2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)真題演練之二次函數(shù)四 (解析)

備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)真題演練

二次函數(shù)（4）

一、選擇題

1.（2023?大連）已知拋物線y=/—2%—L則當(dāng)04%43時(shí)，函數(shù)的最大值

為（）

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】D

【解析】【解答】解：Vy=x2-2x-l=（x-l）2-2,

..?拋物線開口向上，當(dāng)x〈l時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>l時(shí)，y隨x的增大而

增大.

當(dāng)x=0時(shí)，y=-l；當(dāng)x=3時(shí)，y=2,

???函數(shù)的最大值為2.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)x〈l時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>l時(shí)，

y隨x的增大而增大，然后求出x=0、3對(duì)應(yīng)的y的值，再進(jìn)行比較即可.

2.（2023?南充）拋物線y=—%2+憶%+々—q與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為ZQn,0）,若

-2<m<l,則實(shí)數(shù)々的取值范圍是（）

A.——<k<1B.k<—2或k>1

44

QQ

C.-5<k<-D.fc<-5或k之2

88

【答案】B

【解析】【解答】解：Yy=-％2+k%+々一|與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為0）,

0=-%2+kx+k-9存在實(shí)數(shù)根，

4

憶2+4（k—g之0,

1

解得k<-5,k>1,

當(dāng)kW-5時(shí)，畫出圖像如圖所示:

/?當(dāng)x=—2時(shí)，—4—k+k—>0,

4

解得kM—

4

當(dāng)k》l時(shí)，畫出圖像如圖所示：

九

4-

3-

2-

-3-2

當(dāng)x=-2時(shí)，—4—2k+k—40,

4

解得k>

4

：.k>1,

故答案為：B

【分析】先根據(jù)題意得到0=-/+依+k-：存在實(shí)數(shù)根，進(jìn)而運(yùn)用一元二次方

程的判別式即可得到k<-5,k>1,再分類討論結(jié)合題意即可求解。

3.（2023,臺(tái)州）拋物線y=ax2—a（aH0）與直線y=k%交于AQq,%）,

B（%2，了2）兩點(diǎn)，若%i+%2<。，則直線y=a%+k一定經(jīng)過（）.

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三、四象限D(zhuǎn).第一、四象限

2

【答案】D

【解析】【解答】解：令拋物線y=ax2-a中的y=0,

得ax2-a=0,

二'aWO,

Ax-l-O,

解得x=±L

；?拋物線y=ax?-a與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）與（-1,0）,

令拋物線y=ax2-a中的x=0,得y=-a,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-a）,

當(dāng)a>0,k>0時(shí)，其圖象大致為

由圖象可得Xi>L-l<x2<0,.*.x1+x2>0,故此種情況不成立;

當(dāng)a>0,k<0時(shí)，其圖象大致為

由圖象可得0<Xi<l,x2<-L.*.Xi+x2<0,此時(shí)直線y=ax+k過一、三、四象限;

3

當(dāng)a<0,k>0時(shí)，其圖象大致為:

由圖象可得0<Xi<l,x2<-L/.Xi+x2<0,此時(shí)直線y=ax+k過一、二、四象限;

當(dāng)aVO,k<0時(shí)，其圖象大致為：

由圖象可得xi>l,-l<x2<0,.*.x1+x2>0,故此種情況不成立；

綜上直線丫=2*+1<的圖象一定經(jīng)過第一、四象限.

故答案為：D.

【分析】首先求出拋物線丫=2*2-a與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后分當(dāng)a>

0,k>0時(shí)，當(dāng)a>0,k<0時(shí)，當(dāng)a<0,k>0時(shí)，當(dāng)a<0,k<0時(shí)，四種情況

畫出大致圖象，找出兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)Xi+x2<0進(jìn)行一一驗(yàn)

證，得出符合題意的a、k的取值，最后根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可得直

線丫=a*+卜所經(jīng)過的象限，即可得出答案.

4.（2023?揚(yáng)州）已知二次函數(shù)y=a/—2%+]%為常數(shù)，且a>0）,下列結(jié)

論：

4

①函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限；③

當(dāng)％<。時(shí)，y隨x的增大而減小；④當(dāng)%>。時(shí)，y隨x的增大而增大.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①②B.②③C.②D.③④

【答案】B

【解析】【解答】解：言>(),

，拋物線的開口向上，

?.?對(duì)稱軸為直線％=-三=工〉0,

???拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，

???當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小，故③正確；

當(dāng)工〉工時(shí)y隨x的增大而增大，故④錯(cuò)誤；

a

當(dāng)x=0時(shí)y=|>0,

，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，

.?.拋物線一定不經(jīng)過第三象限，可能經(jīng)過第一、二、四象限，故①錯(cuò)誤，②正

確，

...正確結(jié)論的序號(hào)為②③.

故答案為：B

【分析】利用a的取值范圍可得到拋物線的開口方向，同時(shí)可求出拋物線的對(duì)稱

軸，利用二次函數(shù)的增減性，可對(duì)③④作出判斷；利用拋物線的開口方向，與y

軸的交點(diǎn)情況及對(duì)稱軸可得到拋物線可能經(jīng)過的象限，可對(duì)①②作出判斷；綜上

所述可得到正確結(jié)論的序號(hào).

