2022-2023學(xué)年廣西壯族自治區(qū)河池市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)河池市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題全卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置，2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號。回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回。4.本卷主要考查內(nèi)容：必修第二冊。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A.-1 B. C. D.12.在中，已知，，，則（）A. B. C. D.13.在北京冬奧會期間，共有1.8萬多名賽會志愿者和20余萬人次城市志愿者參與服務(wù).據(jù)統(tǒng)計某高校共有本科生4400人，碩士生400人，博士生200人申請報名做志愿者，現(xiàn)用分層抽樣方法從中抽取博士生10人，則該高校抽取的志愿者總?cè)藬?shù)為（）A.100 B.150 C.200 D.2504.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則5.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為素數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為合數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于2”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”，則（）A.事件1與事件3互斥 B.事件1與事件2互為對立事件C.事件2與事件3互斥 D.事件3與事件4互為對立事件6.從裝有若干個紅球和白球（除顏色外其余均相同）的黑色布袋中，隨機(jī)不放回地摸球兩次，每2次摸出一個球.若事件“兩個球都是紅球”的概率為，“兩個球都是白球”的概率為，則“兩個球顏色不同”的概率為（）A. B. C. D.7.將半徑為4，圓心角為的扇形圍成一個圓錐（接縫處忽略不計），則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為（）A. B. C. D.8.已知單位向量，，若對任意實數(shù)，恒成立，則向量，的夾角的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某產(chǎn)品售后服務(wù)中心選取了10個工作日，分別記錄了每個工作日接到的客戶服務(wù)電話的數(shù)量（單位：次）：67573740466231473130則這組數(shù)據(jù)的（）A.眾數(shù)是31 B.中位數(shù)是40 C.極差是37 D.10%分位數(shù)是30.510.如圖所示，每個小正方形的邊長都是1，在其中標(biāo)出了6個向量，則在這6個向量中（）A. B.C.向量與垂直 D.11.一個袋子中有大小和質(zhì)地均相同的3個小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，現(xiàn)分別用三種方案進(jìn)行摸球游戲.方案一：任意摸出一個球并選擇該球；方案二：先后不放回的摸出兩個球，若第二次摸出的球號碼比第一次大，則選擇第二次摸出的球，否則選擇未被摸出的球；方案三：同時摸出兩個球，選擇其中號碼較大的球.記三種方案選到3號球的概率分別為，，，則（）A. B. C. D.12.如圖，正方體的棱長為2，動點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動（含邊界），且，則（）A.點(diǎn)M的軌跡長度為B.三棱錐的體積不為定值C.的最小值為D.取最小值時三棱錐的體積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13._________.14.如圖①是一個小正方體的側(cè)面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時小正方體朝上面的字是__________.15.若一組數(shù)據(jù)m，n，9，8，10的平均數(shù)為9，方差為2，則________.16.已知的外接圓的圓心為O，半徑為1，，在上的投影向量為，則的值為_________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.（本小題滿分10分）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）若，，求的值；（2）若，求角B，C的大小.18.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是矩形，平面ABCD，E，F(xiàn)分別AB，PD的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面PEC；（2）求證：平面PCD.19.（本小題滿分12分）設(shè)，向量，，，且，.（1）求；（2）求向量與夾角的余弦值.20.（本小題滿分12分）某區(qū)為了全面提升高中體育特長生的身體素質(zhì)，開設(shè)“田徑隊”和“足球隊”專業(yè)訓(xùn)練，在學(xué)年末體育素質(zhì)達(dá)標(biāo)測試時，從這兩支隊伍中各隨機(jī)抽取100人進(jìn)行專項體能測試，得到如下頻率分布直方圖：（1）估計田徑隊測試的平均成績；（2）若測試成績在90分以上的為優(yōu)秀，從兩組測試成績優(yōu)秀的學(xué)生中按分層抽樣的方法選出7人參加學(xué)校代表隊，再從這7人中選出2人做領(lǐng)隊，求領(lǐng)隊來自不同隊伍的概率.21.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，，.（1）求證：；（2）求與平面所成的角的大小.22.（本小題滿分12分）2022年卡塔爾世界杯是第22屆世界杯足球賽.比賽于2022年11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)7座城市中的12座球場進(jìn)行.某學(xué)校的足球協(xié)會舉辦了足球知識考試，試卷中3只有兩道題目.已知小張同學(xué)答對每道題的概率為，小李同學(xué)答對每道題的概率為，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.若兩人答對題目數(shù)相同的概率為.（1）求的值；（2）求兩人共答對兩道題的概率.

