2023-2024學(xué)年安徽省黃山市高二年級上冊八校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 答案解析(附后)

2023—2024學(xué)年安徽省黃山市高二上學(xué)期八校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷口

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共4。分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

L設(shè)點(diǎn)42.-3,-E）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是8,則|八等于（）

A.6B.6\/3C.6及D.3X/G

2.設(shè)Q,B為定點(diǎn)，F(xiàn)后卜，動點(diǎn)M滿足I.T/F1I+I.T/F2I=8,則動點(diǎn)M的軌跡是（）

A.線段B.直線C.圓D.橢圓

3.已知直線/的一個方向向量為直線/的傾斜角為。，貝Isiu2a-cos%-1的值為（）

A.-2B.0C.-1D.2

4.設(shè)“七7?,則“=1是直線/1：2/+編/+2=0與直線%：（。+1）/+1/+。=0平行的（）

A,必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知點(diǎn)。在△八/JC確定的平面內(nèi)，0是平面ABC外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x,y滿足

0^=30?-xOA-2yOd,則產(chǎn)+2鏟的最小值為（）

AIB.；C.1D.-

3

6.已知P是直線/：z-2W+4。上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：=（）的兩條切線，切點(diǎn)分別為

A、B,則四邊形小CB的外接圓的面積的最小值為（）

c57r.57T-

AA.57rB.—C.-2-D.ITT

4

7.已知矩形ABCD的四個頂點(diǎn)都在橢圓《一

卜1（。＞b〉0）上，邊和BC分別經(jīng)過橢圓的左、右焦

?2fe2

點(diǎn)，且=則該橢圓的離心率

A.-1+^/2B.2-5/2C.-I+A/3D.2-5/3

8.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著.書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如

圖，在陽馬PABCD+,匕11平面ABC。,底面ABCD是矩形,E、F分別為PD,PB的中點(diǎn)，下百—人?可,

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PA=2,AB=1,若」Gl平面EFC,則'()

C.：D.

、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5

分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.下列說法正確的是（）

A.點(diǎn)（0,2）關(guān)于直線1/=1+】的對稱點(diǎn)為（1,1）

U—U\X-X\

B.過（」1仍），（心.玲）兩點(diǎn)的直線方程為-------------

y>-劭12一工1

C.經(jīng)過點(diǎn)I1.1，且在X軸和y軸上截距都相等的直線方程為.r+V-2=0

D.直線/-//-2=（）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2

1。如圖,直三棱柱力肯C-A5G中，48=中。=44,_UAC90°,1、E分別為A?、的

中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.DE//B\C

B.直線DE與平面小80所成角的正弦值為:

?J

C.平面與平面ABC夾角的余弦值為受

3

D.DE與441所成角為"

11.已知AC為圓錐SO底面圓。的直徑，SA=4,SO=24，點(diǎn)B為圓。上異于A、C的一點(diǎn)，M

為線段sc上的動點(diǎn)（異于端點(diǎn)I,貝M）

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A-直線SB與平面SAM所成角的最大值為:

QO

B.圓錐SO內(nèi)切球的體積為言《7T

C.棱長為曳?的正四面體可以放在圓錐so內(nèi)

3

D.當(dāng)M為SC的中點(diǎn)時(shí)，滿足s/L11/的點(diǎn)B有2個

12.如圖所示.已知橢圓方程為［+《=i(a>b>0),Q、八為左右焦點(diǎn)，e為橢圓的離心率，下列命

展lr

題正確的是()

A.P為橢圓上一點(diǎn)，線段PF1中點(diǎn)為Q,則也±絲&為定值

a

B,直線，/=2,與橢圓交于R,S兩點(diǎn)，入是橢圓上異于R,S的點(diǎn)，且直線AR,AS的斜率；“八卜心均

存在，則以/?-=1-e2

C.若橢圓上存在一點(diǎn)M使//XI/EJ：與，則e的取值范圍是殍,1)

D.四邊形ABC。為橢圓內(nèi)接矩形，則其面積最大值為2ab

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知空間向量才=(1,0.1),7=(2,2,1),則向量“?在向量/，,上的投影向量的坐標(biāo)是.