5.(2023?廣安)如圖所示，二次函數(shù))/=a/+b%+b、c為常數(shù)，aW0)

的圖象與％軸交于點(diǎn)4(—3,0),B(l,0).有下列結(jié)論：①abc>0；②若點(diǎn)(—2,

5

%）和（一0.5,乃）均在拋物線上，則％<力；③5a—b+c=0；?4a+c>0.其

中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】【解答】解：

由題意得a<0,c>0,

<0,

2a

.*.b<0,

.,.abc>0,①正確；

...點(diǎn)（-2,yj和（-0.5,了2）均在拋物線上，且關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

2a

**|—0.5—1|V|-2—1|,

/.yr<y2^②正確；

當(dāng)x=-3時(shí)，9a-3b+c=0,

當(dāng)x=l時(shí),a+b+c=0,

10a-2b+2c=0,

.'.Sa—b+c=0,③正確；

-1,

2a

Ab=2a,

6

當(dāng)x=l時(shí)，a+b+c=O,

.*.3a+c=0,

Va<0,

.,.4a+c<0,④錯(cuò)誤;

故答案為：C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

問題即可求解。

6.(2023?眉山)如圖，二次函數(shù)了=a/+b%+式。w0)的圖象與x軸的一個(gè)交

點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),對(duì)稱軸為直線%=-1,下列四個(gè)結(jié)論：①abcVO；②4a-

2b+c<0；③3a+c=0；④當(dāng)—3V%V1時(shí)，a/+b%+cV0；其中正確結(jié)論

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】【解答】解：由題意得a>0,c<0,

"."y=ax2+bx+c(aH0)

對(duì)稱軸為％=――=0,

2a

.*.b=2a,

.\b>0,

abc<0,①正確;

7

???對(duì)稱軸為x=T,且函數(shù)與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),

???函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(-3,0),

當(dāng)x=l時(shí)，a+b+c=0,

當(dāng)x=-3時(shí)，9a-3b+c=0,

，4a-2b=0,

4Q—2b+cV0,②正確；

Va+b+c=0,b-2a,

.,.3a+c=0,③正確；

由題意得當(dāng)—3V%V1時(shí)，aF+bx+cVO,④正確；

故答案為：D

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象即可得到a>0,c<0,再結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸

即可得到b>0,進(jìn)而即可判斷①；再根據(jù)二次函數(shù)上點(diǎn)的特點(diǎn)即可得到4a-

2b=0,進(jìn)而即可判斷②；再根據(jù)已知條件結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像即可求解。

7.(2023?紹興)已知點(diǎn)M(—4,a-2),N(—2,a),P(2,a)在同一個(gè)函數(shù)圖象

上，則這個(gè)函數(shù)圖象可能是()

【答案】B

【解析】【解答】解：二飛(-2,a),P(2,a)在同一個(gè)函數(shù)圖象上，且它們的縱坐

8

標(biāo)相等，可知圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故選項(xiàng)A、C不符合題意；

VM（-4,a-2）,N（-2,a）在軸的左側(cè)，且y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)D不符合

題意，選項(xiàng)B符合題意.

故答案為：B.

【分析】由點(diǎn)N（-2,a）,P（2,a）關(guān)于y軸對(duì)稱，可排除選項(xiàng)A、C,再根據(jù)M（-

4,a-2）,N（-2,a）可知在y軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，從而排除選項(xiàng)D.

8.（2023?黃岡）已知二次函數(shù)丫=。/+5%+。（?！?）的圖象與*軸的一個(gè)交點(diǎn)

坐標(biāo)為（一1,0）,對(duì)稱軸為直線％=1,下列論中：①a—b+c=0；②若點(diǎn)（一3,

%），（2，了2），（*丫3）均在該二次函數(shù)圖象上，則％〈了2〈了3；③若m為任意實(shí)

數(shù)，則am?+bm+c4-4a；④方程a/+人％+c+1=0的兩實(shí)數(shù)根為%「x?，

且％1<盯，則％1<—1，%2>3.正確結(jié)論的序號(hào)為（）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①④

【答案】B

【解析】【解答】解：...拋物線過點(diǎn)（T,0）,

a-b+c=0,故①正確；

,.*a<0,

???開口向下.

..?點(diǎn)（-3,力）到對(duì)稱軸的距離最大，（2,y2）到對(duì)稱軸的距離最小，

yi<y3<y2,故②錯(cuò)誤；

二?對(duì)稱軸x=-2-a=1,

/.b=-2a.

Va-b+c=0,

c二b一a二一3a.

9

?拋物線的最大值為a+b+c,

am2+bm+ca+b+c-a-2a-3a=-4a,故③正確；

:拋物線過點(diǎn)（T,0）,對(duì)稱軸為x=l,

.?.與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3,0）.

'??方程ax\bx+c+kO的兩實(shí)數(shù)根為Xi、X2,且x《X2,

拋物線與直線y=T的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為X1、X2,

.*.Xi<-l,X2>3,故④正確.

故答案為：B.

