《平面向量的運算》平面向量及其應用(第1課時向量的加法運算)課件

6.2平面向量的運算6.2.1向量的加法運算1.向量加法的定義及其運算法則(1)向量加法的定義定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.(2)向量求和的法則(3)向量a，b的模與a+b的模之間的關(guān)系：|a|≤|a|+|b|.【思考】(1)向量求和的三角形法則中求和的兩個向量的起點與終點是怎樣連接的？和向量的起點與終點是怎樣的？提示：求和的兩個向量“首尾連接”，其和向量是從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量.(2)向量求和的平行四邊形法則中“不共線”是否多余，去掉可以嗎？提示：不能，因為如果兩個向量共線，就無法以它們?yōu)猷忂呑鞒銎叫兴倪呅?，也不會產(chǎn)生和向量.(3)平行四邊形法則中，求和的兩個向量與和向量的起點有什么特點？和向量是怎樣產(chǎn)生的？提示：求和的兩個向量與和向量共起點，和向量是以求和的兩個向量為鄰邊的平行四邊形的對角線向量.2.向量加法的運算律交換律結(jié)合律a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)【思考】(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)成立嗎？提示：成立，向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，因此在進行多個向量的加法運算時，可以按照任意的次序和任意的組合去進行.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)a+0=a. (

)(2)

(

)(3)

(

)(4)a+(b+c)=c+(a+b). (

)提示：(1)×.兩個向量的和仍然是一個向量，所以a+0=a.(2)×.由向量加法的三角形法則知，=0.(3)√.(4)√.由向量加法的交換律、結(jié)合律知，a+(b+c)=(a+b)+c=c+(a+b).2.如圖，在☉O中，向量是 (

)A.有相同起點的向量 B.共線向量C.模相等的向量 D.相等的向量【解析】選C.由題干圖可知是模相等的向量，其模均等于圓的半徑，故選C.3.若a表示“向東走8km”，b表示“向北走8km”，則|a+b|=________，a+b的方向是________.

【解析】如圖所示，作=a，=b，則a+b=+=.所以|a+b|=||==8(km)，因為∠AOB=45°，所以a+b的方向是東北方向.答案：8km東北方向類型一向量的加法法則【典例】1.(2019·濟寧高一檢測)如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，F(xiàn)為線段DE延長線上一點，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填上一個向量)：①=________；②=________.

2.下列說法正確的是________.(填序號)

①若|a|=3，|b|=2，則|a+b|≥1；②若向量a，b共線，則|a+b|=|a|+|b|；③若|a+b|=|a|+|b|，則向量a，b共線.3.如圖，已知三個向量a、b、c，試用三角形法則和平行四邊形法則分別作向量a+b+c.【思維·引】1.利用相等向量與向量加法的三角形法則求解.2.利用向量a，b的模與a+b的模之間的關(guān)系作出判斷.3.利用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則作圖.【解析】1.如題干圖，由已知得四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運算法則可知：答案：①②2.①正確，當兩向量反向時，和向量的模最小為1；②中描述的只是向量同向時的情況，故不正確，反之正確，即③正確.答案：①③3.利用三角形法則作a+b+c，如圖①所示，作=a，以A為起點，作=b，再以B為起點，作=c，則

==a+b+c.利用平行四邊形法則作a+b+c，如圖②所示，作=a，=b，=c，以、為鄰邊作?OADB，則=a+b，再以、為鄰邊作?ODEC，則

=a+b+c.【內(nèi)化·悟】用三角形法則與平行四邊形法則作三個或以上向量的和的方法是怎樣的？提示：用分步作圖的方法，即先作出其中兩個向量的和，再作所得和向量與第三個向量的和，直至完成作圖.【類題·通】1.向量求和的注意點(1)三角形法則對于兩個向量共線時也適用.(2)兩個向量的和向量仍是一個向量.(3)平行四邊形法則對于兩個向量共線時不適用.2.利用三角形法則的注意點要注意兩向量“首尾順次相連”，其和向量為“起點指向終點”的向量；利用平行四邊形法則要注意兩向量“共起點”，其和向量為共起點的“對角線”向量.【發(fā)散·拓】向量求和的多邊形法則(1)已知n個向量，依次首尾相接，則由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量即為這n個向量的和，這稱為向量求和的多邊形法則.即(2)首尾順次相接的若干向量求和，若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為0.【延伸·練】化簡的結(jié)果等于

(

)A.0

B.