14.已知P為圓(工一3產(chǎn)+(u—4-=4上一點(diǎn)，則點(diǎn)Q(cwa,sinc)到P點(diǎn)的距離的最大值為.

15.若關(guān)于x的不等式m?—《1的解集是［03］,則k值是.

16.半徑為R的球面上有A、B、C、。四個點(diǎn)，AB=R=2CI),則的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共7。分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.本小題10分?

如圖,三棱錐ABC-AiBiCt中，點(diǎn)。、E分別為1和"小的中點(diǎn)，設(shè)而=萬，加=1，充=K

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D

Bi

工

U試用a,了，下表示向量E；

刀若/44B=NA4C=NC4B=60°,AA}=AB=AC=2,求異面直線AE與C。所成角的余弦

值.

18.（本小題12分）

已知直線/：!/=人■?H-2A+l（k€R）.

①若直線/不經(jīng)過第二象限，求k的取值范圍.

Q

②若直線/與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)，的面積為:，時(shí)1。為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求此時(shí)相

應(yīng)的直線/的方程.

19.（本小題12分）

如圖，/UBC與都是邊長為2的正三角形，平面.43。，平面ABC,/?：01.平面ABC且EC=，工

"I證明：CDJ.平面」18￡：

2求平面CED與平面BDE的夾角的大小.

20.本小題12分）

已知定點(diǎn)八（1,2）,動點(diǎn)A/".”）滿足風(fēng).m=o,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

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6

5

4

3

2”(4,2)

1

■t1iiiiti1

-4-3-2-1O123456x

-1

-2-

-3

-4

Hl求動點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）若點(diǎn)B為直線3/-“+3-（）上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作動點(diǎn)M的軌跡的切線，切點(diǎn)分別為C、D,若

HCiliD,求點(diǎn)8的坐標(biāo).

21.（本小題12分）

如圖，在五面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，側(cè)面COEF為等腰梯形，二面角E—CO-A為直

二面角，.48=2EF=4,AF=3\/3.

"I求點(diǎn)F到平面ABCD的距離；

（2）設(shè)P為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足而適?！?）,若直線PQ與平面AOE及平面ABC。所成角

相等，求A的值.

22.（本小題12分）

橢圓當(dāng)+《=1（。>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為Q、F-2,短軸端點(diǎn)分別為A、8.若四邊形為正方

屋tr

形，且AF】=V2.

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"I求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;

,若C、。分別是橢圓長軸左、右端點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足17萬.痔=w，P點(diǎn)在橢圓上，且滿足

ofi=sin-OOC'+cos2eOM，求證oXi-OP定值（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

「力在②條件下，試問在x軸上是否存在異于C點(diǎn)的定點(diǎn)N,使C01A/.V,若存在，求N坐標(biāo)，若不存

在，說明理由.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了空間中點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題，涉及了空間中兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

先求出點(diǎn)人關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)B,再利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可.

【解答】

解：因?yàn)辄c(diǎn).4(2,—3,h)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是3(-2.3.-壽)，

22

故=Y/[2-(-2)]+(-3-3)+[\/5-(-A/5)]2=6x/2.

故選：(,.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意可得M在線段公人上，從而即可判斷為線段.

【解答】

解：對于在平面內(nèi)，若動點(diǎn)M到/1、八兩點(diǎn)的距離之和等于8,

而8正好等于兩定點(diǎn)八、八的距離，

則動點(diǎn)M的軌跡是以尸2為端點(diǎn)的線段.

故選：

3.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查直線的方向向量，直線的傾斜角和斜率，涉及正余弦齊次式的計(jì)算，屬于中檔題

由題意利用直線的傾斜角和斜率求出tan。的值，再利用正余弦齊次式的計(jì)算，求出要求式子的值.

