圓A于C,D兩點，過B作AC的平行線

交AD『點E.

(I)證明EA+EB為定值,并寫出點E的軌跡方程：

(II)設(shè)點E的軌跡為曲線G，直線I交口于M,N兩點，過B

“與I垂H的宜線與惻A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面枳

的取值范用.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=(x-2)e'+a(x-1)z有兩個零點.

(I)求a的取值范用；

（H）設(shè)XI，勺是f（X）的兩個零點，證明：X*+X2<2.

請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的

第一題計分.［選修&1，幾何證明選講］

22.（10分）如圖，ZkOAB是笠腰二角形，ZA0B=120°.以。為

圓心，^OA為半徑作圓.

（I）證明】直線AB與。。相切：

CH）點C,D在。0上，HA.B,C,D四點共圓，證明：AB

〃CD.

［選修44坐標系與叁數(shù)方程］

23.在直角坐標系xOy中.曲線Ci的參數(shù)方程為嚴:c°s］（［為參

（y=l*asint

數(shù)，a>0）.在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標

系中，曲線C?：p=4cos0.

（I）說明J是哪種曲線,并將J的方程化為極坐標方程：

(H)直線J的極坐標方程為供刖，其中如滿足tanao=2,心曲

紋G與C2的公共點都在C3上,求a.

［選修4.5i不等式選講］

24.已知函數(shù)f(x)=x+l|-|2x-3|.

2016年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標I)

一、選擇題：本大題共12小題，每小屋5分，在每小題給出的四

個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.(5分)設(shè)集合A=lxX??4x-3V。},B=x：2x-3>0}.則AC

B=()

A.(-3.-◎)B.(-3,2)C.(1,3

222

D.(1.3)

【考點】IE：交集及其運用.

【專題】11：計算題；40：定義法；5J,集合.

【考點分析】解不等式求出集合A,B.結(jié)合交集的定義，可得答

案.

【解答】解：???集合A={xx2-4x+3V0}=(1,3),

(x2x-3>0}=(-1-.+8),

.*.AAB=<-1,3).

故選：D.

【點評】本題考杳的知識點是集合的交集及其運算.難度不大,屬

于基礎(chǔ)題.

2.15分）設(shè)（l+Dx=l+yi,其中x.y是實數(shù).則x-yi=<

A.1B.V2C.V3D.2

【考點】A8：史數(shù)的模.

【5趣】34：方程思想；40：定義法：5N：收系的V充和發(fā)數(shù).

（考點分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出x,y的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式

進行計算即可.

【解答】解：V（l*i）x=1+yi.

x*xi=1+yi，

即卜咒解得卜。即k"l=|i+i|=g,

I尸X（y=l

故選：B.

【點評】本題主要考荏或數(shù)模長的汁算，根據(jù)曳數(shù)相等求出X?y

的值是解決本題的關(guān)鍵.

3.(5分)已知等差數(shù)列｛aR前9項的和為27,aio=8.則a］《＞=()

A.100B.99C.98D.97

【考點】83：等差數(shù)列的性質(zhì).

【專勝】11：計算題；40：定義法：54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【號點分析】根據(jù)已知可得as=3?進而求出公差，可得答案.

【解答】解：?.?等差數(shù)列斯前9項的和為27.S產(chǎn)出曰

9X2a5

~2~=9as.

/.9as=27?3?

又*?合10=8.

**.d=1,

?,-aioo=a5f95d=98,

故選：c.

【點評】本題考查的知識點是數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握等差數(shù)列的性

質(zhì),是解答的關(guān)鍵.

4.（5分）某公司的班車在7：00,8：00,8：30發(fā)車，小明

在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的

時刻是他機的，則他等車時間不超過1。分鐘的概率是（）

A.1B.1C.4D.4

3234

【考點】CF：幾何概型.

【專題】51:概率與統(tǒng)計.

【考點分析】求出小明等車時間不超過10分鐘的時間長度，代入幾

何概型概率計電公式，可得答案.

【解答】解：設(shè)小明到達時間為y,

當y在7：50至8：00,或8：20至8：30時，

小明等車時間不超過10分鐘,

故選：B.

【點評】本腮考頁的知識點是幾何概型,睢度不大，屬「基礎(chǔ)題.