——★參考答案★——一、單項選擇題1.B〖解析〗由，得，所以.故選B.2.C〖解析〗由正弦定理可得.故選C.3.D〖解析〗根據(jù)題意知分層抽樣比例為，所以該高校抽取的志愿者總?cè)藬?shù)為.故選D.4.C〖解析〗對選項A，若，，則與的位置關(guān)系是平行或者異面，故A錯誤；對選項B，若，，則與的位置關(guān)系是平行和相交，故B錯誤；對選項C，若，，則根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得與的位置關(guān)系是平行，故C正確；對選項D，若，，則與的位置關(guān)系是平行或者包含，故D錯誤.故選C.5.D〖解析〗事件1可表示為：，事件2可表示為：，事件3可表示為：，事件4可表示為：，因為，所以事件1與事件3不互斥，A錯誤；因為為不可能事件，不為必然事件，B錯誤；因為，所以事件2與事件3不互斥，C錯誤；因為為不可能事件，為必然事件，所以事件3與事件4互為對立事件，D正確.故選D.6.C〖解析〗設(shè)“兩個球都是紅球”為事件A，“兩個球都是白球”為事件B，“兩個球顏色不同”為事件C，則，且.因為A，B，C兩兩互斥，所以.故選C.7.C〖解析〗設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，由題意可得，由，所以.因為，圓錐的軸截面是邊長為4的等邊三角形，該等邊三角形（如圖）的內(nèi)切圓半徑為圓錐內(nèi)切球半徑，而等邊三角形的邊長為4，故，故.故選C.8.A〖解析〗設(shè)向量，的夾角為，因為，所以，則，即恒成立.所以，解得，故，的夾角的取值范圍是.故選A.二、多項選擇題9.ACD〖解析〗這組數(shù)據(jù)中31出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)次數(shù)最多，因此眾數(shù)是31，A正確；從小到大排列10個數(shù)據(jù)分別為30，31，31，37，40，46，47，57，62，67，第5位和第6位為40和46，因此中位數(shù)是43，B錯誤；最大值為67，最小值為30，因此極差為67-30=37，C正確；10×10%=1是整數(shù)，10%分位數(shù)應(yīng)取第1位與第2位的平均值，即30和31的平均值30.5，D正確.故選ACD.10.AB〖解析〗對于A，對向量，進(jìn)行平移，使得與構(gòu)成三角形，所以A正確，對于B，因為，所以B正確，對于C，平移向量，使得，共起點(diǎn)，所以C錯誤，對于D，因為，所以D錯誤.故選AB.11.ABD〖解析〗方案一：“選到3號球”的概率方案二：“選到3號球”的概率方案三：同時摸出兩個球共有：{1，2}，{1，3}，{2，3}共3個基本事件，“選到3號球”包含{1，3}，{2，3}共22個基本事件，“選到3號球”的概率∴，，，，ABD正確，C錯誤.故選ABD.12.ACD〖解析〗如圖，因為平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，平面，所以，若，則點(diǎn)M的軌跡為，因為正方體的棱長為2，所以點(diǎn)的軌跡長度為，故A正確；三棱錐就是三棱錐，底面積和高都不變，因此體積不變，故B錯誤；將平面翻折到與平面重合，如圖，此時A，M，B三點(diǎn)共線，取得最小值A(chǔ)B，是邊長為的等邊三角形，是邊長為2的等腰直角三角形，且M是的中點(diǎn)，所以，，取得最小值為，故C正確.，設(shè)M到平面ABCD的距離為h，由三角形面積相等，有，則，于是，故D正確.故選ACD.三、填空題13.〖解析〗，∴.14.路〖解析〗由圖①可知，“國”和“興”相對，“夢”和“中”相對，“復(fù)”和“路”相對；由圖②可得，第1，2，3，4，5格對應(yīng)面的字分別是“興”、“夢”、“路”、“國”、“復(fù)”，所以到第5格時，小正方體朝上面的字是“路”.15.4〖解析〗根據(jù)題意得平均數(shù)，方差，所以，，解得或所以.16.1〖解析〗∵，則O為BC的中點(diǎn)，注意到的外接圓的圓心為O，故BC是外接圓的直徑，即，則在上的投影向量為，可得，即，∵，∴.四、解答題17.解：（1）根據(jù)余弦定理，，，，解得；（2）因為，，因此得到，則，即，所以，因此三角形為等腰三角形，又知道，所以.18.