2024屆廣東省廣州市越秀區(qū)荔灣區(qū)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆廣東省廣州市越秀區(qū)荔灣區(qū)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中也成等差數(shù)列的是()A． B． C． D．2．已知，且，則的最小值為（）A．8 B．12 C．16 D．203．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”,從“到”左端需增乘的代數(shù)式為()A． B． C． D．4．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．5．下列命題正確的是（）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱．B．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱．C．繞直角三角形的一邊旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體叫圓錐．D．用一個面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺．6．已知數(shù)列的前項和為，直線與圓:交于兩點，且.記，其前項和為，若存在，使得有解，則實數(shù)取值范圍是（）A． B． C． D．7．如圖，在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．8．將的圖像怎樣移動可得到的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位9．若，，，設(shè)，，且，則的值為（）A．0 B．3 C．15 D．1810．在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD一定是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四邊形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若滿足約束條件，則的最小值為_________.12．函數(shù)的反函數(shù)為__________.13．若直線l1：y＝kx+1與直線l2關(guān)于點（2，3）對稱，則直線l2恒過定點_____，l1與l2的距離的最大值是_____.14．將十進(jìn)制數(shù)30化為二進(jìn)制數(shù)為________．15．已知正實數(shù)滿足，則的最大值為_______.16．圓上的點到直線4x+3y－12=0的距離的最小值是三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點，，點P，Q在單位圓上，以x軸正半軸為始邊，以射線為終邊的角為，以射線為終邊的角為，滿足.（1）若，求（2）當(dāng)點P在單位圓上運動時，求函數(shù)的解析式，并求的最大值.18．在等差數(shù)列中，已知．（1）求通項；（2）求的前項和．19．解關(guān)于x的不等式20．已知數(shù)列為等差數(shù)列，是數(shù)列的前n項和，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和．21．已知對任意，恒成立（其中），求的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義，只需任意相鄰的后一項與前一項的差為定值即可．【詳解】A:=（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，與n有關(guān)系，因此不是等差數(shù)列．B:==與n有關(guān)系，因此不是等差數(shù)列.C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d為常數(shù)，仍然為等差數(shù)列；D:當(dāng)數(shù)列{an}的首項為正數(shù)、公差為負(fù)數(shù)時，{|an|}不是等差數(shù)列；故選：C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

由題意可得，則，展開后利用基本不等式，即可求出結(jié)果．【詳解】因為，且，即為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號，則的最小值為.故選：C．【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，注意等號成立的條件，考查運算能力，屬于中檔題．3、B【解析】

分別求出時左端的表達(dá)式，和時左端的表達(dá)式，比較可得“從到”左端需增乘的代數(shù)式.【詳解】由題意知，當(dāng)時，有，當(dāng)時，等式的左邊為，所以左邊要增乘的代數(shù)式為.故選：.【點睛】本題主要考查的是歸納推理，需要結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行求解，熟知數(shù)學(xué)歸納法的步驟，最關(guān)鍵的是從到，考查學(xué)生仔細(xì)觀察的能力，是中檔題.4、B【解析】

已知集合A,B，取交集即可得到答案.【詳解】集合，集合，則故選B【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于簡單題.5、B【解析】

根據(jù)課本中的相關(guān)概念依次判斷選項即可.【詳解】對于A選項，幾何體可以是棱臺，滿足有兩個面平行，其余各面都是四邊形，故選項不正確；對于B，根據(jù)課本中棱柱的概念得到是正確的；對于C，當(dāng)繞直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)時構(gòu)成的幾何體不是圓錐，故不正確；對于D，用平行于底面的平面截圓錐得到的剩余的幾何體是棱臺，故不正確.故答案為B.【點睛】這個題目考查了幾何體的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)題意，先求出弦長，再表示出，得到，求出數(shù)列的通項公式，再表示出，用錯位相減求和求出，再求解即可.【詳解】根據(jù)題意，圓的半徑，圓心到直線的距離，所以弦長，所以，當(dāng)時，，所以，時，，所以，得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，，，所以，，，所以，由有解，，只需大于的最小值即可，因為，所以，所以.故選：D【點睛】本題主要考查求圓的弦長、由和求數(shù)列通項、錯位相減求數(shù)列的和和解不等式有解的情況，考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于難題.7、D【解析】連結(jié)，∵，

∴是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），

∵在直三棱柱中，，，，

∴，，，，

∴，

∴異面直線與所成角的余弦值為，故選D.8、C【解析】

因為將向左平移個單位可以得到，得解.【詳解】解：將向左平移個單位可以得到，故選C.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】