S.(5分)已知方程平一一4一=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦

ro*n3m，f

點間的距離為4,Kljn的取值范困是()

A.(-1.3)B.(-1,炳)C.(0.3)D.(0.V3)

【考點】KB：雙曲線的標準方程.

【專題】11：計算題：35:轉(zhuǎn)化思想：4R：轉(zhuǎn)化法：5D:圓錐

曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【號點分析】由已知可得62,利川4=(m2*n)+(3m2-n),解

得m2=1,又(m2+n)(3m?-n)>0.從而可求n的取值范圍.

【解答】解：???雙曲線兩焦點間的距離為4,，c=2,

當焦點在x軸上時.

可知：4=(m2+n)+(3m2-n).解得：m?=1.

???方程￥----J=1表示雙曲線，

:.<m2*n>(3m2-n)>0.可得:(n+l>(3-n)>0,

解得：-lVnV3,即n的取值范圍是：(-1.3).

當焦點在y軸上時，

可得：-4=(m2+n)+(3m2-n),解得：m?=-1.

無解.

故選：A.

【點評】本題主要考查了雙曲線方程的應(yīng)用，號查了不等式的解法.

屬「基礎(chǔ)題.

6.（5分）加圖，某幾何體的一:視圖是三個半行相等的園及每個圓

中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是誓，則它的表面

積是（）

A.17nB.18nC.20nD.28n

【考點】LI：由三視圖求面積、體積.

【I題】11：計算題：29：規(guī)律型：31：數(shù)形結(jié)合：35：轉(zhuǎn)化思

想：5F：空間位置關(guān)系與距離.

【考點分析】判斷三視圖熨原的幾何體的形狀，利用體枳求出幾何

體的半徑，然后求解幾何體的表面積.

【解答】解：由題意可知三視圖且原的幾何體是一個球去掉）后的

幾何體，如圖：

可得：!嗎九屋=聾=R=2-

它的表面積是：^-X4n?22^x7T-22=17n.

故選：A.

【點泮】本題考杳三視圖求解幾何體的體枳與表面積，考杳計算能

力以及空間想象能力.

［考點］3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】27：圖表型：48：分析法：51:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【考點分析】根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的奇偶性,最大

值及單調(diào)性，利用排除法，可得答案.

【解答】解：Vf(x)=y=2x2-e".

.*.f(-x)=2(-x)2-ex=2x2-e".

故函數(shù)為偶函數(shù)，

當x=±2時，y=8-e?e(0.1),故排除A,B：

當xE_0.2］時,f(x)=y=2xZ-e".

/.f(x)=4x-e*=0有解，

故函數(shù).”.ex在［0，2.不是單調(diào)的，故排除C,

故選：D.

【點評】本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，對于超越函數(shù)的圖象，一

般采用排除法解答.

8.（5分）若a>b>l,0<c<l,則（）

A.ac<bfB.abc<bac

C.alogbc<blogacD.logac<logbC

【考點】R3：不等式的基本性質(zhì).

【專題】33:函數(shù)思想：35:轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法：51:函數(shù)

的性質(zhì)及應(yīng)用：5T：不等式.

【考點分析】根據(jù)已知中a>b>l,0<c<l,結(jié)合對?數(shù)函數(shù)和，

函數(shù)的單調(diào)性，分析各個結(jié)論的真假,可得答案.

【解答］解：Va>b>l,0<c<l.

???函數(shù)f（x）=x。在（0.+3）上為序函數(shù)，故a。〉"，故A錯誤：

函數(shù)f（x）=x。］在（0,，B）上為減函數(shù)，故a?！縑b。，，故ba，

<abc,H|Jabl>bac；故B錯誤；

1。8cb.1明C

logc<0.11logc<0.Iogb<l.ll|l<1.即lOgaC

abaloc

8c?l08b

>logi,c.故D錯:吳;

0<-logaC<-logbC.故-blog*c<-alogbC.叩blogae>alogbC.即

alogbC<blogaC.故C正確：

故選，C.

【點評】本題考看的知識點是不等式的比較大小，熟練掌握對致函

數(shù)和密函數(shù)的單調(diào)性，是解答的關(guān)德.

9.（5分）執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入的x=0.y=1,n=1,

則輸出x.y的位滿足（

A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x

【號點】EF：程序框圖.

【專題】11：計兌題；28：操作型；5K：算法和程序框圖.

