人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步練習(xí) 第二十八章余弦、正切（章末測(cè)試）（原卷版+解析）

28.1.2余弦、正切

基礎(chǔ)篇

一、單選題：

1.在「ABC中，己知AC=3,3C=4,AB=5,那么下列結(jié)論正確的是（）

333

A.sinA=—B.cosA=-C.tanA=-D.以上均不正確

454

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓交x軸于48兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,P（a⑼

為第一象限內(nèi)圓上一點(diǎn)，連接OP,貝UcosN尸OA的值為（）

,ba

A.aB.bC.—D.一

ab

3.如圖，在.ABC中，ZACB=90°,CDLAB于D,若AC=2A/LAB=3直,貝han/BCD的值為()

垃

A.V2B

2C-TD-T

4.在正方形網(wǎng)格中，△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖，則cosB的值為（）

C.D.2

2

5.如圖，A5是，。的直徑，AB=13,AC=5,則tanNADC=()

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系系中，直線y=/x+2與X軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,與反比例函數(shù)y=S

在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)5,連接80.若S.BC=2,tanNBOC=g,則網(wǎng)的值是（）

7.如圖，在RSABC中，NACB=90。，cosA=g,點(diǎn)。是42邊的中點(diǎn)，以C。為底邊在其右側(cè)作等腰三

DF

角形COE,使/C￡）E=NA,則=的值為（）

E

ADB

A.-B.0C.姮D.2

22

二、填空題：

8.RtAABC中，ZC=90°,tanA=2,則cosA的值為.

3_

9.已知ABC中，ZC=90°,cosA=~,AC=6,那么A3的長是

3

10.如圖，在RtZXABC中，NC=90。，點(diǎn)。在3c上，AD=BC=5fcosZADC=-,則tanB的值是

11.如圖，在的ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=8,分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于的長為半徑畫

2

弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線交BC于點(diǎn)。，設(shè)=則cosa=.

3

12.如圖，矩形ABC。中，OE_LAC于點(diǎn)E,ZADE=a,cosa=~,AB=4,AD長為

13.如圖，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=23C,分別以AC、3c為邊在線段A2的同側(cè)作正方形ACDE、BCFG,

連接EC、EG,則tanNCEG=

14.如圖，在ABC中，ZC=90?,?A60?,點(diǎn)。是A2上一點(diǎn)，過。作。E_LAB交8C于E,作DF〃AC

交于若AC=AO=3,則EF=.

E

三、解答題:

24

15.如圖，已知ABC中，AB=12,ZB=30°,tanC=—,邊AB的垂直平分線分別交A3、8C于點(diǎn)。、

7

E.求線段CE的長.

3

16.如圖，在△ABC中，4。上BC于點(diǎn)。，若A￡>=6,BC=12,tanC=-，求:

2

(1)C。的長

(2)cosB的值

提升篇

324

1.如圖，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形O4C5是菱形，03在X軸的正半軸上,cosZAOB=匚反比例函數(shù)y=—在

5x

第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,與3C交于點(diǎn)尸，貝必4。尸的面積等于()

X

A.15B.20C.30D.40

3

2.如圖，在RtABC中，ZC=90°,cosB=-,將ABC繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到,且使得&恰好落在

A.-B.—C.—D.—

5201020

3

3.如圖，在矩形ABC。中，BC=6,E是的中點(diǎn)，連接AE,tanZBAE--,P是AO邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿過

5.如圖所示，AB=4,BC=8,AB于點(diǎn)8,點(diǎn)。是線段8c上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ADLDE于點(diǎn)D,

3

tanZZ)AE=-,連接CE,則CE長的最小值是______.

4

6.如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)4,3在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)丫=8在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,

x

3

交BC于點(diǎn)E.若AB=6,CE=28E,tanNAO。=—,則左的值為___________.

4

7.如圖，已知矩形ABC。中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)A作交C8的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證：AE=AC；

3

⑵若cos/E=w，CE=12,求矩形ABC。的面積.

8.如圖,AB為〈。的直徑，點(diǎn)C在。上，過點(diǎn)C作(O切線C。交8A的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)。作0E〃AC

交切線。C于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.

⑴求證：ZB=NE；

4

⑵若鉆=10,COSB=-,求?！甑拈L.

28.1.2余弦、正切

1.在JlBC中，已知AC=3,BC=4,AB=5f那么下列結(jié)論正確的是（）

A.sinA=—B.cosA=—C.tanA——D.以上均不正確

454

【答案】B

【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷一ABC的形狀，再根據(jù)三角函數(shù)的定義依次分析各項(xiàng)

即可

【詳解】V32+42=52

???是直角三角形

,BC4,AC3BC4

..sinA4=----=—,cosA=-----=—,tanAA=-----=—

AB5AB5AC3

故選：B

【點(diǎn)睛】直角三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)平面圖形中極為重要的知識(shí)點(diǎn)，與各個(gè)

知識(shí)點(diǎn)結(jié)合極為容易，是中考中的熱點(diǎn)，在各種題型中均有出現(xiàn)，需多加關(guān)注

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓交x軸于A,B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)

坐標(biāo)為（1,0）,P（a⑼為第一象限內(nèi)圓上一點(diǎn)，連接。尸，貝UcosNPOA的值為（）

Ax

【答案】A

【分析】由計(jì)算cos/POA可知，做PM_LQ4于點(diǎn)A7,再結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)和圓的半徑相等,

即可求解.