【分析】將點(diǎn)（T,0）代入即可判斷①；由a〈0可得開口向下，然后根據(jù)距離對(duì)

稱軸越近的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大即可判斷②；由對(duì)稱軸為直線x=l可得b=-2a,結(jié)

合a-b+c=O可得c=b-a=-3a,由開口向下以及對(duì)稱軸為直線x=l可得拋物線的最大

值為a+b+c=-4a,進(jìn)而判斷③；由對(duì)稱性可得與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3,0）,然

后根據(jù)拋物線與直線y=T的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為xi、X2可判斷④.

9.（2023?天津市）如圖，要圍一個(gè)矩形菜園ZBCD,共中一邊4D是墻，且ZD的

長不能超過26m,其余的三邊ZB,BC,CD用籬笆，且這三邊的和為40m.有下列

結(jié)論:

①的長可以為6m；

②AB的長有兩個(gè)不同的值滿足菜園4BCD面積為192租2；

③菜園ZBCD面積的最大值為200rH2.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

/〃///〃//〃//////〃〃

AD

菜園

BI--------------------1c

A.0B.1C.2D.3

io

【答案】C

【解析】【解答】解：設(shè)AD邊長為xm,則AB邊長為等m,

當(dāng)AB=6時(shí)，笠二6,

解得x=28,

VAD的長不能超過26m,

.*.x<26,

結(jié)論①不正確；

?.?菜園ABCD面積為192m2,

Ax2-40x+384=0,

解得x=24或x=16,

AAB的長有兩個(gè)不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2,

???結(jié)論②正確；

設(shè)矩形菜園的面積為ynA

根據(jù)題意得：y=x-|(%2-40%)=-|(x-20)2+200,

1

<0,

2

.?.當(dāng)x=20時(shí)，y有最大值，最大值為200,

即菜園4BCD面積的最大值為200租2,

結(jié)論③正確；

綜上所述：正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2,

故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意找出等量關(guān)系求函數(shù)解析式和列方程求解即可。

10.(2023?遂寧)拋物線y=a/+力％+式。60)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直

11

線％=—2.下列說法：①abcV0；②c—3a>0；③4a2—2ab之a(chǎn)t（at+b）（t

為全體實(shí)數(shù)）；④若圖象上存在點(diǎn)A（%i，%）和點(diǎn)B（%2，y2），當(dāng)租〈租+

3時(shí)，滿足力=了2，則m的取值范圍為-5VmV-2.其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】【解答】解：由題意得a<0,c<0,

"."y=ax2+bx+c(aH0),

???函數(shù)的對(duì)稱軸為％=—==—2,

2a

.?.b=4aV0,

abc<0,①正確；

當(dāng)x=-l時(shí)，a-b+c>0,

/.a—4a+c>0,

Ac-3a>0,②正確；

當(dāng)x=t時(shí)，y=at2+bt+c,

4a—2b+c>at2+bt+c,

.,.4a—2b>at2+bt,

TaVO,

4a2—2ab<at(at+b),③錯(cuò)誤；

如圖所示，點(diǎn)A(xi,y)B(X2,y2)滿足yi=y2,

12

m<x1<x2<m+3,

/.m<Xi<-2,-2<x2<m+3,

解得—5<m<—2,④正確；

故答案為：C

【分析】先根據(jù)題意即可得到a<0,c<0,進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸即可得到

b=4a<0,進(jìn)而即可判斷①；將x=T代入，再結(jié)合已知條件即可判斷②；根據(jù)二

次函數(shù)的最值即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性解不等式即可判斷④。

二、填空題

11.（2023?宜昌）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距

離x（單位：m）之間的關(guān)系是y=——10）（%+4）,則鉛球推出的距離04=_

【解析】【解答】解：令y=0,則—2（%—10）（%+4）=0,

解得Xi=10,X2=-4（不符合題意，舍去），

.*.0A=10.

13

故答案為：10.

【分析】令U=O,得到關(guān)于X的一元二次方程，解方程即可得到答案.

12.(2023?紹興)在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于％軸

的矩形內(nèi)部(包括邊界)，這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形.例

如：如圖，函數(shù)y=(%—2)2(04％43)的圖象(拋物線中的實(shí)線部分)，它的關(guān)

聯(lián)矩形為矩形。4BC.若二次函數(shù)y=+b%+c(04％43)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好

也是矩形。ABC,則b=.

【答案嗎或卷

【解析】【解答】解：由題意易得點(diǎn)A(3,0),

將x=0代入y=(x-2)之得y=4,

.?.點(diǎn)C(0,4),

?..四邊形OABC是矩形，

.?.點(diǎn)B(3,4),

函數(shù)y=；x2+bx+c(0WxW3)的對(duì)稱軸直線為％=一5=一白二-2b,

4Z.U--xz

一4

分類討論：①如圖所示，當(dāng)對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，且圖象經(jīng)過點(diǎn)0(0,0)及B

(3,4),

14

(-2b<0

由圖象可得|。。二°，解得b=V；

(~+3b+c=4

14

②如圖所示，當(dāng)對(duì)稱軸在AB右側(cè)，且圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)及C(0,3),

(-2b>3

由圖象可得Lc=4，解得b=—"；

-+3b+c=0

V4

③如圖所示，當(dāng)對(duì)稱軸直線在y軸右側(cè)，且在AB左側(cè)時(shí),

(3

解得一54b~°此種情況不符合題意，舍去;

