第11小題 概率（高考必考22題）2024年高考《數(shù)學》復習題型分類與方法點撥（解析版）

第第頁第11小題概率TOC\o"1-5"\h\u第11小題概率 1一、主干知識歸納與回顧 210.1隨機事件與概率 210.1.1有限樣本空間與隨機事件 210.1.2事件的關(guān)系和運算 210.1.3古典概型 310.1.4概率的基本性質(zhì) 310.2事件的相互獨立性 310.3頻率與概率 4（一）命題角度剖析 4（二）考情分析 4（三）高考預測 5二、題型分類與預測 5命題點一：事件的關(guān)系與運算 51.1母題精析（三年高考真題） 5一．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式（共5小題） 5二．離散型隨機變量的期望與方差（共1小題） 8三．正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義（共2小題） 91.2解題模型 101.3對點訓練（四年省市模考） 11一．互斥事件與對立事件（共1小題） 11二．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式（共3小題） 12三．條件概率與獨立事件（共1小題） 13四．離散型隨機變量的期望與方差（共5小題） 15五．二項分布與n次獨立重復試驗的模型（共1小題） 18六．正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義（共7小題） 18七．概率的應用（共1小題） 22命題點二：求隨機事件的概率 231.1母題精析（三年高考真題） 23一．古典概型及其概率計算公式（共11小題） 23二．幾何概型（共3小題） 28三．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式（共4小題） 30四．條件概率與獨立事件（共2小題） 321.2解題模型 321.3對點訓練（四年省市?？迹?33一．古典概型及其概率計算公式（共19小題） 33二．列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率（共2小題） 43三．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式（共2小題） 44四．條件概率與獨立事件（共3小題） 45三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）： 47一．互斥事件的概率加法公式（共1小題） 47二．古典概型及其概率計算公式（共10小題） 48三．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式（共4小題） 53四．條件概率與獨立事件（共11小題） 56五．離散型隨機變量的期望與方差（共3小題） 62六．正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義（共6小題） 65一、主干知識歸納與回顧10.1隨機事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機事件隨機試驗：對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗.有限樣本空間：樣本點：隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，用表示.樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間，用表示.有限樣本空間：如果一個隨機試驗有個可能結(jié)果，則稱樣本空間為有限樣本空間.隨機事件：隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.隨機事件：樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件.基本事件：只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.事件發(fā)生：在每次試驗中，當且僅當中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件發(fā)生.必然事件：不可能事件：必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形，這樣每個事件都是樣本空間的子集.10.1.2事件的關(guān)系和運算事件B包含事件：若事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，就稱事件包含事件（或事件包含于事件），記作（或）.事件的相等：如果事件包含事件，事件也包含事件，則稱事件和事件相等.并事件（或和事件）：事件與事件至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件中，或者在事件中，我們稱這個事件為事件與事件的并事件（或和事件）.記作（或）.交事件（或積事件）：事件與事件同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件中，也在事件中，我們稱這個事件為事件與事件的交事件（或積事件）.記作（或）.互斥事件：如果事件與事件不能同時發(fā)生，即是一個不可能事件，即，則稱事件與事件互斥（或互不相容）.對立事件：如果事件和事件在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即，且，那么稱事件與事件互為對立.事件的對立事件記為.10.1.3古典概型1.概率：對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率.事件的概率用表示.2.古典概型的特點：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.3.古典概型概率計算公式：設試驗是古典概型，樣本空間包含n個樣本點，事件包含其中的k個樣本點，則事件發(fā)生的概率.10.1.4概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對任意事件，都有.性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即.性質(zhì)3：如果事件與事件互斥，那么.性質(zhì)4：如果事件與事件互為對立事件，那么,.性質(zhì)5：如果，那么.性質(zhì)6：設，是一個隨機試驗中的兩個事件，有.10.2事件的相互獨立性相互獨立事件：對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱獨立.注意：當三個事件,,兩兩獨立時，一般不成立.若事件與事件相互獨立，則與，與，與也相互獨立.10.3頻率與概率頻率的穩(wěn)定性：在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性，一般地，隨著試驗次數(shù)的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性，因此我們可以用頻率估計概率.（一）命題角度剖析1.事件的關(guān)系與運算★★★☆☆2.求隨機事件的概率★★★★★（二）考情分析高考頻率：100%試題難度：中等呈現(xiàn)形式：以選擇題或填空題（三）高考預測在數(shù)學文化、科技等情境下，結(jié)合排列組合考查古典概型、互斥事件的概率加法公式、相互獨立事件的乘法公式，以及條件概率的求法、全概率公式的應用。二、題型分類與預測命題點一：事件的關(guān)系與運算1.1母題精析（三年高考真題）一．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式（共5小題）1．（2021?新高考Ⅰ）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立 C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立【分析】分別列出甲、乙、丙、丁可能的情況，然后根據(jù)獨立事件的定義判斷即可．【解答】解：由題意可知，兩點數(shù)和為8的所有可能為：，，，，，兩點數(shù)和為7的所有可能為，，，，，，（甲，（乙，（丙，（丁，（甲丙）（甲（丙，（甲?。祝ǘ?，（乙丙）（乙（丙，（丙?。ūǘ?，故選：．【點評】本題考查相互獨立事件的應用，要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，屬于中檔題．2．（2023?新高考Ⅱ）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為 B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為 C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為 D．當時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解．【解答】解：采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為：，故正確；采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，依次收到1，0，1的概率為：，故正確；采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1包含收到的信號為包含兩個1或3個1，故所求概率為：，故錯誤；三次傳輸方案發(fā)送0，譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率，，當時，，故，故正確．故選：．