2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：反比例函數(shù)與幾何圖形綜合問題（重點(diǎn)突圍）(教師版)

高考復(fù)習(xí)材料

專題16反比例函數(shù)與幾何圖形綜合問題

【中考考向?qū)Ш健?/p>

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一反比例函數(shù)中K值的幾何意義】....................................................1

【考向二反比例函數(shù)與三角形的綜合問題】..................................................8

【考向三反比例函數(shù)與矩形的綜合問題】....................................................15

【考向四反比例函數(shù)與菱形的綜合問題】...................................................22

【考向五反比例函數(shù)與正方形的綜合問題】.................................................32

【考向六反比例函數(shù)與圓的綜合問題】.....................................................42

J角【直擊中考】

【考向一反比例函數(shù)中K值的幾何意義】

例題：（2022?遼寧盤錦??？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)A、C為反比例函數(shù)y=±（x<0）圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)A、C分別

X

作工x軸，CD軸，垂足分別為8、。，連接CM、AC,0C,線段。C交于點(diǎn)E,點(diǎn)E恰好為0c

3

的中點(diǎn)，當(dāng)△NEC的面積為5時(shí)，上的值為

【答案】-4

【分析】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（若）,則點(diǎn)嗎明吳，嶺

一）,根據(jù)三角形的面積公式可得出

m

SfEC=3_?=3+，由此即可求出左值.

o2

【詳解】

解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（見X）,則點(diǎn)機(jī)，。A^m,—）,

m22mzm

c14/7b1、、3.3

S"c=5助ZE=一孫（Q蔡k一茄k）=獲斤=5

高考復(fù)習(xí)材料

k=-4.

故答案為：-4.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用點(diǎn)C的橫坐標(biāo)

表示出A、E點(diǎn)的坐標(biāo).本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐

標(biāo)特征表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

k

1.（2023?安徽宿州?統(tǒng)考一模）如圖，若反比例函數(shù)y=i（x<0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)/8/x軸于8,且V/08

【答案】-6

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)4的幾何意義，結(jié)合圖像的分布計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)/（九〃）,

則OB-\m\=-m,AB=\n\=n,k=mn,

???V/08的面積為3,

OBgAB=機(jī)曲4=-g加"=3,

解得加"=-6,

???k——6,

故答案為：-6.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三角形面積確定反比例函數(shù)比例系數(shù)上熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

k

2.（2023?廣東深圳??？家荒＃┤鐖D，已知N是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)3在反比例函數(shù)y=￡（x>0）的圖像上,

48交x軸于點(diǎn)C,OA=OB,ZAOB=nO°,V40C的面積為26，則肚=.

高考復(fù)習(xí)材料

【答案】273

【分析】過點(diǎn)8作軸于點(diǎn)。，根據(jù)題意結(jié)合圖形及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出

再由三角形面積求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)5作BDLx軸于點(diǎn)。，如圖所示.

ZBOD=ZAOB-ZAOC=120。-90。=30°,

.-.BD=-OB.

2

又：OA=OB,

SWBD=?SMAOC=gX26=V3,

k—2SVOBD—2Xy/3—2>/3.

故答案為：2班.

【點(diǎn)睛】題目主要考查反比例函數(shù)與三角形面積及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是

解題關(guān)鍵.

3.(2022?黑龍江綏化??？级?如圖，在VN03中，OC平分N2O3,您=:，反比例函數(shù)歹=々左<0)

(JD4X

圖象經(jīng)過點(diǎn)A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)8在x軸上，若V/O8的面積為9,則上的值為.

高考復(fù)習(xí)材料

CN4

【分析】先利用面積關(guān)系得到粉=＞利用人的幾何意義得到S”c=S梯形"c=,再利用VBCNsV氏

得到對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系進(jìn)一步轉(zhuǎn)化即可得到左得值.

【詳解】解：過點(diǎn)。作CNLOB,CD10A,過點(diǎn)A作/

???OC平分,

:.CN=CD,

0A_5

礪―"

.S'OAC_3

SVBOC4

???V403的面積為9,

S、Boc_CN=4

一一而一3

*/A:<0,

由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知：S7AoM=SVCON==_；k,

*S\JAOM+S梯形32飪=S\AOC+S\CON，

==

…S'AOCS梯形/MVC5，

\'CN//AM,

NBCNsVBAM,

.SvBCN/CN,J6

-SVBAMVAM)81

.S、BCN_16

S梯形/ACVC65

.s_竺s

一、7BCN—ruX3,

高考復(fù)習(xí)材料

解得左=_行,

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是能作出輔助

線構(gòu)造出相似三角形，能利用面積關(guān)系建立方程進(jìn)行求解.

k

4.（2023秋?安徽池州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)＞=一（左＞0）的

X

3

圖象上，4C交歹軸于點(diǎn)3,若點(diǎn)5是4。的中點(diǎn)，V4O3的面積為J,貝北的值為.

