2019-2020學年山東省泰安市高三（上）期末數(shù)學試卷

2019-2020學年山東省泰安市高三（上）期末數(shù)學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.(5分)若全集U=A,集合A={X€Z|/<16},B={X|X-1W0},則AH(QjB)=()

A.皿《4}B.{x|l<x<4}C.{1,2,3}D.{2,3}

2.（5分）復(fù)數(shù)z滿足.l+i-=l-i>則|z|=()

z

A.2zB.2C.iD.1

3.（5分）已知向量而=（3,-4）,QB=（6,3),0C=(2〃?，m+l).若AB//0C，則

實數(shù)m的值為（）

A.AB.3C.-3D.-1

557

4.（5分）函數(shù)/（x）=坦與1■的部分圖象是（）

5.(5分)ua<-1"是'勺麻R,asinxo+lVO”的(

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.（5分）若I°g3（2a+b）=l+log6^，則。+2b的最小值為（）

A.6B.&C.3D.也

33

22

7.（5分）已知圓C：10），+2]=0與雙曲線￥一號1（&>0,b>0）的漸近線相切，

則該雙曲線的離心率是（)

A.A/2B.5C.D.Vs

32

8.（5分）己知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱長為4次，底面邊長為6,則該正三棱錐外接球的

表面積是（）

A.1611B.20nC.32TTD.64K

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.（5分）已知mb,c,d均為實數(shù)，則下列命題正確的是（）

A.若a>b,c>d,則

B.若ab>0,be-ad>0>貝—^>Q

ab

C.若a>b,c>d,則〃--c

D.若c>d>0,則曳〉之

dc

10.（5分）已知a,0是兩個不重合的平面，，"，〃是兩條不重合的直線，則下列命題正確

的是（）

A.若膽〃〃，〃?_La,則"_LaB.若wt〃a,aA^—n,則〃?〃”

C.若，〃_La,機_1_0,則a〃6D.若77?J_a,m//n,n//^>,貝!]a〃0

11.（5分）如圖，在四邊形A8CQ中，AB//CD,AB±AD,AB=2AD=2DC,E為BC邊

上一點，且玩=3.，尸為4E的中點，則（）

A-BC=^-AB+ADB.AF^-AB-^-AD

C-BF=^-AB-4A5d-CTABAD

3363

12.(5分)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，/(x)=/(x+1),則下

列命題正確的是（）

A.當x>0時，f(x)=--*(x-1)

B.函數(shù)/Ge)有3個零點

C.f(x)<0的解集為(-8,-1)u(0,1)

D.Vxi，X2ER,都有/（X］）-f（x2）|<2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，6,c,若亞且區(qū)

abc

/?2+c2-J=4c,則lanB=.

5

14.（5分）我國古代的天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每

個節(jié)氣唇（gul）長損益相同（唇是按照日影測定時刻的儀器，辱長即為所測量影子的長

度），夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是

連續(xù)的十二個節(jié)氣，其號長依次成等差數(shù)列，經(jīng)記錄測算，這十二節(jié)氣的所有唇長之和

為84尺，夏至、處暑、霜降三個節(jié)氣署長之和為16.5尺，則夏至的號長為尺.

15.（5分）已知拋物線）2=2px（p>0）的焦點為尸（4,0）,過尸作直線/交拋物線于例,

N兩點，貝ljp=____,幽-一上的最小值為_______.

9|MF|

x

16.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）在定義域（0,+8）上是單調(diào)函數(shù)，VxG（0,+8）,y］/（x）-e+x］

=e,若不等式對尤（0,+8）恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）在①函數(shù)f（x）=iin（23x+（p）（3>0,|<p|<2L）的圖象向右平移工個單

2212

位長度得到g（x）的圖象，g（x）圖象關(guān)于原點對稱；②向量IT=（V3sino）x,cos2a）x）,

n一（』COS（A）X,-f（x）一IT*n；叵）函數(shù):cos3xsin（3-（3

2464

>0）這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

已知，函數(shù)/（無）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為ZL.

2

（1）若0<。<告，且sin8哼，求/（。）的值；

（2）求函數(shù)/（x）在［0,2n］上的單調(diào)遞減區(qū)間.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

18.（12分）已知等差數(shù)列｛?。那啊椇蜑镾,”42+45=12,54=16.

