第一章章末復(fù)習(xí)課知識(shí)點(diǎn)講練高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性

章末復(fù)習(xí)課一、空間向量的概念及運(yùn)算1．空間向量可以看作是平面向量的推廣，有許多概念和運(yùn)算與平面向量是相同的，如模、零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法則和平行四邊形法則，減法的幾何意義，數(shù)乘運(yùn)算與向量共線的判斷、數(shù)量積運(yùn)算、夾角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐標(biāo)表示是向量運(yùn)算的基礎(chǔ)．2．向量的運(yùn)算過(guò)程較為繁雜，要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．例1(1)已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋y(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，則x＝________，y＝________.(2)(多選)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.下列選項(xiàng)中，正確的是()A.eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))＋eq\o(SD,\s\up6(→))＝0B.eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))－eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝0C.eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝0D.eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))答案(1)1eq\f(1,4)(2)CD解析(1)由題意知eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，從而有x＝1，y＝eq\f(1,4).(2)因?yàn)閑q\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，所以C正確；又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝2×2×cos∠ASB，eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))，因此D正確，其余兩個(gè)都不正確．反思感悟空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量共面的充要條件(1)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算、共線向量的概念、向量共線的充要條件與平面向量的性質(zhì)是一致的．(2)利用向量共面的充要條件可以判斷第三個(gè)向量是否與已知的兩個(gè)不共線的向量共面，特別地，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).跟蹤訓(xùn)練1(1)在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，點(diǎn)P在z軸上，且滿足|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|，則P點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(3,0,0) B．(0,3,0)C．(0,0,3) D．(0,0，－3)答案C解析設(shè)P(0,0，z)，則有eq\r(1－02＋－2－02＋1－z2)＝eq\r(2－02＋2－02＋2－z2)，解得z＝3.(2)如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為60°.①求eq\o(AC1,\s\up6(→))的長(zhǎng)；②求eq\o(BD1,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))夾角的余弦值．解記eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).①|(zhì)eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6).②eq\o(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，∴|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，∴cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(6),6).二、利用空間向量證明位置關(guān)系1．用空間向量判斷空間中位置關(guān)系的類(lèi)型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思想是轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進(jìn)行證明．2．將立體幾何的線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．例2在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點(diǎn)．(1)求證：BM∥平面PAD；(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，說(shuō)明理由．(1)證明以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2，2,0)，M(1,1，1)，∵eq\o(BM,\s\up6(→))＝(0,1,1)，平面PAD的一個(gè)法向量為n＝(1,0,0)，∴eq\o(BM,\s\up6(→))·n＝0，即eq\o(BM,\s\up6(→))⊥n，又BM?平面PAD，∴BM∥平面PAD.(2)證明由(1)知，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，假設(shè)平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD.設(shè)N(0，y，z)，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－1，y－1，z－1)，從而MN⊥BD，MN⊥PB，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(MN,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→))＝0，,\o(MN,\s\up6(→))·\o(PB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2y－1＝0，,－1－2z－1＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)，,z＝\f(1,2)，))∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，∴在平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，使MN⊥平面PBD.反思感悟利用空間向量證明或求解立體幾何問(wèn)題時(shí)，首先要選擇基底或建立空間直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為其坐標(biāo)運(yùn)算，再借助于向量的有關(guān)性質(zhì)求解(證)．跟蹤訓(xùn)練2在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)求證：AC⊥BC1；(2)請(qǐng)說(shuō)明在AB上是否存在點(diǎn)E，使得AC1∥平面CEB1.(1)證明在直三棱柱ABC－A1B1C1中，因?yàn)锳C＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC，CC1兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)．因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))＝(－3,0,0)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(0，－4,4)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BC1,\s\up6(→))，即AC⊥BC1.(2)解假設(shè)在AB上存在點(diǎn)E，使得AC1∥平面CEB1，設(shè)eq\o(AE,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3t,4t,0)，其中0≤t≤1.則E(3－3t,4t,0)，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(3－3t,4t－4，－4)，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(0，－4，－4)．又因?yàn)閑q\o(AC1,\s\up6(→))＝meq\o(B1E,\s\up6(→))＋neq\o(B1C,\s\up6(→))成立，所以m(3－3t)＝－3，m(4t－4)－4n＝0，－4m－4n＝4，解得t＝eq\f(1,2).所以在AB上存在點(diǎn)E，使得AC1∥平面CEB1，這時(shí)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．三、利用空間向量計(jì)算距離1．空間距離的計(jì)算思路(1)點(diǎn)P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．(2)設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)．2．通過(guò)利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．例3在三棱錐B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱長(zhǎng)AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求點(diǎn)D到平面ABC的距離．