2024年高考數(shù)學(xué)特輯二輪復(fù)習(xí)之導(dǎo)數(shù) 零點(diǎn)嵌套問(wèn)題

敷型11零點(diǎn)城套向毀

2

1.已知函數(shù)/(x)={ax+lnx){x-Inx)-x有三個(gè)不同的零點(diǎn)不，x2,x3(其中％v々<吃)，則

(1一啊)2(1一些)(1一姐)的值為()

玉x2x3

A.1—aB.a—1C.—1D.1

【解析】解：令/(x)=0,分離參數(shù)得——處，

x—lrvcx

令h(x)=————,關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派

x-lnxx

由媽?瑾生g=0,得彳=1或苫=?.

x1(x-lnx)2

當(dāng)xe(O,l)時(shí),h!(x)<0;當(dāng)尤c(l,e)時(shí)，h'(x)>0;當(dāng)尤w(e,+oo)時(shí),h!(x)<0.

即/z(x)在(0,1),(e,”o)上為減函數(shù),在(l,e)上為增函數(shù).

xInx1Inx人Inx

a-----:-----------j-------，令〃=—，

x-lnxx]_也xx

x

貝ija=---〃，即//+(〃_1)〃+1—〃=(),

1-〃

自+〃2=1-4<0，從〃2=1—av0,

a工Iwc1—lnx

對(duì)于〃=—“二

x

則當(dāng)Ovxve時(shí)，“>0;當(dāng)時(shí)，“<().而當(dāng)時(shí)，〃恒大于0.

畫其簡(jiǎn)圖,

e,、,Iwc,lnxInx,

不妨亍又M<出，貝n從=---,〃2=---0-=〃3=----，

一再x2x3

（1一姐）2（1一處）（1一3）=（1一4）2（1一〃2）（1-〃3）

玉

=［（1一M）（l-〃2y|2="=1.

故選：D.

YInx.

L

2.已知玉，x2,X3是函數(shù)/（x）=以+/加-------三個(gè)不同的零點(diǎn)，且玉</<%，設(shè)必=1----（i=l,2,

x—InxXj

3）,則“；％必=（）

A.1B.-1C.eD.-

e

【解析】解：令f（x）=O得a=^———,

x一Inxx

人Inxx11

??--=t,貝I------=------tCL------t?

xx—Inx1—t9l—t

即r+(a—1)才+1—a=0.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派

人/、true.，/、1-Inx

令g(無(wú))=—，貝n"g'(x)=——，

XX

g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+oo)上單調(diào)遞減，

且當(dāng)Ovxvl時(shí)，g(x)<0,當(dāng)犬〉e時(shí)，g(x)>0,

g(e)=-,

e

.?.當(dāng)0<t<工時(shí)，關(guān)于X的方程g(尤)，有兩大于1的解，當(dāng)r,,0時(shí)，關(guān)于X的方程gO)=r只有一小于1的

e

解.

當(dāng)％=工時(shí)，關(guān)于九的方程g(x)=/有唯一^用％=e.

e

?/(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，

二.關(guān)于/的方程/+(〃-1?+1-。=0在(一8,0]｛匕和(0」)上各有1個(gè)解.

2ge

不妨設(shè)兩解為0,t2,貝1|.+，2=1-々，柩2=1-〃，

ip\1p

若/?二—,則々=-------,此時(shí)方程的另一■解為r=1—a—=-----<0,

ee-1eee-1

二.原方程只有兩解，不符合題意;

同理，=0也不符合題意；

設(shè)%v0vq，則"1=1—%,M?=M3=l—t2,

,2M3=(1-%)2(1-2)2=(1_172+單2

故選：A.

x2x

3.已知函數(shù)/(x)=(xe)+(。-1)(%/)+1—。有三個(gè)不同的零點(diǎn)不，x2,x3.其中再v九2V3，則

XxX3

(1-xYe)(1-x2e^)(1-x3e了的值為()