（1）求｛斯｝的通項公式；

（2）數(shù)列仍“｝滿足與=——,丁為數(shù)列｛瓦｝的前〃項和，是否存在正整數(shù)，”，左（1

4Sn-1n

<m<k\使得”=33，?若存在，求出血，人的值；若不存在，請說明理由.

19.（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，4c為等腰直角三角形，ZAPC=90a,/\ABC

為正三角形，。為AC的中點，AC=2.

(1)證明：PBLAC；

(2)若三棱錐P-A8c的體積為返，求二面角A-PC-B的余弦值.

20.(12分)如圖所示，有一塊等腰直角三角形地塊ABC,ZA=90°,8C長2千米，現(xiàn)對

這塊地進行綠化改造，計劃從8c的中點。引出兩條成45°的線段。E和。尸，與AB和

AC圍成四邊形區(qū)域AEDF,在該區(qū)域內(nèi)種植花卉，其余區(qū)域種植草坪；設(shè)NBCE=a,

試求花卉種植面積S(a)的取值范圍.

21.(12分)已知橢圓E：號+X或l(a>b>0)的離心率e滿足2e2-3折+2=0,右頂

點為A,上頂點為B,點C(0,-2),過點C作一條與y軸不重合的直線/,直線/交橢

圓E于P,。兩點，直線BP,BQ分別交x軸于點M,N；當直線/經(jīng)過點A時，/的斜

率為正.

(1)求橢圓E的方程；

(2)證明：SABOM'S^BCN為定值.

y

,/

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=e-ax.

（1）當。>0時，設(shè)函數(shù)/（x）的最小值為g（。），證明：g（a）W1；

⑵若函數(shù)。（無）=/（工）-有兩個極值點X|，X2（X1<12），證明：h（X|）+h（X2）

>2.

2019-2020學年山東省泰安市高三(上)期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.(5分)若全集U=R,集合A={xeZ|，<16},3={x|x-1W0},則AC!(CuB)=()

A.{x|lWx<4}B.{x|l<x<4}C.{1,2,3}D.{2,3}

【分析】可以求出集合A,B,然后進行補集和交集的運算即可.

【解答］解：A={xWZ|-4Vx<4}={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={中W1},

；.CuB={x|x>l},AH(CuB)={2,3}.

故選：D.

【點評】本題考查了描述法、列舉法的定義，交集和補集的運算，考查了計算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

2.(5分)復(fù)數(shù)z滿足3-=1+，則|Z|=()

Z

A.2iB.2C.iD.1

【分析】根據(jù)已知條件，先求出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，代入模長公式即可.

【解答】解：依題意，因為復(fù)數(shù)Z滿足曰=1T，

Z

所以)—=i,

1-i2

所以|z|=l,

故選：D.

【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

3.(5分)已知向量0A=(3,-4),0B=<6,-3),0C=(2/n,/n+1).若AB//0C，則

實數(shù)m的值為()

A.AB.3C.-3D.-A

557

【分析】先求得得AB=OB-OA=(3,1),再由AB//OC，則這兩個向量的坐標對應(yīng)成

比例，解方程求得實數(shù)〃?的值，可得結(jié)論.

【解答】解：由題意可得標=而-水=(3,1),若標力灰,

則這兩個向量的坐標對應(yīng)成比例，即生1tl,

31

解得tn--3,

故選：c.

【點評】本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的運算，屬于基礎(chǔ)題.

4.)

【分析】根據(jù)題意，由排除法分析：分析可得/(x)為奇函數(shù)，排除8,結(jié)合函數(shù)的解

析式可得當0<x<l時，/(x)<0,排除C,當x>l時，/(x)>0,排除Z)；據(jù)此即可

得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，/(%)=111與L,其定義域為Wxr0},

X

又由/(-x)=.!n(-x)=-f(X),即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除B,

(-X)3

當0<x<l時，ln\x\=lnx<0,x>0,則有/(x)<0,排除C,

當x>l時，ln\x\=lnx>0,x>0,則有/(x)>0,排除。，

故選：A.

