2022-2023學年湖北省武漢市江岸區(qū)高一下學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市江岸區(qū)2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗故選：C.2.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗從小到大排列數(shù)據(jù)為：；所以眾數(shù)為4，中位數(shù)為，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，.故選：C.3.已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為向量與的夾角為，且，，所以，所以在方向上的投影向量為.故選：C4.某校200名學生參加環(huán)保知識競賽，隨機抽取了20名學生的考試成組（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.頻率分布直方圖中a的值為0.006B.估計某校成績落在內的學生人數(shù)為50人C.估計這20名學生考試成績的眾數(shù)為80分D.估計這20名學生考試成績的第60百分位數(shù)為80分〖答案〗D〖解析〗由頻率分布直方圖，得：，解得，故A錯誤；總體中成績落在,內的學生人數(shù)為，故B正確．這20名學生數(shù)學考試成績的眾數(shù)為75，故C錯誤；前三個矩形的面積和為，這20名學生數(shù)學考試成績的第60百分數(shù)為80，故D正確；故選：D5.已知是三條不同的直線，是三個不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.，則B.與異面，，則不存，使得C.，則D.，則〖答案〗A〖解析〗對于A，因為，如下圖，若分別為面、面、面，且為，顯然面，則，故A正確；對于B，如下圖，為直線，為直線，為直線，取的中點，連接，所以四邊形為，存在，使得，故B錯誤；對于C，若，則相交、平行、異面，所以C錯誤；對于D，若，則，所以D錯誤.故選：A.6.在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，是側面（包含邊界）上的一動點，若平面，則線段長度的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如下圖所示，分別取棱，的中點、，連，，，，，分別為所在棱的中點，則，，，又平面，平面，平面.，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，又，平面平面.是側面內一點，且平面，點必在線段上.在中，.同理，在中，可得，為等腰三角形.當點為中點時，，此時最短；點位于、處時，最長.，.線段長度的取值范圍是.故選：C.7.已知是邊上的點，且為的外心，則的值為（）A. B.10 C. D.9〖答案〗A〖解析〗因為，所以，因此，取、中點分別為、，則，，因此，，所以.故選：A8.已知正四棱錐的側面是邊長為6的正三角形，若其側棱上的八個三等分點都在同一個球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如第一個圖所示，正四棱錐中，其側棱上的八個三等分點構成正四棱臺，且正方形的邊長為2，正方形的邊長為4；正四棱臺中，設、分別是上、下底面對角線交點，即上、下底面中心，是正四棱臺的高．，，在直角梯形中，，由對稱性外接球球心在直線上，設球半徑為，連接，，，若在線段上（如第二個圖所示），由得，因為，，所以方程無實數(shù)解，因此在的延長線上（如第三個圖所示），即在平面下方，因此有，解得，所以球表面積為．故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目條件.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）AB.C.若復數(shù)滿足，則或D.已知復數(shù)滿足，則在復平面內對應的點的軌跡為直線〖答案〗BD〖解析〗對于A，由于復數(shù)不能比較大小，故A錯誤；對于B，設，則，所以，故B正確；對于C，設，若復數(shù)滿足，則，所以復數(shù)不只是或，故C錯誤；對于D，設，由于，所以，所以，，所以在復平面內對應的點所構成的軌跡為軸，是直線，故D正確；故選：BD.10.為了解學生每個月在圖書館借閱書籍的數(shù)量，圖書管理員甲抽取了一個容量為100的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6，方差為8：圖書管理員乙也抽取了一個容量為200的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為9，方差為11.若將兩個樣本合在一起組成一個容量為300的新樣本，則新樣本數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)為7.5 B.平均數(shù)為8C.方差為12 D.方差為10〖答案〗BC〖解析〗新樣本平均數(shù)為，故A錯誤，B正確；所以合并一起后樣本的方差為，故選項C正確，D錯誤，故選：BC.11.