A.1B.(a-I)2C.-1D.1-a

【解析】解：令”加尤,則，=(%+1)心

故當(dāng)x￡(-l,+oo)時(shí)，f>0,"是增函數(shù)，

當(dāng)犬￡(一00,-1)時(shí)，f<0,才=%/是減函數(shù)，

可得無(wú)=—1處/=xe”取得最小值一工，

e

%-%—0,畫出/=%€'的圖象，

由/(%)=0可化為/+(〃一1?+1—〃=0,

故結(jié)合題意可知，*+(。-1?+1-々=0有兩個(gè)不同的根，

故△=(〃-1)2-4(1-〃)〉0,故Q<—3或a>1,

不妨設(shè)方程的兩個(gè)根分別為％,t2,

(J)civ—3,tyt2—1—a>4,

2

與一一<%+/2<0相矛盾，故不成立；

e

②若a>l,則方程的兩個(gè)根％,t2一?正一?負(fù)；

x2x3

不妨設(shè)4Vo<12，結(jié)合/=%/的性質(zhì)可得，x2e-=,x3e-=t2,

故(1一七6西)(1一%2,2)(1-43*)2關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派

二(1一4)(1-6)(1—2)2

=(1一(。+/2)+4/2)2

又t,2—1—a,Zj+q=l_a,

...（1_玉6百）（1_%0巧）（1_玉6對(duì)）2=（1_1+Q+1_1）2=1.

故選：A.

4.已知函數(shù)/（%）=（三）2+§-々有三個(gè)不同的零點(diǎn)七，X2,元3（其中石VX2Vx3），則（1一3）2（1-^"）（1一名）

的值為（）

A.1B.—1C.aD.—a

【解析】解：令心）==，貝

exex

.?.當(dāng)XV1時(shí)，f（x）>0,函數(shù)"x）在（-00,1）單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f（x）<0,在（1,+8）單調(diào)遞減，且

%（%）極大值=/（1）=1，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派

e

由題意，g?）=r+。/一。必有兩個(gè)才艮.<0,且0<,2<4，

由根與系數(shù)的關(guān)系有，％+=―。，々，

YY

由圖可知，4=：有一?解元］<0,三:^有兩解，2，%3，且0<%2<1<%3,

故（1-很）2（1-%）Q-宗"）=（1-。）2（1-/2）（1-［2）=［（1-。）（1-22）］2=口-（。+/2）+區(qū)］2=（1+?-?）2=1.

故選：A.

x

5.若關(guān)于％的方程-1-------1■■機(jī)=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解芯,x2,x3,且不<0<%2V3，其中小￡尺，

exx+ex

e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（。+1）2（飛+1）（■今+1）的值為（）

A.1+mB.eC.m—1D.1

X￡>X

【解析】解：由方程二+一一+機(jī)=0

exx+ex

x1_

=>-----1-----------Fm=0,

/上+1

Y1

令一=t,貝I有/H--------Fm=O.

/t+1

=^>Z2+(m+1)Z+1+m=0,

令函數(shù)g⑺號(hào)，g'（加寧，

/.g（x）在（-00,1）遞增，在（1,+00）遞減,

其圖象如下,

Y"X,、

要使關(guān)于％的方程1-----------1=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解x，x,x,SLX.<0<X<X

exx+ex2323

結(jié)合圖象可得關(guān)于，的方程*+（加+1?+1+機(jī)=0一定有兩個(gè)實(shí)根％,t2,&<0<^2）

且五=五=二=/,,關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派

ex'eX1浮

，臣+1)2(今+1)(T+1)

e*e巧涉

2

=[(z1+l)(r2+l)].

(t]+1)(‘2+1)=+("1+，2)+1=(1+機(jī))—(1+根)+1=1.

+I,+1)=[(%+1)?2+I)]2-1?

故選：D.