3

【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的面積公式可得工8-加盟…牙進(jìn)而得出

SACOD=3,由系數(shù)上的幾何意義可得答案.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作軸于。,

高考復(fù)習(xí)材料

ZCDB=ZAOB=90°,

,?,點(diǎn)5是/。的中點(diǎn)，

/.AB=CB,

在VABO和△BCZ）中，

/AOB=/CDB

＜NABO=/CBD,

AB=BC

NCDB出AOB（S）,

BD=OB,

?S=，=，=—3

一口VCDB一°7AOB_2VBeO1，

?C—T.

??^MCOD~」，

=

??~IlS\COD=3,

、困=6,

???左＞0,

k=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)左的幾何意義以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解反比例函

數(shù)系數(shù)上的幾何意義，掌握全等三角形的判定和性質(zhì).

5.（2023?重慶黔江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)＞=&（左#0）和y=3在第一象限內(nèi)的圖像依次

Xx

是G和G，設(shè)點(diǎn)p在G上，2。，》軸于點(diǎn)。，交于點(diǎn)A,如，了軸于點(diǎn)。，交c?于點(diǎn)3,若四邊形

尸/08的面積為5,則斤=.

高考復(fù)習(xí)材料

【答案】8

33

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中左的幾何意義：S^B°D=3、SVA℃=3、S正方形PCOD=k，由圖形可知

33

S正方形PCOD=S4BD0+^/\AOC+S四邊粉雙，根據(jù)四邊形P/O8的面積為5,得到左.+5+5=8,從而得到答

案.

ka

【詳解】解：.??&：y=-（k^O）；C：y=-,點(diǎn)尸在G上，尸C，x軸于點(diǎn)C,交C2于點(diǎn)A,尸。，了軸

X2X

于點(diǎn)。，交Q于點(diǎn)3，

33

-S^BOD=5、SVAOC=5、S正方形PC8—k,

四邊形尸力。5的面積為5,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)人的幾何意義，根據(jù)題中圖像，數(shù)形結(jié)合得到圖形面積關(guān)系是解決問題的關(guān)

鍵.

6.（2023?湖北省直轄縣級(jí)單位??？家荒＃┤鐖D，矩形CM8C與反比例函數(shù)必=與（匕是非零常數(shù)，x>0）

X

的圖像交于點(diǎn)M,N,反比例函數(shù)%=&（質(zhì)是非零常數(shù)，x>0）的圖像交于點(diǎn)8,連接。詡,ON.若四邊

X

形OMBN的面積為3,則2履-2%=.

高考復(fù)習(xí)材料

【答案】6

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中左的幾何意義：反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，與原點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形

面積等于"，數(shù)形結(jié)合可以得到國(guó)'*=g，Svc°N=},S矩形3BC=|局，根據(jù)圖像均在第一象限可知

人>04>0,再由四邊形的面積為3,得到左2=g+g+3，即可得到答案.

【詳解】解：；矩形。（8C與反比例函數(shù)必=幺（匕是非零常數(shù)，x>0）的圖像交于點(diǎn)M,N,

X

=!，SVCON

??由反比例函數(shù)中左的幾何意義知，S,AOM=1,

???矩形O/3C與反比例函數(shù)%=與（e是非零常數(shù)，x>0）的圖像交于點(diǎn)3,

X

???由反比例函數(shù)中k的幾何意義知，S矩形"BC=|月|，

四邊形0MBN的面積為3,

由圖可知，S矩形0Age=S7AoM+SyCON+S四邊形OAffiN，

kk

即左2=寸+寸+3,解得左2-%=3,

/.2k2-2kl=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)中左的幾何意義的應(yīng)用，讀懂題意，數(shù)形結(jié)合，將所求代數(shù)式準(zhǔn)確用上的幾何

意義對(duì)應(yīng)的圖形面積表示出來是解決問題的關(guān)鍵.

