在多元表征中促進算理算法的融通

【摘

要】“筆算除法”是小學(xué)階段運算教學(xué)的重難點，學(xué)生對除法豎式意義的理解不充分，因此在學(xué)習(xí)“筆算除法”前，教師安排了“用長豎式記錄分的過程”這一內(nèi)容。通過動作表征、圖式表征、豎式表征及表征之間的關(guān)聯(lián)，豐富學(xué)生對豎式意義及算理的理解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，為后續(xù)學(xué)習(xí)筆算除法做好鋪墊?！娟P(guān)鍵詞】筆算除法；長豎式；多元表征；算理一、找學(xué)生起點——統(tǒng)計與分析前測數(shù)據(jù)教學(xué)人教版教材三年級下冊“除數(shù)是一位數(shù)”單元“筆算除法”時，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，把握學(xué)生的認知水平，筆者對任教班級45名學(xué)生進行了前測。前測試題由兩道題目構(gòu)成，具體如下。（一）了解學(xué)生解決除法問題時的多種方法前測題目1：將45根小棒平均分成3份，你打算怎么分？請你一邊擺小棒一邊用語言進行說明。具體測試結(jié)果包括：（1）先分十位上的整十根，再分個位上的，最后將十位和個位上剩余的合起來一起分。即先從40里面拿出30分成（10，10，10），再從5里面拿出3分成（1，1，1），最后將剩余的10+2=12分成（4，4，4），結(jié)果為每份10+1+4=15（根）。使用這種分法的學(xué)生約占總?cè)藬?shù)的33.33%。（2）先分十位上的整十根，再把十位和個位上剩余的合起來一起分。即先從40里面拿出30分成（10，10，10），接著將剩余的10+5=15分成（5，5，5），結(jié)果為每份10+5=15（根）。這種方法是教材中引出除法豎式的方法，使用這種方法的學(xué)生約占總?cè)藬?shù)的28.89%。（3）先分個位上的，再十位上退一作十和個位上剩余的合起來一起分，最后分十位上剩余的整十根。即先從5里面拿出3分成（1，1，1），再把10+2=12分成（4，4，4），最后將剩余的30分成（10，10，10），結(jié)果為每份1+4+10=15（根）。使用這種分法的學(xué)生約占總?cè)藬?shù)的17.78%。（4）先分個位上的，再分十位上的整十根，最后將十位和個位上剩余的合起來一起分。即先從5里面拿出3分成（1，1，1），再從40里面拿出30分成（10，10，10），最后將剩余的10+2=12分成（4，4，4），結(jié)果為每份1+10+4=15（根）。使用這種分法的學(xué)生約占總?cè)藬?shù)的8.89%。（5）將全部小棒拆開1根1根分，即將45根小棒按（1，1，1）分15次。使用這種分法的學(xué)生約占總?cè)藬?shù)的4.44%。（6）約6.67%的學(xué)生沒有進行操作。其中，第（1）和第（2）種方法體現(xiàn)了從高位算起，第（3）和第（4）種方法體現(xiàn)了從低位算起。由此可見，學(xué)生具備解決問題的多種方法，如果教師直接使用第（2）種方法引出除法豎式，就只符合部分學(xué)生的認知，并未完全立足真實的學(xué)情。（二）了解學(xué)生用除法豎式進行計算的起點前測題目2：用豎式計算45÷3。測試結(jié)果顯示：45名學(xué)生中，計算過程與結(jié)果均無誤的只有10人，約占總?cè)藬?shù)的22.22%，他們已經(jīng)初步掌握了兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算方法；15名學(xué)生能得到正確的商，但筆算格式有誤，約占總?cè)藬?shù)的33.33%；有20名學(xué)生的答案與計算過程均有誤，約占總?cè)藬?shù)的44.44%。筆者對學(xué)生錯誤的原因進行分析（如表1），發(fā)現(xiàn)主要有以下幾種：未理解豎式計算的價值，將口算等同于豎式；雖然已有試商的意識，但不敢挑戰(zhàn)兩次試商或兩次試商后不知如何處理各組成部分的位置；不懂算理，未將被除數(shù)的拆分與除法運算算理聯(lián)系起來。二、析學(xué)生所難——分析“筆算除法”之所以難的原因（一）知識的負遷移導(dǎo)致理解的困難從形式上看，筆算除法的書寫形式與學(xué)生已學(xué)的筆算加法、減法、乘法的書寫形式有很大的不同。筆算加法、減法、乘法的書寫形式從低位算起，從上往下依次計算；筆算除法的書寫形式從高位算起，并將計算結(jié)果寫于被除數(shù)的上方。