31335306 微專題：對數(shù)函數(shù)的定義 圖像與性質(zhì)【1】 -2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義滬教版（2020）必修第一冊

【學(xué)生版】微專題：對數(shù)函數(shù)的定義圖像與性質(zhì)【主題】1、對數(shù)函數(shù)當(dāng)?shù)讛?shù)固定，且，時，以為底的對數(shù)，確定了變量隨變量變化的規(guī)律，稱為底為的對數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)的定義域為：；2、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)0＜a＜1a＞1圖像定義域(0，＋∞)值域R過定點過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0函數(shù)值的變化當(dāng)0<x<1時，y<0；當(dāng)x>1時，y>0當(dāng)0<x<1時，y>0；當(dāng)x>1時，y<0單調(diào)性是(0，＋∞)上的嚴格增函數(shù)是(0，＋∞)上的嚴格減函數(shù)對稱性函數(shù)y＝logax和函數(shù)y＝logeq\f(1,a)x的圖像關(guān)于eq\a\vs4\al(x)軸對稱【典例】題型1、對數(shù)函數(shù)的概念例1、（1）指出下列函數(shù)哪些是對數(shù)函數(shù)？①y＝3log2x；②y＝log6x；③y＝logx5;④y＝log2x＋1；【提示】；（1）【解析】；（2）若對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象過點(2，1)，則f(8)＝________【答案】（2）；【說明】；要點詮釋：（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函數(shù)才叫做對數(shù)函數(shù)，像，，等函數(shù)，它們是由對數(shù)函數(shù)變化得到的，都不是對數(shù)函數(shù)；（2）求對數(shù)函數(shù)的定義域時應(yīng)注意：①對數(shù)函數(shù)的真數(shù)要求大于零，底數(shù)大于零且不等于1；②對含有字母的式子要注意分類討論。題型2、對數(shù)函數(shù)的定義域例2、求下列函數(shù)的定義域：（1）y＝log5(1－x)；（2）y＝；（3）y＝；【提示】；【解析】；【說明】提醒：函數(shù)的定義域最后的結(jié)果一定要用集合或區(qū)間的形式表示。題型3、與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域和值域例3、已知函數(shù)；（1）求函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)的最大值；【提示】；【答案】；【解析】；【說明】?！痉椒w納】求值域時，一方面要抓住對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性，另一方面，若是復(fù)合函數(shù)，則要抓住中間變量的取值范圍。題型4、與對數(shù)函數(shù)的圖像相關(guān)例4、（1）設(shè)，函數(shù)的圖像恒過定點P，則P點的坐標是（）A．B．C． D．（2）方程4x＝logax在上有解，則實數(shù)a的取值范圍為__________【提示】；【答案】；【解析】【說明】；【方法歸納】對數(shù)函數(shù)的圖像：對數(shù)函數(shù)的圖象過定點（1，0），所以討論與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象過定點的問題，只需令真數(shù)為1，解出相應(yīng)的，即可得到定點的坐標；當(dāng)?shù)讛?shù)時，對數(shù)函數(shù)是上的增函數(shù)，當(dāng)時，底數(shù)的值越小，函數(shù)圖象越“陡”，其函數(shù)值增長得越快；當(dāng)?shù)讛?shù)時，對數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，當(dāng)時，底數(shù)的值越大，函數(shù)圖象越“陡”，其函數(shù)值減小得越快．也可作直線y=1與所給圖象相交，交點的橫坐標即為各個底數(shù)，依據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大小?！練w納】1．明確1個概念——對數(shù)函數(shù)的概念（1）對數(shù)的底數(shù)：對數(shù)的底數(shù)a>0且a≠1；（2）形式上的嚴格性：對數(shù)函數(shù)的定義表達式y(tǒng)＝logax中，logax前面的系數(shù)必須是1，自變量x在真數(shù)位置上，且次數(shù)為1次，系數(shù)為1，否則不是對數(shù)函數(shù)．如y＝log2(3x)、y＝log3eq\r(x)都不是對數(shù)函數(shù)．2、掌握3組關(guān)系——底數(shù)a與函數(shù)圖像的關(guān)系（1）底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了對數(shù)函數(shù)圖像的“升降”；當(dāng)a>1時，對數(shù)函數(shù)的圖像“上升”；當(dāng)0<a<1時，對數(shù)函數(shù)的圖像“下降”．（2）底數(shù)的大小決定了圖像對應(yīng)位置的高低：不論是a>1還是0<a<1，在第一像限內(nèi)，自左向右，圖像對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大．（3）函數(shù)y＝logax與y＝logeq\s\do9(\f(1,a))x(a>0且a≠1)的圖像關(guān)于x軸對稱．3、掌握1個定點——對數(shù)函數(shù)圖像過定點問題求函數(shù)y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的圖像過定點時，只需令f(x)＝1求出x，即得定點為(x，m)．【即時練習(xí)】1、下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A．y＝loga(2x)B．y＝log22xC．y＝log2x＋1D．