【考向二反比例函數(shù)與三角形的綜合問題】

例題：（2022?江西撫州??？级＃┤鐖D，在等腰三角形NO8中，點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn),

點(diǎn)/在反比例函數(shù)y=勺（x>0）的圖象上，已知04=5,（95=6.

X

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

（2）過點(diǎn)N作4P垂直CM,交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)尸，交x軸于點(diǎn)C.

①求直線NC的解析式；

②求點(diǎn)P的坐標(biāo).

高考復(fù)習(xí)材料

【答案】⑴反比例函數(shù)的解析式為y=—(x>0)；

X

⑵①直線/C的解析式為k,手；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?，：).

【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)/的坐標(biāo)即可解決問題；

(2)①利用相似三角形的判定和性質(zhì)求得。，即可求得C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得直線/C的

解析式；

②解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

(1)

解：作ZDLOB于。，

"0=AB,OB=6.

-t?OD=BD=39

■■AD=^O^-OD2=452-32=4,

.■.A(3,4),

把/(3,4)代入(x>0),可得hl2,

X

12

???反比例函數(shù)的解析式為產(chǎn)一(x>0)；

X

(2)

解：①?MCLCM,

是直角三角形，

-ADLOC,

.?2。4。+乙。/。=90°,AOAD+^DOA=90°,

:?乙DAC=乙DOA,

???RtADAC?Rt4DOA,

ADCD

,?歷―茄’

??.AD2=OD?CD,即16=3*CD,

高考復(fù)習(xí)材料

；.OC=OD+CD二"，

3

25

C、。）,

.??設(shè)直線AC的解析式為方辦+6,

3。+6=4

把4。的坐標(biāo)代入得，生i=o.

I3

3

a=——

4

解得

725

b=—

4

???直線/C的解析式為尸3%+亍25；

1216

片一X=——

x=33

②解，3二5得…或‘

9

V=——XH----

44

169

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（丁-）

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式,

等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求得/的坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?遼寧盤錦?中考真題）如圖，點(diǎn)/的坐標(biāo)是（2,0）,AAB。是等邊三角形，點(diǎn)8在第一象限，反

比例函數(shù)夕=上的圖像經(jīng)過點(diǎn)5

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

⑵坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)。，若以N,O,B,。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)直接寫出。的坐標(biāo).

【答案】⑴尸正

X

⑵（1,-g）或（-1,石）或（3,百）.

【分析】（1）過點(diǎn)8作BElx軸于點(diǎn)E,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)3的坐標(biāo)，代入解析式可得出反

高考復(fù)習(xí)材料

比例函數(shù)的解析式；

(2)由題意可知△/IBO是等邊三角形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，需要分三種情況:當(dāng)04為對(duì)角線，當(dāng)OB

為對(duì)角線，當(dāng)為對(duì)角線，利用平行四邊形的性質(zhì)可直接得出點(diǎn)。的坐標(biāo).

(1)

過點(diǎn)8作BElx軸于點(diǎn)E,如圖，

???A48O是等邊三角形，A(2,0),

；.O4=OB=AB=2,必0/=48/0=60°,

.?.OE—AE—1,BE=拒,

..B(1,G),

k_

???反比例函數(shù)V=—的圖像經(jīng)過點(diǎn)2(1,V3).

x

■■■k=V3.

???反比例函數(shù)的解析式為尸YL

X

(2)

若以4,O,B,。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，需要分三種情況:

①當(dāng)。/為對(duì)角線，xO+xA=xB+xD,yO+yA=yB+yD,

■■o(0,0),A(2,0),B(1,V3),

?t-0+2=1+xD,0+0=V3+yD,

.?.xD=1,yD=-V3.

■.D(1,-V3).

②當(dāng)OB為對(duì)角線，有xO+x8=x/+xD,yB+yO=yD+yA,

■.■o(0,0),A(2,0),B(1,V3),

?1-0+1=2+xZ),V3+0=0+yZ),

■■-xD=-1,yD=拒.

：.D(-1,V3).

③當(dāng)為對(duì)角線，有x/+x8=xO+x￡>,yA+yB=yO+yD,

■：o(0,0),A(2,0),B(1,百),

高考復(fù)習(xí)材料

?'-2+1—0+x。，0+y/3=0+yD,

■?■xD=3,yD=V3.

：.D（3,V3）.