證明：（1）設(shè)G是PC的中點(diǎn)，由于F是PD的中點(diǎn)，所以，，由于E是AB的中點(diǎn)，四邊形ABCD是矩形，所以，，所以，，所以四邊形AFGE是平行四邊形，所以，因為平面PEC，平面PEC，所以平面PEC；（2）由于平面ABCD，平面ABCD，所以，因為，，平面PAD，所以平面PAD，因為平面PAD，所以，因為，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)，所以，因為，平面PCD，所以平面PCD.19.解：（1）向量，，，且，，可得且，解得，，即，，則，則；（2）因為，，所以，設(shè)向量與夾角為，則.20.解：（1）由田徑隊的頻率分布直方圖得：，解得.其中“田徑隊”的平均成績?yōu)椋?，?）“田徑隊”中90分以上的有10×0.008×100=8（人），“足球隊”中90分以上有10×0.006×100=6（人）所以抽取的比例為，在“田徑隊”抽取（人），記作a，b，c，d；在“足球隊”抽?。ㄈ耍?記作A，B，C.從中任選2人包含的基本事件有：ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bC；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21個，領(lǐng)隊來自不同隊伍包含的基本事件aA，aB，aC，bA，bB，bC，cA，cB，cC；dA，dB，dC共12個，故領(lǐng)隊來自不同隊伍的概率為.21.（1）證明：連接與相交于點(diǎn)D，如下圖所示在直棱柱中，平面ABC，平面ABC，∴，又，，平面，所以，平面，又∵平面，∴∵，∴四邊形為菱形，即又∵，且平面，∴平面，又∵平面，∴.（2）解：取的中點(diǎn)E，連接，CE.如圖所示；∵，，∴又∵平面，平面，∴，又∵，且平面，∴平面，∴是在面內(nèi)的射影，是與平面所成角的平面角.∵在中，易知，，∴，∴，即與平面所成的角的大小為30°.22.解：（1）設(shè){甲同學(xué)答對了i道題}，{乙同學(xué)答對了i道題}，，所以，，，，，，所以解得或（舍），即的值為；（2）兩人共答對兩道題的概率，即兩人共答對兩道題的概率為.廣西壯族自治區(qū)河池市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題全卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置，2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號。回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回。4.本卷主要考查內(nèi)容：必修第二冊。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A.-1 B. C. D.12.在中，已知，，，則（）A. B. C. D.13.在北京冬奧會期間，共有1.8萬多名賽會志愿者和20余萬人次城市志愿者參與服務(wù).據(jù)統(tǒng)計某高校共有本科生4400人，碩士生400人，博士生200人申請報名做志愿者，現(xiàn)用分層抽樣方法從中抽取博士生10人，則該高校抽取的志愿者總?cè)藬?shù)為（）A.100 B.150 C.200 D.2504.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則5.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為素數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為合數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于2”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”，則（）A.事件1與事件3互斥 B.事件1與事件2互為對立事件C.事件2與事件3互斥 D.事件3與事件4互為對立事件6.從裝有若干個紅球和白球（除顏色外其余均相同）的黑色布袋中，隨機(jī)不放回地摸球兩次，每2次摸出一個球.若事件“兩個球都是紅球”的概率為，“兩個球都是白球”的概率為，則“兩個球顏色不同”的概率為（）A. B. C. D.7.將半徑為4，圓心角為的扇形圍成一個圓錐（接縫處忽略不計），則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為（）A. B. C. D.8.