2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題

2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題

1.如圖，在四邊形A8CD中，ZDAB=30°,連接AC,將ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,

點(diǎn)C與點(diǎn)。重合，得到△￡?￡>,若AB=5,AD=4

(1)求證：樹是等邊三角形;

(2)求線段AC的長度.

2.已知四邊形ABCD中，ABLAD,BC1CD,AB=BC,ZABC=120°,ZMBN=60。,

NMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AD,DC(或它們的延長線)于￡,F.當(dāng)ZMBN

繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到A￡=C尸時(shí)，如圖1,易證AE+CF=EF.(不用證明)

（圖1）

(1)當(dāng)繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AEwCF時(shí)，如圖2,(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給

予證明;

(2)當(dāng)NMBN繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AEwCF時(shí)，如圖3,(1)中結(jié)論是否成立？若不成立,線

段AE,CF,E尸又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給予證明.

3.在，ABC中，AB=AC,ABAC=90°,。為平面內(nèi)的一點(diǎn).

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在邊BC上時(shí)，BD=2,且N54T＞=30。，求AD的長；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在ABC的外部，MZBDC=45°+ZADC,求證：BD=gD;

（3）如圖3,A5=6,當(dāng)。、E分別為A3、AC的中點(diǎn)時(shí)，把一ZME繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),

設(shè)旋轉(zhuǎn)角為《（0＜夕＜180。），直線80與CE的交點(diǎn)為尸，連接上4,直接寫出旋轉(zhuǎn)中

PAB面積的最大值.

4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)一點(diǎn)尸（〃,加），且加〃=18,過點(diǎn)P作刊W

軸交于點(diǎn)M,交A8于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PN，x軸交于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)、F,已知點(diǎn)A（0,a）

點(diǎn)80,。）且。、匕滿足6=Ja-6+j6-a+6.

試卷第2頁，共10頁

圖I圖2圖3

⑴求點(diǎn)A、3的坐標(biāo)；

(2)判斷由線段AE,EF,即組成的三角形的形狀，并說明理由；

⑶①當(dāng)機(jī)=〃時(shí)，如圖2,分別以PM、0P為邊作等邊三角形和POD,試判

斷PC和8的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由;

②當(dāng)mW”時(shí)，如圖3,求NEO9的度數(shù).

5.已知線段AB和點(diǎn)C,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0°<^z<90。)，得到線段AD,

將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。-戊，得到線段跳，連接。E,歹為小的中點(diǎn)，連接

AF,BF.

⑴如圖1,點(diǎn)C在線段上，依題意補(bǔ)全圖1,直接寫出NV加的度數(shù)；

(2)如圖2,點(diǎn)C在線段的上方，寫出一個(gè)a的度數(shù)，使得4歹=718/成立，并證明.

6.在RtaABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,^ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到^A'BC,

其中點(diǎn)A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)AC.

圖3

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。落在42的延長線上時(shí),連接CC',交A3于點(diǎn)M,求瓶的長;

(3)如圖3,連接A4',CC',直線CC'交A4,于點(diǎn)。，若=連接DE.在旋轉(zhuǎn)過程

中，DE是否存在最小值？若存在，請(qǐng)直接寫出DE的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

7.如圖1,在RtAASC中，ZC=90°,AC=BC,點(diǎn)。，E分別在邊AC,BC±,CD=CE,

連接BO,點(diǎn)F,P,G分別為AB,BD,DE的中點(diǎn).

(1)如圖1中，線段尸F(xiàn)與尸G的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是

試卷第4頁，共10頁

⑵若把CDE繞點(diǎn)、C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接ADBE,GF,判斷.FGP的

形狀，并說明理由；

(3)若把，CDE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，AC=8,CD=3,請(qǐng)求出FGP面積的最大值.

8.如圖，將ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到二4vM點(diǎn)8,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為MM.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)N落在BC的延長線上時(shí)，S.ZACB=90°,AC=6,AB=W,求BN的

長;

⑵如圖2,ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到延長BC交AN于點(diǎn)。，使得

FN=AD,連接DF,猜想線段并證明你的猜想;

⑶如圖3,連接點(diǎn)R為BC的中點(diǎn)，連接RG.若ZACB=90o,AC=6,AB=10,

在旋轉(zhuǎn)過程中，求出GR的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由

9.如圖1,在RtZkABC中，?B90?,BC=8,AB=6,點(diǎn)O,E分別是邊3C,AC的

中點(diǎn)，連接DE.將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.