已知，且，當時，定義平面坐標系為“-仿射”坐標系，在“-仿射”坐標系中，任意一點的斜坐標這樣定義：分別為軸，軸正方向上的單位向量，若，則記為，那么下列說法中正確的是（）A.設，則B.設，若，則C設，若，則D.設，若與的夾角為，則〖答案〗BD〖解析〗，對于A：即，故選項A錯誤；對于B：若，當即時，顯然滿足：；當即或時，則，使得，即則可得，消去得：，故選項B正確；對于C：∵，則，可得，若，則，故選項C錯誤；對于D：∵，由選項A可得：，，由選項C可得：，若與的夾角為，則，即，整理可得，，解得或（舍去），∵，則，故選項D正確；故選：BD．12.某組合體由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線向上折疊成直二面角而成，如圖②.則下列說法正確的有（）A.多面體的體積為B.經過三個頂點的球的截面圓的面積為C.異面直線與所成的角的余弦值為D.球離球托底面的最小距離為〖答案〗ACD〖解析〗因為托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，所以連接、和得幾何體，因此構建一個底面邊長為2，高為的正三棱柱，取、和的中點分別為、和，則幾何體就是題意中的幾何體，如圖：這個兒何體的上底面是邊長為1的正三角形，下底面是邊長為2的正三角形，高為.因為銅球的體積為，所以由球的體積公式得銅球的半徑.對于A，因為由幾何體的構成知：多面體的體積為三棱柱的體積減去3個三棱錐的體積，即，因此A正確；對于B，因為經過三個頂點的球的截面圓就是正的外接圓，所以若邊長為1的正三角形的外接圓半徑為，則，解得.因此經過三個頂點的球的截面圓的面積為，所以B不正確；對于C，取的中點，連接，則由幾何體的構成知：且，因此四邊形是平行四邊形，所以，因此就是異面直線與所成的角.連接，在中，，，因此.即異面直線與所成的角的余弦值為，所以C正確；對于D，由B知：經過三個頂點的球的截面圓的半徑.所以銅球的球心到截面的距離為，因此球離球托底面的最小距離為，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若是方程的一個根，則______.〖答案〗38；〖解析〗假設另外一個根為，是方程的一個根，則①由，可知是的共軛復數(shù)，所以②把②代入①可知所以故〖答案〗為：3814.在正四棱錐中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為__________.〖答案〗〖解析〗連接交點為連接或其補角為異面直線與所成的角，結合題中條件，正四棱錐中，則四邊形為邊長為正方形，每個側面為邊長為的正三角形，則在正三角形中，為的中點,則,則，所以則故則異面直線與所成角的余弦值為.故〖答案〗為：15.在中，它的內角對應邊分別為.若，則__________.〖答案〗〖解析〗由，可得，化簡得，又∵，∴，故〖答案〗：.16.甲?乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和.若，則__________.〖答案〗〖解析〗設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知點，直線與單位圓在第一象限的交點為.（1）求；（2）求.解：（1）.（2）設點坐標為，由于三點共線，，，.18.已知直三棱柱面為的中點.（1）證明：平面；（2）若直三棱柱的體積為1，且，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接與交于點，則為中點，為中位線，，又面面平面（2）解：平面是在平面上射影是直線與平面所成的角，又，在中，.直線與平面所成角的正弦值為19.某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設備9.810.31010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標樣本平均數(shù)和，樣本方差分別為和.已知.（1）求；（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.解：（1）由題意得，解得，所以，所以，（2）由（1）中數(shù)據(jù)可得：而，因為所以成立所以認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.20.等腰直角中，為內一點，.（1）若，求；（2）若，求.解：（1）中，，..在中，由余弦定理得（2）設，則，又，在中由正弦定理得即即.21.如圖，在三棱臺中，平面平面.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的大小的正切值.解：（1）如圖，過點作，交直線于點，連接.由得.由平面平面，且平面平面平面則平面，又平面，所以,由則為等腰直角三角形，又則,設則在中，由余弦定理得則,即又平面BDO，平面又平面又由三棱臺，得，與所成角的余弦值為.（2）過點B作，垂足為，由面面，得面.過作，垂足為，連接.面.又平面，為二面角的平面角，設，則，在Rt中，,二面角大小的正切值為.22.小明對圓柱中的截面進行一番探究.他發(fā)現(xiàn)用平行于底面的平面去截圓柱可得一圓面，用與水平面成一定夾角的平面去截可得一橢圓面，用過軸的平面去截可得一矩形面.