極大值與極小值(1)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.2極大值與極小值(1)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)極值的概念，會從函數(shù)圖象直觀地認(rèn)識函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．2.初步掌握求函數(shù)極值的方法．3.體會滲透在數(shù)學(xué)中的整體與局部的辯證關(guān)系．活動(dòng)方案1.觀察上述函數(shù)圖象，回答下面的問題：(1)函數(shù)圖象在點(diǎn)P的左、右兩側(cè)分別有什么變化規(guī)律？活動(dòng)一理解函數(shù)極值的概念，理解極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系【解析】函數(shù)圖象在點(diǎn)P處從左側(cè)到右側(cè)由“上升”變?yōu)椤跋陆怠?，即函?shù)由單調(diào)遞增變?yōu)閱握{(diào)遞減．(2)在點(diǎn)P附近，哪個(gè)點(diǎn)的位置最高？對應(yīng)的函數(shù)值哪個(gè)最大？【解析】點(diǎn)P的位置最高，f(x1)最大．2.函數(shù)極值的概念．(1)試根據(jù)上圖給出函數(shù)極大值的概念：【解析】一般地，若存在δ>0，當(dāng)x∈(x1－δ，x1＋δ)時(shí)，都有f(x)≤f(x1)，則稱f(x1)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值．(2)類比給出函數(shù)極小值的概念：【解析】一般地，若存在δ>0，當(dāng)x∈(x2－δ，x2＋δ)時(shí)，都有f(x)≥f(x2)，則稱f(x2)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值．(3)極值的概念：【解析】函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值．思考1???函數(shù)的極大值與極小值是否都唯一？極大值一定比極小值大嗎？【解析】不唯一，不一定．思考2???函數(shù)的極值點(diǎn)能否出現(xiàn)在區(qū)間端點(diǎn)？【解析】不能思考3???在函數(shù)極大值點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)圖象有什么變化規(guī)律？能否從導(dǎo)數(shù)出發(fā)進(jìn)行研究？【解析】圖象先上升后下降，即先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減．能從導(dǎo)數(shù)出發(fā)研究，即左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0.3.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．結(jié)合上圖探求函數(shù)的極大值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并填寫下表：xx1左側(cè)x1x1右側(cè)f′(x)f′(x)____0f′(x)____0f′(x)____0f(x)單調(diào)遞____取得________單調(diào)遞____試類比探求極小值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：xx2左側(cè)x2x2右側(cè)f′(x)f′(x)____0f′(x)____0f′(x)____0f(x)單調(diào)遞____取得________單調(diào)遞____【解析】>＝<增極大值減<＝>減極小值增思考4???若函數(shù)f(x)在x0處取得極值，則f′(x0)＝0.反過來，若f′(x0)＝0，則函數(shù)f(x)一定在x0處取得極值嗎？能否舉例說明？

【解析】不一定，如函數(shù)y＝x3，導(dǎo)數(shù)為y′＝3x2，當(dāng)x＝0時(shí)，y′＝0，但函數(shù)在x＝0處不是極值．例1已知函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A.1

B.2

C.3

D.4【答案】A【解析】由圖象，設(shè)f′(x)與x軸負(fù)半軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為c，d，其中c<d.由圖可知，在區(qū)間(－∞，c)，(d，b)上f′(x)≥0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，c)，(d，b)上單調(diào)遞增；在區(qū)間(c，d)上，f′(x)<0，所以f(x)在區(qū)間(c，d)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝c時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，當(dāng)x＝d時(shí)，函數(shù)取得極小值，故函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.例2求下列函數(shù)的極值：活動(dòng)二掌握求函數(shù)極值的方法(2)f(x)＝x4－4x3＋5；【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.列表如下：當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)有極小值－9.x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

(2)因?yàn)閒(x)＝x4－4x3＋5，所以f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.列表如下：故當(dāng)x＝3時(shí)函數(shù)f(x)取得極小值，且極小值為f(3)＝－22；無極大值．x(－∞，0)0(0,3)3(3，＋∞)f′(x)－0－0＋f(x)

不是極值

極小值

列表如下：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)

極大值

思考5???求函數(shù)的極值的一般步驟是什么？【解析】①先求導(dǎo)；②令導(dǎo)數(shù)為0，求出x的值；③列表，根據(jù)f′(x)在f′(x)＝0的根左、右的函數(shù)值的符號來確定函數(shù)的極值．

求函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋5的極值．【解析】由題意，得f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表如下：所以當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)有極大值f(－1)＝10；當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)有極小值f(3)＝－22.x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2.列表如下：所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有極小值f(0)＝0；x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)

極小值

極大值

檢測反饋245131.函數(shù)f(x)＝lnx－x在區(qū)間(0，e)上的極大值為(

)A.－e B.－1C.1－e D.0【答案】B245132.(2023阜新二中期末)設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象可能是(

)【解析】由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可知，在區(qū)間(－∞，0)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；在區(qū)間(0,2)上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；在區(qū)間(2，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以0是函數(shù)的極大值點(diǎn)，2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象可知A符合．【答案】A2453B.f(x)在定義域內(nèi)無零點(diǎn)1D.f(x)的極小值小于極大值245312453【答案】BC124534.(2023通化梅河口五中期末)函數(shù)f(x)＝(x2－1)3＋6的極值點(diǎn)為________.1【解析】由題意，得f′(x)＝3(x2－1)2·2x＝6x(x2－1)2.當(dāng)x＝0時(shí)，f′(x)＝0；當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)≤0，f(x)單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)＝(x2－1)3＋6的極小值點(diǎn)為0，無極大值點(diǎn)．【答案】024535.求下列函數(shù)的極值：1(2)y＝x－2cosx；(3)y＝ex－ex.24531列表如下