、b=+2

綜上b的值為白或-

1212

故答案為：5或-祟

【分析】由題意易得點(diǎn)A(3,0),將x=0代入代入丫=(x-2)2得y=4,故點(diǎn)C

15

(0,4)根據(jù)矩形的性質(zhì)得點(diǎn)B(3,4),利用對(duì)稱軸直線公式可得函數(shù)

y=；x2+bx+c(0WxW3)的對(duì)稱軸直線為x=-2b,然后分類討論：①如圖所示，當(dāng)對(duì)

稱軸在y軸的左側(cè)，且圖象經(jīng)過點(diǎn)0(0,0)及B(3,4),②如圖所示，當(dāng)對(duì)稱

軸在AB右側(cè)，且圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)及C(0,3),③如圖所示，當(dāng)對(duì)稱軸直線

在y軸右側(cè)，且在AB左側(cè)時(shí)，分別畫出示意圖，由圖象得出混合組，求解即可得

出答案.

三、綜合題

13.(2023?武漢)某課外科技活動(dòng)小組研制了一種航模飛機(jī).通過實(shí)驗(yàn)，收集了

飛機(jī)相對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的飛行水平距離》(單位：m)以、飛行高度y(單位：m)隨飛

行時(shí)間t(單位：s)變化的數(shù)據(jù)如下表.

飛行時(shí)間“S02468???

飛行水平距離%/租010203040???

飛行高度y/m022405464???

探究發(fā)現(xiàn)：％與3y與t之間的數(shù)量關(guān)系可以用我們已學(xué)過的函數(shù)來描述.直接

寫出％關(guān)于力的函數(shù)解析式和y關(guān)于t的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范

圍).

問題解決：如圖，活動(dòng)小組在水平安全線上4處設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平

臺(tái)試飛該航模飛機(jī).根據(jù)上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下列問題.

水平安全線

(1)若發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度為0m,求飛機(jī)落到安全線時(shí)飛行的水平

16

距離；

（2）在安全線上設(shè)置回收區(qū)域MN,AM=125m,MN=5m.若飛機(jī)落到MN

內(nèi)（不包括端點(diǎn)M,N）,求發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度的變化范圍.

【答案】（1）解：探究發(fā)現(xiàn)：x與t是一次函數(shù)關(guān)系，y與t是二次函數(shù)關(guān)系，

設(shè)％=kt,y=ax2+bx,

由題意得：10=2k{/二黑二女，

116a+4b=40

解得：k=5,a=—|,b=12,

1Q

.*.%=53y=——t2+12t.

）2

問題解決（1）解：依題意得一12+12亡=0.

解得,=0（舍）,t2=24,

當(dāng)t=24時(shí)，％=120.

答：飛機(jī)落到安全線時(shí)飛行的水平距離為120m.

（2）解：設(shè)發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度為mn,飛機(jī)相對(duì)于安全線的飛行高度

/1

y=——t2Q+12t+n.

,2

v125<x<130,

A125<5t<130,

25<t<26,

在y'=]/+i2t+ri中，

當(dāng)t=25,y=0時(shí)，n=12.5；

當(dāng)t=26,y'=0時(shí)，n=26.

???12.5<n<26.

答：發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度的變化范圍是大于12.5租且小于26m.

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)x=kt,y=ax2+bx,利用表中數(shù)據(jù)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代

17

入可求出兩函數(shù)解析式，再將y=0代入可得到關(guān)于t的方程，解方程求出t的

值，然后將符合題意的t的值代入函數(shù)解析式，可求出對(duì)應(yīng)的x值，即可求解.

(2)設(shè)發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度為mn,飛機(jī)相對(duì)于安全線的飛行高度y'=

-|t2+12t+n,利用x的取值范圍，可得到t的取值范圍，利用兩端點(diǎn)數(shù)，分別

將t=25和t=26代入函數(shù)解析式，可求出對(duì)應(yīng)的n的值，可得到n的取值范圍.

14.(2023?杭州)設(shè)二次函數(shù)y=a/+b%+1,(aH0,b是實(shí)數(shù)).已知函數(shù)

值y和自變量％的部分對(duì)應(yīng)取值如下表所示:

%???-10123???

y???m1n1V???

(1)若TH=4,求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)寫出一個(gè)符合條件的％的取值范圍，使得y隨％的增大而減小.

(3)若在m、n、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求a的取值范圍.