已知單位向量，，若對任意實數(shù)，恒成立，則向量，的夾角的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某產(chǎn)品售后服務(wù)中心選取了10個工作日，分別記錄了每個工作日接到的客戶服務(wù)電話的數(shù)量（單位：次）：67573740466231473130則這組數(shù)據(jù)的（）A.眾數(shù)是31 B.中位數(shù)是40 C.極差是37 D.10%分位數(shù)是30.510.如圖所示，每個小正方形的邊長都是1，在其中標(biāo)出了6個向量，則在這6個向量中（）A. B.C.向量與垂直 D.11.一個袋子中有大小和質(zhì)地均相同的3個小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，現(xiàn)分別用三種方案進(jìn)行摸球游戲.方案一：任意摸出一個球并選擇該球；方案二：先后不放回的摸出兩個球，若第二次摸出的球號碼比第一次大，則選擇第二次摸出的球，否則選擇未被摸出的球；方案三：同時摸出兩個球，選擇其中號碼較大的球.記三種方案選到3號球的概率分別為，，，則（）A. B. C. D.12.如圖，正方體的棱長為2，動點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動（含邊界），且，則（）A.點(diǎn)M的軌跡長度為B.三棱錐的體積不為定值C.的最小值為D.取最小值時三棱錐的體積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13._________.14.如圖①是一個小正方體的側(cè)面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時小正方體朝上面的字是__________.15.若一組數(shù)據(jù)m，n，9，8，10的平均數(shù)為9，方差為2，則________.16.已知的外接圓的圓心為O，半徑為1，，在上的投影向量為，則的值為_________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.（本小題滿分10分）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）若，，求的值；（2）若，求角B，C的大小.18.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是矩形，平面ABCD，E，F(xiàn)分別AB，PD的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面PEC；（2）求證：平面PCD.19.（本小題滿分12分）設(shè)，向量，，，且，.（1）求；（2）求向量與夾角的余弦值.20.（本小題滿分12分）某區(qū)為了全面提升高中體育特長生的身體素質(zhì)，開設(shè)“田徑隊”和“足球隊”專業(yè)訓(xùn)練，在學(xué)年末體育素質(zhì)達(dá)標(biāo)測試時，從這兩支隊伍中各隨機(jī)抽取100人進(jìn)行專項體能測試，得到如下頻率分布直方圖：（1）估計田徑隊測試的平均成績；（2）若測試成績在90分以上的為優(yōu)秀，從兩組測試成績優(yōu)秀的學(xué)生中按分層抽樣的方法選出7人參加學(xué)校代表隊，再從這7人中選出2人做領(lǐng)隊，求領(lǐng)隊來自不同隊伍的概率.21.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，，.（1）求證：；（2）求與平面所成的角的大小.22.（本小題滿分12分）2022年卡塔爾世界杯是第22屆世界杯足球賽.比賽于2022年11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)7座城市中的12座球場進(jìn)行.某學(xué)校的足球協(xié)會舉辦了足球知識考試，試卷中3只有兩道題目.已知小張同學(xué)答對每道題的概率為，小李同學(xué)答對每道題的概率為，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.若兩人答對題目數(shù)相同的概率為.（1）求的值；（2）求兩人共答對兩道題的概率.