C.

D.【解析】選A.=0.【習練·破】如圖，在正六邊形ABCDEF中，點O為中心，=a，=b，求【解析】由向量的平行四邊形法則，得

=a+b.在平行四邊形ABCO中，

=a+a+b=2a+b.而=2=2a+2b，且=a+b，由三角形法則，得

=b+a+b=a+2b.類型二向量加法運算律的應用【典例】化簡：(1)(2) 世紀金榜導學號【思維·引】利用向量加法的交換律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法則求和.【解析】【內(nèi)化·悟】1.如何進行多個向量相加或化簡？提示：觀察向量的起點與終點字母的特點，看是否具備“首尾相接”.2.這種解題操作的理論依據(jù)是什么？提示：向量加法的交換律與結(jié)合律.【類題·通】向量加法運算律的意義和應用原則(1)意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實現(xiàn)恰當利用向量加法法則運算的目的.實際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.(2)應用原則：利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.【習練·破】化簡：【解析】

【加練·固】在平行四邊形ABCD中(如圖)，對角線AC，BD交于點O，則①=________.

②=________.

③=________.

④=________.

【解析】①②③④=0.答案：①②③④0類型三利用向量加法解決幾何問題【典例】用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形. 世紀金榜導學號【思維·引】將互相平分利用向量表示，以此為條件推證使四邊形為平行四邊形的向量等式成立.【解析】如圖，設四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC與BD互相平分，因此∥且||=||，即四邊形ABCD是平行四邊形.【素養(yǎng)·探】在用向量加法證明幾何問題時，經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理，通過對條件與結(jié)論的分析，確定論證思路及方法予以證明.若將本例改為：四邊形ABCD中，求證四邊形ABCD為矩形.【證明】因為四邊形ABCD中，，所以四邊形ABCD為平行四邊形，如圖.所以因為所以，即平行四邊形對角線相等，故四邊形ABCD為矩形.【類題·通】利用向量解決幾何問題的方法用向量法證明幾何問題的關(guān)鍵是把幾何中的線段轉(zhuǎn)化為向量，通過向量的運算得到結(jié)論，然后把向量問題還原為幾何問題.【習練·破】如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點，且=0.求證：【證明】因為所以又因為=0，所以類型四航行中的向量加法問題【物理情境】在長江南岸的某渡口A處，江水以12.5km/h的速度向東流，“順風號”渡船要以25km/h的速度，由南向北垂直地渡過長江，其航向應如何確定？【轉(zhuǎn)化模板】1.—由題意可得渡船的實際垂直過江的速度是船的速度與水流速度的和，因此解決此問題可建立向量加法模型.2.—設表示水流速度，表示渡船的速度，表示渡船實際垂直過江的速度.3.—向量方向為正東方向，長度為12.5，向量的長度為25，若向量，的和向量與垂直，求向量的方向.4.—如圖所示，以AB為一邊，AC為對角線作平行四邊形，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，||=||=12.5，||=25，∠CAD=30°.5.—渡船的航向為北偏西30°長風破浪會有時，直掛云帆濟滄海。努力，終會有所收獲，功夫不負有心人。以銅為鏡，可以正衣冠；以古為鏡，可以知興替；以人為鏡，可以明得失。前進的路上，要不斷反思、關(guān)照自己的不足，學習更多東西，更進一步。窮則獨善其身，達則兼濟天下?，F(xiàn)代社會，有很多人，鉆進錢眼，不惜違法亂紀；做人，窮，也要窮的有骨氣！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有堅忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修煉才華和能力，更重要的是要能堅持下來。士不可以不弘毅，任重而道遠。仁以為己任，不亦重乎?死而后已，不亦遠乎?心中有理想，腳下的路再遠，也不會迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此謂不朽。任何事業(yè)，學業(yè)的基礎，都要以自身品德的修煉為根基。飯疏食，飲水，曲肱而枕之，樂亦在其中矣。不義而富且貴，于我如浮云。財富如浮云，生不帶來，死不帶去，真正留下的，是我們對這個世界的貢獻。