【點評】本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于中檔題．3．（2021?天津）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為；3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為．【分析】根據(jù)相互獨立事件概率乘法公式求出一次活動中，甲獲勝的概率，再利用直接法求出3次活動中，甲至少獲勝2次的概率．【解答】解：一次活動中，甲獲勝的概率為，次活動中，甲至少獲勝2次的概率為．故答案為：；．【點評】本題主要考查相互獨立事件概率乘法公式，至少問題等基礎知識，是中檔題．4．（2020?天津）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為．【分析】根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式及對立事件的概率公式計算即可．【解答】解：設“甲球落入盒子”為事件，“乙球落入盒子”為事件，由題意可知事件與事件相互獨立，且（A），（B），則甲、乙兩球都落入盒子的概率為（A）（B），事件“甲、乙兩球至少有一個落入盒子”的對立事件為“甲、乙兩球都沒有落入盒子”所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為（A）（B），故答案為：，．【點評】本題考查了互斥事件的概率公式，考查了運算求解能力，屬于基礎題．5．（2019?新課標Ⅰ）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以獲勝的概率是0.18．【分析】甲隊以獲勝包含的情況有：①前5場比賽中，第一場負，另外4場全勝，②前5場比賽中，第二場負，另外4場全勝，③前5場比賽中，第三場負，另外4場全勝，④前5場比賽中，第四場負，另外4場全勝，由此能求出甲隊以獲勝的概率．【解答】解：甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，甲隊以獲勝包含的情況有：①前5場比賽中，第一場負，另外4場全勝，其概率為：，②前5場比賽中，第二場負，另外4場全勝，其概率為：，③前5場比賽中，第三場負，另外4場全勝，其概率為：，④前5場比賽中，第四場負，另外4場全勝，其概率為：，則甲隊以獲勝的概率為：．故答案為：0.18．【點評】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．二．離散型隨機變量的期望與方差（共1小題）6．（2021?浙江）袋中有4個紅球，個黃球，個綠球．現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則1，．【分析】根據(jù)取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，得到關(guān)于，的方程，然后求出，的值，得到的值；先確定的可能取值，求出相應的概率，由數(shù)學期望的計算公式求解即可．【解答】解：由題意，，又一紅一黃的概率為，所以，解得，，故；由題意，的可能取值為0，1，2，所以，，，所以．故答案為：1；．【點評】本題考查了古典概型的概率，組合數(shù)公式的應用，離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量期望，考查了運算能力，屬于基礎題．三．正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義（共2小題）7．（2021?新高考Ⅱ）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論中不正確的是A．越小，該物理量在一次測量中落在內(nèi)的概率越大 B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5 C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D．該物理量在一次測量中結(jié)果落在與落在的概率相等【分析】利用正態(tài)分布曲線的特點以及曲線所表示的意義對四個選項逐一分析判斷即可．【解答】解：因為某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，所以測量的結(jié)果的概率分布關(guān)于10對稱，且方差越小，則分布越集中，對于，越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故選項正確；對于，測量結(jié)果大于10的概率為0.5，故選項正確；對于，由于概率分布關(guān)于10對稱，所以測量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項正確；對于，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的區(qū)域大于分布在10附近的區(qū)域，故測量結(jié)果落在內(nèi)的概率大于落在內(nèi)的概率，故選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點以及曲線所表示的意義，解題的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布曲線的對稱性，屬于基礎題．8．（2022?新高考Ⅱ）已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則0.14．【分析】利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解．【解答】解：隨機變量服從正態(tài)分布，，，故答案為：0.14．【點評】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，屬于基礎題．1.2解題模型1.互斥事件與對立事件的判斷方法(1)利用定義①判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們能否同時發(fā)生，若不能同時發(fā)生，則這兩個事件是互斥事件；若能同時發(fā)生，則這兩個事件不是互斥事件。②判斷兩個事件是否為對立事件，主要看它們是否同時滿足兩個條件：一是不能同時發(fā)生；二是必有一個發(fā)生.如果這兩個條件同時滿足，那么這兩個事件就是對立事件；如果至少有一個條件不滿足，那么這兩個事件就不是對立事件.兩個事件是對立事件的前提是它們互斥.(2)利用集合的觀點設表示事件A,B的集合分別為集合A,B.①事件A與B互斥?集合A∩B=.②事件A與B對立?集合A∩B=,且AB=Ω.2.判斷兩個事件是否相互獨立的方法(1)定性法：直觀地判斷一個事件的發(fā)生與否對另一個事件的發(fā)生與否有沒有影響，若沒有影響，則這兩個事件是相互獨立事件.(2)定量法：利用P(AB)=P(A)P(B)(P(A)>0,P(B)>0)是否成立可以準確地判斷兩個事件是否相互獨立.【歸納總結(jié)】與互斥事件、相互獨立事件的概率相關(guān)的常用結(jié)論已知事件A,B發(fā)生的概率分別為P(A),P(B),有如下結(jié)論：3.概率的基本性質(zhì)事件表示概率（A、B互斥）概率（A、B相互獨立）A、B至少有一個發(fā)生或A、B都發(fā)生0A、B都不發(fā)生A、B恰有一個發(fā)生A、B中至多有一個發(fā)生1性質(zhì)1:對任意的事件A,都有P(A)≥0.性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P()=0.性質(zhì)3:如果事件A與事件B互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B).性質(zhì)4:如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性質(zhì)5:如果AB,那么P(A)≤P(B).性質(zhì)6:設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，則P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∩B).1.3對點訓練（四年省市?？迹┮唬コ馐录c對立事件（共1小題）1．（2022?南平模擬）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，下列事件與事件“至少一枚硬幣正面朝上”互為對立的是A．至多一枚硬幣正面朝上 B．只有一枚硬幣正面朝上 C．兩枚硬幣反面朝上 D．兩枚硬幣正面朝上【分析】直接利用對立事件的定義求出結(jié)果．【解答】解：事件“至少一枚硬幣正面朝上”互為對立的是：兩枚硬幣反面朝上．故選：．【點評】本題考查的知識要點：對立事件的定理，主要考查學生對定義的理解，屬于基礎題．二．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式（共3小題）2．（2023?莆田模擬）某地區(qū)一個家庭中孩子個數(shù)的情況如表．1230每個孩子的性別是男是女的概率均為，且相互獨立，則一個家庭中男孩比女孩多的概率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意分析男孩比女孩多的可能情況，結(jié)合互斥事件以及獨立事件概率乘法公式運算求解．【解答】解：一個家庭中男孩比女孩多有三種可能：“1個小孩，且為男孩”、“有2個小孩，且為男孩”、“3個小孩，3個男孩或2個男孩”，所以概率．故選：．【點評】本題考查互斥事件以及獨立事件概率乘法公式，屬于基礎題．3．（2022?廈門模擬）為充分感受冬奧的運動激情，領(lǐng)略奧運的拼搏精神，甲、乙、丙三人進行短道速滑訓練．已知每一場比賽甲、乙、丙獲勝的概率分別為，，，則3場訓練賽過后，甲、乙獲勝場數(shù)相同的概率為A． B． C． D．