【考點分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)

結(jié)構(gòu)計竟并輸出變量X,y的色，模擬程序的運行過程，分析

循環(huán)中各變量值的變化情況.可得答案.

【解答】解：輸入x=。，y=1,n=1?

則x=0,y=1.不滿足乂2"236,故n=2.

則x=-j-,y*2.不滿足x2+y2^36.故n?3,

則x=親y=6.滿足儲+/236.

收y=4x.

故選：C.

【點評】本題考杳的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數(shù)不多,或仃

規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答.

10.(5分)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點.交C

的準線于D、E兩點,已知:AB|=4^,DE1=2立,則C的焦點

到準線的距離為()

A.2B.4C.6D.8

【考點】K8:拋物線的性順：KJ：圓與圓錐曲線的綜合.

【專題】11：計算翹：29：規(guī)律型；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思

想；5D：圓錐曲線的定義'性質(zhì)與方程.

【考點分析】畫出圖形.設(shè)出拋物線方程,利用勾股定理以及圓的

半徑列出方程求第即可.

【解答】解：設(shè)拋物線為y?=2px.如圖：|AB=4血，|AM=2點.

DE|=2心DN|=V5，ON=*

ODlsOA|.

解得：p=4.

C的焦點到準線的距離為：4.

故選：B.

【點評】本題考直拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線與圓的方程的

應(yīng)用,考查計算能力.轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

11.（5分）平面a過正方體ABCD-A/gDi的頂點Aa〃平面CB】D「

aH平?面ABCD=m.aC平面ABB】A產(chǎn)n,則m、n所成角的正弦

值為（

1

A考B?亭3

【考點】IM：異面宜找及其所成的角.

【專題】11：計算超?29：規(guī)律型131：數(shù)形結(jié)合?35：轉(zhuǎn)化思

想：5G：空間角.

【考點分析】而出圖形，判斷出m、n所成角，求解即可.

【解答】解：如圖：a〃平面CBiDi，an平面ABCD=m,aAf

而ABAjBi=n,

可知：n〃CDi，m/ZBiDu;△C8Q1是正三角形.m、n所成角就

是NCD1B尸60*.

則m、n所成角的正弦值為：當.

【點評】本題考行異面直線所成角的求法,考在空間想象能力以及

計算能力.

12.(5分)已知函數(shù)f(x)=sin(3X“6)(3>0,9x=-

2為f(x)的零點,x=三為y=f(x)圖象的對稱軸，H.f(x)

44

在(白，舞)上單調(diào).則3的最大值為《)

1836

A.11B.9C.7D.5

【考點】H6：正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想：4R：轉(zhuǎn)化法：57：三角函數(shù)的圖像與性

質(zhì).

【芍點分析】根據(jù)己知可得3為正奇數(shù)，且3W12,結(jié)合”?斗

4

為f（x）的庫點.x=:為Y=f（X）圖象的對稱軸，求出滿足條

件的解析式，并結(jié)合f（x）在唱,票）上單調(diào)，可得3的

最大值.

【解答】薪：???x=為f（X）的零點，X=［為v=f（X）圖象

44

的對稱軸，

即組1.2」=?,（nCN）

424w2

即o）=2n+l.（nGN）

即3為正奇數(shù)，

.?「x）在嚙翳，上單調(diào)?啜.a4哼

即1=答去工.解得：UJW12,

當3=11時，-H2L4@=kn,kGZ,

4

???寺歿

..兀

??中二一q?《i

此時f（X）在（春，嗡）不單調(diào),不滿足題意:

當3=9時，-亞逸=kn,k￡Z,

4

丁。

.?.。=工

4

此時f(X)在(需，好)單調(diào)，滿足題意：

故3的最大值為9.

故選：B.

【點泮】本題號杳的知識點是正弦型忸數(shù)的圖象和性質(zhì)，本題轉(zhuǎn)化

困難，難度較大.

二、填空flh本大題共4小JS.每小題5分，共20分.

13.(5分)設(shè)向量a=(m,1).b=(1.2),且la-b。a2*

b!2.則m=-2.

【考點】90：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運尊.

【專題】11：計算題；29：規(guī)律型：35：轉(zhuǎn)化思想：5A：平面向

量及應(yīng)用.

【考點分析】利用已知條件，通過數(shù)量積判斷兩個向量垂直，然后

列出方程求解即可.