【答案】(1)解：把(-1,4),(2,1)代入y=ax?+bx+l,得

(a—b+l=4

(4a+2b+1=1，

解得：=

S=-2

.?.y=—2%+1；

(2)解：:(0,1),(2,1)在丫=a*2+6*+1圖象上，

???拋物線的對(duì)稱軸為直線％=等=L

.?.當(dāng)a>0時(shí)，則x<l時(shí)，y隨x的增大而減小，

當(dāng)a<0時(shí)，則x>l時(shí)，y隨x的增大而減??；

(3)解：把(2,1)代入y=ax?+bx+l,得

1=4。+2b+1,

:?b=-2a

18

.,.y=ax2+bx+1=ax2—2ax+1,

把（T,m）代入y-ax2-2ax+l得，m=a+2a+1=3a+1,

把（1,n）代入y=ax,-2ax+l得，n=a—2a+1=—a+1,

把（3,p）代入y=ax2-2ax+l得,p=9a-6a+1=3a+1,

.,.m=p,

n、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，

.（~CL+1>0

,*t3a+1<0,

解得：a<—

【解析】【分析】（1）將點(diǎn)（T,4）,（2,1）分別代入丫=a*2+6*+1,可得關(guān)于字

母a、b的方程組，求解得出a、b的值，從而得到二次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可求出拋物線的對(duì)稱軸直線為x=L進(jìn)而分a>0與a

<0兩種情況，由函數(shù)的增減性作答即可；

（3）把點(diǎn)（2,1）代入yuax'+bx+l,得b=-2a,從而得拋物線的解析式為y=ax?-

2ax+l,然后分別把（T,m）、（1,n）、（3,p）代入y=ax?-2ax+l算出m、n、p的

值，可得m=p,進(jìn)而再由m、n、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，可得關(guān)于字母

a的不等式組，求解即可得出a的取值范圍.

15.（2023?武漢）拋物線Q：y=——2%—8交工軸于4B兩點(diǎn)（4在B的左

邊），交y軸于點(diǎn)C.

19

(2)如圖(1),作直線％=t(0VtV4),分別交%軸，線段BC,拋物線的于

D,E,F三點(diǎn)，連接CF.若△BDE與ACEF相似，求t的值；

(3)如圖(2),將拋物線Q平移得到拋物線。2,其頂點(diǎn)為原點(diǎn).直線y=2%與

拋物線。2交于。G兩點(diǎn)，過。G的中點(diǎn)H作直線MN(異于直線。G)交拋物線。2于

M,N兩點(diǎn)，直線M。與直線GN交于點(diǎn)P.問點(diǎn)P是否在一條定直線上？若是，求該

直線的解析式；若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)解：???拋物線解析式為y=%2—2%—8,

.,.當(dāng)y=0時(shí)，x2—2x—8=0,當(dāng)％=0時(shí)，y=—8,

角軍得：/=-2,x2=4,

0),3(4,0),C(0,-8).

(2)解：???？是直線％=t與拋物線6交點(diǎn)，

F(t^t?—2t—8),

①如圖，若^BER時(shí)，

???ZBCF1=ZCBO,

：.CFX||OB

20

VC(0,-8),

t2—2t—8——8,

解得，t=0（舍去）或t=2.

②如圖，若?AFzE2c時(shí).過尸2作FzT_L%軸于點(diǎn)幾

???ZBCF2=/BD2E2=/BOC=90°,

/.ZOCB+ZOBC=NOCB+ZTCF2=90°,

/.ZTCF2=NOBC,

???/CTF2=/BOC=90°,

???△BCOCF2T,

.F2T_CT

''CO~BO

v5(4,0),C(0,—8),

AOB=4,OC=8,

22

■:F2T=t,CT=-8-(t-2t-8)=2t-t,

?.?一t=-2-t-t-2，

84

解得，t=0(舍去)或t=|.

綜上，符合題意的珀勺值為2或|.

(3)解：?.?將拋物線Ci平移得到拋物線C2,其頂點(diǎn)為原點(diǎn),

21

2

?o?c2；y=X,

..?直線OG的解析式為y=2%,,

???聯(lián)立直線OG與C2解析式得：憂，;

解得比二"舍去)北二：

?"(2,4),

是。G的中點(diǎn)，

?2+0_14+0_Q

22

，H(1,2),

設(shè)m2),N(n,M),直線MN的解析式為y=七%+瓦,

2

貝(1九2—nk1+b1,m=mkr+%,

解得，=m+n,b1=—mn,

，直線MN的解析式為y=(m+n)x-mn,

?.?直線MN經(jīng)過點(diǎn)2),

mn=m+n—2

同理，直線GN的解析式為y=(ri+2)%-2n；直線M。的解析式為y=m%.

(n+2)x—2n

聯(lián)立,得廠

y=mx.

2n2mn

解得:X—,V-

n-m+2n-m+2

?.?直線OM與NG相交于點(diǎn)P,

c/2n2m+2n-4

???P(-------，-----------)x?

m-m+2n-m+27

設(shè)點(diǎn)P在直線y=k%+b上，則獨(dú)巨?=小—4+乩①

Jn-m+2n-m+2

整理得，2租+2n—4=2kn+bn—bm+2b=—bm+(2k+b)n+2b,

比較系數(shù)得：｛2ktb^2^

I—5=2

22

???當(dāng)k=2,b=-2時(shí)，無論zi為何值時(shí)，等式①恒成立.

???點(diǎn)P在定直線y=2%-2上.

【解析】【分析】(1)由y=0可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，可得到點(diǎn)

A,B的坐標(biāo)；再由x=0求出對(duì)應(yīng)的y的值，可得到點(diǎn)C的坐標(biāo).

