2023-2024學(xué)年浙江省寧波市鄞州區(qū)諾丁漢大學(xué)附中高一下數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市鄞州區(qū)諾丁漢大學(xué)附中高一下數(shù)學(xué)期末綜合測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若a＜b，則下列不等式中正確的是（）A．a(chǎn)2＜b2 B． C．a(chǎn)2+b2＞2ab D．a(chǎn)c2＜bc22．在區(qū)間上隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率是（）A． B． C． D．3．在鈍角中，角的對邊分別是，若，則的面積為A． B． C． D．4．命題“”的否定是（）A．, B．,C．, D．,5．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（）A．54 B． C．90 D．816．在中，，，分別為角，，的對邊，若的面為，且，則（）A．1 B． C． D．7．若直線與直線平行，則的值為A． B． C． D．8．一個(gè)盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個(gè)，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是（）A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.759．已知變量和滿足相關(guān)關(guān)系，變量和滿足相關(guān)關(guān)系.下列結(jié)論中正確的是（）A．與正相關(guān)，與正相關(guān) B．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)C．與負(fù)相關(guān)，與y正相關(guān) D．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)10．已知扇形的圓心角為120°，半徑為6，則扇形的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為2，則該三棱錐的外接球的表面積_____．12．函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______.13．方程的解集是______.14．在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，ΔABC是邊長為23的等邊三角形，其中PA=PB=15．已知，，，則的最小值為______．16．已知三棱錐的外接球的球心恰好是線段的中點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求滿足等式的正整數(shù)的值．18．在中，角所對的邊分別為，，，，為的中點(diǎn).（1）求的長；（2）求的值.19．已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使不等式＜對一切恒成立的實(shí)數(shù)的范圍．20．單調(diào)遞增的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．在中，角的對邊分別是，已知，，.(1)求的值；(2)若角為銳角，求的值及的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

利用特殊值對錯(cuò)誤選項(xiàng)進(jìn)行排除，然后證明正確的不等式.【詳解】取代入驗(yàn)證可知，A、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；取代入驗(yàn)證可知，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于C選項(xiàng)，由于，所以，即成立.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)求出的范圍，再由區(qū)間長度比即可得出結(jié)果.【詳解】區(qū)間的長度為；由，解得，即，區(qū)間長度為，事件“”發(fā)生的概率是.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查與長度有關(guān)的幾何概型，熟記概率計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.3、A【解析】

根據(jù)已知求出b的值，再求三角形的面積.【詳解】在中，，由余弦定理得：，即，解得：或.∵是鈍角三角形，∴（此時(shí)為直角三角形舍去）.∴的面積為.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形和三角形的面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

含有一個(gè)量詞的命題的否定，注意“改量詞，否結(jié)論”.【詳解】改為，改成，則有：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查含一個(gè)量詞的命題的否定，難度較易.5、A【解析】

由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以正方形為底面的斜四棱柱，進(jìn)而得到答案．【詳解】由三視圖可知，該多面體是一個(gè)以正方形為底面的斜四棱柱，四棱柱的底面是邊長為3的正方形，四棱柱的高為6，則該多面體的體積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖知識及幾何體體積的計(jì)算，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，再由幾何體體積公式求解，屬于簡單題.6、D【解析】

根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進(jìn)行化簡求出的值，然后利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由，得，∵，∴，即即，則，∵，∴，∴，即，則，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理求出的值以及利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．7、C【解析】試題分析：由兩直線平行可知系數(shù)滿足考點(diǎn)：兩直線平行的判定8、D【解析】

由題意可知摸出黑球的概率，再根據(jù)摸出黑球，摸出紅球?yàn)榛コ馐录?，根?jù)互斥事件的和即可求解.【詳解】因?yàn)閺闹忻?個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是，因?yàn)閺暮凶又忻?個(gè)球?yàn)楹谇蚧蚣t球?yàn)榛コ馐录?，所以摸出黑球或紅球的概率，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩個(gè)互斥事件的和事件，其概率公式，屬于中檔題.9、B【解析】