解如圖所示，以AD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)D，OC所在直線為x軸、y軸，過(guò)O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直線OM為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)，0，\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，\f(1,2)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABC的一個(gè)法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)z＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝\f(1,2)x＋\f(\r(3),2)y＝0，))∴y＝－eq\f(\r(3),3)x，z＝－eq\r(3)x，可取n＝(－eq\r(3)，1,3)，代入d＝eq\f(|\o(DC,\s\up6(→))·n|,|n|)，得d＝eq\f(\f(\r(3),2)＋\f(\r(3),2),\r(13))＝eq\f(\r(39),13)，即點(diǎn)D到平面ABC的距離是eq\f(\r(39),13).反思感悟利用向量法求點(diǎn)面距，只需求出平面的一個(gè)法向量和該點(diǎn)與平面內(nèi)任一點(diǎn)連線表示的向量，代入公式求解即可．跟蹤訓(xùn)練3已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，若點(diǎn)P滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AA1,\s\up6(→))，則點(diǎn)P到直線AB的距離為()A.eq\f(25,144)B.eq\f(5,12)C.eq\f(13,20)D.eq\f(\r(105),15)答案B解析以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以直線AB，AD，AA1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，易知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(1,3)，\f(1,4)))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0).則點(diǎn)P到直線AB的距離為eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))2|－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)))2)＝eq\r(\f(1,9)＋\f(1,16))＝eq\f(5,12).四、利用空間向量求空間角1．空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角θ滿足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α的夾角θ滿足sinθ＝|cos〈m，n〉|.|.2．通過(guò)利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．例4如圖，在長(zhǎng)方體AC1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq\r(2)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．試用向量方法解決下列問(wèn)題：(1)求異面直線AF和BE所成的角；(2)求直線AF和平面BEC所成角的正弦值．解(1)由題意得A(2,0,0)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(\r(2),2)))，B(2,2,0)，E(1,1，eq\r(2))，C(0,2,0)．∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2，\f(\r(2),2)))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－1，－1，eq\r(2))，∴eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1－2＋1＝0.∴直線AF和BE所成的角為90°.(2)設(shè)平面BEC的法向量為n＝(x，y，z)，又eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2,0,0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－1，－1，eq\r(2))，則n·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2x＝0，n·eq\o(BE,\s\up6(→))＝－x－y＋eq\r(2)z＝0，∴x＝0，取z＝1，則y＝eq\r(2)，∴平面BEC的一個(gè)法向量為n＝(0，eq\r(2)，1)．∴cos〈eq\o(AF,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\o(AF,\s\up6(→))·n,|\o(AF,\s\up6(→))|·|n|)＝eq\f(\f(5\r(2),2),\f(\r(22),2)×\r(3))＝eq\f(5\r(33),33).設(shè)直線AF和平面BEC所成的角為θ，則sinθ＝eq\f(5\r(33),33)，即直線AF和平面BEC所成角的正弦值為eq\f(5\r(33),33).反思感悟(1)在建立空間直角坐標(biāo)系的過(guò)程中，一定要依據(jù)題目所給幾何圖形的特征，建立合理的空間直角坐標(biāo)系，這樣才會(huì)容易求得解題時(shí)需要的坐標(biāo)．(2)直線和平面所成的角、兩個(gè)平面的夾角類(lèi)問(wèn)題有兩種思路：轉(zhuǎn)化為兩條直線所成的角、利用平面的法向量．跟蹤訓(xùn)練4如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn)．(1)求證：GF∥平面ADE；(2)求平面AEF與平面BEC夾角的余弦值．方法一(1)證明如圖，取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD，因?yàn)镚是BE的中點(diǎn)，所以GH∥AB，且GH＝eq\f(1,2)AB.又F是CD的中點(diǎn)，所以DF＝eq\f(1,2)CD.由四邊形ABCD是矩形，得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GF∥DH.又DH?平面ADE，GF?平面ADE，所以GF∥平面ADE.(2)解如圖，在平面BEC內(nèi)，過(guò)B點(diǎn)作BQ∥EC.因?yàn)锽E⊥CE，所以BQ⊥BE.又因?yàn)锳B⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.以B為原點(diǎn)，分別以BE，BQ，BA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(2,2,1)．因?yàn)锳B⊥平面BEC，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0,0,2)為平面BEC的法向量．設(shè)n＝(x，y，z)為平面AEF的法向量．又eq\o(AE,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2,2，－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AF,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2z＝0，,2x＋2y－z＝0.))取z＝2，得n＝(2，－1,2)．從而|cos〈n，eq\o(BA,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|n·\o(BA,\s\up6(→))|,|n||\o(BA,\s\up6(→))|)＝eq\f(4,2×3)＝eq\f(2,3)，所以平面AEF與平面BEC夾角的余弦值為eq\f(2,3).方法二(1)證明如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接MG，MF.由G是BE的中點(diǎn)，可知GM∥AE.又AE?平面ADE，GM?平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)得MF∥AD.又AD?平面ADE，MF?平面ADE.所以MF∥平面ADE.又因?yàn)镚M∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因?yàn)镚F?平面GMF，所以GF∥平面ADE.(2)同方法一．1．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，已知eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PD,\s\up6(→))，則eq\o(BE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＋eq\f(1,2)c B.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b＋eq\f(1,2)c D.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c答案A解析連接BD，如圖，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))－2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＋eq\f(1,2)c.2．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，則()A．l1∥l2 B．l1⊥l2C．l1，l2相交但不垂直 D．不能確定答案B解析∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l(xiāng)1⊥l2.3．在三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝2，BC＝4，CD＝3，BD＝5，點(diǎn)E在棱AD上，且AE＝2ED，則異面直線BE與CD所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(6),4) B.eq\f(3,5)C.eq\f(3\r(17)