【詳解】做于點(diǎn)M

A（l,0）

:.OA=1

點(diǎn)A、點(diǎn)P在以。為圓心的圓上

OP=OA=1

點(diǎn)P（eb）在第一象限，且尸

:.OM=a

/ccaOMa

cosZPOA=---=—=a

OP1

故答案選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦值的求法、圓的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)知識(shí)考查，難度不大.解

題的關(guān)鍵是掌握余弦值的求法.

3.如圖，在ABC中，ZACB=90°,CDLA3于。，若AC=2括，43=3后，則tan/BCD

的值為（）

A.V2B.立C.逅D.立

233

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理證明/3CD=/A,求tanA即可.

【詳解】解：由勾股定理知，BC2+AC2=AB2,

：.BC=43用-（2用=瓜-

根據(jù)同角的余角相等，NBCD=ZA,

tan/BCD=tanZA=,

AC2

故選B.

【點(diǎn)睛】本題利用了等角進(jìn)行轉(zhuǎn)換求解，考查三角函數(shù)，準(zhǔn)確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

4.在正方形網(wǎng)格中，AABC在網(wǎng)格中的位置如圖，則cosB的值為（）

B.邁

【答案】A

【分析】在直角△￡?￡（中，利用勾股定理即可求得班的長，然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可

求解.

【詳解】如圖，

廠加：\D：C：""i

.L..J_?.

在直角AEBD中，BD=2,ED=4,

EB=y/Blf+ED1=722+42=275>

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定

義，轉(zhuǎn)化成直角三角形的邊長的比.

5.如圖，是的直徑，AB=13,AC=5,則tanNADC=（）

【答案】B

【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，ZADC=ZB,所以求出tan3,即可.

【詳解】解：4B為：。直徑，

ZACB=90°,

BC={1寸—5?=12,

又，ZADC=ZB（同弧所對(duì)圓周角相等）

AC*5

tanZADC=tanB=——=—,

BC12

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)：ZADC=AB,利用轉(zhuǎn)

化方法求解.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系系中，直線y=Kx+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,與反

比例函數(shù)y=&在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B,連接30.^SOBC=2,tanZBOC=l則公

X2

的值是（）

【答案】c

【分析】首先根據(jù)直線求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)△BOC的面積求得2。的長，然后利用

正切函數(shù)的定義求得的長，從而求得點(diǎn)2的坐標(biāo)，求得結(jié)論.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)8作軸于3,

:直線y=^x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,

.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）,

：.OC=2,

,:S?BC=LOC.BD=2,

ZACZDC2

：.BD=2,

VtanXBOC=—,

2

,BD_1

??而一'，

00=4,

???點(diǎn)5的坐標(biāo)為（2,4）,

???反比例函數(shù)y=2在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B,

X

.,.左2=2x4=8,

故選C.

y

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)正切值求邊長，解題的關(guān)鍵是

仔細(xì)審題，能夠求得點(diǎn)8的坐標(biāo).

7.如圖，在放AABC中，NACB=90。，cosA=1,點(diǎn)。是AB邊的中點(diǎn)，以C。為底邊在

DF

其右側(cè)作等腰三角形CDE,使NC￡?E=/A,則—的值為（）

A.-B.6C.巫D.2

22

【答案】A

【分析】根據(jù)cosA=g,求出AB=3AC,由直角三角形斜邊上的中線可得g

AB,然后證明△ECOS^ZMC,從而可得孚=之，整理即可得到解答.

ADAC

【詳解】在RtAABC中，ZACB=90°,cosA=1,

AT1

BPAB=3AC

AB3f

???NAC3=90。，點(diǎn)。是AB邊的中點(diǎn)，

：.CD=AD=DB=^ABf

：.ZA=ZDCA.

VZCDE=ZA,

???ZDCA=ZCDE,

???△0￡>￡；是等腰三角形，CE=DE,

：./ECD=/EDC,

：.ZECD=ZA,

：./\ECD^/\DAC,

.DECD

"AD"AC"

IAR

.DEAD2_3

"CD-AC_1-21

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形

的判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，靈活選用相似三角形是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：

8.白△"(7中，NC=90。，tanA=2,則cosA的值為.

【答案】與##2小

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義，可用AC表示BC,根據(jù)勾股定理，可得AC表示A2,再根

據(jù)余弦定理，可得答案.

【詳解】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,得AB為斜邊.

由tanA=—=2,得5c=2AC.