【解答】

解：因?yàn)橹本€/的一個方向向量為?，所以直線斜率12,所以-2,

所以sin2。-<,<?n-1=2sinacos()-cos2a—sin2n-cos%=2sin“c-sin*a-2cos2a

222

2sinacosa—sinQ—2cosa2tana—tana—2—4—4—2~

=-----------；~~5-------------------------=-------------------------=--------------=-2.

sin2a+cos2atan2a+14+1

故選：A

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4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查充分、必要條件的判斷，以及直線平行的判定及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

求出與“直線L：2.r+，“/+2—。與直線%：(a+l).r+y+"=0平行”等價(jià)的條件，由此即可判斷出

結(jié)果.

【解答】

解：由直線21+ay+2=0與直線％：(a+1)]+y+a=0平行，

所以a(a+l)=2xl,解得“=1或〃=-2,

當(dāng)“=1時(shí)，/i:2J-+y+2Q與/?:2r+!/-1=0平行，

當(dāng)“=-2時(shí)，A：2.r-2〃+20與+2=0平行，

綜上，即"=I或"=一2,

因此“"二I”是“直線：2H+au+2=()與直線%：(。+1)/+1/+。=0平行”的充分不必要條件，

故選6.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查空間向量共面定理，屬于中檔題.

根據(jù)空間向量共面可得-2y+3=1,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.

【解答】

解：因?yàn)?=-.rO^—2//OS+30?,

又點(diǎn)。在^ABC確定的平面內(nèi)，所以一工一2y+31,即工=2-2y,

2244

所以廣一2//=(2-2,“產(chǎn)+2,=()//*■—8〃+4=6(//--)+Q2Q，

?>?J*j

21

所以當(dāng)"二Q時(shí)，T1+2j/2的最小值為~.

故選/).

6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系中的最值問題，屬于中檔題.

根據(jù)題意可得四邊形PACB的外接圓的圓心為CP的中點(diǎn)，直徑為PC,求出IPCImi”，即可求解.

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【解答】

解：圓C：M+/—2.r—0,即(J?一1y+)=1,圓心C為。,()),半徑為1,

根據(jù)題意可得四邊形PAC8的外接圓的圓心為CP的中點(diǎn)，直徑為PC,

又IPCImiu為圓心C到直線r-29+4=0的距離,

|1+4|

貝I]|PC|min=

/2+（一2產(chǎn)

則四邊形PACB的外接圓的半徑的最小值為上，

2

55T

則四邊形PACB的外接圓的面積的最小值為了，

故選B.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查求橢圓的離心率，屬于中檔題.

根據(jù)條件可得=2g|3s=±,根據(jù)2|八3=田。即可建立方程求解.

a

【解答】

b2

解：由橢圓的方程l(a〉?！?)可得當(dāng)工=(,時(shí)〃=±_

所以|.4切=2c|3C|=—，

a

因?yàn)?1ABi=|3C|,所以Q=f_,所以2配=川=“2—

a

所以2e=l-J,解得<=-l+U或，--「〃（舍）.

故答案為：A.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查利用空間向量解決線面垂直有關(guān)問題，屬于一般題.

建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EFC的法向量〃i以及「記，利用而〃"，即可求解.

【解答】

解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，,箱，而，衣的方向分別為x,v，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

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設(shè),40—a,〃>(),

則.1(().0.0),P(0,0,2),C(l,a,O)，E(0《J),

市=&-*0),獷=(0.0.2),笈=(1.a-2),或=(1；-1).

設(shè)平面EFC的法向量為不二(.r.y.z),

則|修窗=°,

Ecai=[)

1ay八

/-羊=0，

貝2

zM2axi

x+—z=0?

1Q1Q

令丁=I,得i/=,：=5，所以市=(1.-.，

a2a2

Ad=A?+XPd=(A,aX,2-2A),

因?yàn)椤?,1平面EFC,所以配〃示，

A_aA_2-2A

則i=丁=-3-,解得△=；；.

a27

故選「

9.【答案】AD

【解析】【分析】

本題考查命題真假的判斷，直線方程的求法、直線的兩點(diǎn)式方程、直線的截距等，為一般題.