從運算的復(fù)雜性看，加法與減法僅是基于計數(shù)單位的運算；乘法則需要在拆分乘數(shù)的基礎(chǔ)上，利用乘法口訣和加法進行組合運算；筆算除法則需要在拆分被除數(shù)的基礎(chǔ)上，綜合運用加法、減法和乘法三種運算，且這樣三種運算合一的豎式模型較難納入學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)中。從與“有余數(shù)除法”的聯(lián)系上看，在學(xué)習(xí)“有余數(shù)除法”時，學(xué)生已經(jīng)有了除法豎式的初步模型，這種初步模型只需要用乘法口訣就可以直接求商，但這種方法很難直接遷移到“筆算除法”中，因此學(xué)生不敢挑戰(zhàn)兩次試商或兩次試商后不知如何處理各部分的位置。（二）從試商的多樣化到標準豎式的跨越難度大得出除法計算結(jié)果的方法有多種，但標準豎式背后的試商只有一種，就是通過試商將被除數(shù)拆分成能被除數(shù)整除的最大整十?dāng)?shù)以及被除數(shù)和這個最大整十?dāng)?shù)的差，如計算75÷3，要將75拆成60和15。試商的本質(zhì)就是利用乘法運算對被除數(shù)進行拆分，試商過程是幫助學(xué)生理解算理的過程，標準豎式書寫則是對運算方法的優(yōu)化。如何讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法是一個有著邏輯關(guān)聯(lián)的過程。三、構(gòu)教學(xué)活動——深度理解筆算除法通過上述調(diào)查與分析，要突破“筆算除法”這一教學(xué)難點，可以嘗試在學(xué)生多樣的分小棒方法的基礎(chǔ)上，建立試商與除法豎式的聯(lián)系，讓學(xué)生在動作表征、圖式表征、豎式表征的關(guān)聯(lián)中理解算理、掌握算法。同時，考慮到分小棒的動作表征起點較低，教學(xué)目標定位為在充分理解算理基礎(chǔ)上初步掌握算法。因此，筆者對教學(xué)進行了單元整體設(shè)計，直接從退位的筆算除法開始，將長豎式引入教學(xué)。具體的教學(xué)活動如下。【片段1】實物操作，初步感知師：將45根小棒平均分成3份，你打算怎么分？生：1根1根地分。師：有沒有方便一些的分法？生：我是這樣分的，10根小棒扎成1捆（下同），先分整捆的小棒，每份1捆，剩下1捆；再分單根的小棒，每份分1根，剩下2根；最后把剩下的1捆拆開，和剛才剩下的2根合成12根小棒繼續(xù)分，得到結(jié)果。生：我的方法是先分整捆的小棒，每份1捆，剩下1捆；再把剩下的1捆拆開，和另外5根合成15根小棒繼續(xù)分，得到結(jié)果。生：我是先分單根的小棒，每份1根，剩下2根；再拆1捆小棒，與2根合在一起，每份獲得4根；最后分整捆，每份獲得1捆?！酒?】圖式表征，深入感知教師將學(xué)生分的過程記錄在黑板上（小棒圖），如圖1所示。接著組織學(xué)生討論：比較三種分法，它們有什么相同點與不同點？（1）分法②與分法③都是先分整捆再分零散的，分法①是先分零散再分整捆的。（2）分法③兩次分完，分法①與分法②則要分三次。設(shè)計意圖：分小棒的過程，就是運用運算律理解算理的過程。學(xué)生在敘述分的過程時，自然地運用語言進行描述，雖然不嚴謹、不簡練，但是已經(jīng)能描述和概括出具體的操作活動。除此之外，學(xué)生還從中體會到整捆分的好處以及拆開剩余1捆小棒的必要性。【片段3】豎式化表征，追本溯源1.自主探究用豎式記錄分的過程（1）教師出示任務(wù)：請大家自主探究用豎式記錄圖1中分法②的分小棒過程。師：你們能用豎式的形式將圖1中分法②的分小棒過程記錄下來嗎？（2）呈現(xiàn)學(xué)生作品。教師巡視發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生列的豎式為“一層樓”式，如圖2所示。（3）同桌討論：你能看明白他列的豎式嗎？你贊同他的寫法嗎？生：這種寫法只呈現(xiàn)了最終答案，沒有將這三次分小棒的過程一一記錄下來。2.合作探究用長豎式記錄分的過程（1）在師生對話中生成除法的長豎式，結(jié)合小棒圖介紹長豎式各部分的含義，結(jié)合數(shù)學(xué)史進行數(shù)學(xué)文化的熏陶。（2）通過圖式表征、豎式表征和語言描述，幫助學(xué)生理解筆算除法的算理和算法（如表2）。3.鞏固練習(xí)，舉一反三教師出示任務(wù)要求：請大家在圖1中剩余的兩幅小棒圖中任選一幅，將整個分小棒的過程用像這樣的長豎式記錄下來。圖3中豎式各部分的含義：45指的是共有45根小棒，3表示平均分成3份，10表示第一次每份分到10根。第一次一共分掉了30根，還剩15根；第二次每份分到5根，一共分掉了15根，沒有剩余。圖4中豎式各部分的含義：45指的是共有45根小棒，3表示平均分成3份，1表示第一次每份分到1根。