（1）圖1中，圓柱底面半徑為，高為2，軸截面為，設為底面（包括邊界）上一動點，滿足到的距離等于到直線的距離，求三棱錐體積的最大值；（2）如圖2，過圓柱側面上某一定點的水平面與側面交成為圓，過點與水平面成角的平面與側面交成為橢圓，小明沿著過的母線剪開，把圓柱側面展到一個平面上，發(fā)現(xiàn)圓展開后得到線段，橢圓展開后得到一正弦曲線（如圖3），設為橢圓上任意一點，他很想知道原因，于是他以為原點，為軸建立了平面直角坐標系，且設（圖3）.試說明為什么橢圓展開后是正弦曲線，并寫出其函數(shù)〖解析〗式.解：（1）過作，垂足為，過作，底面，底面，則，平面，于是平面平面，則，，因此平面，∵平面，∴是到的距離,∵,,且,∴,∴平分,在△和△中，設點到直線的距離為，由三角形面積公式得∵，，∴,又∵,,∴∴∵,,∴,∴,∴,∴點的軌跡是過與垂直的垂線段上（圓內部分），當三棱錐體積最大時，三棱錐的高最大，此時點在圓周上，此時在△中，由△∽△可得，∴，（2）設傾斜平面與水平面交線為.過作水平面，垂足為，過作，連接，則是傾斜平面與水平面的夾角，設，，，則，∴，在△中，，∴，即展開后的曲線是正弦曲線.湖北省武漢市江岸區(qū)2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗故選：C.2.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗從小到大排列數(shù)據(jù)為：；所以眾數(shù)為4，中位數(shù)為，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，.故選：C.3.已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為向量與的夾角為，且，，所以，所以在方向上的投影向量為.故選：C4.某校200名學生參加環(huán)保知識競賽，隨機抽取了20名學生的考試成組（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.頻率分布直方圖中a的值為0.006B.估計某校成績落在內的學生人數(shù)為50人C.估計這20名學生考試成績的眾數(shù)為80分D.估計這20名學生考試成績的第60百分位數(shù)為80分〖答案〗D〖解析〗由頻率分布直方圖，得：，解得，故A錯誤；總體中成績落在,內的學生人數(shù)為，故B正確．這20名學生數(shù)學考試成績的眾數(shù)為75，故C錯誤；前三個矩形的面積和為，這20名學生數(shù)學考試成績的第60百分數(shù)為80，故D正確；故選：D5.已知是三條不同的直線，是三個不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.，則B.與異面，，則不存，使得C.，則D.，則〖答案〗A〖解析〗對于A，因為，如下圖，若分別為面、面、面，且為，顯然面，則，故A正確；對于B，如下圖，為直線，為直線，為直線，取的中點，連接，所以四邊形為，存在，使得，故B錯誤；對于C，若，則相交、平行、異面，所以C錯誤；對于D，若，則，所以D錯誤.故選：A.6.在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，是側面（包含邊界）上的一動點，若平面，則線段長度的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如下圖所示，分別取棱，的中點、，連，，，，，分別為所在棱的中點，則，，，又平面，平面，平面.，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，又，平面平面.是側面內一點，且平面，點必在線段上.在中，.同理，在中，可得，為等腰三角形.當點為中點時，，此時最短；點位于、處時，最長.，.線段長度的取值范圍是.故選：C.7.已知是邊上的點，且為的外心，則的值為（）A. B.10 C. D.9〖答案〗A〖解析〗因為，所以，因此，取、中點分別為、，則，，因此，，所以.故選：A8.已知正四棱錐的側面是邊長為6的正三角形，若其側棱上的八個三等分點都在同一個球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如第一個圖所示，正四棱錐中，其側棱上的八個三等分點構成正四棱臺，且正方形的邊長為2，正方形的邊長為4；正四棱臺中，設、分別是上、下底面對角線交點，即上、下底面中心，是正四棱臺的高．，，在直角梯形中，，由對稱性外接球球心在直線上，設球半徑為，連接，，，若在線段上（如第二個圖所示），由得，因為，，所以方程無實數(shù)解，因此在的延長線上（如第三個圖所示），即在平面下方，因此有，解得，所以球表面積為．故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目條件.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）AB.C.若復數(shù)滿足，則或D.