y＝lgx2、函數(shù)y＝logax的圖象如圖所示，則實數(shù)a的可能取值是()A．5B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,e)D．eq\f(1,2)3、若函數(shù)y＝(a2－2a－2)log(a＋1)x是以x為自變量的對數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a＝________．4、函數(shù)f(x)＝－5loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的圖象恒過定點P，則點P的坐標是________．5、求下列函數(shù)的定義域：（1）y＝log2(x2－4x－5)；（2）(2)y＝eq\r(log0.5（4x－3）).6、已知f(x)＝log3x.（1）作出這個函數(shù)的圖像；（2）若f(a)<f(2)，利用圖像求a的取值范圍．【教師版】微專題：對數(shù)函數(shù)的定義圖像與性質(zhì)【主題】1、對數(shù)函數(shù)當(dāng)?shù)讛?shù)固定，且，時，以為底的對數(shù)，確定了變量隨變量變化的規(guī)律，稱為底為的對數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)的定義域為：；2、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)0＜a＜1a＞1圖像定義域(0，＋∞)值域R過定點過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0函數(shù)值的變化當(dāng)0<x<1時，y<0；當(dāng)x>1時，y>0當(dāng)0<x<1時，y>0；當(dāng)x>1時，y<0單調(diào)性是(0，＋∞)上的嚴格增函數(shù)是(0，＋∞)上的嚴格減函數(shù)對稱性函數(shù)y＝logax和函數(shù)y＝logeq\f(1,a)x的圖像關(guān)于eq\a\vs4\al(x)軸對稱【典例】題型1、對數(shù)函數(shù)的概念例1、（1）指出下列函數(shù)哪些是對數(shù)函數(shù)？①y＝3log2x；②y＝log6x；③y＝logx5;④y＝log2x＋1；【提示】注意理解對數(shù)函數(shù)的定義及其特征；（1）【解析】：①log2x的系數(shù)是3，不是1，不是對數(shù)函數(shù)；②符合對數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，是對數(shù)函數(shù)；③自變量在底數(shù)位置上，不是對數(shù)函數(shù)；④對數(shù)式log2x后又加上1，不是對數(shù)函數(shù)；（2）若對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象過點(2，1)，則f(8)＝________【答案】（2）答案：3；解析：依題意知1＝loga2，所以a＝2，所以f(x)＝log2x，故f(8)＝log28＝3；【說明】對數(shù)函數(shù)的概念之理解：1、函數(shù)y=logax(a>0，a≠1)叫做對數(shù)函數(shù).其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域為；2、判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對數(shù)的真數(shù)僅有自變量；要點詮釋：（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函數(shù)才叫做對數(shù)函數(shù)，像，，等函數(shù)，它們是由對數(shù)函數(shù)變化得到的，都不是對數(shù)函數(shù)；（2）求對數(shù)函數(shù)的定義域時應(yīng)注意：①對數(shù)函數(shù)的真數(shù)要求大于零，底數(shù)大于零且不等于1；②對含有字母的式子要注意分類討論。題型2、對數(shù)函數(shù)的定義域例2、求下列函數(shù)的定義域：（1）y＝log5(1－x)；（2）y＝；（3）y＝；【提示】注意理解函數(shù)的定義域與“集合觀點”、“不等式”工具；【解析】（1）要使函數(shù)式有意義，需1－x>0，解得x<1，所以函數(shù)y＝log5(1－x)的定義域為(－∞，1)；（2）要使函數(shù)式有意義，需解得x<4，且x≠3，所以函數(shù)y＝的定義域為：(－∞，3)∪(3,4)；（3）要使函數(shù)有意義，需滿足即解得－1＜x＜0，因此函數(shù)y＝的定義域為(－1,0)；【說明】【方法歸納】定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題時，要注意對數(shù)函數(shù)的概念，若自變量在真數(shù)上，則必須保證真數(shù)大于0；若自變量在底數(shù)上，應(yīng)保證底數(shù)大于0且不等于1．同時還要注意偶次方根的被開方數(shù)非負，分母不能為零等；求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域時應(yīng)注意的兩點：（1）要遵循以前已學(xué)習(xí)過的求定義域的方法，如分式分母不為零，偶次根式被開方式大于或等于零等；（2）遵循對數(shù)函數(shù)自身的要求：一是真數(shù)大于零；二是底數(shù)大于零且不等于1；三是按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性，有針對性的解不等式；求對數(shù)型函數(shù)定義域的原則：（1）分母不能為0；（2）根指數(shù)為偶數(shù)時，被開方數(shù)非負；（3）對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1；提醒：函數(shù)的定義域最后的結(jié)果一定要用集合或區(qū)間的形式表示。題型3、與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域和值域例3、已知函數(shù)；（1）求函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)的最大值；【提示】注意函數(shù)“起點”是定義域，與“分解”復(fù)合函數(shù)；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）由題意得，解得，故函數(shù)的定義域是．