利用對稱知識判斷A的正誤；利用直線的兩點(diǎn)式方程判斷B的正誤，利用截距相等判斷C的正誤；求出截

距得到三角形的面積判斷D的正誤.

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【解答】

13

解：A、點(diǎn)（。，2）與（1,1）的中點(diǎn)坐標(biāo)（,）.；），

滿足直線方程!/=/+1,并且兩點(diǎn)的斜率為：-1,

所以點(diǎn)關(guān)于直線"=J+1的對稱點(diǎn)為，1J）,

所以A正確；

B、當(dāng)工層工2,IA#例時(shí),

U—litX—J'I

過"1"/1）,口2兩點(diǎn)的直線方程為J---——------，

y>—功工2一工1

所以B錯誤；

C、當(dāng)兩截距都等于0時(shí)直線方程為1/=工；

當(dāng)兩截距不等于0時(shí)，由題意設(shè)所求直線的方程"+，=1,

因?yàn)辄c(diǎn)，1.1，滿足該方程，

所以1+1=1,“=2,

aa

所求直線的方程為z+1/-2=0,

所以C錯誤；

D、直線工一“-2=0在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為：2,-2,

與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是：1x2x2=2,

所以D正確.

故選：AD.

10.【答案】BC

【解析】【分析】

本題考查異面直線所成的角、直線與平面所成角、平面與平面的夾角，考查空間向量的應(yīng)用，考查線線平

行的判定，屬于中檔題.

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解直線與直線的平行，異面直線所成的角、直線與平面所成角、平

面與平面的夾角，對各個選項(xiàng)逐一判斷即可.

【解答】

解：直三棱柱ABC-45G中，八小I平面ABC,

AB,.4。U平面ABC,

所以.4.411.AC,

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又H.\C=90°，

所以.4/，..IC,

則以A為原點(diǎn)，AB,AC,41所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),0(2,0,0),0(020),4(0.0,2),01(2,0,2),D(0,1.2),E(l,0.1),

對于A,Z^=(l,-l,-l),B^=(-2,2,-2),顯然不存在實(shí)數(shù)、，使得瓦=:瓦甘，所以DE與小C

不平行，故A錯誤;

H-^7^=2r-2z=0

對于B,設(shè)平面斗/*'的法向量為討=(，//?：),貝卜

"n*■Bd=—2x+2j;=0

不妨令r=1,得"1,：=I,故可取方=(Ll.l),

Rt瓦芯-11

所以＜瓦.”＞=兩=亞=-3所以直線。E與平面斗/“'所成角的正弦值為:，故B

正確;

對于C,易得平面ABC的一個法向量為rrt=(0,0.1),結(jié)合8選項(xiàng),

所以＜3＜和?。緗=黯=1_瓜

1-5/3-3

所以平面$8。與平面ABC夾角的余弦值為"，故C正確;

3

對于。，由題意屁=高=(0.0.2),

就.病

所以cos<DE,AAi>=

網(wǎng)|同623'

所以DE與■所成角的余弦值為寧,其角不為很」,故D錯誤;

故選DC.

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11.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查了直線與平面所成的角，圓錐的內(nèi)切球，圓錐的結(jié)構(gòu)特征，屬難題.

利用圓錐的結(jié)構(gòu)特征對選項(xiàng)ABC。一一解析分析判斷即可得.