(1)問題發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)a=0。時(shí)，AE:BD=_；②當(dāng)嫁=180。時(shí)，AE:BD=_

(2)拓展探究：試判斷：當(dāng)0。＜。＜360。時(shí)，8。的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情

況給出證明.

(3)問題解決：當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至AD、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段8。的長.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)0(0,0),點(diǎn)4(6,0),點(diǎn)3(0,8),

以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得到矩形ADEF,點(diǎn)。，B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別

為。，E,F,記旋轉(zhuǎn)角為a(0。＜0＜90。).

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)￡落在AC的延長線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo);

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(3)當(dāng)點(diǎn)。落在線段0C上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).

11.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊上的任一點(diǎn)，連接40并將線段AM繞M

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段跖V,在邊上取點(diǎn)尸使CP=3M,連接NP,BP.

(1)求證：四邊形BACVP是平行四邊形；

⑵線段MN與8交于點(diǎn)。，連接AQ,若一MCQS_AMQ,則即1與MC存在怎樣的數(shù)

量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

12.如圖，在,ABC中，AB=AC,ZBAC^a,M為2C的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作AB的垂

線，垂足為點(diǎn)H,交OE于點(diǎn)M點(diǎn)。在線段MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接鹿，DE.

A

⑴求證：ABE=tACD；

(2)探索線段ON、EN的大小關(guān)系并說明理由；

⑶①若e=90。，AB=3AC,AE=3AD,探索線段MN與3E的數(shù)量關(guān)系，并證明;

②若a=90。，AB^nAC,AE=?AD,請(qǐng)直接寫出線段MN與旗的數(shù)量關(guān)系.

13.如圖1,正方形ABCO的邊長為5,點(diǎn)E為正方形CZ＞邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)8作BPLAE

于點(diǎn)尸，將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得AP，連接PD.

(2)延長3尸交PD于點(diǎn)廠.判斷四邊形AP77的形狀，并說明理由;

⑶若￡)尸=1,求線段AP的長度.

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14.如圖1,ABC中，CA=CB,ZACB=a,。為，ABC內(nèi)一點(diǎn)，將.CW繞點(diǎn)C按

逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角"得到△C2E,點(diǎn)A,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)8,E,且A,D,E三

點(diǎn)在同一直線上.

圖1圖2圖3

⑴填空：NCDE=；(用含a的代數(shù)式表示)

(2)如圖2,若a=60。，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，再過點(diǎn)C作于點(diǎn)尸，然后探究線段CF,

AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)如圖3,若a=90。，AC=50，求四邊形ABEC面積的最大值.

15.如圖，ABC中/3=NC=a,(O0<?<45°),M為的中點(diǎn)，。為線段CM上

一動(dòng)點(diǎn)(DM<CD),將線段DM繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DE,同F(xiàn)是線段上

一點(diǎn)且。歹=DC,連接AE,EF.

⑴小亮為了研究NAEF的度數(shù)，將圖1中的點(diǎn)。移至到C"的中點(diǎn)處，使點(diǎn)尸與點(diǎn)M

重合，如圖2,請(qǐng)直接寫出/但的度數(shù)；

(2)如圖1,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖3,若a=30°,AB=2日延長AE交BC于點(diǎn)G，若BF=2CG,請(qǐng)直接寫出FG

的長.

試卷第10頁，共10頁

參考答案:

1.(1)△￡?￡＞是由&71BC旋轉(zhuǎn)得到的，

△EBD^AABC,

BA=BE,ZABE=60°,AC=DE,

ABE是等邊三角形

(2)_ABE是等邊三角形，

ZE4B=60°,AE=AB=5

NZMB=30°,

ZE4Z)=90o,

.,.在RtE4D中，DE=45?+4?=屈，

AC=DE=如

2.(1)解：將RtZXABE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，如圖，

VAB^BC,ZABC=i20°,

...A與點(diǎn)C重合，

:.BG=BE,FG=CG+CF=AE+CF

VZABC=120°,ZMBN=G0°,

：.ZGBF=6O°,

'：BF=BF,

:.GBF=EBF(SAS),

：.FG=EF,

：.EF=AE+CF；

(2)解：不成立，新結(jié)論為￡F=AE-C尸,

將RtA4BE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，如圖，

答案第1頁，共28頁

A

ABE,連接DE,

圖1

VAB=AC,ABAC=90°

：./C=ZABC=45°,

將△ABD沿AB折疊，得到ABE,

：.AABD^AABE

：.ZABE=ZABD=45°,BE=BD,AE=AD,ZBAD=ZBAE=30°

；.NEBD=90。,//ME=60°

...VADE為等邊三角形，8&E為等腰直角三角形

/.AD=DE,2BD2=DE2

答案第2頁，共28頁

:.AD=DE=^BD=2叵;