（2）=，，令，則，又在上為增函數(shù)，所以，的最大值是；【說明】求函數(shù)的最值，一定要堅持“定義域優(yōu)先”的原則．由對數(shù)函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)的最值問題，可利用換元法求解，但要注意中間變量的取值范圍?！痉椒w納】求值域時，一方面要抓住對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性，另一方面，若是復(fù)合函數(shù)，則要抓住中間變量的取值范圍。題型4、與對數(shù)函數(shù)的圖像相關(guān)例4、（1）設(shè)，函數(shù)的圖像恒過定點P，則P點的坐標是（）A．B．C． D．（2）方程4x＝logax在上有解，則實數(shù)a的取值范圍為__________【提示】注意對數(shù)函數(shù)的定義與圖像特征；【答案】（1）A；（2）eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))；【解析】（1）當(dāng)x+2=1，即時，恒成立，故函數(shù)的圖像恒過定點，故選A；（2）若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，則函數(shù)y＝4x和函數(shù)y＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有交點，由圖像知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,loga\f(1,2)≤2，))解得0<a≤eq\f(\r(2),2).【說明】說明：（1）本題求定點坐標的依據(jù)是對數(shù)函數(shù)的圖象過定點（1，0），不必分和兩種情況討論；（2）注意隱含條件；【方法歸納】對數(shù)函數(shù)的圖像：對數(shù)函數(shù)的圖象過定點（1，0），所以討論與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象過定點的問題，只需令真數(shù)為1，解出相應(yīng)的，即可得到定點的坐標；當(dāng)?shù)讛?shù)時，對數(shù)函數(shù)是上的增函數(shù)，當(dāng)時，底數(shù)的值越小，函數(shù)圖象越“陡”，其函數(shù)值增長得越快；當(dāng)?shù)讛?shù)時，對數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，當(dāng)時，底數(shù)的值越大，函數(shù)圖象越“陡”，其函數(shù)值減小得越快．也可作直線y=1與所給圖象相交，交點的橫坐標即為各個底數(shù)，依據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大小?！練w納】1．明確1個概念——對數(shù)函數(shù)的概念（1）對數(shù)的底數(shù)：對數(shù)的底數(shù)a>0且a≠1；（2）形式上的嚴格性：對數(shù)函數(shù)的定義表達式y(tǒng)＝logax中，logax前面的系數(shù)必須是1，自變量x在真數(shù)位置上，且次數(shù)為1次，系數(shù)為1，否則不是對數(shù)函數(shù)．如y＝log2(3x)、y＝log3eq\r(x)都不是對數(shù)函數(shù)．2、掌握3組關(guān)系——底數(shù)a與函數(shù)圖像的關(guān)系（1）底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了對數(shù)函數(shù)圖像的“升降”；當(dāng)a>1時，對數(shù)函數(shù)的圖像“上升”；當(dāng)0<a<1時，對數(shù)函數(shù)的圖像“下降”．（2）底數(shù)的大小決定了圖像對應(yīng)位置的高低：不論是a>1還是0<a<1，在第一像限內(nèi)，自左向右，圖像對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大．（3）函數(shù)y＝logax與y＝logeq\s\do9(\f(1,a))x(a>0且a≠1)的圖像關(guān)于x軸對稱．3、掌握1個定點——對數(shù)函數(shù)圖像過定點問題求函數(shù)y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的圖像過定點時，只需令f(x)＝1求出x，即得定點為(x，m)．【即時練習(xí)】1、下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A．y＝loga(2x)B．y＝log22xC．y＝log2x＋1D．y＝lgx【答案】D；【解析】選項A、B、C中的函數(shù)都不具有“y＝logax(a>0且a≠1)”的形式，只有D選項符合．故選D；2、函數(shù)y＝logax的圖象如圖所示，則實數(shù)a的可能取值是()A．5B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,e)D．eq\f(1,2)【答案】A；【解析】函數(shù)y＝logax的圖象逐漸上升，∴函數(shù)y＝logax為單調(diào)增函數(shù)，∴a>1，故選A．3、若函數(shù)y＝(a2－2a－2)log(a＋1)x是以x為自變量的對數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a＝________．【答案】3；【解析】依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－2a－2＝1，,a＋1>0，,a＋1≠1，))解得a＝3.4、函數(shù)f(x)＝－5loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的圖象恒過定點P，則點P的坐標是________．【答案】(2，2)；【解析】令x－1＝1，得x＝2，即f(2)＝2，故P(2，2)．5、求下列函數(shù)的定義域：（1）y＝log2(x2－4x－5)；（2）(2)y＝eq\r(log0.5（4x－3）).【解析】（1）要使函數(shù)有意義，需x2－4x－5>0，即(x－5)(x＋1)>0，所以x<－1或x>5，故所求函數(shù)的定義域為(－∞，－1)∪(5，＋∞