【解答】

解：OA=OC=OB=\]早-12=2,

直線SB與平面SAM所成的角即直線SB與平面SAC所成的角，

當(dāng)8為弧AC中點(diǎn)時(shí)，易知NOSB為所求，==殍，

所以NOSB=，，故A正確；

圓錐SO的內(nèi)切球的半徑1r即為△$4c內(nèi)切圓的半徑，

]]2432

S^SAC=3x-x4xr=-x4x2\/3=45/3,r=->/3,V=Q"/=而6亓，故8錯誤;

棱長為:e的正四面體可以從棱長為:的正方體截取出來，

JtJ

A9

所以該正四面體和正方體的外接球是同一個外接球，2/?=耳《，即=

，*5

所以該正四面體可以放在圓錐S。的內(nèi)切球內(nèi)，故C正確；

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，4(0,-2.0),C(0,2.0),S(0.0.2、&),/，(/.”.())，則工2+/=4，,

M為SC的中點(diǎn)，則.1/(0」.通)，lA?=(0,3,x/3)，血=(7,仍一2遍)，

設(shè)直線AM與直線SB的夾角為。,COS0=隈網(wǎng),兩=%濯，

因?yàn)椤?<"<2,所以<?<.&#(),故不存在點(diǎn)8,滿足S/L.U/,故。錯誤.

另解：假設(shè)S/L心/,過B作BD垂直于AC,垂足為D,連接SD,

因平面、：1(二底面ABC,平面平面A8C=4C,80U平面ZMU

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所以3?！挂黄矫鍿AC,又4A/二平面SAC,所以DO-1A/,

可得AM1平面SBD,所以SO1AM,

因△S4C為正三角形，M為SC的中點(diǎn)，所以SC14M,即C,。兩點(diǎn)重合，與題設(shè)矛盾，故。錯誤.

故選AC.

12.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難題.

根據(jù)橢圓的定義可判定A；聯(lián)立直線與橢圓的方程判定8；利用M是橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)最大判定C,

設(shè)第一象限的點(diǎn)cos0,bsin。）可判定D

【解答】

解：因?yàn)镻為橢圓上一點(diǎn)，線段中點(diǎn)為Q,。為Q二的中點(diǎn),

所以=

PI\+2OQ/'*+/,g2a將4T旅

所以一--=---=-=2,故A正確；

n=kr

T2y2,,得（02收+后）#2—〃%2=（）,

（L廬斗

所以，=土潟前,

所以不妨取R,S兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

abkab、/abkab、

，a2k2+從'g2依+ft2），（—加依+#-y/a2k2+乎），

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為5）?的），

kabkab

所以卜叱小="產(chǎn)Mx2k2+/見

ab

―/一

一。2亞+早，a2A2+左

?9Ot2￡>2￡￡12

k^ab2kabr22

麗”一物_湎三兩—b+方期

22

0b22。的2

a2k2+8一工。酒區(qū)兩_孫

42

bb2

29

一二一=〃一1,故8錯誤;

d汨a2

?依+十一二

當(dāng)M是橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)/F.A/危最大;

第14頁，共23頁

<5J/

/.sin：Wsin//”/。<.sin；

32

當(dāng)M是橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)有mM=“，歷Q「；

.?小￡<i；

2a

:橢圓離心率e的取值范圍為［苧,1).故C正確;

設(shè)第一象限的點(diǎn)cos/八in。)，(。,今，

則矩形,BCD的面積S=4abco6dsinJ=2absin20,。=:時(shí)，面積最大值為2ab,故D正確.

故選.4CD

13.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題.

由向量〃,在向量/，.上的投影向量為1Hleos＜才，了＞小，計(jì)算即可求出答案.

【解答】

解：向量。*=(1.0.1),b=(2,2,1),

則同=松，|了|=3,不.了=3,

所以向量亍在向量了上的投影向量為

同＞同,簫得

3

=V^XWfX3X（2'2U）=

/221\

故答案為：（鼻,鼻,鼻卜

\?JO?>/

14.【答案】8

【解析】【分析】

本題考查與圓有關(guān)的最值問題，考查圓與圓的位置關(guān)系及判定，屬于基礎(chǔ)題.

由題得點(diǎn)Q在圓/+/=1上，由兩圓位置關(guān)系求解.