(2)如圖，過A作AE_LAD,且AE=AD,連接DE,

圖2

*.?AEVAD

:.ZDAE=ZBAC=90°

：.ZBAE=ZDAC,

XVAD=AE,AB=AC

.BAE絲GW(SAS)

ZACD=ZABE

ZACD+ZDCB+ZABC=90°

NDCB+ZABC+ZABE=90°

.-.ZBOC=90°

XVAE=AD,AEYAD

：.ZADE=45°,DE2=2AD,BPDE=y/2AD

ZBDC^45°+ZADC

:.NBDC=ZADC+45。=NEDC,DO=DO,ZDOB=ZDOE=90°

：..DOBADOE(ASA)

?*-BD=DE=五AD;

(3)如圖3,連接PC交AB于G點(diǎn)

答案第3頁，共28頁

D

A

圖3

?/"歸繞4點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

AD=AE,AB=AC,

/ZME=/R4C=90°

?*.NDAB=NEAC

：..DAB^EAC(SAS)

：.ZDBA=NECA

'：NPGB=ZAGC

：.ZBPC=NG4C=90。

△BPC為直角三角形

.?.點(diǎn)尸在以8C中點(diǎn)M為圓心，為半徑的圓上，連接尸“交AB所在直線于點(diǎn)N,

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)尸到直線的距離最大，

ZfiAC=90°

.”、尸、B、C四點(diǎn)共圓

PM±AB,

；.N是43的中點(diǎn)

是BC的中點(diǎn)

：.MN=-AC=3

2

AB=AC=6,

,,CB=A/62+62=6^2'

BM=PM=-BC=3A/2,

2

:.PN=3近-3，

.,?點(diǎn)尸到AB所在直線的距離的最大值為3逝'-3.

答案第4頁，共28頁

的面積最大值為:A2xPN=gx6x(3夜-3)=9夜-9.

4.(1)解：b=\Ja-6+y/6—a+6，

J^-6>0

16-aN0'

解得：a=6,

「2=6,

A(0,6),5(6,0)；

(2)解：A(0,6),3(6,0),

OA—OB=6,

:.ZOAB=ZOBA=45°,

尸M_Ly軸，/W_L無軸，

:.ZAME=90°fPN//OA,

:.ZAEM=45°,ZP=90°,

:.ZPEF=ZAEM=45°,

:.ZPFE=^5Q,

同理可求：N&VF=90。，ZBFN=ZFBN=45°,

AM=EM=6-n,PM=ON=m,

?二PE=m-{6-ri)=m+幾一6,BN=FN=6-m

PF=m+幾一6,

AE-=AM'+ME1=2(6-H)2,

同理可求：砂z=2(%+已-6『,BF2=2(6-,

：.AE2+BF2

=2(6-“)2+2(6—zn)2

=2m2+2rr-24〃z—24〃+144

EF2=2(而+rr+36—12，w—12〃+2加〃)