【解答】解：［二上|a|2*|b|2,

可得a?最0.

向量(m.1).b=(1.2),

可得m+2=0,解得m=-2.

故答案為：-2.

【點評】本題考查向量的數(shù)量枳的應(yīng)用，向量的垂直條件的應(yīng)用.考

查計算能力.

14.（5分）⑵+＜）5的展開式中,x?的系數(shù)是10.（用數(shù)字

填寫答案）

【考點】DA：二項式定理.

【專題】11：計算題：34：方程思想：49：綜合法：5P：二項式

定理.

【芍點分析】利用二項展開式的通項公式求出第r+1項,令x的指

數(shù)為3,求出r?即可求出展開式中好的系數(shù).

【解答】解：（2/?）§的展開式中.通項公式為：上.產(chǎn)I：

小嚴（4尸25y「吃

令5-號=3,解得r=4

?，3的系數(shù)2霏=10.

故答案為：10.

【點評】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查r推科能力與計算能

力，屬于,基礎(chǔ)題.

15.（5分）設(shè)等比數(shù)歹（HaJ滿足ar加10.a#a*5.則am?…a。

的最大值為64.

【考點】87：等比數(shù)列的性質(zhì)；81：數(shù)列與函數(shù)的綜合.

【?題】11：計算題：29：規(guī)律型：35：轉(zhuǎn)化思想：54：等差數(shù)

列與等比數(shù)列.

【考點分析】求出數(shù)列的等比與苜項.化簡a1a2...a”然后求解鼓

值.

【解答】解：等比數(shù)列｛aj滿足ai+a3=10，a2+a4=S,

可得q（ai+a,>-5.解得q，寺

aI+q、i=10,解得a1=8.

?3-1）%--n7*6

12rn1n222

KiJaia2...an=af^q~,=8*（y）=2-2?

當n=3或4時，表達式取得最大值：2竽=26=64.

故答案為：64.

【點評】本題專查數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想

的應(yīng)用，考杳計算能力.

16.（5分）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型

材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg.乙材料1kg,用5個

工時；生產(chǎn)?件產(chǎn)“B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3

個工時，生產(chǎn)-?件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)?件產(chǎn)品B的

利潤為900元,該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg.則在不

超過600個工時的條件卜\生產(chǎn)產(chǎn)品A.產(chǎn)品B的利潤之和的最

大值為216000元.

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

［分題】11：計算題：29：規(guī)律型：31：數(shù)形結(jié)合：33：函數(shù)思

想；35：轉(zhuǎn)化思想.

［考點分析］設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別是X件和y件,根據(jù)題F的等分

關(guān)系建立不等式組以及目標函數(shù)，利用線性規(guī)劃作出可行域，通

過目標函數(shù)的幾何意義，求出其最大值即可:

【幗答】解：（1）設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件，獲利為z

兀.

x€N,&

1.5x+0.5y<150

由題意，得x+。.3<9。?2=2100x+900y.

y

5x+3y<600

不等式組表示的可行域如圖：由題意可得￡*設(shè)小解的i=60

y=100>

A（60,100）.

目標函數(shù)z=2100x*900y.經(jīng)過A時,直線的裁距最大,目標函數(shù)取

得最大伯：2100X60+900X100=216000元.

故答案為：216000.

【點評】本題考查了列二元一次方程組解實際問題的運用，二元一

次方程組的解法的運用，不等式制解實際問題的運用，不定方

程解實際問題的運用，解答時求出虻優(yōu)解是解題的關(guān)鍵.

三、解答題；本大題共S小題，滿分60分，解答須寫出文字說明、

證明過程或演策步褰.

17.(12分)ZXABC的內(nèi)角A,B.C的對邊分別為a,b.c,己

知2cosC(acosB-bcosA)=c.

(I)求C：

(EL)若c=J7,AABC的面枳為等，求AABC的周長.

【考點】HU:解三角形.

【專題】15：綜合題：35：轉(zhuǎn)化思想：49：綜合法；58：解二角

形.

【考點分析】(I)已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩用和

與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)sinC不為0求出cosC

的值，即可確定出出C的度數(shù)：

(2)利用余弦定理列出關(guān)系式,利用三角形面積公式列出關(guān)系式,

求出a+b的值，即可求4ABC的周長.