(2)由點(diǎn)F是直線x=t與拋物線G交點(diǎn)，利用拋物線的解析式設(shè)點(diǎn)F(t,t2-

2t-8),；分情況討論：當(dāng)△BEDS/^CEE時(shí)，易證CF1〃OB,利用點(diǎn)C和點(diǎn)F的縱

坐標(biāo)相等，可得到關(guān)于t的方程，解方程求出t的值；當(dāng)ABEzD2s^FZE2c時(shí)，過

點(diǎn)Fz作F?T，x軸于點(diǎn)T,利用余角的性質(zhì)可證得NTCF2=N0BC,利用有兩組對(duì)應(yīng)角

分別相等的兩三角形相似可得到△BCOS^CFZT,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比

例，可得到關(guān)于t的方程，解方程求出t的值；綜上所述可得到符合題意的t的

值.

(3)利用拋物線的平移規(guī)律可得到C2的解析式，將直線OG和C2的解析式聯(lián)立方

程組，解方程組求出其解，可得到點(diǎn)G的坐標(biāo)；再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出點(diǎn)H

的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)M(m,in?),N(n,n2),利用待定系數(shù)法可得到直線MN的函數(shù)解析

式，將點(diǎn)H的坐標(biāo)代入可得到mn=m+n-2,同理可求出直線GN的函數(shù)解析式，將直

線MO和GN聯(lián)立方程組，解方程組可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，由點(diǎn)P在直線y=kx+b上，

代入可求出k,b的值，由此可得到點(diǎn)P一定在直線y=2x-2上，即可求解.

16.(2023?宜昌)如圖，已知4(0,2),B(2,0).點(diǎn)E位于第二象限且在直線

y=-2%上，ZEOD=90°,OD=OE,連接AB,DE,AE,DB.

23

(1)直接判斷△AOB的形狀：AZOB是三角形；

(2)求證：LAOE=ABOD；

(3)直線EA交x軸于點(diǎn)。(匕0),t>2.將經(jīng)過B,C兩點(diǎn)的拋物線yi=

a/+取-4向左平移2個(gè)單位，得到拋物線了2.

①若直線E4與拋物線力有唯一交點(diǎn)，求t的值；

②若拋物線丫2的頂點(diǎn)P在直線E4上，求t的值；

③將拋物線丫2再向下平移，彳三個(gè)單位，得到拋物線了3.若點(diǎn)D在拋物線了3

上，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】(1)等腰直角

ZAOB-ZAOD=/DOE-NAOD,

ZAOE=/BOD,

"."AO=OB,OD=OE,

:.AAOE三△BOD(SAS).

24

(3)解：①設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

???4(0,2),C(t,0),

.rb=2

?.〔kt+b=0，

,,yAc——z%+2，

將C?,0),B(2,0)代入拋物線刈=ax2+bx-4得，

(0=at2+bt—4

10=4a+25-4'

解得a=—：,b=|(t+2),

22

:.%=--%2+-(t+2)x—4,

:直線XAC=-：％+2與拋物線yi=-：％2++2)%-4有唯一交點(diǎn)

???聯(lián)立解析式組成方程組解得％2-(t+3)%+3t=0

4=(t+3)2—4X3t=(t-3)2=0

t=3

②?..拋物線%=-|%2+|(C+2)%-4向左平移2個(gè)單位得到了2，

/.拋物線了2=--(X-—)2+”立，

,乙tv272t

???拋物線y2的頂點(diǎn)p(詈，胃口，

將頂點(diǎn)P(一，牛)代入為c=—1%+2,

t2-6t=0,解得耳=0,七=6，

：t>2,

**,t—6；

③過點(diǎn)軸，垂足為M,過點(diǎn)D作DN_L%軸，垂足為N,

25

/./EMO=NOND=90

???/DOE=90°,

/.NEOM+/MEO=/EOM+/NOD=90°,

:,NMEO=/NOD,

'：OD=OE,

：.△ODN三△EOMQ4AS),

.'.ON=EM,DN=OM,

YOE的解析式為y=—2%,

.?.設(shè)EM=2OM=2m,

.".DN=OM=m,

vEM1%軸，

AOA||EM,

△CAO^△CEM,

:.OC：CM=OA：EM,

t_2

:?----=----，

t+m2m

??.m=——t，

t-i

：2tt

.EM=ON=2OM=2m=—t-i,DN=OM=m=—t-i

AD(—,—),

vt-it-v

9

???拋物線為再向下平移個(gè)單位，得到拋物線了3，

26

???拋物線為=一|%2+|(t—2)%一滔產(chǎn)

???。(三，三)代入拋物線y3=-|%2+|(t-2)x-

L—1I-1tL(L-JLJ

???3t2-19t+6=0,

解得匕=|，七=6,

由t>2,得t=6,

.2t

??_—_12__―12，t_—6—_—6,

t-16-15t-16-15

???啃，!)?

【解析】【解答】解：⑴VA(0,2),B(2,0),

.*.0A=0B=2,ZA0B=90°,

AAA0B是等腰直角三角形.

故答案為：等腰直角.

【分析】(1)由A、B的坐標(biāo)可知OA=OB,再有NA0B=90°可知aAOB是等腰直角

三角形.

(2)由NE0D=NA0B=90°,可知NA0E=NB0D；又因?yàn)锳O=OB,OD=OE,可根據(jù)

SAS證明△A0EZ/\B0D.