6.若關(guān)于X的方程---1-----------Fm=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解F，x2,x3,且玉<0<%2<%3，其中小￡尺，

exx-ex

e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（五—1）2（三一1）（2■—1）的值為（）

eXi*e%

A.eB.1—mC.1+mD.1

X￡>xX1

【解析】解：由方程---1-----------Fm=O=>1-----------Fm=0,

e"x-exex

ex

令2=f,則有f+—L+M=o.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派

ext-1

=>t2+(m—V)t+l,—m=O,

令函數(shù)g(x)=一小)=寧，

/.g(x)在(-00,1)遞增，在(1,+co)遞減,

其圖象如下,

要使關(guān)于x的方程-----^+機(jī)=0有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解七,x2,x3,且不<0<%2<%3

結(jié)合圖象可得關(guān)于/的方程/+(加一?+1，一根=0一定有兩個(gè)實(shí)根4,t2,4v0v,2)

且3=4,三=§=，2

e'游e\

??I/-1)2(親-"W-1)=-DC-DI??

(r1—1)(%2—1)=一("1+/2)+1=(1—根)—(1—m)+1=1.

..(宗-if(，-1)(W一D=K4-D?2-1)『二1?

故選：D.

2

7.若關(guān)于x的方程—1|+————-+m=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解％、無(wú)2、m，(玉v0v9v%3)其中機(jī)￡H，

e=2.71828...,則(|一-11+1).(|*—11+1).(|*一11+1)2的值為()

A.eB.4C.m—1D.m+1

x

【解析】解：^t=\e-l\f函數(shù)y=|/—1|的圖象如下:

22

方程|/一11H--------------Fm=0=>^4--------Fm=O.即”+（加+1"+2+機(jī)=0,

|靖一1|+1t+1

2

要使方程|/一1|+---------F相二0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解%、X2>元3，（X1V。V%2V%3），

|e—11+1

則方程/+（加+1）［+2+機(jī)=0一定有兩個(gè)實(shí)根4,t2,

可驗(yàn)證/=0或1不符合題意，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派

所以方程/+（加+1?+2+機(jī)=。一定有兩個(gè)實(shí)根4,t2,且0〈％vlv,2.

x3

且|^」一1|=|產(chǎn)-2_1|=。，le--ll=t2f

2

則(|^'-11+1).(1靖2—11+1).(|6巧—11+1)2=+l)(t2+1)].

(t1+1)(^2+1)=單2+(，l+/2)+1=Q+M)—(1+m)+1=2.

22

則(|ef+1)?(|*-11+1).(1*一11+1)=刈+l)(f2+1)]=4,

故選：B.

8.若存在正實(shí)數(shù)〃？，使得關(guān)于x的方程x+a(2x+2〃工-4ex)[7"(x+/M)-仇x]=0有兩個(gè)不同的根，其中e為自

然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(』0)B.(0,當(dāng)

2e

C.(-co,0)U(:,+oo)D.(：,+oo)

【解析】解：由題意得一Lua+'-Ze)歷(1+竺)=Q-2e)/加，(1=-+1>1),

2axxx

令=(/>1),關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派

2e12e

則[(力=歷/+1一一,f\t)=-+—>0,

ttf

當(dāng)f>e時(shí)，f'(t)>f(e)=0,

當(dāng)l<f<e時(shí)，f'(t)<f(e)=0,

(e)=-e,

1

一五>'

而tfl時(shí),f(r)-?O,

則要滿足一e<-」-<0,

2a

解得：a>—,

2e

故選：D.