綜上，若以/,O,B,。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,-6）或（-1,G）或（3,

V3）.

【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)與判定，分類討論思

想等知識(shí)，解題關(guān)鍵是進(jìn)行正確的分類討論，并根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出方程.

2.（2022?江蘇蘇州?統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△0/8與4400是等邊三角形，邊04,AC

k

在x軸上，點(diǎn)。在第一象限.反比例函數(shù)y=—（x>0）的圖像經(jīng)過邊08的中點(diǎn)M與邊ND的中點(diǎn)N,已

知等邊△048的邊長(zhǎng)為4.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵求等邊△/CD的邊長(zhǎng).

【答案】⑴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=@；

X

⑵等邊的邊長(zhǎng)為4后-8.

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及”是02的中點(diǎn)，通過作垂線構(gòu)造直角三角形可求出點(diǎn)M的坐標(biāo),

進(jìn)而確定k的值；

（2）設(shè)NO=CD=/C=4a,同理求得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（a+4,&）,代入夕=立，解方程求解即可.

（1）

解：??,等邊△CM8,

???AB=BO=AO=4,Z-ABO=Z-BOA=Z-OAB=60°,

?.?點(diǎn)M是。2的中點(diǎn)，

：.OM二BM=2,

過點(diǎn)〃■作MRLO/,垂足為R

高考復(fù)習(xí)材料

y

：.OF=\,FM=y/3,

???點(diǎn)河的坐標(biāo)為(1,百)，代入產(chǎn)勺得：仁省,

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為產(chǎn)且；

X

(2)

解：過點(diǎn)N作NELCM,垂足為E,

y

.-.AD=CD=AC,ZADC=^DCA=^CAD=6O°,

.?.設(shè)AD=CD=AC=4a,

,:氤N是AD的中點(diǎn)，

???AN=DN=2a,

同理，得：AE=a,NE=Ma,

'-OE=a+4,

.??點(diǎn)N的坐標(biāo)為（a+4,百a）,代入y=心得:

X

V3a（。+4）=6,

整理得：a2+4a-l=0,

解得：。=退-2或-石-2（負(fù)值，舍去），

二等邊△NCD的邊長(zhǎng)為4遙-8.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確求出點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)的關(guān)系式是解

高考復(fù)習(xí)材料

決問題的關(guān)鍵.

3.（2022?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)/的坐

O

標(biāo)為（a,2）,點(diǎn)2在x軸上，將A42。向右平移得到使點(diǎn)。恰好在反比例函數(shù)y=—（x>0）的

⑵求。尸所在直線的表達(dá)式；

⑶若該反比例函數(shù)圖象與直線DF的另一交點(diǎn)為點(diǎn)G,求SAEFG.

【答案】⑴機(jī)=-2,D（4,2）

⑵直線。尸的解析式為：y=-x+6.

⑶SvEFG~8.

【分析】（1）如圖，過A作于“，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得/〃=3〃=。"=2,從而可得力

的值，再由平移的性質(zhì)可得。的縱坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)可得。的坐標(biāo)；

（2）由/（-2,2）,0（4,2）,可得等腰直角三角形向右平移了6個(gè)單位，則尸（6,0）,再利用待定系數(shù)法求解

一次函數(shù)的解析式即可；

（3）先聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式求解G的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：如圖，過A作于〃，

\AH=BH=OH=2,

\4(-2,2),即加=-2,

2

由平移的性質(zhì)可得：yD=yA=,

高考復(fù)習(xí)材料

O

\Xfl=|=4,即0(4,2),

(2)由/(-2,2),—4,2),

等腰直角三角形向右平移了6個(gè)單位，

\尸(6,0),

設(shè)。尸為V=京+”

、憶\4k+一b=八2，解得：\k入=-「l，

]6k+b=0]b=6

???直線。尸的解析式為：y=-x+6.

(3)如圖，延長(zhǎng)即交反比例函數(shù)于G,連結(jié)EG,

y=-x+6

<8，

y=-

1X

fx=2fx=4

解得：i.，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；

W=4]y=2

\G(2,4),

QEF=B0=4,

\SVEFG=；，EF，ya=；，4'4=8.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)

問題，一元二次方程的解法，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟練是求解G的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵.

【考向三反比例函數(shù)與矩形的綜合問題】

例題：(2022春?河南南陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)了=：(x>0)的圖像和

矩形43cD都在第一象限，平行于x軸，且/8=1,2,點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,4).