(3)①先根據(jù)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出AC所在直線的一次函數(shù)解析式(含字母t)；

再根據(jù)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線力的解析式(含字母t),再根據(jù)一次函數(shù)與拋物

線有一個(gè)唯一焦點(diǎn)，聯(lián)立方程得到關(guān)于x的一元二次方程，讓△=(),即可求出t

的值.

②拋物線yi=-|%2+|(亡+2)%-4向左平移兩個(gè)單位，可得拋物線了2=

-氣％-三)2+9<則拋物線丫2的頂點(diǎn)為P(三，4)，代入AC的直線解析

式，即可求解t,注意t要大于2.

③過點(diǎn)E作EM_L%軸，垂足為M,過點(diǎn)D作DNJ.%軸，垂足為N,先證明△

27

ODN=AEOM(ZZS),貝UON=EM,DN=OM,設(shè)EM=20M=2m,由。4||EM

可得OC：CM=OA：EM,則7■二=三，求得租=/y,得。(三■,由拋物線

t+m2mt-1vt-lt-ly

y?再向下高得到拋物線=—：/+：?-2)%—三?把。(三，士)代入拋

[L-LJLL[LJ-JL—_LL—-L

物線丫3得至1」3/—19t+6=0,即可求解t,注意t>2,從而可以得到點(diǎn)D的坐

標(biāo).

17.（2023?新疆）

(1)【建立模型】如圖1,點(diǎn)B是線段CD上的一點(diǎn)，ACIBC,ABLBE,

ED1BD,垂足分別為C,B,D,AB=BE.求證：AACB=^BDE；

(2)【類比遷移】如圖2,一次函數(shù)y=3%+3的圖象與y軸交于點(diǎn)4、與％軸

交于點(diǎn)B,將線段4B繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到BC、直線ZC交%軸于點(diǎn)D.

①求點(diǎn)C的坐標(biāo);

②求直線4C的解析式；

(3)【拓展延伸】如圖3,拋物線y=/一3%-4與％軸交于4B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在

點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于C點(diǎn)，已知點(diǎn)Q(0,-1),連接BQ.拋物線上是否存在點(diǎn)

M,使得tanNMBQ=g,若存在，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

【答案】(1)證明：'：AC1BC,AB1BE,ED1BD,

/./C=ND=/ABE=90

???/ABC+4=90°,ZABC+/EBD=90

???ZA=/EBD,

又?「AB=BE,

28

Z.△ACB三△BDEQ4ZS)；

(2)解：①如圖所示，過點(diǎn)C作CE_L%軸于點(diǎn)E,

圖2

?.?將線段4B繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BC,

ABA=BC,ZABC=90°,

又NA0B=ZCEB=90°,

???NABO=90°-/CBE=/ECB,

：.△CBEBAO{AAS},

:.BE=A。，CE=BO,

?.?一次函數(shù)y=3%+3的圖象與y軸交于點(diǎn)4、與％軸交于點(diǎn)B,

當(dāng)％=。時(shí)，y=3,即4(0,3),

當(dāng)y=0時(shí)，%=-1,即B(—l,0),

:.BE=AO=3,CE=BO=1,

：.EO=EB+BO=3+1=4,

?"(—4,1);

②'.[(O,3),設(shè)直線4c的解析式為y=k%+3,

將C(—4,1)代入得：1=-4k+3

解得：k

.二直線4c的解析式為y=|x+3,

(3)解：,拋物線y=%2一3%一4與％軸交于4B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)B的左側(cè)),

29

當(dāng)y=0時(shí)，x2—3x—4=0,

解得：Xt=-1,%2=4，

???4(一1,0),B(4,0);

①當(dāng)M點(diǎn)在％軸下方時(shí)，如圖所示，連接MB,過點(diǎn)Q作QH_LBM于點(diǎn)H,過點(diǎn)H作

DE_Ly軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BEJ.DE,于點(diǎn)E,

,/NQDH=/E=/QHB=90°,

???/DQH=90°-/QHD=/BHE,

：.△QDHs&HEB,

.QH__DH^_DQ_

'°BH-BE-HE'

?「tan/MBQ=tan/QBH=三="，

yx3BH

.QH_DH_1

??———,

BHBE3

設(shè)DH=a,貝UBE=3a,

?；DE=4,

4CL

：.HE=4-a,QD=---,

?：OD=BE,Q(0,-1),

?i?4a

??1H------=3a,

33

解得：a=「，

10

30

設(shè)直線BH的解析式為y=k7x+b,

f7；,,21

——kz+b=-----

代入"舄'-9'B(4,0)得:ioio

4k7+b=0

I28

b=-----

解得:li

k7=-

11

直線BM解析式為y=-等

（728

聯(lián)立］y=五%一五,

解得：=4（舍去），％2=~

②當(dāng)M點(diǎn)在％軸的上方時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)Q作QG于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作PF||%

軸，交y軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作PBJ.FP于點(diǎn)P,

VFP=4,

4-b

GP=4-b,FQ

3

\'FQ=PB+1,

??—4—b=037b+I41?