9.若存在正實(shí)數(shù)相，使得關(guān)于%的方程無(wú)+a(2x+2m-4ex)[加(x+帆)-/MX]=0成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底

數(shù),則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是()

A.(-a),0)B.(0，1)

2e

C.(^x)90)^J[—,+oo)D.[—,+oo)

【解析】解：由無(wú)+a(2x+2m—4ex)[ln(x+m)—lnx\=0

_八、7x+m_

x+2a{zx+m—2ex)ln----=0,

x

口c?八,x+m石、Tx+m

即1+2。(------2e)ln-----=0,

xx

即設(shè)％=葉?，貝卜>0,關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派

x

則條件等價(jià)為14-2a(t—2e)lnt=0,

即。-26)/6=-」-有解，

2a

設(shè)g⑺=(t-2e)lnt,

/?)=加+1—彳為增函數(shù)，

g'(e)=/H^+1--=1+1-2=0,

e

.,.當(dāng)/〉e時(shí)，g\t)>0,

當(dāng)Ov/ve時(shí)，g\t)<0,

即當(dāng)1=e時(shí)，函數(shù)g?)取得極小值為：g(e)=(e—2e)lne=—e,

即g?)..g(e)=—e,

若(，一2e)lnt=--—有解,

2a

貝一~—-e,?e,

2a2a

則a<0或〃…工，

2e

二實(shí)數(shù)a的取值范圍是+00).

d2e

故選：C.

10.已知函數(shù)u(x)=(2e—l)x—m,L>(X)=ln(x+m)—Inx若存在m,使得關(guān)于工的方程2^?M(X)?L>(X)=x有解,

其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(—co,0)(-^―,+oo)B.(—00,0)

C.(0,—)D.(-co,0)|^J[—,+GO)

【解析】解：由2a?沅(X)?L>(X)=%可得[2a(2e-l)x-2am]4n------x=0,

x

口cc「小r、m、.x+my八口cc-x+m,x+m,八

即2〃[(2e—1)------------1=0,即2a(2e------x)?加-------1=0,

xxxx

令"=t,貝I方程(2e-t)lnt——有解.

x2a

2,—t2,

設(shè)f(t)=(2e—t)lnt,則fr(t)=—IntH-----=—IntH-----1,

tt

顯然廣⑺為減函數(shù)，又廣(e)=0,

.?.當(dāng)Ov/ve時(shí)，/\0>0,當(dāng)1〉e時(shí)，[。)<0,

.?./⑺在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+oo)上單調(diào)遞減,

⑺的最大值為/(e)=e,關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派

1解得a<0或〃…工.

6

.?石，'2e

故選：D.

11.已知/(%)=(依+加0(%-阮0-兀2恰有三個(gè)不同零點(diǎn)，則a的取值范圍為_(1,1-1----——)

一e(e-1)

【解析】解：令〃x)=0,分離參數(shù)得。=一一——,

x—lrucx

令〃(尤)=」一——,關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派

x-lnxx

由叫媽R皿=。得*=1或/e.

X2(x-M2

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，h'(x)<0;當(dāng)xe(l,e)時(shí)，h'(x)>0;當(dāng)尤e(e,+co)時(shí)，h'(x)<0.

即〃(x)在(0,1),(e,+oo)上為減函數(shù)，在(l,e)上為增函數(shù).

.?.x=l時(shí)，/z(x)有極小值(1)=1;x=e時(shí)，/z(x)有極大值〃(e)=1+------

e(e—1)

設(shè)〃=——,貝I4<1;

X

1—Y

這是因?yàn)閷?duì)于函數(shù)y=Inx—x,x>0,有，=----,

x

當(dāng)ovxvi時(shí)，y>0,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)兄>1時(shí)，y<o,函數(shù)單調(diào)遞減;

即x=l時(shí)函數(shù)有極大值，也是最大值—1,故V龍>0,Inx—x<0,lnx<x,即得——<1;

x

〃(無(wú))+=1;

1—jU1—jLl

：.當(dāng)/(%)=(依+加；)(％-加0-兀2恰有三個(gè)不同零點(diǎn)，即y=a與y=h(X)有三個(gè)不同的交點(diǎn);

:.l<a<l+------.

e(e—1)

故答案為：(1,1+--—).

e(e-l)

r2

12.已知函數(shù)f(x)=ax+Inx-------有三個(gè)不同的零點(diǎn)不，x2,x3(其中玉