根據(jù)相關(guān)關(guān)系式,由一次項(xiàng)系數(shù)的符號即可判斷是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān).【詳解】變量和滿足相關(guān)關(guān)系,由可知變量和為正相關(guān)變量和滿足相關(guān)關(guān)系,由,可知變量和為負(fù)相關(guān)所以B為正確選項(xiàng)故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了通過相關(guān)關(guān)系式子判斷正負(fù)相關(guān)性,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)扇形的面積公式即可求得.【詳解】解：由題意：，所以扇形的面積為：故選：C【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式，考查運(yùn)算求解能力，核心是記住公式.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

由題意推出球心O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，利用直角三角形BOE，求出球的半徑，即可求出外接球的表面積．【詳解】如圖，∵正三棱錐A﹣BCD中，底面邊長為，底面外接圓半徑為側(cè)棱長為2，BE=1,在三角形ABE中，根據(jù)勾股定理得到：高AE得到球心O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，O點(diǎn)在AE上，在直角三角形BOE中BO＝R，EOR，BE＝1，由BO2＝BE2+EO2，得R∴外接球的半徑為，表面積為：故答案為．【點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.12、【解析】

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)論.【詳解】在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，因此，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，在判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程的根，或轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.13、或【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】，如圖所示：則故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)值求解對應(yīng)自變量取值范圍，結(jié)合圖形求解能夠避免錯(cuò)解，屬于基礎(chǔ)題14、65π【解析】

本題首先可以通過題意畫出圖像，然后通過三棱錐的圖像性質(zhì)以及三棱錐的外接球的相關(guān)性質(zhì)來確定圓心的位置，最后根據(jù)各邊所滿足的幾何關(guān)系列出算式，即可得出結(jié)果?！驹斀狻咳鐖D所示，作AB中點(diǎn)D，連接PD、CD，在CD上作三角形ABC的中心E，過點(diǎn)E作平面ABC的垂線，在垂線上取一點(diǎn)O，使得PO=OC。因?yàn)槿忮F底面是一個(gè)邊長為23的等邊三角形，E所以三棱錐的外接球的球心在過點(diǎn)E的平面ABC的垂線上，因?yàn)镻O=OC，P、C兩點(diǎn)在三棱錐的外接球的球面上，所以O(shè)點(diǎn)即為球心，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，PA=PB，D為AB中點(diǎn)，所以PD⊥平面ABCCD=CA2-ADPD=P設(shè)球的半徑為r，則有PO=OC=r，OE=r(PD-OE)2+DE2=P故表面積為S=4πr【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三棱錐的外接球的相關(guān)性質(zhì)，考查如何通過三棱錐的幾何特征來確定三棱錐的外接球與半徑，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是難題。15、【解析】

將所求的式子變形為，展開后可利用基本不等式求得最小值.【詳解】解：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了“乘1法”和基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．由于已知條件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式來求得最小值了.16、【解析】

根據(jù)題意得出平面后，由計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)槿忮F的外接球的球心恰好是的中點(diǎn)，所以和都是直角三角形，又因?yàn)?，所以，，又，則平面.因?yàn)?，所以三角形為邊長是的等邊三角形，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了三棱錐與球的組合，考查了三棱錐的體積公式，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出，再利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和，解出即可．【詳解】（1）由為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足．當(dāng)時(shí)，，得．當(dāng)時(shí)，，得，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由，得由，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于基礎(chǔ)題．18、(1)．(2)【解析】

（1）在中分別利用余弦定理完成求解；（2）在中利用正弦定理求解的值.【詳解】解：（1）在中，由余弦定理得，∴，解得∵為的中點(diǎn)，∴．在中，由余弦定理得，∴．（2）在中，由正弦定理得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中的正余弦定理的運(yùn)用，難度較易.對于給定圖形的解三角形問題，一定要注意去結(jié)合圖形去分析.19、（1）見解析，；（2）【解析】

（1）對遞推式兩邊取倒數(shù)化簡,即可得出，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，再得出；（2）由（1）得，再使用裂項(xiàng)相消法求出，使用不等式得出的范圍，從而得出的范圍．【詳解】（1）∵，兩邊取倒數(shù),∴，即，又，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴，∴．（2）由（1）得，∴＝，要使不等式Sn＜對一切恒成立，則．∴的范圍為:．【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題．20、（1）；（2）.【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）求得，再用裂項(xiàng)相消法即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1