【分析】3場訓練賽過后，甲、乙獲勝場數(shù)相同的情況有兩種：①甲、乙兩人均獲勝0場，②甲、乙兩人均獲勝1場，利用相互獨立事件概率乘法公式能求出3場訓練賽過后，甲、乙獲勝場數(shù)相同的概率．【解答】解：3場訓練賽過后，甲、乙獲勝場數(shù)相同的情況有兩種：①甲、乙兩人均獲勝0場，概率為；②甲、乙兩人均獲勝1場，概率為，場訓練賽過后，甲、乙獲勝場數(shù)相同的概率為：．故選：．【點評】本題考查概率的運算，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4．（2022?泉州模擬）2021年7月25日召開的第44屆世界遺產(chǎn)大會上，“泉州：宋元中國的世界海洋商貿(mào)中心”獲準列入世界文化遺產(chǎn)名錄，至此泉州20年的申遺終于圓夢．申遺的遺產(chǎn)點包括九日山祈風石刻、開元寺、洛陽橋等22處代表性古遺跡，這些古遺跡可分為文化紀念地史跡等五類．這五類古遺跡充分展現(xiàn)了世紀泉州完備的海洋貿(mào)易制度體系、發(fā)達的經(jīng)濟水平及多元包容的文化態(tài)度．某校中學生準備到各類古遺跡打卡，已知該同學打卡第一類、第二類的概率都是，打卡第三類、第四類和第五類的概率都是，且是否打卡這五類古遺跡相互獨立．用隨機變量表示該同學打卡的類別數(shù)，則．【分析】設第一、二類打卡數(shù)為，第三、四、五類打卡數(shù)為，則由題意，，，利用次獨立重復試驗的概率公式求解即可．【解答】解：記該同學打卡第一類、第二類的類別數(shù)為，打卡第三類、第四類和第五類的類別數(shù)為，隨機變量，則，，．故答案為：．【點評】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．三．條件概率與獨立事件（共1小題）5．（2023?福州模擬）已知，是兩個事件，且（B），則事件，相互獨立的充分條件可以是A． B． C． D．【分析】利用條件概率公式，互斥的性質(zhì)，相互獨立的判斷，逐個選項分析即可求解．【解答】解：若，則事件，沒有共同部分，即互斥，得不出事件，相互獨立，錯；由（A），得，則（B），得（B），即（A）（B），則事件，相互獨立，正確；由，即，得（B）（A）（B）（B），即（A）（B），則事件，相互獨立，正確；由，①且，②②式兩邊平方，并利用①式可得，，③結(jié)合①③，可得，，則，所以（A），（B），所以（A）（B），即事件，相互獨立，正確．故選：．【點評】本題考查互斥的應用，考查條件概率的性質(zhì)，考查學生推理能力和運算能力，屬于中檔題．四．離散型隨機變量的期望與方差（共5小題）6．（2023?福建模擬）如圖是一塊高爾頓板示意圖，在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號為0，1，2，3，，10，用表示小球落入格子的號碼，則A． B． C． D．【分析】分析得到，進而利用二項分布求概率公式求出相應的概率，利用二項分布求期望和方差．【解答】解：設“向右下落”，“向左下落”，則，因為小球最后落入格子的號碼等于事件發(fā)生的次數(shù)，而小球下落的過程中共碰撞小木釘10次，所以，于是，同理可得：，正確，錯誤；由二項分布求期望及方差公式得：，，錯誤，正確．故選：．【點評】本題考查二項分布的期望與方差的求解，屬中檔題．7．（2023?莆田模擬）“50米跑”是《國家學生體質(zhì)健康標準》測試項目中的一項．某地區(qū)高二男生的“50米跑”測試成績（單位：秒）服從正態(tài)分布，且．從該地區(qū)高三男生的“50米跑”測試成績中隨機抽取3個，其中成績在間的個數(shù)記為，則A． B． C． D．【分析】對于，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解；對于，結(jié)合二項分布的期望公式，即可求解；對于，結(jié)合二項分布的概率公式，即可求解．【解答】解：由正態(tài)分布的對稱性可知，，故，故錯誤；由題意可知，，故，故正確；某地區(qū)高二男生的“50米跑”測試成績（單位：秒）服從正態(tài)分布，則，，故錯誤；，則，故，故正確．故選：．【點評】本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，以及二項分布的期望公式，屬于基礎題．8．（2021?福州模擬）購買某種意外傷害保險，每個投保人年度向保險公司交納保險費20元，若被保險人在購買保險的一年度內(nèi)出險，可獲得賠償金50萬元．已知該保險每一份保單需要賠付的概率為，某保險公司一年能銷售10萬份保單，且每份保單相互獨立，則一年度內(nèi)該保險公司此項保險業(yè)務需要賠付的概率約為0.63；一年度內(nèi)盈利的期望為萬元．（參考數(shù)據(jù)：【分析】根據(jù)題意，設該保險業(yè)務需要賠付為事件，由相互獨立事件的概率公式可得，結(jié)合對立事件的概率公式可得（A），進而由期望的概念計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設該保險業(yè)務需要賠付為事件，該保險每一份保單需要賠付的概率為，則每一份保單不需要賠付的概率為，則10萬份保單都不需要賠付的概率，則保險業(yè)務需要賠付的概率（A）；一年度內(nèi)盈利的期望（萬元），故答案為：0.63，150．【點評】本題考查獨立重復試驗的概率的計算，涉及隨機變量的期望計算，屬于基礎題．9．（2020?漳州三模）勤洗手、常通風、戴口罩是切斷新冠肺炎傳播的有效手段．經(jīng)調(diào)查疫情期間某小區(qū)居民人人養(yǎng)成了出門戴口罩的好習慣，且選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩的概率為，每人是否選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩是相互獨立的．現(xiàn)隨機抽取5位該小區(qū)居民，其中選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩的人數(shù)為，且，，則的值為．【分析】根據(jù)題意，可知選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩的人數(shù)滿足：，根據(jù)公式，，，即可得．【解答】解：由題可知，選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩的人數(shù)滿足：，，即，解得，又，即，解得或（舍．故答案為：．【點評】本題主要考查離散型隨機變量的期望和方差，屬基礎題．10．（2020?福建二模）在一個袋中放入四種不同顏色的球，每種顏色的球各兩個，這些球除顏色外完全相同．現(xiàn)玩一種游戲：游戲參與者從袋中一次性隨機抽取4個球，若抽出的4個球恰含兩種顏色，獲得2元獎金；若抽出的4個球恰含四種顏色，獲得1元獎金；其他情況游戲參與者交費1元．設某人參加一次這種游戲所獲得獎金為，則．【分析】由題意知的可能取值為，1，2，分別求出相應概率，由此能求出．【解答】解：由題意知的可能取值為，1，2，，，，．故答案為：．【點評】本題考查查離散型隨機變量的數(shù)學期望的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查推理論證能力與運算求解能力，屬于中檔題．五．二項分布與n次獨立重復試驗的模型（共1小題）11．（2021?泉州一模）“立定跳遠”是《國家學生體質(zhì)健康標準》測試項目中的一項，已知某地區(qū)高中男生的立定跳遠測試數(shù)據(jù)（單位：服從正態(tài)分布，且．現(xiàn)從該地區(qū)高中男生中隨機抽取3人，記不在的人數(shù)為，則A． B． C． D．【分析】由已知可得正態(tài)分布曲線的對稱軸，再由對稱性求得判斷；不在的人數(shù)的可能取值為0，1，2，3，由可知，不在的概率為0.2，分別求出與判斷與；再求出判斷．【解答】解：由題意可得，正態(tài)分布曲線的對稱軸方程為，又，，故錯誤；不在的人數(shù)的可能取值為0，1，2，3，由可知，不在的概率為0.2，則，，，．，故錯誤；，則，故錯誤；，故正確．故選：．【點評】本題考查離散型隨機變量的期望與方差，考查正態(tài)分布曲線的特點及其幾何意義，考查運算求解能力，是中檔題．六．正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義（共7小題）12．（2022?廈門模擬）我們將服從二項分布的隨機變量稱為二項隨機變量，服從正態(tài)分布的隨機變量稱為正態(tài)隨機變量．概率論中有一個重要的結(jié)論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機變量，當充分大時，二項隨機變量可以由正態(tài)隨機變量來近似，且正態(tài)隨機變量的期望和方差與二項隨機變量的期望和方差相同．棣莫弗在1733年證明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯對一般的進行了證明．現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過60次的概率為（附：若，則，，A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項分布的期望與方差公式，求出，，再結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解．【解答】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，設硬幣正面向上次數(shù)為，則，故，，由題意可得，，且，，，用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過60次的概率為．故選：．【點評】本題主要考查二項分布的期望與方差公式，以及正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎題．