【點評】本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

5.(5分)ua<-1”是“mx()€R,asinxo+lVO”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】設(shè)f(x)=asinx+l,分類求得函數(shù)的值域，由mx()eR,asinxo+1<0求得”的范

圍，可知-1”是“meR,asitixo+KO"的不必要條件；取和二匚當-1

x。2

時,asinxo+1VO成立,說明ua<一]”是u3x（）GR,asin%o+l<O”的充分條件.

【解答】解：必要性:設(shè)/（x）=asinx+l,當a>0時，f（x）G[1-a,1+a],1-a<0,

BPa>l；

當a<0時，e[l+a,1-a],：.l+a<0,即aV-1.

故a>1或a<-1；

充分性：取Y=兀,當a<-l時，asinxo+1<0成立.

X。2

/.aa<-1”是'勺xo€R,asinxo+lVO”的充分不必要條件.

故選：A.

【點評】本題考查充分必要條件的判定，考查三角函數(shù)的有界性，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想

方法，是中檔題.

6.（5分）若log3（2a+b）=l+log6\G^則。+26的最小值為（）

A.6B.&C.3D.也

33

,

【分析】log3（2a+b）=l+log^377b變形陛3（2。+匕）=l+log3^,可得a,b>0,

2+工=3,可得"2匕=工（a+26）（2+工）=工（5+2曳+型），利用基本不等式的性質(zhì)

ba3ba3ba

即可得出.

【解答】解：]og3（2a+b）=l+log6>/7^Alogs（2a+b）=l+log3〃匕,

A2a+b=3abfa,b>0.

化為：2+上=3.

ba

則。+2匕=工（a+26）（2+工）=工（5+空+空）2工（5+2X2A）=3,當且僅

3ba3ba3yba

當a=b=\時取等號.

故選：C.

【點評】本題考查了對數(shù)運算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

22

7.（5分）已知圓C：/+7-10），+21=0與雙曲線氣■一號l（a>O,b>0）的漸近線相切，

則該雙曲線的離心率是（)

A.V2C.1.D.V5

【分析】由雙曲線的標準方程寫出漸近線方程，利用圓心到切線的距離d=r,列方程求

出離心率e=￡的值.

a

22

【解答】解：雙曲線三-。=1的漸近線方程為灰土3=0,

圓C：/+）?-10y+21=0化為標準方程是：/+（y-5）2=4,

則圓心C（0,5）到直線bx-ay=0的距離為d=r；

即5a|_=5a=2

解得￡=互，

a2

即雙曲線的離心率是e=§.

2

故選：C.

【點評】本題考查「圓與雙曲線的標準方程和應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

8.（5分）己知正三棱錐S-48c的側(cè)棱長為4我，底面邊長為6,則該正三棱錐外接球的

表面積是（）

A.16nB.20TlC.32nD.641T

【分析】正棱錐的外接球的球心在頂點向底面做投影所在的直線上，先求底面外接圓的

半徑，再由勾股定理求錐的高，由勾股定理求出外接球的半徑，由球的表面積公式求出

表面積.

【解答】解：如圖所示：由正棱錐得，頂點在底面的投影是三角形ABC的外接圓的圓心

O1,接圓的半徑r,

正三棱錐的外接球的球心在高SO,所在的直線上，設(shè)為。，連接OA得,：

r=---1-,二廠=2次，即。"=2?,所以三棱錐的高1={$人2_0，*=

sirry

7（W3）2-（2V3）2=6,

由勾股定理得，R2=J+（R-〃）2,解得：R=4,

所以外接球的表面積S=47i/?2=64ir.

故選：D.

s

【點評】考查正三棱錐的外接球的表面積，屬于中檔題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.（5分）已知a,b,c,d均為實數(shù)，則下列命題正確的是（）

A.若a>b,c>d,貝（1“c>bd

B.若ab>0,be-ad>0,則—

ab

C.若a>b,c>d,則a-d>b-c

D.若a>b,c>d>0,則月_>上

dc

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，或者反例判斷選項的正誤即可.

【解答］解：若。>b>0,c>d>0,則所以A不正確；

若ab>0,be-ad>0,可得》l_（bc-ad）>0，即￡屈>。一旦>0,所以8正確；

ababb

若a>b,c>df則〃+c>〃+d,EPa-cl>b-c,所以C正確；

若a>b,c>d>0,則包〉?二.不正確，反例a=l,b=-\,c=-2,d=-3,

dc

顯然包=」，旦」，所以。不正確.

d3c2

故選：BC.