答案第5頁，共28頁

=2m2+2rr—24m—24〃+72+4mn

nm-18

EF2=2m2+2n2-24m-24〃+144,

AE2+BF2=EF2^

線段AE,EF,陽組成的三角形為直角三角形；

(3)解：PC和8的數(shù)量關(guān)系為PC=6,位置關(guān)系為尸8；

理由如下：

①如圖，連接0C,

△PMC和PQD是等邊三角形，

：.OP=OD=PD,CP=CD=MP,

在和.。CD中

OP=0D

<OC=OC,

CP=CD

OCP^OCD(SSS),

:.CP=CD-,

,m=n,

OM=MP,

OP2=OM2+MP2=IMP2=2CP2,

PD2=2CP°

PD2=CP2+CD2,

：.尸8是直角三角形，

:.ZPCD=90°,

:.PCLCD；

故尸C和8的數(shù)量關(guān)系為PC=CE>,位置關(guān)系為PCLCD；

答案第6頁，共28頁

圖3

OA=OB,

二.可將03萬繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得△OAG,

/.ZOAG=ZOBA=45°fZAOG=ZBOFfAG=BF,OG=OF,

ZEAG=Z.OAG+Z.OAB=90°,

EG2=AG2+AE2=BF2+AE2

AE2+BF2=EF2

/.EG2=EF2,

/.EG=EF,

在和OEF中

OG=OF

<OE=OE,

EG=EF

二.OEG^,OEF(SSS),

;"EOG=/EOF,

QNAQB=90。，

/.ZfiOF+ZAOF=90°,

:.ZAOG+ZAOF=90°,

.-.ZFOG=90°,

ZEOF=-/FOG=45°,

2

故NEO廠的度數(shù)為45。.

5.(1)解：補(bǔ)全圖1,如圖，連接CD,CE,CF,

答案第7頁，共28頁

ZBAD=a,ZABE=180°-a,

:.ZBAD+ZABE=1SO°fBPZFAB+ZDAF+AFBE+AFBA=180°,

:.AD//BE,

.?."+/￡*=180。，

AD=AC,BC=BE,

.-.ZA￡>C=ZACD=1(180o-a)=90o-1a,ZBCE=ZBEC=1[180o-(1800-a)]=1?,

.?.ZCr>E+ZCED=180°-^90o-1a^-1a=90°,

:.NDCE=90。,

尸為OE的中點(diǎn)，

CF=DF=EF,

AD^AC,AF=AF,

ACF^AOF(SSS),

同理BCF烏BEF(SSS),

ZFAB=ZDAF,ZFBA=ZFBE,

???2NFAB+2/FBA=180°,

:.ZFAB+ZFBA=90°,

ZAFB=180°-(ZFAB+ZFBA)=90°；

(2)a=60°,

證明：延長"到點(diǎn)G,使得GF=AF,連接BG,連接GE并延長，與A3的延長線相交于

點(diǎn)、H.

答案第8頁，共28頁

G

D

尸是OE的中點(diǎn)，

:.DF=FE.

/DFA=NGFE,GF=AF,

。/%MGFE(SAS).

:.AD=GE,ZDAF=ZFGE.

??.AD//EG.

/.Zn4B+ZH=180°.

在"CB中，

ZACB=180?！猌CAB-ZCBA

=180°-(ZZMB-ZZMC)-(ZEBA-ZEBC)

=1800-ZDAB-^-a-ZEBA+1800-a

=ZH+/EBH

=ZBEG.

BE=CE,AD=AC=GE,ZACB=/BEG,

[ABC均班G(SAS).

AB=BG,ZABC=ZGBE.

/.AF_LBF,ZABG=2ZABF,ZABG=ZEBC.

a-60°,

/.ZEBC=180°-a=120°.

ZABF=60°.

ZFAB=30°.

AF=6BF.

6.(1)解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AB=5,

,/ZACB=90°,

答案第9頁，共28頁

???點(diǎn)A落在AC的延長線上,

ZACB=90°f

?*-A!C=AC=^AB1-BC1=4,

JAA=2AC=8；

故答案為：8

(2)解：如圖，過。作CDJ_AB于點(diǎn)。，作CE〃AB交A3于點(diǎn)

???CE//AB,

：?ZABC'=/CEB,

：.ZABC=ZCEB,

：.CE=BC=BC'=3,DE=DB,

,/SABC=^ABCD=^ACBC,gp|x5CD=1x4x3,

12

解得：CD=—

在RtBCD中，DB=yjBC2-CD2=|

???JDJD-------

5

33

C'E=BE+BC'=——

5

CE//AB,

:.一C'BMsc'EC,

BM_3

,BMBC即亍=空,

"CE~CET

：.BM=—

11

(3)解：如圖，作”〃AC且交CZ＞的延長線于點(diǎn)P,連接AC,

答案第10頁，共28頁

A'

'：BC=BC',

：.ZBCC'=ZBC'C,

"：ZACP=180°-ZACB-ZBCC,即ZACP=90°-ZBCC,

*.?ZAC'D=90°-ZBC'C,

ZAC'D^ZACP,

VAP//AC,

：.ZACD^ZAPC,

：.ZACP=ZAPC,

：.AP=AC,

：.AP=AC,

在和一A'C'。中，

,/ZADP=ZA'DC,ZAPD=ZA'C'D,AP=A'C,

：.APD^A'C'D(AAS),

AD=AD,

即點(diǎn)。為A4'的中點(diǎn)，

:點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

/.DE=-A'C,

2

.,.當(dāng)DE取得最小值時(shí)，A'C最小，

根據(jù)題意得：AC>AB-BC,

即當(dāng)點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)共線時(shí)AC最小，且最小值為AC=A3-3C=5-3=2,

此時(shí)。E=gA'C=l,即DE的最小值為1.