【解答】解：(I)???在AABC中，OVCVn,AsinC^O

已知等式利用正弦定理化簡得:2cosc(sinAcosB<sinBcosA)=sinC.

整理得:2cosCsin(A+B)=sinC.

即2coscsin(n-(A+B))=sinC

2cosCsinC=sinC

*?cosC=

2

(口)由余弦定理得7=1b2-2ab?g

\(a+b)1-3ab=7,

**S=-1-absinC=

*.ab=6.

(a+b)2-18=7.

*.ab=5.

,.△ABC的周長為5+VV.

【點評】此題考杳了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及三

角函數(shù)的恒等變形,熟練掌握定理及公式是解本咫的關(guān)鍵.

18.(12分)如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體

中，血ABEF為正方形，AF=2FD,ZAFD=90\旦二面角D-

AF-E與二面角C-BE-F都是600.

(I)證明平面ABEF_L平面EFDC:

(H)求二面角E-BOA的余弦值.

【號點】MJ：二面角的平面角及求法.

【專題】11：計算題；34：方程思想；49：蹤合法；5H：空間

向量及應(yīng)用15Q：立體幾何.

【考點分析】（I）證明AFJ,平面EFDC,利用平面叮平面難直的判

定定理證明平面ABEFL^fgiEFDC：

（口）證明四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點，建立如圖所示

的坐標系，求出平面BEC、平面A8c的法向顯，代入向戰(zhàn)夾角

公式可得二面角E?BC?A的余弦值.

【解答】（1）證明：TABEF為正方形，AAF1EF.

VZAFD=90*.AAFIDF.

VDFAEFxF.

二.AFI平面EFDC.

VAFC平面ABEF,

二平面ABEFL平面EFDC;

（II）解:HlAF±DF.AF1EF.

可得/DFE為二面角D-AF-E的平面角：

由ABEF為正方形，AF_L平面EFDC.

VBE1EF.

.?.BE_L平面EFDC

即有CE_LBE,

可得NCEF為二面角C-BE-F的平面角.

可得/DFE=ZCCF=60s.

?「AB〃EF,ABC平面EFDC.EFC平面EFDC.

，AB〃平面EFDC,

「平面EFDCC平而ABCD=CD.ABC平而ABCD.

/.AB4CD,

，CD〃EF，

???四邊形EFDC為等艘梯形.

以E為原點，建立如圖所示的坐標系.設(shè)FD=a,

則E(0,0.0),B(0,2a.0),C(負0?亨a),

A<2a.

2a.0).

.*.EB=(0,2a,0),BC=-2a.亨a),AB=(-

2a,01

0)

設(shè)平面BEC的法向成為ir=<XpYJ.ZI).

n)'BC=0

2ay|=0

則aV3，取'=<V3?0.-1).

JXj-237^-82)=0

川?前=0

設(shè)平面ABC的法向量:為n=(Xi.y2.z?).則——?

n?AB=0

則忖2w2告廿,取三

<0,V3.4).

2a“2二0

設(shè)二面角E-BC-A的大小為6.則cos8=下月丹

=一j--亞，

V3+1'V3+1619

則二面角E-BC-A的余弦值為-嚕.

【點評】本題考查平面與平面后直的證明，考查用空間向量求平面

間的夾角，建立空間坐標系將.面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是

解答的關(guān)鍵.

19.(12分)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被

淘汰,機器有-易損零件,在購進機器時，可以額外購買這種零

件作為備件，每個200元.在機罌使用期間.如果備件不足再購

買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損

零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的

易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零

件數(shù)發(fā)生的概率，記X展示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損多件

數(shù).n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).

(I)求乂的分布列:

(H)若要求P(XWn)^0.5.確定n的最小值；

(JU)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n=19*j

n=20之中選K應(yīng)選用哪個？

(考，點】CG：離散型隨機變量及其分布列.

【專版】11:計算題：35：轉(zhuǎn)化思想：49：綜合法：51：概率與

統(tǒng)計.

【芍點分析】(I)由已知得X的可能取值為16,17,18,19,20.

21,22,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列.

(U)由X的分布列求出P(XW18)=技，P(XW19)=由此

能確定滿足P<XCn)20.5中n的最小值.