【點評】本題考查命題的真假的判斷，不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識的考查，

基礎(chǔ)題.

10.（5分）已知a,0是兩個不重合的平面，〃?，〃是兩條不重合的直線，則下列命題正確

的是（）

A.若加〃小機J_a,則相_l_ctB.若a,ari0=〃，則加〃〃

C.若"?_La,則a〃0D.若"?_La,相〃〃，〃〃仇則0（〃0

【分析】利用空間線面、面面位置關(guān)系的判定即可得出結(jié)論.

【解答】解：A.由加〃小m±a,則〃_La,正確；

B.由加〃a,aAp=n,則相與〃的位置關(guān)系不確定；

C.由，〃J_a,，w_L0,則0￡〃0正確

D.由ml.a,m//n,"〃仇則a_L0,因此不正確.

故選：AC.

【點評】本題考查了空間線面、面面位置關(guān)系的判定，考查了推理能力與計算能力，屬

于中檔題.

11.（5分）如圖，在四邊形A2CD中，AB//CD,ABYAD,AB=2AD=2DC,E為BC選

上一點，且皮=3前，尸為4E的中點，則（）

?1.??1?1.

A-BC=-yAB+ADB-AF^AB號AD

c-BF=^-AB^ADD-CT=4ABAD

3363

【分析】利用向量的加法法則，先用羽和麗表示出前，進而表示出屈，而和了.

【解答】解：由A8=24O=2OC知:

；BC=BA+AD+DC.

BC=-AB+AD+yAB

_1—*—*

--yAB+AD(

故A選項正確.

故B選項正確.

BF=BA+AF=-AB4-AB-4-AD>

ABF=-1-AB^AD'

故c正確.

??,CF=CD+DA+AF

——^-AB-AD+yAB+yAD

=WAB*AD，

63

D不正確.

故選：ABC.

【點評】本題考查向量的加法法則的合理運用，解題時要注意向量間的關(guān)系以及轉(zhuǎn)化的

思想.

12.(5分)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，/(%)=/(x+1),則下

列命題正確的是()

A.當x>0時，f(x)--ex(x-1)

B.函數(shù)f(x)有3個零點

C./(x)<0的解集為(-8,-1)u(0,1)

D.Vxi，X26R,都有(xi)-f(%2)l<2

【分析】函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，/(無)=/(x+1),設(shè)x>0時,

-x<0,可得f(x)=-/(-%)—ex(x-1),x=0時，f(0)=0.當x<0時，f(x)

=/(x+1),f(x)=)=e*(x+2),可得x=-2時，函數(shù)/(x)取得極小值，進而判

斷出結(jié)論.

【解答】解：函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，/(x)=/(x+1),

設(shè)x>0時，-x<0,/(-x)—ex(-x+1),/./(x)=-f(-x)—ex(x-1),

x=0時-，f(0)=0.因此函數(shù)/(x)有三個零點：0,±1.

當x<0時，f(x)=，(x+1),f'(x)=)=/(x+2),可得x=-2時，函數(shù)f(x)

取得極小值，

/(-2)=二二可得其圖象：

2

e

f(x)VO時的解集為：(-8,-1)u(0,1).

Vxi，x2eR,都有，(陽)-f(x2)|W|/(0+)-f(0-)|<2.

因此BCD都正確.

故選：BCD.

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、方程與不等式的解集、函數(shù)的奇偶性,

考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若咨良.+22組再

abc

/?2+c2-〃2=2加，則tanB=4.

5

【分析】先由余弦定理求出cosA的值，結(jié)合正弦定理進行化簡即可.

【解答】解：由/+C，-/=旦仄：

5

6,

,2,^22T-bco

得cosA=-------=----二—,

2bc2bc5

則sinA=&-,

5

若咨AjosB=sinC,

abc

則cosA^cosB=sinC=1，

sinAsinBsinC

即3+」^=i,

4tanB

得―--=工，得tanB=4,

tanB4

故答案為：4.

【點評】本題主要考查三角函數(shù)值的計算，結(jié)合余弦定理以及正弦定理進行轉(zhuǎn)化是解決

本題的關(guān)鍵，考查學生的計算能力，難度中等.

