山東省禹城市綜合高中2024年高一數(shù)學第二學期期末考試試題含解析

山東省禹城市綜合高中2024年高一數(shù)學第二學期期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知圓，過點作圓的最長弦和最短弦，則直線，的斜率之和為A． B． C．1 D．2．已知向量，，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C．-1 D．13．數(shù)列，通項公式為，若此數(shù)列為遞增數(shù)列，則的取值范圍是A． B． C． D．4．已知點到直線的距離為1，則的值為（）A． B． C． D．5．在ΔABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A=π3，B=π4，A．23 B．2 C．3 D．6．已知某數(shù)列的前項和（為非零實數(shù)），則此數(shù)列為（）A．等比數(shù)列 B．從第二項起成等比數(shù)列C．當時為等比數(shù)列 D．從第二項起的等比數(shù)列或等差數(shù)列7．已知數(shù)列滿足：，，則該數(shù)列中滿足的項共有（）項A． B． C． D．8．下列大小關(guān)系正確的是()A.B.C.D.9．已知向量，，，且，則實數(shù)的值為A． B． C． D．10．函數(shù)是().A．周期為的偶函數(shù) B．周期為的奇函數(shù)C．周期為的偶函數(shù) D．周期為奇函數(shù)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．長方體的一個頂點上的三條棱長分別是3，4，5，且它的8個頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積是12．函數(shù)的最大值為______.13．已知呈線性相關(guān)的變量，之間的關(guān)系如下表所示：由表中數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程，由此估計當為時，的值為______．14．過點作圓的兩條切線，切點分別為，則=.15．已知，則____________.16．弧度制是數(shù)學上一種度量角的單位制，數(shù)學家歐拉在他的著作《無窮小分析概論》中提出把圓的半徑作為弧長的度量單位.已知一個扇形的弧長等于其半徑長，則該扇形圓心角的弧度數(shù)是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以點A為圓心,r=2為半徑作一個圓,設(shè)PQ為圓A的一條直徑.(1)請用表示,用表示;(2)記∠BAP=θ,求的最大值.18．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．

（1）求角A的值；

（2）若,，求△ABC的面積S．19．已知動點到定點的距離與到定點的距離之比為.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點作軌跡的切線，求該切線的方程.20．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，連，交于點.（Ⅰ）若點是側(cè)棱的中點，連，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面.21．如圖，在平面直角坐標系中，點，直線，設(shè)圓的半徑為1，圓心在上.（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線方程；（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得最長弦是直徑，最短弦和直徑垂直，故可計算斜率，并求和.【詳解】由題意得，直線經(jīng)過點和圓的圓心弦長最長，則直線的斜率為，由題意可得直線與直線互相垂直時弦長最短，則直線的斜率為，故直線，的斜率之和為．【點睛】本題考查了兩直線垂直的斜率關(guān)系，以及圓內(nèi)部的幾何性質(zhì)，屬于簡單題型.2、A【解析】

根據(jù)投影的定義和向量的數(shù)量積求解即可．【詳解】解：∵，，∴向量在向量方向上的投影，故選：A．【點睛】本題主要考查向量的數(shù)量積的定義及其坐標運算，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】因為的對稱軸為,因為此數(shù)列為遞增數(shù)列,所以.4、D【解析】

根據(jù)點到直線的距離公式列式求解參數(shù)即可.【詳解】由題,,因為,故.故選：D【點睛】本題主要考查了點到線的距離公式求參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

利用正弦定理asinA=【詳解】在ΔABC中，由正弦定理得asinA=故選：A.【點睛】本題考查利用正弦定理求邊，要記得正弦定理所適用的基本類型，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。6、D【解析】

設(shè)數(shù)列的前項和為，運用數(shù)列的遞推式：當時，，當時，，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式，即可得到所求結(jié)論．【詳解】設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的，（為非零實數(shù)）.當時，；當時，.若，則，此時，該數(shù)列是從第二項起的等差數(shù)列；若且，不滿足，當時，，此時，該數(shù)列是從第二項起的等比數(shù)列.綜上所述，此數(shù)列為從第二項起的等比數(shù)列或等差數(shù)列.故選：D.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運用，等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式，考查分類討論思想和運算能力，屬于中檔題．7、C【解析】

利用累加法求出數(shù)列的通項公式，然后解不等式，得出符合條件的正整數(shù)的個數(shù)，即可得出結(jié)論.【詳解】，，，解不等式，即，即，，則或.故選：C.【點睛】本題考查了數(shù)列不等式的求解，同時也涉及了利用累加法求數(shù)列通項，解題的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項，考查運算求解能力，屬于中等題.8、C【解析】試題分析：因為，，，所以。故選C?？键c：不等式的性質(zhì)點評：對于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，若，則函數(shù)都為增函數(shù)；若，則函數(shù)都為減函數(shù)。9、A【解析】