已知復數(shù)滿足，則在復平面內對應的點的軌跡為直線〖答案〗BD〖解析〗對于A，由于復數(shù)不能比較大小，故A錯誤；對于B，設，則，所以，故B正確；對于C，設，若復數(shù)滿足，則，所以復數(shù)不只是或，故C錯誤；對于D，設，由于，所以，所以，，所以在復平面內對應的點所構成的軌跡為軸，是直線，故D正確；故選：BD.10.為了解學生每個月在圖書館借閱書籍的數(shù)量，圖書管理員甲抽取了一個容量為100的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6，方差為8：圖書管理員乙也抽取了一個容量為200的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為9，方差為11.若將兩個樣本合在一起組成一個容量為300的新樣本，則新樣本數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)為7.5 B.平均數(shù)為8C.方差為12 D.方差為10〖答案〗BC〖解析〗新樣本平均數(shù)為，故A錯誤，B正確；所以合并一起后樣本的方差為，故選項C正確，D錯誤，故選：BC.11.已知，且，當時，定義平面坐標系為“-仿射”坐標系，在“-仿射”坐標系中，任意一點的斜坐標這樣定義：分別為軸，軸正方向上的單位向量，若，則記為，那么下列說法中正確的是（）A.設，則B.設，若，則C設，若，則D.設，若與的夾角為，則〖答案〗BD〖解析〗，對于A：即，故選項A錯誤；對于B：若，當即時，顯然滿足：；當即或時，則，使得，即則可得，消去得：，故選項B正確；對于C：∵，則，可得，若，則，故選項C錯誤；對于D：∵，由選項A可得：，，由選項C可得：，若與的夾角為，則，即，整理可得，，解得或（舍去），∵，則，故選項D正確；故選：BD．12.某組合體由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線向上折疊成直二面角而成，如圖②.則下列說法正確的有（）A.多面體的體積為B.經過三個頂點的球的截面圓的面積為C.異面直線與所成的角的余弦值為D.球離球托底面的最小距離為〖答案〗ACD〖解析〗因為托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，所以連接、和得幾何體，因此構建一個底面邊長為2，高為的正三棱柱，取、和的中點分別為、和，則幾何體就是題意中的幾何體，如圖：這個兒何體的上底面是邊長為1的正三角形，下底面是邊長為2的正三角形，高為.因為銅球的體積為，所以由球的體積公式得銅球的半徑.對于A，因為由幾何體的構成知：多面體的體積為三棱柱的體積減去3個三棱錐的體積，即，因此A正確；對于B，因為經過三個頂點的球的截面圓就是正的外接圓，所以若邊長為1的正三角形的外接圓半徑為，則，解得.因此經過三個頂點的球的截面圓的面積為，所以B不正確；對于C，取的中點，連接，則由幾何體的構成知：且，因此四邊形是平行四邊形，所以，因此就是異面直線與所成的角.連接，在中，，，因此.即異面直線與所成的角的余弦值為，所以C正確；對于D，由B知：經過三個頂點的球的截面圓的半徑.所以銅球的球心到截面的距離為，因此球離球托底面的最小距離為，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若是方程的一個根，則______.〖答案〗38；〖解析〗假設另外一個根為，是方程的一個根，則①由，可知是的共軛復數(shù)，所以②把②代入①可知所以故〖答案〗為：3814.在正四棱錐中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為__________.〖答案〗〖解析〗連接交點為連接或其補角為異面直線與所成的角，結合題中條件，正四棱錐中，則四邊形為邊長為正方形，每個側面為邊長為的正三角形，則在正三角形中，為的中點,則,則，所以則故則異面直線與所成角的余弦值為.故〖答案〗為：15.在中，它的內角對應邊分別為.若，則__________.〖答案〗〖解析〗由，可得，化簡得，又∵，∴，故〖答案〗：.16.甲?乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和.若，則__________.〖答案〗〖解析〗設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知點，直線與單位圓在第一象限的交點為.（1）求；（2）求.解：（1）.（2）設點坐標為，由于三點共線，，，.18.已知直三棱柱面為的中點.（1）證明：平面；（2）若直三棱柱的體積為1，且，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接與交于點，則為中點，為中位線，，又面面平面（2）解：平面是在平面上射影是直線與平面所成的角，又，在中，.直線與平面所成角的正弦值為19.某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設備9.810.31010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標樣本平均數(shù)和，樣本方差分別為和.已知.（1）求；（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為有顯著提高，否則不認為有顯著提高）