7.(1)解：---AC^BC,CD=CE,

：.AD=BE

:點(diǎn)凡P,G分別為AB,BD,DE的中點(diǎn).

答案第11頁，共28頁

PF=-AD,PG=-BE,PF//AD,PG//BE

22

：.PF=PG

PF//AD.PG//BE,

:.ZDPF=ZCDB,ZDPG=ZCBD

■:/CDB+/CBD=90。

：.ZDPF+ZDPG=ZGPF=90°,

:.PFLPG

故答案為：PF=PG,PFIPG；

（2）解：/GP是等腰直角三角形，理由如下：

丁ZACB=ZDCE=90°,

：.ZACD=NBCE

VAC=BC,CD=CE,

：.VACD^VBCE

：.AD=BE,ZCAD=ZCBE

由（1）得：PF==AD,PG=LBE,PF〃AD,PG〃BE

22

：.PF=PG

?.?PF//AD,PG//BE,

：.ZDPG=/DBE,ZBFP=/BAD

ZDPF=ZDBA+ZBFP=ZDBA+/BAD

：.ZGPF=ZDPG+ZDPF=/DBE+/DBA+/BAD=ZCBA+ZCBE+ZBAD

=ZCBA+ZCAD+ZBAD=ZCBA+ZCAB=90°

???尸GP是等腰直角三角形

（3）解：由（2）可知匚FGP是等腰直角三角形，

PF=-AD=PG,

2

???當(dāng)AD最大時(shí)，F(xiàn)G尸面積最大，如圖所示：

答案第12頁，共28頁

此時(shí)，點(diǎn)。在AC的延長線上，

AD=AC+CD=U,

：.PF=PG=-AD=—

22f

11111121

Sc.PGF最大=-xyxy=-

ZZZo

8.(1)解：??,將二ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ANM,

：.AB=AN=1Q,

ZACB=90°,

:.ZACN=9Q°,

AC=6,

:.BC=^AB1-AC2=V102-62=^CN=^AN2-AC1=V102-62=8,

:.BN=BC+CN=16；

(2)解：HN-MH=CD,證明如下：

在MW上取點(diǎn)。，使NQ=CD,連接尸Q,如圖：

由ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到得：AN=AB/BAN=60。,

「.△ABN是等邊三角形，

/.ZAA?=60°,

ZFNQ=180°-ZANB-ZANM=180。-60°-ZANM=120°-ZANM,

答案第13頁，共28頁

在△AB。中，ZADB=1800-ZBAN-ZABC=180°-60°-ZABC=1200-ZABC,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知ZANM=ZABC,

ZADB=NFNQ,

FN=AD,

.?.UWQ空ADC(SAS),

ZFQN=ZACD,FQ=AC,

180°-ZFQN=180°-ZACD,gpZFQH=ZACB,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知ZM=ZACB,

/.ZFQH=ZM,

AM=AC,

.\FQ=AM,

,ZFHQ=ZAHM,

:.^FQH^AMW(AAS),

:.QH=MH,

HN-QH=NQ,

.\HN-MH=CD；

(3)解：在旋轉(zhuǎn)過程中，GR存在最小值2,理由如下:

過3作族〃腦V交MC延長線于尸，連接NC,如圖：

AC=AM,ZACB=ZAMN=90°,BC=MN,

：.ZACM=ZAMC,

而ZBCP=180°-ZACB-ZACM=90°-ZACM,ZNMP=ZAMN-ZAMC=900-ZAMCf

:.ZBCP=ZNMP,

BP//MN,

答案第14頁，共28頁

:.ZP=ZNMP,

:.ZP=NBCP,

:.BP=BC,

:.BP=MN,

在和MVfG中，

ZBGP=NNGM

，NP=NNMG,

BP=MN

:.^BPG^NMG(AAS),

:.BG=NG,即G是3N中點(diǎn)，

:點(diǎn)R為BC的中點(diǎn)，

GR是科區(qū)的中位線，

:.GR=-NC,

2

要使GR最小，只需NC最小，

而A7V=AB=10,4C=6,

:.N、C、A共線，NC的最小值為AN—AC=4,

GR最小為」NC=2.