高考復(fù)習(xí)材料

(2)若將矩形向下平移，矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)4、C恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)的圖像上，請(qǐng)求出矩形的平移距離

和上的值.

【答案】⑴8(1,3),C(3,3),D(3,4)

⑵平移的距離為彳5，左=：3

【分析】(1)根據(jù)矩形性質(zhì)得出4B=CO=1,AD=BC=2,即可得出答案；

(2)設(shè)矩形平移后4的坐標(biāo)是(1,4-x),。的坐標(biāo)是(3,3-x),得出左=1(4-x)=3(3-x),求出x,

即可得出矩形平移后/、C的坐標(biāo)/(1,I),C(3,g),從而求得平移距離與左.

(1)

解：,??四邊形N8CD是矩形，4D〃x軸，且/8=1,4。=2,點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,4),

■?■AB=CD=1,AD=BC=2,

：.B(1,3),C(3,3),D(3,4)；

(2)

解：設(shè)矩形平移后4的坐標(biāo)是(1,4-x),。的坐標(biāo)是(3,3-工)，

??,/、。落在反比例函數(shù)的圖像上，

???左=1(4-x)=3(3-x),解得'="|,

即矩形平移后/(1,1),C(3,1),

???平移的距離=4一：3=:5，左=lx3==3：.

2222

【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、矩形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形的變化-平移，熟知反

比例函數(shù)圖像上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022秋,湖南永州,九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，矩形ABCD的兩邊2c=4,CD=6,￡是CD的中點(diǎn)，反比

k

例函數(shù)歹=—的圖象經(jīng)過點(diǎn)應(yīng)與4B交于點(diǎn)F.

x

高考復(fù)習(xí)材料

(1)若點(diǎn)8點(diǎn)的坐標(biāo)為(-6,0),求人的值；

(2)連接若AF=AE,求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

【答案】(1)k=-6；(2)y=--.

x

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)8坐標(biāo)為(-6,0),BC=4,CD=6,E是CD的中點(diǎn)，即可求出點(diǎn)￡的坐標(biāo),進(jìn)而

求得代

(2)根據(jù)/結(jié)合(1)利用勾股定理可得NE=5,進(jìn)而得3尸=1,設(shè)點(diǎn)E(a,3),得點(diǎn)尸(4-4,

1),利用雨，=左列方程即可求得。，進(jìn)而求得反比例函數(shù)的表達(dá)式.

【詳解】解：(1)點(diǎn)2坐標(biāo)為(-6,0),

■■.OB—6,

■■■BC=4,

「?OC=2,

?:CD=6,E是CD的中點(diǎn)，

：.DE=CE=3,

：.E(-2,3),

???反比例函數(shù)y=-的圖象經(jīng)過點(diǎn)E,

X

?次=-6；

連接/E,

???四邊形/BCD為矩形,

.-.AD=BC=4,

?；DE=gcD=3,

根據(jù)勾股定理，得AE=d4)2+DE?=5,

高考復(fù)習(xí)材料

?：AF=AE=5,

?.BF=AB-AF=1,

設(shè)點(diǎn)E點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,3)

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(a-4,1),

,：E,b兩點(diǎn)在函數(shù)歹=(的圖象上，

x

--a-4=3〃，

解得。=-2,

(-2,3)

???￡=-2x3=-6,

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為>=--.

X

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的解析式，熟練使用了鼠=后是解題的關(guān)鍵

4

2.(2023春?遼寧大連?九年級(jí)專題練習(xí))已知M、N為雙曲線y=((x>0)上兩點(diǎn)，且其橫坐標(biāo)分別為。,

a+2,分別過"、N作了軸、x軸的垂線，垂足分別為C、A,交點(diǎn)為3.

⑴若矩形O48C的面積為12,求。的值；

⑵隨著。的取值的不同，M、N兩點(diǎn)不斷運(yùn)動(dòng)，判斷”能否為8C邊的中點(diǎn)，同時(shí)N為中點(diǎn)？請(qǐng)說明理

由；

⑶矩形。48c能否成為正方形？若能，求出此時(shí)。的值及正方形的邊長(zhǎng)，若不能，說明理由.