14.(5分)我國古代的天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每

個節(jié)氣署(gui)長損益相同(號是按照日影測定時刻的儀器，號長即為所測量影子的長

度)，夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是

連續(xù)的十二個節(jié)氣，其辱長依次成等差數(shù)列，經(jīng)記錄測算，這十二節(jié)氣的所有署長之和

為84尺，夏至、處暑、霜降三個節(jié)氣署長之和為16.5尺，則夏至的底長為1.5尺.

【分析】利用等差數(shù)列的前〃項和公式和通項公式列出方程組，能求出夏至的辱長.

【解答】解：；夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小

雪、大雪是連續(xù)的十二個節(jié)氣，

其唇長依次成等差數(shù)列｛斯｝,

經(jīng)記錄測算，這十二節(jié)氣的所有辱長之和為84尺，夏至、處暑、霜降三個節(jié)氣皆長之和

為16.5尺，

’19X11

.S12=12ai4——d=84

??<乙,

+12d=16.5

解得d=l,。|=1.5.

夏至的展長為1.5尺.

故答案為：1.5.

【點評】本題考查夏至的唇長的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解

能力，是基礎(chǔ)題.

15.(5分)已知拋物線;/=2px(p>0)的焦點為尸(4,0),過F作直線/交拋物線于M,

N兩點，則〃=8,幽_一上的最小值為X.

9|MF|一旦一

【分析】先有焦點坐標求出P，再討論當直線/的斜率不存在時，求出答案，當直線/的

斜率存在時，根據(jù)韋達定理和拋物線的定義即可求出」_+」_=工，代入幽-一4；

NFMF49|MF|

根據(jù)基本不等式即可求最小值

【解答】解：拋物線,=2度的焦點F,因為F(4,0),

.,.■^>=4今〃=8=『=[6x；

當直線/的斜率不存在時，直線/為x=4,

(x=4

由《，可得M(4,8),N(4,-8),

、y"=16x

A1^=1^=8,

.|NF|__紇=&_匡=

■"9IMFT5W市

當直線/的斜率存在時，設(shè)過點F作直線/的方程為y=k(x-4),不妨設(shè)M(xi，yi),

N（X2，yi）,

2_

由y=16x,消y可得武「（16+8產(chǎn)）x+16乃=o,

Ly=k（x-4）

??X|+X2=8+----,X\X2=16,

k2

A\MF\=x\+R=jq+4,|NF|=12+艮=尤2+4,

22

.一"一仆2也一」

4

NFMFXi+4X2+4X1X2+4（Xt+x2）+16i6+4（8二1）+16

?|NF|_4=NF1_1）=|NF|,4-1=工.(當且僅當|NF|

9'IMF|94|NF|9|NF|3

=6時等號成立）.

故答案為：8,-1.

3

【點評】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，拋物線的定義，基本不等式的應(yīng)用，考

查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力，是中檔題

x

16.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域(0,+8)上是單調(diào)函數(shù)，VxG(0,+8),川(x)-e+x]

=e,若不等式/(x)+f(x)Nor對入W(0,+°°)恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是

W2e-11.

【分析】由已知可得/(1)=/-x+6且/(/)=/,進而可求，及/(x),然后代入已知

不等式，結(jié)合恒成立與最值求解的相互轉(zhuǎn)化可求.

【解答】解：令t=f3-/+x,

所以/(x)=ex-x+t,

因為/(x)在定義域(0,+8)上是單調(diào)函數(shù)，VxE(0,+8),J\f(x)-ex+x]=e,

故，為常數(shù)且/(f)=Z=e,

所以，r=l,f(x)=/-x+l,f(x)=ex-1

因為/(x)+f(x)對(0,+8)恒成立，

所以2/2(a+1)x對環(huán)(0,+8)恒成立，

即4+14謔_對花(0,+8)恒成立，

X

nQX

令g(x)=.e.X>0,

則g'(x)=W

X’

當x>l時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當0<xVl時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)

遞減，

故當x=l時，函數(shù)取得最小值g(1)=2e,

故a+1W2e即aW2e-1.

故答案為：{a|aW2e-1}.