3

解得：b=^

31

設(shè)直線MB的解析式為y=mx+n,

(1,3

代入G(S，。)，B(4,0)得：,10mn~io,

I4m+n=0

(m=——

解得：/，

In=^

???直線MB的解析式為y=—2％+2，

聯(lián)立戶F+G,

、y=/_3%_4

解得：=4(舍去)，％2=—￡，

綜上所述，M的橫坐標(biāo)為-，■或-弓.

1113

【解析】【分析】(1)利用“AAS”證出AZCBWABDE即可;

(2)①過點(diǎn)C作CE1%軸于點(diǎn)E,先證出△CBE=ABAO(AAS),可得BE=

AO,CE=BO,再求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可得BE=4。=3,CE=BO=1,利用

線段的和差求出EO的長，即可到到點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(3)分類討論：①當(dāng)M點(diǎn)在％軸下方時(shí)，②當(dāng)M點(diǎn)在％軸的上方時(shí)，再分別畫出圖

象并利用相似三角形的判定方法和性質(zhì)求解即可。

18.(2023?棗莊)如圖，拋物線y=-/+.+c經(jīng)過4(一1,0),C(0,3)兩

點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B,點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D.

32

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH,DH,求+的最小值；

(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以D,M,

P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)目接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)解：.拋物線了=一/+b%+c經(jīng)過4(一1,0),C(0,3)兩點(diǎn),

.(—1—b+c=0(b=2

,解得:

c=3ic=3

.*.y=—x2+2%+3；

(2)解：Vy=—/+2%+3=-(%-I)2+4,

4),

設(shè)直線ZM：y=kx+m(kH0),

(—k+m=0(k=2

則:，解得:

k+m=4Im=2

-'?AM：y=2%+2,

當(dāng)％=0時(shí)，y=2,

?"(0,2);

作點(diǎn)。關(guān)于％軸的對(duì)稱點(diǎn)。:連接。'M，

則：D7(0,一2)，MH+DH=MH+D'HND'M，

當(dāng)M,H,三點(diǎn)共線時(shí)，用“+?！庇凶钚≈禐?。'時(shí)的長，

33

：?D'M=J/+（4+2）2=V37,

即：MH+DH的最小值為：V37；

（3）解：存在；

"."y=—x2+2x+3=—(%—l)2+4,

???對(duì)稱軸為直線%=1,

設(shè)尸(p,t),Q(l,n),

當(dāng)以D,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí):

rl+p=0+1

①DM為對(duì)角線時(shí):tt+n=4+2

當(dāng)p=0時(shí)，t=3,

n=3,

"(I，3);

34

fO+p=1+1

②當(dāng)。尸為對(duì)角線時(shí):

12+t=4+n

P=2.

'12+t=4+n，

當(dāng)p=2時(shí)，t=—22+2X2+3=3,

'.n=1,

"(I，1)；

rl+p=0+1

③當(dāng)MP為對(duì)角線時(shí):(4+t=2+ri

當(dāng)p=0時(shí)，t=3,

.,.n=3,

???Q(L5)；

綜上：當(dāng)以D,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，Q(l,3)或Q(l,1)或

Q(l，5).

【解析】【分析】(1)將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入y=-％2+bx+c求出b、c的值即

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可；

(2)作點(diǎn)。關(guān)于％軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接D’M，當(dāng)M,H,。’三點(diǎn)共線時(shí)，MH+

DH有最小值為D'M的長，再結(jié)合點(diǎn)D'(0,-2)，M(l,4),求出?！甅=

+(4+2下二回即可；

(3)分類討論：①當(dāng)DM為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)DP為對(duì)角線時(shí)，③當(dāng)MP為對(duì)角線時(shí)，

再分別畫出圖象并求解即可。

19.(2023?衡陽)如圖，已知拋物線了=。％2一2￡1%+3與*軸交于點(diǎn)4(—1,0)和

點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,連接ZC,過B、C兩點(diǎn)作直線.

(1)求a的值.

(2)將直線BC向下平移租(租＞0)個(gè)單位長度，交拋物線于B'、C’兩點(diǎn).在

直線B,C'上方的拋物線上是否存在定點(diǎn)D,無論m取何值時(shí)，都是點(diǎn)D到直線

B'C'的距離最大，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使々3。+/4。。=45。，若存在，請(qǐng)求出直

線BP的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)解：拋物線y=a/一2a%+3與x軸交于點(diǎn)4(一1,0),

得a+2a+3=0,

解得：a=—1；

(2)解：存在。(―/》理由如下：

設(shè)B'C'與y軸交于點(diǎn)G,由(1)中結(jié)論a=-1,得拋物線的解析式為y=-/+

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2x+3,

當(dāng)y=o時(shí)，=—1,%2=3，即4(一1,0),B(3,0),C(0,3),

OB=OC,ZBOC=90°,即△BOC是等腰直角三角形，

ZBCO=45°,

?:B'C'IIBC，

NBCO=/B'GO=45°，

設(shè)D(t,-t2+2t+3),過點(diǎn)。作DEIIy軸交B'C'于點(diǎn)E，作DF_LB'C’于點(diǎn)

/DEF=/B'G。=45。，即^DEF是等腰直角三角形,

設(shè)直線BC的解析式為y=k%+b,代入B(3,0),C(0,3),

得「箕；。,解得仁