【答案】⑴a=l

(2)能，理由見解析

(3)能，a=-l+V5,正方形的邊長(zhǎng)為逐+1,祥見解析

【分析】(1)用含。的代數(shù)式表示OC、OA,因?yàn)榫匦?/8C的面積=Q4-OC=12,得出含。的方程即可;

(2)當(dāng)”為2C邊的中點(diǎn)時(shí)，即a+2=2a,計(jì)算驗(yàn)證此時(shí)N是否為相中點(diǎn)即可；

(3)當(dāng)矩形為正方形，即用含。的代數(shù)式表示OC、。/建立含。方程，求解檢驗(yàn)即

可.

【詳解】(1)解：因?yàn)椤?、N橫坐標(biāo)分別為。，a+2,

高考復(fù)習(xí)材料

L4

所以O(shè)C=—,0A=〃+2,

a

由矩形048。的面積為12得：OAOC=U

4

即一.(a+2)=12,

a

解得：a=l.

(2)解：若"為5C邊的中點(diǎn)，根據(jù)題意有：Q+2=2Q,

解得，〃二2,

則M的坐標(biāo)為(2,2),此時(shí)N的橫坐標(biāo)為a+2=4,

44

則縱坐標(biāo)為一-=-=1,即4N=1,

。+24

而/8=2,即N是45中點(diǎn)，

故當(dāng)〃=2時(shí)"為3C邊的中點(diǎn)同時(shí)N是中點(diǎn).

(3)解：若矩形CM5C為正方形，則

4

因?yàn)镺C=—,0A=a+2,

a

.4。

??一=a+2,

a

整理得：Q2+2Q-4=0,

?"-2+@+笆=_]+5a-2-也2+16=_]—日(舍去)，

22

故a=-1+退時(shí)矩形04BC為正方形，

正方形邊長(zhǎng)為0+2=遙+1.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵要掌握用代數(shù)的方法解決幾何問題技巧，把幾何問題轉(zhuǎn)化為

方程求解問題.

3.(2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形0/2C的頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為(&4),0A,0C

分別落在x軸和y軸上，將V04B繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)8落在y軸上，得到V0DE,與C3相交于

點(diǎn)、F,反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)尸，交4B于點(diǎn)G.

高考復(fù)習(xí)材料

⑴求人的值.

⑵連接尸G,則圖中是否存在與△EBG相似的三角形？若存在，請(qǐng)把它們一一找出來，并選其中一種進(jìn)行

證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

⑶點(diǎn)M在直線0。上，N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形G式兒W是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).

【答案】⑴左=8

⑵存在，△OCFs△尸8G,△qG,ABCOsAFBG,AOAB^AFBG；證明見解析

⑶（11,7）或（5,-5）

【分析】（1）根據(jù)矩形及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ODE也△043,再由相似三角形的判定和性質(zhì)得出點(diǎn)尸的坐標(biāo)

為（2,4）,代入解析式求解即可；

（2）根據(jù)題意得出相似三角形，再由相似三角形的判定證明即可；

（3）由（2）及正方形的判定得當(dāng)方村=/6時(shí)，四邊形是正方形，分兩種情況分析：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)尸

上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)尸下方時(shí)，分別利用全等三角形的判定和性質(zhì)確定點(diǎn)河的坐標(biāo)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)

即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo).

【詳解】（1）解：；四邊形。/3。為矩形，點(diǎn)3的坐標(biāo)為（8,4）,

???ZOCB=ZOAB=ZABC=90°,OC=AB=4,OA=BC=S.

■MODE是MOAB旋轉(zhuǎn)得到的,

.-./\ODE^AOAB,

ZCOF=ZAOB,

???△COFsAAOB,

CFOCCF4

???——,即Rn——=一，

ABOA48

解得CF=2,

???點(diǎn)廠的坐標(biāo)為（2,4）.

.??歹=*>°）的圖象經(jīng)過點(diǎn)”

/k

.??4=5，

解得％=8.

（2）△0C尸s△用G,AODE^AFBG,ABCO^/\FBG,^OAB^^FBG.

選AOC產(chǎn)s△尸8G.

證明：丁點(diǎn)G在48上，

.??點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為8,

二點(diǎn)G的坐標(biāo)為（8,1）,

■.AG=1.

高考復(fù)習(xí)材料

VBC=OA=S,CF=2,AB=4,

；.BF=BC—CF=6,BG=AB-AG=3,

OC42CF2

"-6-i，^G~3"

PCCF

*5F-*

-ZOCF=ZFBG=90°,

:.AOCFs&FBG.