【點評】本題主要考查了不等式的恒成立與最值求解的相互轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，解題的關(guān)

鍵是根據(jù)已知條件求出/(x).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在①函數(shù)f(x)=Lin(23x+cp)(3>0,|(p|<—)的圖象向右平移？L個單

2212

位長度得到g(x)的圖如g(x)圖象關(guān)于原點對稱；②向量IT=(J^sirKOx,C0S23X),

n—(—cos3x,—),3>0,/(x)—ir*n；函數(shù)f(x)=cos3xsin(3x+—)—(3

2464

>0)這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

已知選條件①,函數(shù)/(X)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為唱.

(1)若0<。<字，且sin。平，求/(。)的值；

(2)求函數(shù)/G)在［0,2可上的單調(diào)遞減區(qū)間.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【分析】首先利用對稱軸之間的距離求出函數(shù)的周期，進一步利用函數(shù)的關(guān)系式的平移

變換和伸縮變換的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步求出函數(shù)的值和單調(diào)區(qū)間.

【解答】解：方案一：選條件①

由題意可知，丁啜_=兀，

.*.0)=1,

?',f(x)=ysin(2x+<P>

.1兀

'g(x)=-sin(2x+'t)-

Nb

又函數(shù)g(x)圖象關(guān)于原點對稱，

0=k^+-^-?kEZ，

???|0|<當，

?小兀

?.0方

*/s1/兀、

?-f(x)=ysin(2x+^-)-

⑴V0<e<-^,Sin8平

e工

4

4/J玲

⑵由千+2k兀42x*4兀+2k兀，k€Z

解得二+k冗<x<|■冗+k冗，k€Z-

令k=0,得■兀

63

令k=l,得［?兀4x《~|??！?/p>

63

???函數(shù)小)在［0,2n］上的單調(diào)遞減區(qū)間為小，111］,5fK］,

【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的

圖象的平移變換的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題

型.

18.（12分）已知等差數(shù)列｛斯｝的前"項和為S,”“2+“5=12,54=16.

（1）求｛““｝的通項公式；

（2）數(shù)列｛兒｝滿足與=-I—,T為數(shù)列｛b｝的前〃項和，是否存在正整數(shù)相，k（1

4Sn-1n

<m<k）,使得“=3。"2?若存在，求出小，女的值；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為"，利用已知條件列出方程求解首項與公差，得到

通項公式.

（2）求出Sn=n+n（￡l）X2=r?，化簡｛為｝的通項公式，利用裂項消項法求和，通過

T,=3T2,分析求解即可.

【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為止

a2+a5=122a[+5d=12

由，得

=

s4=162a|+3d8

al=1

解得I

an=l+2(n-l)=2n-l,n€N*

.d=2

(2)$=n^^-2

n2X2=n，

111

芍(2n-l2n+l)?

-n4n2-1

.*.r?=fel+/>+—+^=-^-[(l-y)+(y-^-)+—+(1111

2n)+(：)]

ZooD2n-32n-l2n-l2n+l

瑟（14尸福

3K

若T】=3T2，則——

2k+l(2m+l)2

整理得k=_囪』一,

4m+l-2K

3m2

>m

又k>m>1"4m+l-2m2

ITL>1

2m2-m-]

>0

整理得4m+l-2m2

ITL>1

解得

又,HGN

??2,??k--12.

存在m=2,%=12滿足題意.

【點評】本題考查數(shù)列的求和，遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化首項

以及計算能力，是中檔題.

19.（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，為等腰直角三角形，ZAPC=90a,XABC

為正三角形，。為AC的中點，4C=2.

(1)證明:PBLAC；

（2）若三棱錐P-ABC的體積為返，求二面角A-PC-8的余弦值.

3

【分析】(1)證明PDLAC.BD±AC.然后證明AC，平面PBD即可證明PB，AC.

(2)說明平面A8C,以。為坐標原點，建立空間直角坐標系求出平面

P8C的一個法向量，平面fiAC的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可.

【解答】(1)證明：為等腰直角三角形，。為4c的中點，.?.P￡>，4c.

又△ABC為正三角形，。為AC中點，.??8。，AC.

又PDCBD=D,PD,8。平面P8O,，AC_L平面PBD

又PB_L平面P8D,J.PBLAC.

(2)解：設(shè)三棱錐P-ABC的高為/?,BD=BCsin600

'Vp-ABC4ACXBDXh=%=噂'

rMLOZ0o

.*./?=1.