13．（2023?寧德模擬）某地生產(chǎn)紅茶已有多年，選用本地兩個不同品種的茶青生產(chǎn)紅茶．根據(jù)其種植經(jīng)驗，在正常環(huán)境下，甲、乙兩個品種的茶青每500克的紅茶產(chǎn)量（單位：克）分別為，，且，，，，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯誤的是A．的數(shù)據(jù)較更集中 B． C．甲種茶青每500克的紅茶產(chǎn)量超過的概率大于 D．【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)和特點求解．【解答】解：對于，的密度曲線更尖銳，即數(shù)據(jù)更集中，正確；對于，因為與之間的與密度曲線圍成的面積，與密度曲線圍成的面積，，，正確；對于，，甲種茶青每500克超過的概率，正確；對于，由知：，，錯誤．故選：．【點評】本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎題．14．（2023?福建模擬）已知，則，，．今有一批數(shù)量龐大的零件．假設這批零件的某項質(zhì)量指標（單位：毫米）服從正態(tài)分布，，現(xiàn)從中隨機抽取個，這個零件中恰有個的質(zhì)量指標位于區(qū)間．若，試以使得最大的值作為的估計值，則為A．45 B．53 C．54 D．90【分析】由已知可推得，，根據(jù)已知以及正態(tài)分布的對稱性，可求得．則，，設，求出函數(shù)的最大整數(shù)值，即可得出答案．【解答】解：由已知可得，．又，所以，，．設，則，所以，所以，所以，所以，所以使得最大的值作為的估計值，則為53．故選：．【點評】本題主要考查正態(tài)分布曲線，考查運算求解能力，屬于中檔題．15．（2021?廈門一模）已知某地居民在2020年“雙十一”期間的網(wǎng)上購物消費額（單位：千元）服從正態(tài)分布，則該地某居民在2020年“雙十一”期間的網(wǎng)上購物消費額在，內(nèi)的概率為附：隨機變量服從正態(tài)分布，，，．A．0.9759 B．0.8186 C．0.73 D．0.4772【分析】由已知可得，，然后結(jié)合與原則求解．【解答】解：服從正態(tài)分布，，，則．故選：．【點評】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的運用、與原則的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．16．（2023?廈門模擬）李明每天從家里出發(fā)去學校，有時坐公交車，有時騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時34分鐘，樣本方差為4．假設坐公交車用時和騎自行車用時都服從正態(tài)分布，則A． B． C．李明計劃前到校，應選擇坐公交車 D．李明計劃前到校，應選擇騎自行車【分析】首先利用正態(tài)分布，確定和，再結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，和的原則，即可求解．【解答】解：．由條件可知，，，，根據(jù)對稱性可知，故錯誤；．，，所以，故正確；．，所以，故正確；．，，所以，故正確．故選：．【點評】本題主要考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．17．（2022?福州模擬）某質(zhì)量指標的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則在一次測量中A．該質(zhì)量指標大于80的概率為0.5 B．越大，該質(zhì)量指標落在的概率越大 C．該質(zhì)量指標小于60與大于100的概率相等 D．該質(zhì)量指標落在與落在的概率相等【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解．【解答】解：對于，某質(zhì)量指標的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，該質(zhì)量指標大于80的概率為0.5，故正確，對于，該質(zhì)量指標的測量結(jié)果的概率分布關(guān)于80對稱，且方差越小，分布越集中，越大，該質(zhì)量指標落在的概率越小，故錯誤，對于，某質(zhì)量指標的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，該質(zhì)量指標小于60與大于100的概率相等，故正確，對于，由于概率分布關(guān)于80對稱，故該質(zhì)量指標落在大于落在的概率，故錯誤．故選：．【點評】本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎題．18．（2023?泉州模擬）設隨機變量，若，則0.3．【分析】結(jié)合正態(tài)分布密度曲線的特點及曲線所表示的意義求解即可．【解答】解：由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得，，則，即，故答案為：0.3．【點評】本題考查了正態(tài)分布密度曲線的特點及曲線所表示的意義，屬基礎題．七．概率的應用（共1小題）19．（2023?泉州模擬）某商場設有電子盲盒機，每個盲盒外觀完全相同，規(guī)定每個玩家只能用一個賬號登陸，且每次只能隨機選擇一個開啟．已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎品的概率為，從第二次抽盲盒開始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎品；則這次抽中的概率為．記玩家第次抽盲盒，抽中獎品的概率為，則A． B．數(shù)列為等比數(shù)列 C． D．當時，越大，越小【分析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于，求出的值，可得正確，對于，分析可得，變形可得，由等比數(shù)列的定義可得正確，對于和，由的結(jié)論推出數(shù)列的通項公式，由此分析可得正確，錯誤，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，，正確；對于，根據(jù)題意，，變形可得，故數(shù)列為等比數(shù)列，正確；對于，由的結(jié)論，數(shù)列為等比數(shù)列，其首項為，公比為，則，變形可得，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，綜合可得：，正確；對于，由的結(jié)論，，數(shù)列為擺動數(shù)列，錯誤；故選：．【點評】本題考查概率與數(shù)列的綜合應用，涉及互斥事件和相互獨立事件的概率計算，屬于基中檔題．命題點二：求隨機事件的概率1.1母題精析（三年高考真題）一．古典概型及其概率計算公式（共11小題）1．（2023?乙卷）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為A． B． C． D．【分析】利用古典概型、排列組合等知識直接求解．【解答】解：某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，甲、乙兩位參賽同學構(gòu)成的基本事件總數(shù)，其中甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題包含的基本事件個數(shù)，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為．故選：．【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2．（2023?甲卷）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為A． B． C． D．【分析】從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，基本事件總數(shù)，這2名學生來自不同年級包含的基本事件個數(shù)，由此能求出這2名學生來自不同年級的概率．【解答】解：某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，基本事件總數(shù)，這2名學生來自不同年級包含的基本事件個數(shù)，則這2名學生來自不同年級的概率為．故選：．【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．3．（2022?新高考Ⅰ）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為A． B． C． D．【分析】先求出所有的基本事件數(shù)，再寫出滿足條件的基本事件數(shù)，用古典概型的概率公式計算即可得到答案．【解答】解：從2至8的7個整數(shù)中任取兩個數(shù)共有種方式，其中互質(zhì)的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14種，故所求概率為．故選：．【點評】本題考查古典概型的概率計算，考查運算求解能力，屬于基礎題．4．（2022?甲卷）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，用列舉法分析“從6張卡片中無放回隨機抽取2張”和“抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)”的情況數(shù)目，由古典概型公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，從6張卡片中無放回隨機抽取2張，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種取法，其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)有，，，，，，共6種情況，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率；故選：．