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【解答】

解:由題設(shè)圓"一:獷+5一4）2=J的圓心為（'（：，.11,半徑為2,

由c。—「Siu%—1,所以點(diǎn)Q在圓/+/=1上，圓心（）（（）.（）），半徑為1,

又|?？?5>2+1,

所以圓"一3產(chǎn)+（“-4-=4與圓M+/=1外離，

所以IQP|mHX=l℃l+2+l=8,

故答案為：8

15.【答案】2

【解析】【分析】

本題考查一元二次不等式與相應(yīng)方程的關(guān)系，屬于較難題，

由hr—,2工一工2w1得Jr41+,2工一工2,將（1,2）代入1/=■?得k,進(jìn)而解不等式檢驗(yàn)即可.

【解答】

2

解：由kr—y/2.r—J-s:1得kr（：1+\/2r—.r,

當(dāng)r=1時(shí)，l+，2J-.r?=2,

將，1.2,代入"=得A2,

2

此時(shí)kr—\/2,r—TW1即為2r—\/2J--r-W1，

2J*-1W,

2工一步》o

2

<2x-x>02工一1〉0,

所以’21一1W0或<

3-1）242rT

解得OW^wg或:1,

所以1,滿足題意，

所以卜=2.

16.【答案】2v/3+/i53

48

【解析】【分析】

本小題主要考查棱錐的體積、球內(nèi)接多面體等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象力.屬于中檔

題.

第16頁，共23頁

過CD作平面PCD,使.4〃1平面PC。，交43于P,設(shè)點(diǎn)P到C。的距離為,則當(dāng)球的直徑通過AB

與CD的中點(diǎn)時(shí)，打最大為（虧+—pjR,從而得到的最大值即可.

【解答】

解：過C。作平面PC。，使平面PCD,交AB于P,

設(shè)點(diǎn)P到CD的距離為h,

則有V.x-BCD=；x：x；/?x/ix/?,

當(dāng)直徑通過A8與CD的中點(diǎn)時(shí)，

球心落在此兩中點(diǎn)連線上,

―一馴產(chǎn)+山一伊勾=

此時(shí),h取最大值為/inmx=K,

111,,

則IIH/'的最大值為鼻X5X,)?",?

J//

故答案為絲迤中

17.【答案】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)D為5G的中點(diǎn),

所以E=爾+五方=西+3百

=困+；（-硝

=左+；1一#；

12：由題意可得：

A^=+=AS+［兩=了+扛，

因?yàn)閊AiAB=AAiAC=Z.CAB=60°,AA}=AB=AC=2,

所以萬?了=2x2xcosGO=2,

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~a-T=2x2xcos6()1=2,7*.了=2x2xcos6()°=2，

所以A^2=(了+-a*)2=了2+W.了+-a^2=7,

14cl=\/7,

所以砧~=(7?+5b---?)2

=cj*2+；廠++才?了一萬,-c*=5,

所以|理|=6，

元.團(tuán)=(胃+；了一齊).(了+])

111

2了T

萬+T+TT

-a-C一-a

224

fA^Cd5_>/35

■,異面直線AE和CD所成角的余弦值為圖.

7

【解析】本題考查空間向量的加減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算、空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律、空間向量的模、夾角與

距離求解問題、利用空間向量求線線的夾角，屬于中檔題.

HI利用空間向量的線性運(yùn)算直接求即可；

4戶

⑵分別求出海I，|E|,Af)cb，利用「,陽<荏，也>=屣鬲即可求出結(jié)果.

18.【答案】解：⑴直線/："=k.r2k1(A-c/?),在y軸上的截距為一2卜+I,

要使直線/不經(jīng)過第二象限，

fA->0

川(1-2卜W0'

解得k的取值范圍是卜》;.

_1IQL.