2

9.(1)解：①當(dāng)堞=0。時(shí)，

RtABC中，2B90?,

AC=^AB2+BC2=10-

???點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，

AE=5,BD=4,

.AE_5

??=；

BD4

故答案為：~;

4

②當(dāng)a=180。，

答案第15頁，共28頁

A

圖1

AE=AC+CE=15,BD=BC-^-CD=12,

.AE」5_5

tBD~12~4

故答案為：-y；

4

Af7

(2)當(dāng)0。工2<360。時(shí)，——的大小沒有變化,

證明如下:

如圖2：

ZECA=NDCB,

ECAC105

又.而=茄=="

AECAsADCB,

.AEEC_5

"BD-DC-4；

(3)①如圖3,連接8￡>,

圖3

QAC^10,CD=4,CD1AD,

AD=VAC2-CD2=2A/21,

,:點(diǎn)、D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn),

答案第16頁，共28頁

:.DE=-AB=3,

2

AE=AD+DE=2y/21+3,

由(2),可得：—

DB4

4_8⑸+12

BD=—AE=------------;

55

②如圖4,連接

圖4

QAC=10,CO=4。_LAD,

AD=-JAC2-CD2=2同

;點(diǎn)D、E分別是邊8C、AC的中點(diǎn)，

:.DE=-AB=3,

2

AE=AD—DE=2A/2?-3,

4/75

由⑵,可得：麗="

叩2

55

綜上所述，8￡＞的長為8回±12

5

10.(1)解：四邊形AO3C是矩形，點(diǎn)0(0,0),點(diǎn)A(6,0),

/.OA=6,

過點(diǎn)。作DGLx軸，貝I」：NAGD=90。，

答案第17頁，共28頁

圖①

:旋轉(zhuǎn)，

ZOAD=30°,AD=OA=6,

???DG=：AD=3,==

OG=Q4-AG=6-3百，

???。點(diǎn)坐標(biāo)為(6-3亞3)；

(2)過點(diǎn)。作DGLx軸于G,DHLAE于H,如圖所示:

,/Z(MC=90°,

四邊形GAffl)為矩形，

GA=DH,HA=DG,

,矩形OACB,3(0,8),

OB=8,ZAOB=90°,

???旋轉(zhuǎn)，

/.DE=OB=8,ZADE=ZAOB^90°,

?*-AE=\lAD2+DE2=A/62+82=10，

答案第18頁，共28頁

二AEDH二ADDE,即：10。"=6x8,

22

24

DH=——

5

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為

(3)連接AE,作軸于G,如圖所示:

圖③

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZDAE=ZAOC,AD=AO,

：.ZAOC=ZADO,

：.ZDAE=ZADO,

：.AE//OC,

：.ZGAE=ZAOD,

：.ZDAE^ZGAE,

AAGE=乙ADE=90°

在△AEG和△AED中,<ZGAE=NDAE

AE=AE

：.AEG^AED(AAS),

：.AG=AD=6,EG=ED=8,

：.OG=OA+AG=12,

.??點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,8).

11.(1)證明：在正方形ABCD中，AB=BC,ZABC=ZC,

在,ABM和BCP中，

答案第19頁，共28頁

AB=BC

<ZABC=ZC,

CP=BM

/.ABM會(huì)1CP(SAS),

:.AM=BP,/BAM=NCBP,

ZBAM+ZAMB=90°f

.*.ZCBP+Zz4Affi=90°,

:.AM±BP,

AM并將線段40繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN,

:.AM±MN,^AM=MN,

:.MN//BP,

二?四邊形尸是平行四邊形；

(2)解：BM=MC.

理由如下：ZBAM^-ZAMB=90°,ZAMB+ZCMQ=90°f

ZBAM=ZCMQ,

又ZABC=ZC=90°,

：..ABMMCQ,

ABAM

MCQ^,AMQ,

：.ABM^AMQ,

ABAM

,BM~~MQ，

.ABAB

…MC~BM'

：.BM=MC.

答案第20頁，共28頁

12.(1)證明：由旋轉(zhuǎn)可知：ZDAE=a,AE=AD,

ZBAC=a,ZEAB=ZDAE-BAD=a-BAD,ZDAC=ZBAC-ZBAD=a-ZBAD,

；?ZEAB=/DAC,

在二ABE和ACD中，

AB=AC

</EAB=ZDAC

AD=AE

：.AABE^AACD(SAS).