【點評】本題考查古典概型的計算，注意古典概型的計算公式，屬于基礎題．5．（2022?全國）在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)的和能被3整除的概率是A． B． C． D．【分析】基本事件總數(shù)，1，4，7被3除余1；2，5，8被3除余2；3，6，9剛好被3除，若要使選取的三個數(shù)字和能被3整除，則需要從每一組中選取一個數(shù)字，或者從一組中選取三個數(shù)字，由此能求出結(jié)果．【解答】在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3個不同的數(shù)，基本事件總數(shù)，，4，7被3除余1；2，5，8被3除余2；3，6，9剛好被3除，若要使選取的三個數(shù)字和能被3整除，則需要從每一組中選取一個數(shù)字，或者從一組中選取三個數(shù)字，這3個數(shù)的和能被3整除的不同情況有：，這3個數(shù)的和能被3整除的概率為．故選：．【點評】本題考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．6．（2021?甲卷）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【分析】先計算出3個1和2個0隨機排成一行，2個0相鄰的概率，再利用對立事件概率之和等于1，即可求解．【解答】解：將兩個0捆綁在一起，進行插空，故共有種方法，故2個0不相鄰的概率．故選：．【點評】本題主要考查古典概型計算公式，排列組合公式在古典概型計算中的應用，屬于基礎題．7．（2021?甲卷）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為A． B． C． D．【分析】分別計算出4個1和2個0隨機排成一行的種數(shù)以及2個0不相鄰的種數(shù)，然后由古典概型的概率公式求解即可．【解答】解：6個空位選2兩個放0，剩余4個放1，故總的排放方法有種，利用插空法，4個1有5個位置可以放0，故排放方法有種，所以所求概率為．故選：．【點評】本題考查了古典概型概率公式的應用，排列組合的應用，對于不相鄰問題，一般會運用插空法進行求解，屬于基礎題．8．（2020?新課標Ⅰ）設為正方形的中心，在，，，，中任取3點，則取到的3點共線的概率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)古典概率公式即可求出．【解答】解：，，，，中任取3點，共有，，，，，，，，，十種，其中共線為，，和，，兩種，故取到的3點共線的概率為，故選：．【點評】本題考查了古典概型概率問題，屬于基礎題．9．（2022?乙卷）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為．【分析】從甲、乙等5名學生中隨機選出3人，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲、乙被選中包含的基本事件的個數(shù)，由此求出甲、乙被選中的概率．【解答】解：方法一：設5人為甲、乙、丙、丁、戊，從5人中選3人有以下10個基本事件：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；甲、乙被選中的基本事件有3個：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；故甲、乙被選中的概率為．方法二：由題意，從甲、乙等5名學生中隨機選出3人，基本事件總數(shù)，甲、乙被選中，則從剩下的3人中選一人，包含的基本事件的個數(shù)，根據(jù)古典概型及其概率的計算公式，甲、乙都入選的概率．【點評】本題主要考查古典概型及其概率計算公式，熟記概率的計算公式即可，屬于基礎題．10．（2022?甲卷）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為．【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)公式計算“從正方體的8個頂點中任選4個”的取法，分析其中“4個點在同一個平面”的情況，由古典概型公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，從正方體的8個頂點中任選4個，有種取法，若這4個點在同一個平面，有底面2個和側(cè)面4個、對角面6個，一共有12種情況，則這4個點在同一個平面的概率；故答案為：．【點評】本題考查古典概型的計算，涉及正方體的幾何結(jié)構(gòu)，屬于基礎題．11．（2021?上海）已知花博會有四個不同的場館，，，，甲、乙兩人每人選2個去參觀，則他們的選擇中，恰有一個館相同的概率為．【分析】根據(jù)古典概型的概率公式進行計算即可．【解答】解：甲選2個去參觀，有種，乙選2個去參觀，有種，共有種，若甲乙恰有一個館相同，則選確定相同的館有種，然后從剩余3個館種選2個進行排列，有種，共有種，則對應概率，故答案為：．【點評】本題主要考查概率的計算，利用古典概型的概率公式是解決本題的關(guān)鍵，是基礎題．二．幾何概型（共3小題）12．（2023?乙卷）設為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域內(nèi)隨機取一點，記該點為，則直線的傾斜角不大于的概率為A． B． C． D．【分析】作出圖形，根據(jù)幾何概型的概率公式，即可求解．【解答】解：如圖，為第一象限與第三象限的角平分線，根據(jù)題意可得構(gòu)成的區(qū)域為圓環(huán)，而直線的傾斜角不大于的點構(gòu)成的區(qū)域為圖中陰影部分，所求概率為．故選：．【點評】本題考查幾何概型的概率的求解，屬基礎題．13．（2021?乙卷）在區(qū)間與中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為A． B． C． D．【分析】由題意可得可行域：，可得三角形的面積，結(jié)合幾何概型即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意可得可行域：，可得三角形的面積，．故選：．【點評】本題考查了線性規(guī)劃知識、三角形的面積、幾何概型、對立事件的概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．14．（2021?乙卷）在區(qū)間隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為A． B． C． D．【分析】我們分別計算出區(qū)間和的長度，代入幾何概型概率計算公式，即可得到答案．【解答】解：由于試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為，構(gòu)成該事件的區(qū)域長度為，所以取到的數(shù)小于的概率．故選：．【點評】本題主要考查幾何概型的概率計算，其中根據(jù)已知條件計算出基本事件總數(shù)對應的幾何量的大小，和滿足條件的幾何量的大小是解答本題的關(guān)鍵，屬基礎題．三．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式（共4小題）15．（2022?乙卷）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，，且．記該棋手連勝兩盤的概率為，則A．與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，最大 C．該棋手在第二盤與乙比賽，最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，最大【分析】已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以受比賽次序影響，錯誤；再計算第二盤分別與甲、乙、丙比賽連贏兩盤的概率，比較大小即可．【解答】解：選項，已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以受比賽次序影響，故錯誤；設棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為，棋手在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為，棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為，，同理可得，，，，，最大，即棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率最大．故選：．【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的靈活運用．16．（2023?天津）甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為，，．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為．【分析】根據(jù)相互獨立事件的乘法公式即可求解；根據(jù)古典概型概率公式即可求解．【解答】解：設盒子中共有球個，則甲盒子中有黑球個，白球個，乙盒子中有黑球個，白球個，丙盒子中有黑球個，白球個，從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率．故答案為：；．【點評】本題考查相互獨立事件乘法公式，考查古典概型，是基礎題．17．（2021?