英雄者，胸懷大志，腹有良策，有包藏宇宙之機，吞吐天地之志者也英雄氣概，威壓八萬里，體恤弱小，善德加身。老當益壯，寧移白首之心；窮且益堅，不墜青云之志老去的只是身體，心靈可以永遠保持豐盛。樂民之樂者，民亦樂其樂；憂民之憂者，民亦憂其憂。做領(lǐng)導，要能體恤下屬，一味打壓，盡失民心。勿以惡小而為之，勿以善小而不為。越是微小的事情，越見品質(zhì)。學而不知道，與不學同；知而不能行，與不知同。知行合一，方可成就事業(yè)。以家為家，以鄉(xiāng)為鄉(xiāng)，以國為國，以天下為天下。若是天下人都能互相體諒，紛擾世事可以停歇。志不強者智不達，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越強，相應的，逼迫自己所學的，也就越多。臣心一片磁針石，不指南方不肯休。忠心，也是很多現(xiàn)代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。為人謀而不忠乎?與朋友交而不信乎?傳不習乎?若人人皆每日反省自身，世間又會多出多少君子。人人好公，則天下太平；人人營私，則天下大亂。給世界和身邊人，多一點寬容，多一份擔當。為天地立心，為生民立命，為往圣繼絕學，為萬世開太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老將至，貧賤于我如浮云。淡看世間事，心情如浮云天行健，君子以自強不息。地勢坤，君子以厚德載物。君子，生在世間，當靠自己拼搏奮斗。博學之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之。進學之道，一步步逼近真相，逼近更高。百學須先立志。天下大事，不立志，難成！海納百川，有容乃大；壁立千仞，無欲則剛做人，心胸要寬廣。其身正，不令而行；其身不正，雖令不從。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不憂，勇者不懼。”真正努力精進者，不會把時間耗費在負性情緒上。好學近乎知，力行近乎仁，知恥近乎勇。力行善事，有羞恥之心，方可成君子。操千曲爾后曉聲，觀千劍爾后識器做學問和學技術(shù)，都需要無數(shù)次的練習。第一個青春是上帝給的；第二個的青春是靠自己努力當眼淚流盡的時候，留下的應該是堅強。人總是珍惜未得到的，而遺忘了所擁有的。誰傷害過你，誰擊潰過你，都不重要。重要的是誰讓你重現(xiàn)笑容。幸運并非沒有恐懼和煩惱；厄運并非沒有安慰與希望。你不要一直不滿人家，你應該一直檢討自己才對。不滿人家，是苦了你自己。最深的孤獨不是長久的一個人，而是心里沒有了任何期望。要銘記在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一個過往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福卻很短暫。一個人的價值，應該看他貢獻什么，而不應當看他取得什么。做個明媚的女子。不傾國，不傾城，只傾其所有過的生活。生活就是生下來，活下去。人生最美的是過程，最難的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真愛，最后悔的是錯過。兩個人在一起能過就好好過！不能過就麻利點分開。當一個人真正覺悟的一刻，他放下追尋外在世界的財富，而開始追尋他內(nèi)心世界的真正財富。人若軟弱就是自己最大的敵人。日出東海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不轉(zhuǎn)牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。烏云總會被驅(qū)散的，即使它籠罩了整個地球。心態(tài)便是黑暗中的那一盞明燈，可以照亮整個世界。生活不是單行線，一條路走不通，你可以轉(zhuǎn)彎。給我一場車禍。要么失憶。要么死。有些人說：我愛你、又不是說我只愛你一個。生命太過短暫，今天放棄了明天不一定能得到。刪掉了關(guān)于你的一切，唯獨刪不掉關(guān)于你的回憶。任何事都是有可能的。所以別放棄，相信自己，你可以做到的。、相信自己，堅信自己的目標，去承受常人承受不了的磨難與挫折，不斷去努力、去奮斗，成功最終就會是你的！既然愛，為什么不說出口，有些東西失去了，就在也回不來了！對于人來說，問心無愧是最舒服的枕頭。嫉妒他人，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人當人；在人之下，要把自己當人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待陽光，人就會從卑微中站起來，帶著封存夢想去擁抱藍天。成功需要成本，時間也是一種成本，對時間的珍惜就是對成本的節(jié)約。人只要不失去方向，就不會失去自己。過去的習慣，決定今天的你，所以，過去的懶惰，決定你今天的一敗涂地。讓我記起容易，但讓我忘記我怕我是做不到。不要跟一個人和他議