求出的坐標，由得，得到關(guān)于的方程.【詳解】，，因為，所以，故選A.【點睛】本題考查向量減法和數(shù)量積的坐標運算，考查運算求解能力.10、B【解析】因，故是奇函數(shù)，且最小正周期是，即，應(yīng)選答案B．點睛：解答本題時充分運用題設(shè)條件，先借助二倍角的余弦公式的變形，將函數(shù)的形式進行化簡，然后再驗證函數(shù)的奇偶性與周期性，從而獲得問題的答案．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用長方體的體對角線是長方體外接球的直徑,求出球的半徑，從而可得結(jié)果.【詳解】本題主要考查空間幾何體的表面積與體積．長方體的體對角線是長方體外接球的直徑,設(shè)球的半徑為，則,可得，球的表面積故答案為.【點睛】本題主要考查長方體與球的幾何性質(zhì)，以及球的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

設(shè)，，，則，，可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)的最值．【詳解】解：函數(shù)，設(shè)，，則，，，，故當，即時，函數(shù)，故故答案為：；【點睛】本題主要考查求函數(shù)的值域，正弦函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】由表格得，又線性回歸直線過點，則，即，令，得.點睛：本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用；求線性回歸方程是?？嫉幕A(chǔ)題型，其主要考查線性回歸方程一定經(jīng)過樣本點的中心，一定要注意這一點，如本題中利用線性回歸直線過中心點求出的值.14、【解析】

如圖，連接，在直角三角形中，所以，，，故.考點：1.直線與圓的位置關(guān)系；2.平面向量的數(shù)量積.15、【解析】

由已知結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得，然后分子分母同時除以求解．【詳解】，．故答案為：．【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)的計算題．16、1【解析】設(shè)扇形的弧長和半徑長為，由弧度制的定義可得，該扇形圓心角的弧度數(shù)是.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）22.【解析】

利用向量的三角形法則即可求得答案由，，可得，利用向量的數(shù)量積的坐標表示的表達式，利用三角函數(shù)知識可求最值【詳解】(1)=-.(2)∵∠BAC=60°,設(shè)∠BAP=θ,∴∠CAP=60°+θ,∵AB=8,AC=3,AP=2,∴=()·(-)=8-6cos(θ+60°)+16cosθ=3sinθ+13cosθ+8=14sin(θ+φ)+8,.∴當sin(θ+φ)=1時,的最大值為22.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)與平面向量的綜合，而輔助角公式是解決三角函數(shù)的最值的常用方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用．18、（1）（1）【解析】試題分析：（1）由已知利用正弦定理，兩角和的正弦公式、誘導公式化簡可得，結(jié)合，可求，進而可求的值；（1）由已知及余弦定理，平方和公式可求的值，進而利用三角形面積公式即可計算得解.試題解析：（1）在△ABC中，∵acosC+ccosA=1bcosA，∴sinAcosC+sinCcosA=1sinBcosA，

∴sin（A+C）=sinB=1sinBcosA，∵sinB≠0，∴，可得：

（1）∵，，∴b1+c1=bc+4，可得：（b+c）1=3bc+4=10，可得：bc=1．∴．19、（1），（2）或【解析】

（1）首先根據(jù)題意列出等式，再化簡即可得到軌跡方程.（2）首先根據(jù)題意設(shè)出切線方程，再利用圓心到切線的距離等于半徑即可求出切線方程.【詳解】（1）設(shè)，有題知，，所以點的軌跡的方程：.（2）當切線斜率不存在時，切線為圓心到的距離，舍去.當切線斜率存在時，設(shè)切線方程為.圓心到切線的距離，解得：或.即切線方程為：或.【點睛】本題第一問考查了圓的軌跡方程，第二問考查了直線與圓的位置關(guān)系中的切線問題，屬于中檔題.20、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見證明【解析】

（Ⅰ）由為菱形，得為中點，進而得到，利用線面平行的判定定理，即可求解；（Ⅱ）先利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而利用面面垂直的判定定理，即可證得平面平面.【詳解】（Ⅰ）證明：因為為菱形，所以為中點，又為中點，所以，，平面，平面，所以，平面；（Ⅱ）因為平面，所以，因為為菱形，所以，，所以，平面，平面，所以，平面平面.【點睛】本題考查了線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．21、（1）或；（2）.【解析】

（1）兩直線方程聯(lián)立可解得圓心坐標，又知圓的半徑為，可得圓的方程，根據(jù)點到直線距離公式，列方程可求得直線斜率，進而得切線方程；（2）根據(jù)圓的圓心在直線：上可設(shè)圓的方程為，由，可得的軌跡方程為，若圓上存在點，使，只需兩圓有公共點即可.【詳解】（1）由得圓心，∵圓的半徑為1，∴圓的方程為：，顯然切線的斜率一定存在，設(shè)所求圓的切線方程為，即．∴，∴，∴或．∴所求圓的切線方程為或．（2）∵圓的圓心在直線：上，所以，設(shè)圓心為，則圓的方程為．又∵，∴設(shè)為，則，整理得，設(shè)為圓．所以點應(yīng)該既在圓上又在圓上，即圓和圓有交點，∴，由，得，由，得．綜上所述，的取值范圍為．考點：1、圓的標準方程及切線的方程；2、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用.【方法點睛】本題主要考查圓