天津）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為；3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為．【分析】根據(jù)相互獨立事件概率乘法公式求出一次活動中，甲獲勝的概率，再利用直接法求出3次活動中，甲至少獲勝2次的概率．【解答】解：一次活動中，甲獲勝的概率為，次活動中，甲至少獲勝2次的概率為．故答案為：；．【點評】本題主要考查相互獨立事件概率乘法公式，至少問題等基礎知識，是中檔題．18．（2020?天津）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為．【分析】根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式及對立事件的概率公式計算即可．【解答】解：設“甲球落入盒子”為事件，“乙球落入盒子”為事件，由題意可知事件與事件相互獨立，且（A），（B），則甲、乙兩球都落入盒子的概率為（A）（B），事件“甲、乙兩球至少有一個落入盒子”的對立事件為“甲、乙兩球都沒有落入盒子”所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為（A）（B），故答案為：，．【點評】本題考查了互斥事件的概率公式，考查了運算求解能力，屬于基礎題．四．條件概率與獨立事件（共2小題）19．（2023?甲卷）某地的中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪，在該地的中學生中隨機調(diào)查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1【分析】根據(jù)題意，設某人愛好滑冰為事件，某人愛好滑雪為事件，由古典概型公式求出（A）和，進而由條件概率公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，在該地的中學生中隨機調(diào)查一位同學，設選出的同學愛好滑冰為事件，選出的同學愛好滑雪為事件，由于中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪，則（B）；則同時愛好兩個項目的占，則，則．故選：．【點評】本題考查條件概率的計算，涉及集合間的基本關(guān)系，屬于基礎題．20．（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到的概率為；已知第一次抽到的是，則第二次抽取的概率為．【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到的條件下，第二次抽到的概率．【解答】解：由題意，設第一次抽到的事件為，第二次抽到的事件為，則，（B），，故答案為：；．【點評】本題主要考查了獨立事件的概率乘法公式，考查了條件概率公式，屬于基礎題．1.2解題模型1.古典概型概率的求法求解此類問題的關(guān)鍵是先確定樣本點個數(shù)，再利用古典概型的概率公式計算即可.常用的樣本點個數(shù)的確定方法有列舉法、列表法、畫樹狀圖法、運用排列組合知識計算.要注意在求解含有“至多”“至少”等類型的概率問題時，從正面突破比較困難或比較煩瑣時，可考慮其反面，即其對立事件，然后應用對立事件的性質(zhì)P(A)=1-P()求解.2.條件概率的求法(1)定義法：先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=;求P(B|A).(2)樣本點個數(shù)法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的樣本點個數(shù)n(A),再求事件AB包含的樣本點個數(shù)n(AB),從而求得P(B|A)=(3)縮樣法：去掉事件A包含的樣本點，在剩余的樣本點構(gòu)成的樣本空間中研究事件B包含的樣本點，用古典概型概率公式求解.3全概率公式的應用全概率公式的意義在于，當直接計算事件B發(fā)生的概率P(B)較為困難時，可以先找到樣本空間Ω的一個劃分，即Ω=A?A?…An;A?,A?,…,An,兩兩互斥，將A?,A?,…,An,看成是導致B發(fā)生的一組原因，這樣事件B就被分解成了n個部分，分別計算P(B|A?),P(B|A?),…,P(B|An),再利用全概率公式求解.運用全概率公式計算事件B發(fā)生的概率P(B)時，一般步驟如下：(1)求劃分后的每個小事件的概率，即P(Ai),i=1,2,…,n;(2)求每個小事件發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，即P(B|Ai),i=1,2,…,n;(3)利用全概率公式計算P(B),即P(B)=P(B|Ai).1.3對點訓練（四年省市模考）一．古典概型及其概率計算公式（共19小題）1．（2023?泉州模擬）目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)來衡量人體胖瘦程度以及是否健康．某公司對員工的值調(diào)查結(jié)果顯示，男員工中，肥胖者的占比為；女員工中，肥胖者的占比為，已知公司男、女員工的人數(shù)比例為，若從該公司中任選一名肥胖的員工，則該員工為男性的概率為A． B． C． D．【分析】先求出任選一名員工為肥胖者的概率和肥胖者員工為男性的概率，再根據(jù)條件概率計算即可．【解答】解：設公司男、女員工的人數(shù)分別為和，則男員工中，肥胖者有人，女員工中，肥胖者有人，設任選一名員工為肥胖者為事件，肥胖者為男性為事件，則，，則．故選：．【點評】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了條件概率的概率公式，屬于基礎題．2．（2023?廈門模擬）17世紀中葉，人們認為同時擲兩枚骰子時，若不給兩枚骰子標記號，兩枚骰子的點數(shù)和為6或7的可能結(jié)果數(shù)相同，則出現(xiàn)的概率就應該相同．然而有人發(fā)現(xiàn)，多次的試驗結(jié)果和人們的預想不一致，這個問題最終被伽利略解決．則A．當不給兩枚骰子標記號時，出現(xiàn)點數(shù)和為6的結(jié)果有5種 B．當給兩枚骰子標記號時，出現(xiàn)點數(shù)和為7的結(jié)果有3種 C．出現(xiàn)點數(shù)和為7的概率為 D．出現(xiàn)點數(shù)和為6的概率比出現(xiàn)點數(shù)和為7的概率更大【分析】根據(jù)古典概型的方法，將所有滿足條件的情況列出再分析即可．【解答】解：對，當不給兩枚骰子標記號時，出現(xiàn)點數(shù)和為6的結(jié)果有，，共三種情況，故錯誤；對，當給兩枚骰子標記號時，出現(xiàn)點數(shù)和為7的結(jié)果有，，，，，共6種情況，故錯誤；對，由，出現(xiàn)點數(shù)和為7的情況共6種，投擲兩枚骰子所有可能的情況有種，故出現(xiàn)點數(shù)和為7的概率為，故正確；對，當給兩枚骰子標記號時，出現(xiàn)點數(shù)和為6的結(jié)果有，，，，共5種情況，故出現(xiàn)點數(shù)和為7的概率為，故錯誤．故選：．【點評】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題．3．（2023?福州模擬）為培養(yǎng)學生“愛讀書、讀好書、普讀書”的良好習慣，某校創(chuàng)建了人文社科類、文學類、自然科學類三個讀書社團．甲、乙兩位同學各自參加其中一個社團，每位同學參加各個社團的可能性相同，則這兩位同學恰好參加同一個社團的概率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合古典概型及其概率計算公式，分別求出所有可能性的種數(shù)以及都參加同一社團的種數(shù)，即可求解．【解答】解：甲、乙兩位同學參加三個社團共有種可能，其中參加同一個社團有3種，故這兩位同學恰好參加同一個社團的概率為．故選：．【點評】本題主要考查古典概型及其概率計算公式，屬于基礎題．4．（2023?莆田模擬）某醫(yī)用口罩生產(chǎn)廠家生產(chǎn)醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩三種產(chǎn)品，三種產(chǎn)品的生產(chǎn)比例如圖所示，且三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為，，．若從該廠生產(chǎn)的口罩中任選一個，則選到綁帶式口罩的概率為A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77【分析】根據(jù)全概率公式進行分析求解即可．【解答】解：由圖可知醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩的占比分別為，，，記事件，，分別表示選到醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩，則，且，，兩兩互斥，所以（A），（B），（C），又三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為，，，記事件為“選到綁帶式口罩”，則，，，所以由全概率公式可得選到綁帶式口罩的概率為．故選：．【點評】本題主要考查全概率公式，屬于基礎題．5．（2023?南平模擬）某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線均生產(chǎn)規(guī)格的芯片．現(xiàn)有25塊該規(guī)格的芯片，其中來自甲、乙、丙的芯片數(shù)量分別為5塊、10塊、10塊．若甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片的優(yōu)質(zhì)品率分別為0.9，0.8，0.7，則從這25塊芯片中隨機抽取一塊，該芯片為優(yōu)質(zhì)品的概率是A．