又PD=^AC=1，.'PC平面ABC，

如圖，以。為坐標原點，建立空間直角坐標系o-xyz,則

A(l,0,0),B(0,V3-0)，C(-l,0,0),P(0,0,1：

DB=(O,V3，0),CP=(1,0,1),CB=(1,73，0)，

設(shè)葦=(x,y,z)為平面P2C的一個法向量，則［cP'n=°即1x+z,

(CB-n=0lx+V3V=0

令x=i,得y3,

,z=-l

An=(l?T>

o

又正是平面PAC的一個法向量，

DB*n

?'?cos\DB，

|DB||n|

二面角A-PC-B的余弦值為近.

7

【點評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空

間想象能力，邏輯推理能力以及計算能力，是中檔題.

20.(12分)如圖所示，有一塊等腰直角三角形地塊ABC,N4=90°,BC長2千米，現(xiàn)對

這塊地進行綠化改造，計劃從8c的中點。引出兩條成45°的線段OE和。F,與A8和

AC圍成四邊形區(qū)域AEDF,在該區(qū)域內(nèi)種植花卉，其余區(qū)域種植草坪；設(shè)

試求花卉種植面積S(a)的取值范圍.

【分析】由題意在△出)￡中由正弦定理得BE=~多黑-----，在中由正弦定理

sin(4-a)

得CF型(等利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求如2s

sinCL

ADCF=yH---------------------元——，進而可求S(a)=y-----------------------——，結(jié)

2->/2sin(2CI)+22->/2sin(2d)+2

合題意可求范圍2(1—卷￡等)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解花卉種植面積

S(a)取值范圍.

3%

【解答】解：在△BOE中，ZfiED=---Q,

4

]

由正弦定理得-3

sin(w兀一日)

在△￡>(?尸中，/FDC=2^-a,NDFC=a,

4

由頂線定理得----孟-------.1

sina'

sin(~—a)

sin(W-a)

CF=si/

.iniJi

?-SABDE+SADCFxBExBDxsirr^xCFxCDxsirr^

=^(BF+CF)

./3H—

=返(sinasin(『CQ

4’.,3兀qHsina)

.3兀3兀.

4sin-;-cosCl-cos~:—sina

_y2(sina___________44_______

一下.3冗-3H4sina

sincos-cosr-^-sin^-

二近(&sinacosa+sina

4cosQ.+sinQ.+_Vasina-

=立Zsi/a+l+sin2a

4V2sinCI(cosCI+sind)

sin2"cos2a+2

4y/2sinO.cosa-h/2sin2a

=1sin2a-cos2a+2

2sin2a-cos2a+1

=L1]_________)

2Uksin2Cl-cos2Cl+1)

1,1________

-y+n'

2V2sin(2Cl)+2

?'?5(a)=S^ABC_(S&BDE^SADCF)-4--------------

2后sin(2a---)+2

...AE。尸為四邊形區(qū)域，

.廣,71兀、

a￡片，—

?兀尸/兀3兀、

??2.丁七，—

，sin(2a￡(當，

?二<S(a)<i乎

42

，花卉種植面積S(a)取值范圍是(上，

【點評】本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正

弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的實際應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

22

21.（12分）己知橢圓E：號+X或l（a>b>0）的離心率e滿足2e?-3折+2=0,右頂

點為A,上頂點為3,點C（0,-2）,過點。作一條與y軸不重合的直線/,直線/交橢

圓E于P,Q兩點，直線BP,BQ分別交x軸于點M,N；當直線/經(jīng)過點A時，/的斜

率為

（1）求橢圓E的方程；

（2）證明：SABOM'S/XBCN為定值.

【分析】（1）由2/_3加e+2=0求出離心率，結(jié)合AC的斜率，轉(zhuǎn)化求解。，b,即可

得到橢圓方程.

y=kx-2

（2）設(shè)直線/的方程為丁=丘-2,P（xi，力），Q（X2，＞2）由《/得（2產(chǎn)+1）

也+y=1

7-8履+6=0,利用韋達定理以及弦長公式，結(jié)合三角形的面積，轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：（1）^2e2-3V2e+2=0

解得e=-^-sSe=V2（舍去），a二加卜

,

又kA乩C=°a.-［0）=后