第一次一共分掉了3根，此時還剩下42根；第二次每份分到4根，一共分掉了12根，還剩30根；第三次每份分到10根，一共分掉了30根，沒有剩余。設(shè)計意圖：學(xué)生在尋求簡練的記錄方式的過程中，感悟到分小棒的過程與豎式記錄方式之間的聯(lián)系，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，建立了豎式模型。同時，學(xué)生在探究中運用數(shù)學(xué)語言來描述，切實感受到豎式產(chǎn)生和應(yīng)用的價值。這樣既滿足了學(xué)生的好奇心，也使學(xué)生積累了探究的經(jīng)驗，更增強了學(xué)生追本溯源的意識?！酒?】對照比較，逐步優(yōu)化教師出示任務(wù)：請大家觀察表2和圖3、圖4中的長豎式，比較它們有什么相同與不同之處。（1）表2與圖3中的兩個長豎式中，第一次的商都為10，這是因為它們第一次都是先分的整捆，從算法上來講都是先算十位。也就是說，這兩個長豎式都是從高位算起的。雖然這兩個長豎式第一次的分法相同，但第二次的分法就不同了。圖3是在分完第一次后將剩余的部分也就是1個十和5個一合起來一起分，每份分到5根；而表2是在第一次分了整捆后，第二次再分根，最后將捆的剩余根數(shù)與零散的根數(shù)合起來一起分。對比發(fā)現(xiàn)：圖3中的長豎式較為簡單，從豎式運算上看，捆分完后，剩下的捆和根合成的數(shù)除以除數(shù)是一個簡單的表內(nèi)除法問題。（2）圖4中的長豎式第一次分，每份分到1根，而表2和圖3中的兩個長豎式第一次分，每份都分到10根。從小棒圖來看，這一種分法是先分根的，從算法上來講就是先算個位。對比發(fā)現(xiàn)：表2中的長豎式可以簡化為圖3中的長豎式，而圖4中的長豎式（從個位算起）則無法縮簡?？偨Y(jié)：除法從高位算起。設(shè)計意圖：通過對比幾種豎式計算方法，學(xué)生能感悟到豎式除法確立的過程。通過不斷探索，豎式得以不斷簡化，多樣的順序慢慢統(tǒng)一，瑣碎的步驟慢慢壓縮，多余的符號慢慢消除，不同的寫法慢慢規(guī)范。四、思教學(xué)過程——多元表征，理法融通單元整體設(shè)計視角下的“筆算除法”從動作表征入手，建立了圖式表征和豎式表征，讓學(xué)生在圖式表征與豎式表征的關(guān)聯(lián)中理解筆算除法的意義和算理，在圖式表征與豎式表征的對比中經(jīng)歷筆算除法的簡化過程，初步掌握算法。（一）多元表征的關(guān)聯(lián)促使學(xué)生形成完整的思維鏈條從分小棒操作到得出標準豎式是一個非線性的過程。前測表明，學(xué)生已具備多種分小棒的方法，也能運用多種方法試商。因此，教學(xué)時要通過多元表征及表征之間的聯(lián)系，促使學(xué)生深度思考，形成完整的思維鏈條。具體而言，分小棒的多種方法及對應(yīng)的圖式表征、豎式表征確保了學(xué)生思考的充分性和一致性，分小棒的動作表征及分小棒過程的圖式表征則實現(xiàn)了均分過程的思維外顯。通過圖式表征可以知道每一步分到了什么，而運用豎式表征可以體現(xiàn)運算過程中的“每一步怎么分、分了什么、分到了什么、剩下什么”，使外顯的思維建立聯(lián)系，完整地呈現(xiàn)出對應(yīng)圖式表征的過程，最終形成思維鏈條。（二）長豎式的引入促成算理和算法的融通在以往的教學(xué)中，教師也會關(guān)注動作表征和圖式表征，但往往是通過從這兩種表征直接過渡到標準豎式表征，從而幫助學(xué)生理解除法豎式的意義和運算的一致性。但這樣的教學(xué)僅僅關(guān)注了學(xué)生思考的一致性而忽略了學(xué)生思考的充分性，忽視了學(xué)生的認知基礎(chǔ)——試商，不利于學(xué)生理解算理。本內(nèi)容的教學(xué)充分認識到豎式的價值，將分小棒的過程完整地記錄下來，并引入了長豎式。一方面，讓多種動作表征及對應(yīng)的圖式表征有了進一步表征的機會，實現(xiàn)思考的充分性；另一方面，通過對多種豎式表征的對比，使學(xué)生理解豎式的意義與算理，經(jīng)歷豎式的簡化過程，認識到用標準豎式表征的必要性。（三）單元整體設(shè)計讓教學(xué)路徑更為合理“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元中的“筆算除法”涉及被除數(shù)是兩位數(shù)、被除數(shù)是三位數(shù)和有關(guān)0的除法，共編排了7個例題、10道不同類型的除法運算。從編排的邏輯來看，是從易到難、從特殊到一般再到特殊，注重退位除法與被除數(shù)或商中有零的除法等難題的解決。事實上，無論是教學(xué)哪類整數(shù)除法，讓學(xué)生理解算