0.78 B．0.64 C．0.58 D．0.48【分析】優(yōu)質(zhì)品的總數(shù)為：，然后根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求出該芯片為優(yōu)質(zhì)品的概率．【解答】解：該芯片為優(yōu)質(zhì)品的概率為：．故選：．【點評】本題考查了古典概型的概率計算公式，等可能事件的概率計算公式，考查了計算能力，屬于基礎題．6．（2023?漳州模擬）漳州某校為加強校園安全管理，欲安排12名教師志愿者（含甲、乙、丙三名教師志愿者）在南門、北門、西門三個校門加強值班，每個校門隨機安排4名，則甲、乙、丙安排在同一個校門值班的概率為A． B． C． D．【分析】每個校門隨機安排4名，基本事件總數(shù)，其中甲、乙、丙安排在同一個校門值班包含的基本事件個數(shù)，由此能求出甲、乙、丙安排在同一個校門值班的概率．【解答】解：安排12名教師志愿者（含甲、乙、丙三名教師志愿者）在南門、北門、西門三個校門加強值班，每個校門隨機安排4名，基本事件總數(shù)，其中甲、乙、丙安排在同一個校門值班包含的基本事件個數(shù)，則甲、乙、丙安排在同一個校門值班的概率為．故選：．【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．7．（2023?福建二模）新星隊在某一排球賽中要和其余6個隊中的每一隊都比賽一次，已知新星隊在每次比賽中勝、負、平的概率相同，那么新星隊在打完這六場比賽后打勝的次數(shù)多于打敗的次數(shù)的概率是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，設新星隊在6場比賽中打勝的次數(shù)等于打敗的次數(shù)為事件，求出（A），由事件之間的關(guān)系分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，新星隊需要比賽6場，設其中打勝的次數(shù)等于打敗的次數(shù)為事件，則（A），則新星隊在打完這六場比賽后打勝的次數(shù)多于打敗的次數(shù)的概率（A）．故選：．【點評】本題考查互斥事件、相互獨立事件的概率計算，注意事件之間的關(guān)系，屬于基礎題．8．（2023?廈門模擬）廈門山海健康步道云海線全長約23公里，起于東渡郵輪廣場，終于觀音山沙灘，沿線串聯(lián)貿(mào)鳥湖、狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山、湖邊水庫、五緣灣、虎仔山、觀音山等“八山三水”．市民甲計劃從“八山三水”這11個景點中隨機選取相鄰的3個游覽，則選取的景點中有“水”的概率為A． B． C． D．【分析】利用對立事件，結(jié)合古典概型公式，即可求解．【解答】解：11個景點隨機選取相鄰的3個游覽，共有9種情況，選取景點中有“水”的對立事件是在狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山中選取3個相鄰的，共有4種情況，則其概率，則11個景點中隨機選取相鄰的3個游覽，則選取的景點中有“水”的概率．故選：．【點評】本題主要考查古典概型及其概率計算公式，屬于基礎題．9．（2023?漳州模擬）2022年10月22日，中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會勝利閉幕．某班舉行了以“禮贊二十大、奮進新征程”為主題的聯(lián)歡晚會，原定的5個學生節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又臨時增加了兩個教師節(jié)目，如果將這兩個教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，則這兩個教師節(jié)目相鄰的概率為A． B． C． D．【分析】先插入第一個節(jié)目，再插入第二個節(jié)目，再按照分步乘法計數(shù)原理分別計算插入的情況數(shù)量及這兩個教師節(jié)目恰好相鄰的情況數(shù)量，再應用古典概率公式求概率即可．【解答】解：由題意可知，先將第一個教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，有6種插入法，再將第二個教師節(jié)目插入到這6個節(jié)目中，有7種插入法，故將這兩個教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，共有（種情況，其中這兩個教師節(jié)目恰好相鄰的情況有（種，所以所求概率為．故選：．【點評】本題主要考查古典概型及其概率計算公式，屬于基礎題．10．（2022?三明模擬）某校為落實“雙減”政策．在課后服務時間開展了豐富多彩的體育興趣小組活動，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學擬參加籃球、足球、乒乓球、羽毛球四項活動，由于受個人精力和時間限制，每人只能等可能的選擇參加其中一項活動，則恰有兩人參加同一項活動的概率為A． B． C． D．【分析】首先分析得到四名同學總共的選擇為個選擇，然后分析恰有兩人參加同一項活動的情況為，則剩下兩名同學不能再選擇同一項活動，他們的選擇情況為，然后進行計算即可．【解答】解：每人只能等可能的選擇參加其中一項活動，且可以參加相同的項目，四名同學總共的選擇為個選擇，恰有兩人參加同一項活動的情況為，剩下兩名同學的選擇有種，恰有兩人參加同一項活動的概率為．故選：．【點評】本題考查了古典概型及其概率的計算公式，解題的關(guān)鍵是能用排列組合的知識將滿足條件的選擇方案數(shù)計算出來．11．（2021?漳州模擬）某校甲、乙、丙三位同學報名參加，，，四所高校的強基計劃考試，每所高校報名人數(shù)不限，因為四所高校的考試時間相同，所以甲、乙、丙只能隨機各自報考其中一所高校，則恰有兩人報考同一所高校的概率為A． B． C． D．【分析】基本事件總數(shù)，恰有兩人報考同一所高校包含的基本事件個數(shù)，由此能求出恰有兩人報考同一所高校的概率．【解答】解：某校甲、乙、丙三位同學報名參加，，，四所高校的強基計劃考試，甲、乙、丙只能隨機各自報考其中一所高校，基本事件總數(shù)，恰有兩人報考同一所高校包含的基本事件個數(shù)，則恰有兩人報考同一所高校的概率為．故選：．【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力等數(shù)學核心素養(yǎng)，是基礎題．12．（2021?莆田二模）甲、乙兩位同學到莆田市湄洲島當志愿者，他們同時從“媽祖祖廟”站上車，乘坐開往“黃金沙灘“站方向的3路公交車（線路圖如圖所示）．甲將在“供水公司”站之前的任意每一站下車，乙將在“鵝尾神化石”站之前的任意一站下車．假設每人自“管委會”站開始在每一站點下車是等可能的，則甲比乙后下車的概率為A． B． C． D．【分析】先求出基本事件總數(shù)，再分類討論乙的下車情況，由此能求出甲比乙后下車的概率．【解答】解：甲、乙下車的所有可能情況有：，若乙在管委會站下車，則甲在興海池至北埭（東環(huán)）站任意一站下車，共有7種可能；若乙在地稅分局站下車，則甲在興海池至北埭（東環(huán)）站任意一站下車，共有6種可能；乙在管委會站下車，則甲在興海池至北埭（東環(huán)）站任意一站下車，共有7種可能；蓮池沙灘站下車，則甲在興海池至北埭（東環(huán)）站下車，共有1種可能．甲比乙后下車的概率為：．故選：．【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．13．（2023?福建模擬）5個人站成一排，小王不站兩端的概率為．【分析】利用排列和古典概型的知識求解即可．【解答】解：5個人站成一排共有種情況，5個人站成一排，小王不站兩端共有種情況，所以5個人站成一排，小王不站兩端的概率為．故答案為：．【點評】本題主要考查古典概型的概率公式，屬于基礎題．14．（2022?莆田模擬）五一期間，廈門中學生助手的家庭（一共四個大人，三個小孩）一起去旅游，在某景點站成一排拍照留念，則小孩不站在兩端，且每個小孩左右兩邊都有大人的概率是．【分析】根據(jù)全排列求出7人的全排列，再利用插空法求出小孩不站在兩端，且每個小孩左右都有大人的排法種數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率計算公式進行求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，7人全排列有種排法，利用插空法，其中小孩不站在兩端，且每個小孩左右都有大人的排法有種，故所求概率為．故答案為：．【點評】本題考查古典概型概率計算公式，涉及插空法，考查學生歸納推理和運算求解的能力，屬于中檔題．15．（2022?龍巖模擬）某產(chǎn)品有5件正品和3件次品混在了一起（產(chǎn)品外觀上看不出有任何區(qū)別），現(xiàn)從這8件產(chǎn)品中隨機抽取3件，則取出的3件產(chǎn)品中恰有1件是次品的概率為．【分析】利用古典概率模型及組合數(shù)公式求概率即可．【解答】解：由古典概率模型及組合數(shù)公式得，取出的3件產(chǎn)品中恰有1件是次品的概率為．故答案為：．【點評】本題考查了古典概率模型及組合數(shù)公式的應用，屬于基礎題．16．（2022?漳州模擬）古時候“五花”常指金菊花、木棉花、水仙花、火棘花、土?；ū扔鞯奈宸N職業(yè)，“八門”則指巾、皮、彩、掛、平、團、調(diào)、聊這八種職業(yè)，現(xiàn)從這13種職業(yè)中任取兩種職業(yè)，則這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五花”的概率是【分析】先求從這13種職業(yè)中任取兩種職業(yè)的方法數(shù)，再求這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五花”的方法數(shù)，利用古典概型求概率．