(2)DN=EN,理由如下：

過點(diǎn)E作￡GJ_AB交于G,交5C于點(diǎn)F,如下圖:

A

由(1)知ABE^ACD,可得NABE=NC,BE=CD,

,：AB=ACf

：.ZC=ZABC,

：.ZABE=ZABC,

在.H￡G和班G中，

ZABE=ZABC

<BG=BG

ZBGE=BGF

???BEG絲BFG(AS0,

:.BE=BF,

：.BF=CD,

???M是5c的中點(diǎn)，

BM=CM,

MF=MD,

VEF±AB,MH±AB,

?EF//HM,

答案第21頁，共28頁

AN是小的中點(diǎn)，

則E7V=r>N.

(3)過點(diǎn)E作EGLAB交于G,交BC于點(diǎn)F,

?V(z=90°,

ZDAF=90°,ABAC=90°,

：.ZBAE=ZCAD,

*.*AB=3AC,AE=3AD,

.AEAB.

??而=L,

公ABE^/\ACD,

BE

：.—=3,ZABE=ZACB,

DC

：.BE=3DC,

VZABE=ZCfZCAB=ZBGE=90°,

：.ABCS/GEB,

.ABGE.

,?就=而=3,

則石G=35G,

設(shè)BG=x,貝ijEG=3x,BE=MX,CD=^-X,

3

..AC=GF

?AB-GB'

：.BG=3GF,

.「口1A

??GF=—x,BF=-/-1--0--x,

33

貝|JBF=CD,

???M是5C的中點(diǎn)，

:.BM=CM,

??MF=MD,

■:MN〃EF,

：.MN=-EF,

2

：.EF^EG+GF^3x+-x^—x,

33

答案第22頁，共28頁

則MN=9X,

3

■/BE=VlOx,

MN=—BE,

6

②若c=90。，AB=nAC,AE=nAD,同理可得A/N='優(yōu)+】BE。

2n

13.(1)證明：由題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AP=AP,NB4P=90。,

:四邊形ABCD是正方形，

/.AB=AD,ZBAD=90°,

：.ZBAD=ZPAP=9Q°,

：.ZBAD-ZDAP^ZPAP'-ZDAP,即：ZBAP=ZDAP',

在.AB尸和AWP中，

AB=AD

<ZBAP=ZDAP',

AP=AP'

：.△ABP^AADP(SAS),

/.PB=PD；

(2)解：四邊形AP773是正方形，理由如下：

由(1)得：AABWAADP,S.BP±AE,

：.ZAPF=ZAPB=ZAP'D=90°,

：.ZR4P'=ZAPF=ZAP'D=90°,

四邊形AP'RP是矩形，

'：AP=AP',

四邊形AP7T是正方形；

(3)解：?.?正方形ABCD的邊長為5,

AD=5,

設(shè)正方形AP'EP的邊長為x,

/.AP=AP'=P'F=x,

'：DF=l,

：.P'D=P'F+DF=x+l,

答案第23頁，共28頁

在RtAP'D中，NAPZ>=90。，Pr^+PfD2=AD2

：.X2+(X+1)2=52,

解得：西=3,9=-4（不符合題意，舍去）,

%=3,

???線段"的長度為3.

14.1）解：將，C4。繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角。得到△CBE,

.-.VACD^VBCE,ZDCE=a9

:.CD=CE,

180。一。

ZCDE=

2

180。一。

故答案為:

2

(2)AE=BE+^CF

3

理由如下：如圖,

將，C4D繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角60。得到△CM,

.-.VACD^VBCE,

:.AD=BE,CD=CE,ZDCE=60。，

CDE是等邊三角形，且石，

DF=EF=—CF,

3

AE^AD+DF+EF,

9J3

/.AE=BE+-^—CF,

3

/.CF,AE,箱之間的數(shù)量關(guān)系為=+區(qū)3c/；

3

（3）如圖3中，過點(diǎn)。作CW八座交座的延長線于W,設(shè)AE交BC于J.

答案第24頁，共28頁

C4D繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到△(7防，

「.△C4Z涇ZXC此，

:"CAD=/CBE,

ZAJC=ZBJIE,

\?AC7?BEJ90?,

???點(diǎn)E