⑵依題意人學(xué)()，直線/在X軸上的截距為,在y軸上的截距為1-2A,

l+2fc3(0.1-2A),

K

—1j-

又一>()且1—2k>0,

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故5=｝AOA\\OB\=|x^4^(1-2k)=：,

113

解得卜=一1或-，，故此時(shí)直線/的方程為“=-丁+3或//=

44/

【解析】本題考查直線在坐標(biāo)系中的位置，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

1：要使直線/不經(jīng)過第二象限，則直線的斜率為正，直線在y軸上的截距是非正數(shù)，即可解出k的取值范

圍；

2先求出直線在兩個坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形的面積公式，解方程即可得解.

19.【答案】解：｛1｝證明：取AB中點(diǎn)F,連接CF,DF,

■：^ABC,AABO都是正三角形，

ABLCF,AB1DF,又CFnDF=F,CF,￡>Fu平面C￡>F,

..AB\面CDF,CDc平面COF,

ABLCD,

又平面W.平面ABD,

平面ABCC平面ABD=AB,DFC平面力BD,DFL面ABC,

DF->/3,

又CE」面ABC且EC\/3,

ADF//CE,DF=CE=CF,DFLCF,

:四邊形CFDE是正方形，

:.CD.EF,

又EFn4B=尸，EF,ABc平面,WE...(3一平面ABE.

(2)由(1)知AB,CF,DF兩兩重直，

以行，用，旬為工,U，z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

平面CDE的法向量為記=(1,0,0)

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又8(1.1),0),D(0,0,v/3),E(0,W)

.?屈=e)，理=(-1—),

設(shè)平面BOE的法向量萬*=(x,y,z),

則,~n-Bl5=—i+x/Sz=0

7??B它=—x+y/3y+x/3z=0

務(wù)工=瓜,7i=(v/3,0.1)

I-、nt-TFv/36

??."對("，">=詢=^=彳，

:平面COE與平面BDE的夾角為；:

【解析】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間向量求平面與平面所成的角，屬于中檔題.

(1)取AB中點(diǎn)F,連接CF,DF,推導(dǎo)出。尸1CF,CD1EF,由此能證明;

壯1由UI知AB,CF,OF兩兩重直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由于X軸垂直面CEDF,結(jié)合空間向量即

可求解.

20.【答案】解：U由題意得：O\1=(J-,I/),="-4—2),=0>

-A.M—(,r.y),(x—4,j/—2)=z(x—4)+y(y-2)=.r~—4x+//*—2y—0,

即(工—2—+(y—1)2=5,

M的軌跡方程為(x-2廣+(y-I)2=5.

(2)：B為直線31-1/+3=0上一點(diǎn)，點(diǎn)M的軌跡為圓N："―2『+(//-1『=5.

又BC、BD分別與圓N相切于點(diǎn)C、D,且

連接NC、ND,易知四邊形BCND為正方形，

且|NC|\ND\\BC\\BD\事、、

：.|!?Ar|=>/io,

(3<r—i/4-3=0(j=—1-5

設(shè)時(shí)，/),則｛(.2產(chǎn)+(…-=1。，解得1=0或小

IV~5

.?.B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)或$

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【解析】本題考查了點(diǎn)的軌跡方程的求法，圓的切線，屬于中檔題.

!”利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解；

(2)M的軌跡為圓N,四邊形BC/V。為正方形，據(jù)此即可求解.

21.【答案】解：⑴如圖,過點(diǎn)尸作尸O1DC于點(diǎn)0,連接OA

因?yàn)槎娼恰暌弧?。一」為直二面角，所以平面C'。/:心平面ABC。，

又平面CDEFC平面，1/3CO=C。，F(xiàn)OJ平面CDE,所以尸平面ABC。，

因?yàn)镃MU平面ABC。，所以FOLOJ

因?yàn)樗倪呅蜟DEF為等腰梯形，」/3=C0=2EF=4，

所以()￡>=3,所以.4。=5.

又」F=34，所以F0=g,即點(diǎn)F到平面ABCD的距離為v/2

壯?以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D,OF所在直線分別為x,z軸，過點(diǎn)0作平面CDEF的垂線為y軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。.

則4(3,4,嘰D(3,0