（3）由（2）知△OCFs^FBG,

???NOFC=NFGB,

?：NBFG+NFGB=9G0,

???/BFG+/OFC=9。。,

??.NOFG=900,

當(dāng)何/=/6時(shí)，四邊形GFW是正方形，

當(dāng)點(diǎn)〃在點(diǎn)尸上方時(shí)，如圖所示：過點(diǎn)M作軸，交BC于點(diǎn)、L,

???ML1BC,ZMLF=90°,

???/〃FG=90。，NMFL+NFML=9。。,NMFL+NBFG=9。。,

??.ZFML=ZBFG,

,:FG=MF,

：.\IFLM^IGBF,

??.ML=BF=6,FL=BG=3,

：,CL=CF+FL=5,MH=ML+LH=6+4=10f

???點(diǎn)〃（5,10）,

vCF=2,45=4,

“（2,4）,

,??點(diǎn)G的坐標(biāo)為（8,1）,

???設(shè)點(diǎn)N（x,歹），

高考復(fù)習(xí)材料

x+25+8y+41+10

??一,一，

2222

解得：x=lLV=7,

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)尸下方時(shí)，如圖所示：過點(diǎn)Af作軸，交8C延長(zhǎng)線于點(diǎn)3

同理可得Vb/jW之VG3廠,

.-.ML=BF=6,FL=BG=3,

；.CL=FL—CF=1,MH=ML—LH=6—4=2,

.?.點(diǎn)M（T,-2）,

■：CF=2,AB=4,

，尸（2,4）,

??,點(diǎn)G的坐標(biāo)為（8,1）,

二設(shè)點(diǎn)N（x,刃，

x+2—1+8y+41-2

?,*=,=,

2222

解得：x=5,y=-5,

，N（5,-5）,

綜上可得：點(diǎn)N的坐標(biāo)為（11,7）或（5,-5）.

【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)及反比例函數(shù)的確定，相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)

與圖形等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【考向四反比例函數(shù)與菱形的綜合問題】

例題：&022?江蘇常州?常州實(shí)驗(yàn)初中?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形N3CD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)。

重合，點(diǎn)3在J軸的正半軸上，點(diǎn)/在反比例函數(shù)y=&（x>0）的圖象上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,3）.

X

高考復(fù)習(xí)材料

(1)求人的值及月8所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)將這個(gè)菱形沿x軸正方向平移，當(dāng)頂點(diǎn)。落在反比例函數(shù)圖象上時(shí)，求菱形平移的距離.

【答案】(1)笈=32,y=—3x+5；(2)菱形/BCD平移的距離為2丁0.

43

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,3),即可得出的長(zhǎng)以及。。的長(zhǎng)，即可得出/點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出

人的值；

(2)根據(jù)D尸的長(zhǎng)度即可得出。點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求出。尸的長(zhǎng)，即可得出答

案.

【詳解】(1)作DE12。，。尸IX軸于點(diǎn)R

■■.FO=4,DF=3

■.DO=5

■■.AD=5

■?■A點(diǎn)坐標(biāo)為：(4,8)

xy=4x8=32

:.k=32

由菱形的性質(zhì)得到2(0,5)

(3

/、+b=8a=—

設(shè)直線48的方程為：y=ax+6(aw0),貝I](解得[4

“[b=5

“2所在直線的函數(shù)表達(dá)式：y=3+5

高考復(fù)習(xí)材料

(2)???將菱形/BCD向右平移，當(dāng)點(diǎn)。落在反比例函數(shù)〉=g(x>0)的圖像上

:.DF=3,DF=3

二。,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3

,3-4="

33

二菱形/BCD平移的距離為：y

【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及菱形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出“點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?貴州安順,統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形/3C。的頂點(diǎn)。在了軸上，A,C兩

點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0),(4,加)，直線y="+”a/O)與反比例函數(shù)y=?左wO)的圖象交于C,

尸(-8,-2)兩點(diǎn).

⑴求該反比例函數(shù)的解析式及加的值；

⑵判斷點(diǎn)3是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由.

【答案】⑴V=3，機(jī)=4

⑵點(diǎn)3在該反比例函數(shù)的圖象上，理由見解答

【分析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)2)在雙曲線>=人上，所以代入夕點(diǎn)坐標(biāo)即可求出雙曲線》二人的函數(shù)關(guān)系式，又

xx

因?yàn)辄c(diǎn)在了=白雙曲線上，代入即可求出加的值；

X

(2)先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，判斷即可得出結(jié)論.