(HI)法一：由X的分布列得P(XW19)=(.求出買19個所需

費用期里EX,和買20個所需物用期望EX2,由此能求出買19個更

合適.

法二：解法二：購買零件所用費用含兩部分，一部分為購買零件

的費用，另?部分為備件不足時額外購買的熨用，分別求出n=

19時,費用的期望和當n=20時,費用的期望1,從而得到買19

個更合適.

【解答】解：(I)由C1知得X的可能取值為16,17,18,19.

20.21.22.

P(XT6)=(黑)口君

P(X=17)=

10010025

P(X=18)=播工翁三裊

P(X=19)=2X需x備2X（言產(chǎn)裊

P(X=20)=儡）2端X齋余卷，

P(X=21)=2"需聲看

p(X.22)■微產(chǎn)轟

JX的分布列為:

X16171819202122

1466X

P

2525255

（口）由（I）知:

P(XW18)=P(X=16)+P(X=17)P(X=18)

=11.

25252525

P(XW19)=P(X=16)+P(X=17)，P(X=18)-P(X=19)

=_L漢上+g=11.

2525252525

AP(XWn)川.5中,n的最小值為19.

(UI)解法?：由《I)得P(X^19)=P(X=16)+P(X=17)+P

(X=18)+P(X=19)

著囁臉25*

買19個所需費用期望:

EXx=200X19(200X19*500)X-^-?(200X19?500X2>xA.

(200X19+500X3)X與4040.

買20個所需費用期望：

EX產(chǎn)200X20X冬22+(200X20+500)xX+(200X20-2X500)X3=

25

4080,

VEXl<EXj.

二買19個更合適.

解法二：購買事件所用物用含兩部分，一部分為購買零件的費用，

另一部分為備件不足時物外購買的費用，

當n=19時.的用的期望為：19X200T00X0.2+1000X0.08*1500

X0.04=4040.

當n=20時.費用的期里為：20X200-500X0.08+1000X0.04=4080.

???買19個更合適.

【點評】本題考查崗散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用.

是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公

式的合理運用.

20.(12分)設(shè)同入2寸+2『15=0的園心為A，H線I過點0)

“與x軸小幣:合，I交圓A于C,D兩點，過B作AC的平?行線

交AD于點E.

(I)證明EAI+IE8為定值,并寫出點E的軌跡方程：

(H)設(shè)點E的軌跡為曲線百線I交G于M,N兩點，過B

且與I垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積

的取值范I機

【考點】J2：圓的?般方程：KL：直線與橢圓的綜合.

【專題】34：方程思想；48：分析法：5B：宜線與圓；5D：鼠

錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【考點分析】(I)求得圓A的圓心和半位，運用立稅平行的住質(zhì)和

等腰三角形的性質(zhì)，可行EB=ED,再由圓的定義和橢I同的定義，

可用E的軌跡為以A,B為焦點的桶圓，求得a,b,c,即可

得到所求軌跡方程：

(H)設(shè)直線I:x=my+1,代入橢圓方程,運用韋達定理和弦長

公式，可得|MN|,illPQ_I.設(shè)PQ：y=-m(x-1),求刑

A到PQ的距禽，再由圓的弦長公式可得|PQ,再由四邊形的面

枳公式,化簡整理，運用不等式的性質(zhì)，即可得到所求范闞一

【解答】解：(I)證明：圓x?+y%2x-15=0即為(X-1)Z+Y?=16.

可得圓心A(-1.0),半徑r=4,

由BE〃AC,可得NC=ZEBD,

lliAC=AD,可得ND=ZC,

即為/D=/EBD,即有EB=ED,

則EA+EB=lEA+|ED=|AD=4,

故E的軌跡為以A.B為焦點的橢圓，

11有2a=4,即a=2,c=1.b=^a2_c2=

則點E的軌跡方程為1(y^O)；

(口)橢圓J設(shè)直線I;x=my*l.

43

IIIPQ-LI.設(shè)PQ：V=m1),

x=nytl

ill)?可得(3m2+4)y?*6my-9=0.

[3x-+4y'=12

設(shè)M(Xi.yi).N<x2?yz).

可得姆伯?品'ViV2=-_2_

則MN=g…憶而?j尋三

V(3m2+4)23nT+4

12*-^-.