【解答】解：從這13種職業(yè)中任取兩種職業(yè)，共有種，這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五花”，共有，故這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五花”的概率是，故答案為：．【點評】本題主要考查古典概型的問題，熟記概率的計算公式即可，屬于基礎．17．（2022?莆田模擬）每年3月5日是“學雷鋒紀念日”，今年3月5日恰逢周六，甲、乙、丙、丁四位同學計劃周六到，，，四個社區(qū)參加志愿服務，每人只去一個社區(qū)，則四位同學去的社區(qū)互不相同的概率是．【分析】先求出甲、乙、丙、丁四位同學計劃周六到，，，四個社區(qū)參加志愿服務，總的情況有種；要求每人只去一個社區(qū)，有種情況．利用古典概率計算公式即可得出結(jié)論．【解答】解：甲、乙、丙、丁四位同學計劃周六到，，，四個社區(qū)參加志愿服務，共有種情況；要求每人只去一個社區(qū)，則有種情況．則四位同學去的社區(qū)互不相同的概率．故答案為：．【點評】本題考查了古典概率的計算公式、排列數(shù)的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．18．（2021?龍巖模擬）有六個從左到右并排放置的盒子，現(xiàn)將若干個只有顏色不同的黑球、白球隨機放入這六個盒子（每個盒子只能放入一個球，則事件“從左往右數(shù)，不管數(shù)到哪個盒子，總有黑球個數(shù)不少于白球個數(shù)”發(fā)生的概率為．【分析】求出基本事件總數(shù)，用列舉法求出事件包含的基本事件數(shù)，代入古典概型公式即可．【解答】解：設總有黑球個數(shù)不少于白球個數(shù)為事件，基本事件總數(shù)為，事件包含以下事件，共20種，①6黑有1種：黑黑黑黑黑黑，②5黑1白有5種：黑黑黑黑黑白，黑黑黑黑白黑，黑黑黑白黑黑，黑黑白黑黑黑，黑白黑黑黑黑，③4黑2白有9種：黑黑黑黑白白，黑黑黑白黑白，黑黑黑白白黑，黑黑白白黑黑，黑黑白黑白黑，黑黑白黑黑白，黑白黑黑黑白，黑白黑黑白黑，黑白黑白黑黑，④3黑3白有5種：黑黑黑白白白，黑黑白黑白白，黑白黑黑白白，黑白黑白黑白，黑黑白白黑白，（A）．故答案為：．【點評】本題考查了古典概型的求法，利用列舉法是關(guān)鍵，屬于中檔題．19．（2021?漳州一模）2020年新冠肺炎肆虐，全國各地千千萬萬的醫(yī)護者成為“最美逆行者”，醫(yī)藥科研工作者積極研制有效抗疫藥物，中醫(yī)藥通過臨床篩選出的有效方劑“三藥三方”“三藥”是指金花清感顆粒、連花清瘟顆粒（膠囊）和血必凈注射液；“三方”是指清肺排毒湯、化濕敗毒方和宜肺敗毒方）發(fā)揮了重要的作用．甲因個人原因不能選用血必凈注射液，甲、乙兩名患者各自獨立自主的選擇一藥一方進行治療，則兩人選取藥方完全不同的概率是．【分析】將三藥分別記為，，三方分別記為，，，選擇一藥一方的基本事件共有9個組合，求出兩名患者選擇藥方完全不同的情況的種數(shù)和兩名患者可選擇的藥方的種數(shù)，由此能求出兩人選取藥方完全不同的概率．【解答】解：將三藥分別記為，，三方分別記為，，，選擇一藥一方的基本事件如表所示，共有9個組合，，，，，，，，，，則兩名患者選擇藥方完全不同的情況有（種，兩名患者可選擇的藥方共有（種，所以兩人選取藥方完全不同的概率是．故答案為：．【點評】本題是基礎性考查落實，試題以抗疫中藥的搭配為背景，考查古典概型，考查運算求解能力、推理論證能力和數(shù)據(jù)處理能力，考查數(shù)學運算、邏輯推理核心素養(yǎng)，是基礎題．二．列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率（共2小題）20．（2023?龍巖模擬）已知集合，1，2，3，5，6，，從集合中任取2個數(shù)字，則它們之和大于7的概率為A． B． C． D．【分析】利用古典概型計算即可．【解答】解：任取兩數(shù)大于7的組合有、、、、、、、、、十種情況，故概率為．故選：．【點評】本題考查古典概型相關(guān)知識，屬于基礎題．21．（2021?莆田模擬）在三棱柱中，為側(cè)棱的中點，從該三棱柱的九條棱中隨機選取兩條，則這兩條棱所在直線至少有一條與直線異面的概率是A． B． C． D．【分析】該三棱柱的九條棱中與異面的棱有4條，從該三棱柱的九條棱中隨機選取兩條，基本事件總數(shù)，這兩條棱所在直線至少有一條與直線異面包含的基本事件個數(shù)為，由此能求出這兩條棱所在直線至少有一條與直線異面的概率．【解答】解：在三棱柱中，為側(cè)棱的中點，該三棱柱的九條棱中與異面的棱有4條，從該三棱柱的九條棱中隨機選取兩條，基本事件總數(shù)，這兩條棱所在直線至少有一條與直線異面包含的基本事件個數(shù)為：，則這兩條棱所在直線至少有一條與直線異面的概率．故選：．【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力等數(shù)學核心素養(yǎng)，是基礎題．三．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式（共2小題）22．（2023?莆田模擬）某地區(qū)一個家庭中孩子個數(shù)的情況如表．1230每個孩子的性別是男是女的概率均為，且相互獨立，則一個家庭中男孩比女孩多的概率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意分析男孩比女孩多的可能情況，結(jié)合互斥事件以及獨立事件概率乘法公式運算求解．【解答】解：一個家庭中男孩比女孩多有三種可能：“1個小孩，且為男孩”、“有2個小孩，且為男孩”、“3個小孩，3個男孩或2個男孩”，所以概率．故選：．【點評】本題考查互斥事件以及獨立事件概率乘法公式，屬于基礎題．23．（2023?泉州模擬）某運動員每次射擊擊中目標的概率均相等，若三次射擊中，至少有一次擊中目標的概率為，則射擊一次，擊中目標的概率為A． B． C． D．【分析】可設射擊一次，擊中目標的概率為，則得出三次都擊不中目標的概率是，從而可得出，然后解出的值即可．【解答】解：“至少一次擊中目標”的對立事件是“三次都擊不中目標”，設射擊一次，擊中目標的概率為，則：，解得．故選：．【點評】本題考查了，，獨立時，（A）（B），考查了計算能力，屬于基礎題．四．條件概率與獨立事件（共3小題）24．（2023?龍巖模擬）算盤是我國一類重要的計算工具．如圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左前四位分別表示個位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1，即五粒下珠的代表數(shù)值等于同組一粒上珠的代表數(shù)值，例如，個位撥動一粒上珠至梁上，十位未撥動，百位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字105，現(xiàn)將算盤的千位撥動一粒珠子至梁上，個位、十位、百位至多撥動一粒珠子至梁上，其它位置珠子不撥動．設事件“表示的四位數(shù)為偶數(shù)”，事件“表示的四位數(shù)大于5050”，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，列舉出所有基本事件，進而求出（A），，再利用條件概率公式求解即可．【解答】解：算盤的千位撥動一粒珠子至梁上，個位、十位、百位至多撥動一粒珠子至梁上，其它位置珠子不撥動．基本事件為：1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14種，事件“表示的四位數(shù)為偶數(shù)”，則（A），事件“表示的四位數(shù)大于5050”，則，所以．故選：．【點評】本題主要考查了條件概率的概率公式，屬于基礎題25．（2022?福州模擬）一個籠子里關(guān)著10只貓，其中有4只黑貓、6只白貓．把籠子打開一個小口，使得每次只能鉆出1只貓．貓爭先恐后地往外鉆．如果10只貓都鉆出了籠子，事件表示“第只出籠的貓是黑貓”，，2，，10，則A． B． C． D．【分析】10只貓先后出籠的順序為，第只出籠的貓是貓，即可先從4只黑貓中選出已知，而其余9個位置的貓們可任意排列，即可得到，對于，事件表示第1，2只出籠的貓都是黑貓，即可求解判斷；對于，事件表示第1只或第2只出籠的貓是黑貓，則根據(jù)，即可求解判斷；對于，結(jié)合條件概率公式求解．【解答】解：由題意得，對于，事件表示第1，2只出籠的貓都是黑貓，則，故錯誤；對于，事件表示第1只或第2只出籠的貓是黑貓，則，故正確；對于，，故正確；對于，事件表示第2，10只出籠的貓是黑貓，則，，故正確．故選：．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查古典概型、條件概率等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．26．（2023?福州模擬）利率變化是影響某金融產(chǎn)品價格的重要因素經(jīng)分析師分析，最近利率下調(diào)的概率為，利率不變的概率為．根據(jù)經(jīng)驗，在利率下調(diào)的情況下該金融產(chǎn)品價格上漲的概率為，在利率不變的情況下該金融產(chǎn)品價格上漲的概率為．則該金融產(chǎn)品價格上漲的概率為0.64．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合全概率公式，即可求解．【解答】解：由題意可知，該金融產(chǎn)品價格上漲的概率為．故答案為：0.64．【點評】本題主要考查全概率公式，屬于基礎題．三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）：一．互斥事件的概率加法公式（共1小題）1．（2023?鯉城區(qū)校級模擬）甲箱中有2個白球和1個黑球，乙箱中有1個白球和2個黑球．現(xiàn)從甲箱中隨機取兩個球放入乙箱，然后再從乙箱中任意取出兩個球．假