高考復(fù)習(xí)材料

k

【詳解】(1)解：將點(diǎn)尸(-8,-2)代入片—中，得用=—8x(—2)=16,

x

???反比例函數(shù)的解析式為片”，

X

將點(diǎn)C(4,加)代入>中，

X

得加=￥=4;

(2)解：因?yàn)樗倪呅?BCD是菱形，44,0),C(4,4),

/.m=4,8(8,1■加),

8(8,2),

由(1)知雙曲線的解析式為》="；

X

,.*2x8=16,

.,.點(diǎn)8在雙曲線上.

【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用加表示出點(diǎn)。

的坐標(biāo).

2.(2022?遼寧錦州?中考真題)如圖，平面直角坐標(biāo)系工⑦中，四邊形CM8C是菱形，點(diǎn)/在y軸正半軸上,

點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-4,8),反比例函數(shù)y=8(x<0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)C.

X

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

⑵點(diǎn)。在邊CO上，且C三D=：3，過點(diǎn)。作。EPX軸，交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)E,求點(diǎn)￡的坐標(biāo).

DO4

12

【答案】(i)y=-一(x<o)；

x

⑵(-7,y);

【分析】(1)過點(diǎn)3作軸，垂足為尸，設(shè)點(diǎn)/為(0,m),根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出

OA=BC=AB=5,然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求出解析式;

高考復(fù)習(xí)材料

(2)作。Glx軸，Six軸，垂足分別為G、H,先證明△ODGs^OCH,求出。G=—,DG=—,然后

77

得到點(diǎn)。的縱坐標(biāo)，再求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，過點(diǎn)8作BFly軸，垂足為尸，如圖：

?.?四邊形。43c是菱形，

設(shè)點(diǎn)/為(0,%),

0A=BC=AB=m,

:點(diǎn)3為(-4,8),

BF=4,AF=8-m,

在直角AL8/中，由勾股定理，則

AB2=BF2+AF2，即加2=不+(8-加))

解得：w=5,

OA=BC=AB=5,

.??點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4,3),

k

把點(diǎn)。代入>=一,得后=—4x3=—12,

x

12

???反比例函數(shù)的解析式為y=—(%<0)；

(2)解：作。Glx軸，CHLx軸，垂足分別為G、H,如圖,

高考復(fù)習(xí)材料

02?4

~=—，

OC7

-DGWCH.

OG_DGOD4

"~OH~~CH~~OC~7f

??,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4,3）,

.*.0/7=4,CH=3,

OGDG_4

?,丁一亍-7'

.1612

J.n（JGr=—,ULr=——,

77

12

???點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為—,

,:DEPx軸，

12

???點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為了，

1212“日-

?'--=----，解得x=-7,

7x

12

???點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（-7,—）；

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的作出輔助線，從而進(jìn)行解題.

3.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考二模）如圖，一次函數(shù)》=后述+1的圖象與反比例函數(shù)＞=§（與＞0）的圖象相交于

/、2兩點(diǎn)，點(diǎn)C在無軸正半軸上，點(diǎn)。（1,-2）,連接。/、OD、OC、AC,四邊形。4。為菱形.

⑴求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

⑵設(shè)點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，且凡.=；$菱形38，求點(diǎn)P的坐標(biāo)?

高考復(fù)習(xí)材料

【答案】⑴一次函數(shù)的解析式為y=x+l；反比例函數(shù)的解析式為了=2*；

x

⑵點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-3,-2）或（5,6）.

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可知/、。關(guān)于x軸對(duì)稱，可求得/點(diǎn)坐標(biāo)，把/點(diǎn)坐標(biāo)分別代入兩函數(shù)解析

式可求得3和上2值；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，可求得菱形面積，設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為。+1）,根據(jù)條件可得到關(guān)于

。的方程，可求得尸點(diǎn)坐標(biāo).

（1）

解：如圖，連接4D,交x軸于點(diǎn)￡,

???四邊形/ODC是菱形，

■■.ADVOA,AE=DE,EC=OE,

?：D(1,-2),

ED=2,

，AE=DE=2,EC=OE=\,

.S(1,2),

將4(1,2)代入直線丁=自％+1可得左1+1=2,

解得左i=l，

將/