+4

|-n(-l-l)|,

A到PQ的跖離為（1=121Pl

71而亦

當2時，S取得最小值口又力>。，可得S<2喈3

即有四邊形MPNQ面積的取值范圍是［12.8巡）

【點吊】本題考查軌跡方程的求法，注意運用幗回和圓的定義.

也直線和橢園方程聯(lián)立，運用節(jié)達定理和弦K公式,以及直線

和圓相交的弦長公式，號查不等式的性質(zhì),屬于中檔題.

21.(12分)己知閑數(shù)f(X)=(x?2)e*+a(x?1)z為兩個零點.

(I)求a的取值范附：

(H)設(shè)M，k是f(x)的兩個零點，證明：xrx2<2.

【芍點】51：曲數(shù)的零點：6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】32；分類討論；35：轉(zhuǎn)化思想；4C：分類法；4R：轉(zhuǎn)化

法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【考點分析】(I)由函數(shù)fG)=(x-2)e“a(x-D?可得：f

(x)=(x-1)e"+2a(x-1)=<x-1)(e*-2a).對a進行分

類討論，綜合討論結(jié)果，可得答案.

(口)設(shè)卬X2是f(x)的兩個零點，則7=(：二2)三,

Cx1-1)(叮7)

令g(x)=-^~~~2~I則g(X1)=g(X2)="a.分析g(x)

(x-1)

的單調(diào)性，令m>0,則g(l+m)-g(l-m)=^~/f%e2，D，

ro1nH

設(shè)h(m)=rie2?+1,m>0,利用導(dǎo)數(shù)法可得h(m)>h(0)=

mH

0恒成立，即g(1+m)>g(1-m)恒成立，令m=1-xi>0.

可得結(jié)論.

【卿答】解：(I)???函數(shù)f(x)=(x-2)e"+a(x-1)2,

：.V(x)=(x-1)ex^2a(x-1>=(x-1)(^23).

①苔a=0.那么f(x>=0=<x-2)e=0?x=2.

函數(shù)f(x)只行唯一的零點2.不合題意；

②若a>0,那么盧2a>0恒成立，

當xVl時，f(x)<0,此時函數(shù)為減函數(shù)：

當x>l時，f(x)>0,此時函數(shù)為增函數(shù)：

此時當x=l時，函數(shù)f(X)取極小值?e,

lllf(2)=a>0,可得：函數(shù)f(x)在x>l存在一個零點：

當xVl時，ex<e.x-2<-K0.

.*.f(x)=(x-2>ex<a<x-1)2>(x-2)e*a(x-1)a(x-1)

2+e(x-1)-e.

令a(x-1)?+e(x-1)-e=0的兩根為tl，t2,Htx<t2.

則當x〈t?或x>。時，f(x)>a(x-1)2^e(x-1)-e>0,

故函數(shù)f(x)在xVl存在一個零點；

即函數(shù)f(x)在R是存在兩個零點，滿足題意：

③若-^VaVO，WJln<-2a><lne=l.

當xVln(-2a)時,x-l<ln(-2a)-l<lne-1=0.

ex+2a<eln2,*2a=0.

即f'(x)=(x?1)(e*+2a>>0恒成立，故f(x>單調(diào)遞增，

當In(-2a)<x<l時，x-l<0,e*+2a>e,n12a-2a=0.

UPf(x)=(x-1)(e*+2a)VO恒成立,故f(x)單調(diào)遞減，

當x>l時.x-l>0.e"+2a>e,n2i，+2a=O.

即f(x)=(x?l)(e?+2a)>0恒成立,故f(x)單調(diào)遞增.

故當x=ln(-2a)時,函數(shù)取極大值，

|t|f(In(-2a))=[In(-2a)-2]<-2a)+a[ln(-2a)-1]2=a{[in

(-2a)-2了+1}<0得：

函數(shù)f(x)在R上至多存在一個零點，不合題意：

④若a=■[,W1|In<-2a)?1,

2

當xVl=ln(-2a)時，x-l<0,e'-2a<e,n2a；+2a=O.

BUf(x)=(x?1)(e*+2a>>0恒成立，故f(x)單調(diào)遞增，

當x>l時，x-1>0,ex+2a>eln2a+2a=0,

即—))e”2a>>0恒成立,故f(x)單調(diào)遞增，

故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.

函數(shù)f在R上至多存在個零點,不合題意；

⑤若a<-卡，則In(-