首先分別求出向量，然后再用兩向量平行的坐標(biāo)表示，最后求值.【詳解】,,當(dāng)時，，解得.故選B.【點睛】本題考查了向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題型.10、D【解析】試題分析：因為,根據(jù)向量的三角形法則，有,則可知,故四邊形ABCD為平行四邊形.考點：向量的三角形法則與向量的平行四邊形法則.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解析】

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，平行移動直線，在可行解域內(nèi)，找到直線在縱軸上截距最小時所經(jīng)過點的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)中，求出目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，約束條件所表示的平面區(qū)域如下圖所示：當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線縱軸上截距最小，解方程組，因此點坐標(biāo)為，所以的最小值為.【點睛】本題考查了線性目標(biāo)函數(shù)最小值問題，正確畫出可行解域是解題的關(guān)鍵.12、【解析】

由得，即，把與互換即可得出【詳解】由得所以把與互換，可得故答案為：【點睛】本題考查的是反函數(shù)的求法，較簡單.13、（4，5）4.【解析】

根據(jù)所過定點與所過定點關(guān)于對稱可得，與的距離的最大值就是兩定點之間的距離.【詳解】∵直線：經(jīng)過定點，又兩直線關(guān)于點對稱，則兩直線經(jīng)過的定點也關(guān)于點對稱∴直線恒過定點，∴與的距離的最大值就是兩定點之間的距離，即為.故答案為：，.【點睛】本題考查了過兩條直線交點的直線系方程，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用除取余法可將十進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù).【詳解】利用除取余法得因此，，故答案為.【點睛】本題考查將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為進(jìn)制數(shù)，常用除取余法來求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

對所求式子平邊平方，再將代入，從而將問題轉(zhuǎn)化為求【詳解】∵∵，∴，∴，等號成立當(dāng)且僅當(dāng).故答案為：.【點睛】本題考查條件等式下利用基本不等式求最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意等號成立的條件.16、【解析】

計算出圓心到直線的距離，減去半徑，求得圓上的點到直線的最小距離.【詳解】圓的圓心為，半徑.圓心到直線的距離為，故最小距離為.【點睛】本小題主要考查圓上的點到直線距離最小值的求法，考查點到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2），最大值.【解析】

（1）由角的定義求出，再由數(shù)量積定義計算；（2）由三角函數(shù)定義寫出坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，計算出，利用兩角和的正弦公式可化函數(shù)為一個三角函數(shù)形式，由正弦函數(shù)性質(zhì)可求得最大值．【詳解】（1）由圖可知，，..（2）由題意可知，.因為，，所以.所以，.所以.當(dāng)（）時，取得最大值.【點睛】本題考查任意角的定義，平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)．本題解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義，表示出坐標(biāo)．18、（1），（2）【解析】

（1）設(shè)出等差數(shù)列的基本量，首項和公差，根據(jù)條件列出方程組，解出和，寫出的通項.（2）由（1）中求出的基本量，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，寫出【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，，解得（2）由（1）可知，【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量計算，等差數(shù)列通項和求和的求法，屬于簡單題.19、見解析.【解析】試題分析：（1）討論的取值，分為，兩種情形，求出對應(yīng)不等式的解集即可.試題解析：當(dāng)a=0時，原不等式化為x+10，解得;當(dāng)時，原不等式化為，解得；綜上所述，當(dāng)a=0時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為.點睛：本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，元二次不等式的核心還是求一元二次方程的根，然后在結(jié)合圖象判定其區(qū)間解題時應(yīng)用分類討論的思想，是中檔題目；常見的討論形式有：1、對二項式系數(shù)進(jìn)行討論；2、相對應(yīng)的方程是否有根進(jìn)行討論；3、對應(yīng)根的大小進(jìn)行討論.20、（1）（2）【解析】

（1）由等差數(shù)列可得,求得,即可求得通項公式；（2）由（1）,則利用裂項相消法求數(shù)列的和即可【詳解】解:（1）因為數(shù)列是等差數(shù)列,且,,則,解得,所以（2）由（1）,,所以【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式,考查裂項相消法求數(shù)列的和21、的最大值為.【解析】試題分析：利用二倍角公式，利用換元法，將原不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式在區(qū)間上恒成立，利用二次函數(shù)的零點分布進(jìn)行討論，從而得出的最大值，但是在對時的情況下，主要對二次函數(shù)的對稱軸是否在區(qū)間進(jìn)行分類討論，再將問題轉(zhuǎn)化為的條件下，求的最大值，試題解析：由題意知，令，，則當(dāng)，恒成立，開口向上，①當(dāng)時，，不滿足，恒成立，②當(dāng)時，則必有（1）當(dāng)對稱軸時，即，也即時，有，則，，則，當(dāng)，時，.當(dāng)對稱軸時，即，也即時