——★參考答案★——一、單項選擇題1.B〖解析〗由，得，所以.故選B.2.C〖解析〗由正弦定理可得.故選C.3.D〖解析〗根據(jù)題意知分層抽樣比例為，所以該高校抽取的志愿者總?cè)藬?shù)為.故選D.4.C〖解析〗對選項A，若，，則與的位置關(guān)系是平行或者異面，故A錯誤；對選項B，若，，則與的位置關(guān)系是平行和相交，故B錯誤；對選項C，若，，則根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得與的位置關(guān)系是平行，故C正確；對選項D，若，，則與的位置關(guān)系是平行或者包含，故D錯誤.故選C.5.D〖解析〗事件1可表示為：，事件2可表示為：，事件3可表示為：，事件4可表示為：，因為，所以事件1與事件3不互斥，A錯誤；因為為不可能事件，不為必然事件，B錯誤；因為，所以事件2與事件3不互斥，C錯誤；因為為不可能事件，為必然事件，所以事件3與事件4互為對立事件，D正確.故選D.6.C〖解析〗設(shè)“兩個球都是紅球”為事件A，“兩個球都是白球”為事件B，“兩個球顏色不同”為事件C，則，且.因為A，B，C兩兩互斥，所以.故選C.7.C〖解析〗設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，由題意可得，由，所以.因為，圓錐的軸截面是邊長為4的等邊三角形，該等邊三角形（如圖）的內(nèi)切圓半徑為圓錐內(nèi)切球半徑，而等邊三角形的邊長為4，故，故.故選C.8.A〖解析〗設(shè)向量，的夾角為，因為，所以，則，即恒成立.所以，解得，故，的夾角的取值范圍是.故選A.二、多項選擇題9.ACD〖解析〗這組數(shù)據(jù)中31出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)次數(shù)最多，因此眾數(shù)是31，A正確；從小到大排列10個數(shù)據(jù)分別為30，31，31，37，40，46，47，57，62，67，第5位和第6位為40和46，因此中位數(shù)是43，B錯誤；最大值為67，最小值為30，因此極差為67-30=37，C正確；10×10%=1是整數(shù)，10%分位數(shù)應(yīng)取第1位與第2位的平均值，即30和31的平均值30.5，D正確.故選ACD.10.AB〖解析〗對于A，對向量，進(jìn)行平移，使得與構(gòu)成三角形，所以A正確，對于B，因為，所以B正確，對于C，平移向量，使得，共起點(diǎn)，所以C錯誤，對于D，因為，所以D錯誤.故選AB.11.ABD〖解析〗方案一：“選到3號球”的概率方案二：“選到3號球”的概率方案三：同時摸出兩個球共有：{1，2}，{1，3}，{2，3}共3個基本事件，“選到3號球”包含{1，3}，{2，3}共22個基本事件，“選到3號球”的概率∴，，，，ABD正確，C錯誤.故選ABD.12.ACD〖解析〗如圖，因為平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，平面，所以，若，則點(diǎn)M的軌跡為，因為正方體的棱長為2，所以點(diǎn)的軌跡長度為，故A正確；三棱錐就是三棱錐，底面積和高都不變，因此體積不變，故B錯誤；將平面翻折到與平面重合，如圖，此時A，M，B三點(diǎn)共線，取得最小值A(chǔ)B，是邊長為的等邊三角形，是邊長為2的等腰直角三角形，且M是的中點(diǎn)，所以，，取得最小值為，故C正確.，設(shè)M到平面ABCD的距離為h，由三角形面積相等，有，則，于是，故D正確.故選ACD.三、填空題13.〖解析〗，∴.14.路〖解析〗由圖①可知，“國”和“興”相對，“夢”和“中”相對，“復(fù)”和“路”相對；由圖②可得，第1，2，3，4，5格對應(yīng)面的字分別是“興”、“夢”、“路”、“國”、“復(fù)”，所以到第5格時，小正方體朝上面的字是“路”.15.4〖解析〗根據(jù)題