AC

在Rt^ABC中，ZC=90°,由勾股定理,

得AB=VAC2+BC2=亞AC，

ACACs/5

..cosAA=——=-=——=—,

AB45AC5

故答案為：q

【點(diǎn)睛】本題考查了互為余角三角函數(shù)關(guān)系，利用正切函數(shù)的定義、勾股定理得出AC表示

BC,AC表示A3是解題關(guān)鍵.

3

9.已知ABC中，ZC=90°,cosA=-,AC=6,那么A3的長是

【答案】10

【分析】根據(jù)余弦的定義：即鄰邊與斜邊的比，進(jìn)行解答即可.

【詳解】在RtABC中,

AC3

cosA=——=-,AC=6,

AB5

...AB=10,

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，熟知余弦的定義是解本題的關(guān)鍵.

3

10.如圖，在RtZXABC中，NC=90。，點(diǎn)。在5C上，AD=BC=5,cosZADC=-f則tan5

3

【分析】先由AO=BC=5,cosZAZ)C=-,得到CD=3,再由勾股定理求出AC=4,即

可求出tan5的值.

3

【詳解】解：AD=BC=5,cosZADC=-,

.CD3

??—―，

AD5

/.CD=3,

由勾股定理得：AC=^AD2-CD2=V52-32=4^

AC4

..tanBn==—

BC5f

4

故答案為：j.

【點(diǎn)睛】考查的是銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理，熟記三角函數(shù)的定義及勾股定理是解題

關(guān)鍵.

11.如圖，在RJABC中，ZC=90°,AC=4,BC=8,分別以點(diǎn)A、8為圓心，大于;A3

的長為半徑畫弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交8c于點(diǎn)。，設(shè)/B=a,貝|cosa=

【分析】根據(jù)勾股定理,結(jié)合已知條件,可求得AB=4石，再運(yùn)用角的余弦的定義求得cosa

【詳解】解：：在RJABC中，NC=90。，AC=4,BC=8,

AB2=AC2+BC2=4?+8?=80,

二AB=屈=4A/5,

VZB=a,在MABC中，ZC=90°,

BC

cosa=----

AB

'：BC=S,AB=475,

._82出

??cosoc——產(chǎn)

4V5

故答案為：羋.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角余弦的定義,準(zhǔn)確理解角的余弦的定義是解題的關(guān)鍵.

3

12.如圖，矩形A8CO中，DELAC于點(diǎn)E,/ADE=a,cosa=—,A8=4,AO長為

【分析】將已知角度的三角函數(shù)轉(zhuǎn)換到所需要的三角形中，得到NAOE=NOCE=a,求出

AC的值，再由勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】VZADC=ZAED=90°,ZDAE+ZADE=ZADE+ZCDE=90°

：.ZDAE=ZCDE

又?:ZDCE+ZCDE=90°

：.ZADE=ZDCE=a

3CD

??cosex,

5-AC

又矩形ABCD中AB=CD=4

20

??AC——

3

在AADC中滿足勾股定理有

20

AD=AC2-CD2=

故答案為：T

【點(diǎn)睛】本題考查了已知余弦長求邊長，將已知余弦長轉(zhuǎn)換到所需要的三角形中是解題的關(guān)

鍵.

13.如圖，點(diǎn)C在線段上，且AC=23C,分別以AC、為邊在線段A3的同側(cè)作正

方形ACDE、BCFG,連接ECEG,貝！ItanNCEG=.

【答案】1##0.5

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案.

【詳解】解：連接CG,

在正方形ACDE、3CFG中，ZECA=ZGCB=45°,

：.ZECG=90°,

,:AC=2BC,

設(shè)AC=2a,BC=a,

，CE=2缶，CG=4ia，

i

tanZC￡G=—=-,

EC2

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查正方形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義,

本題屬于基礎(chǔ)題型.

14.如圖，在.ABC中，ZC=90?,?A60?,點(diǎn)。是AB上一點(diǎn)，過。作。ELA8交8C

于E,作交BC于?若AC=4D=3,則所=.

E

【答案】B

2

【分析】先求出NB=30。，由此求出瓦九DF,利用勾股定理求出3?利用三角函數(shù)求出

BE,由此得到答案.

【詳解】解：在ABC中，ZC=90°,ZA=60°,

ZB=30°,

：.AB=2AC=6,

???A￡>=3,

：.BD=3f

'：DF//AC,

：.ZDFB=ZC=90°,

；?DF=-BD=-,BF=^BD2-DF2=^~,

222

'：DE±AB,

：.ZBDE=90°,

：?EF=BE-BF=4

2

故答案為：走.

2

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，銳角三角函數(shù)，直角三角形30度角的性質(zhì)，熟記各定理是解

題的關(guān)鍵.

三、解答題：

24

15.如圖，已知ABC中，AB=12,/3=30。，tanC=亍，邊AB的垂直平分線分別交A3、

3c于點(diǎn)D、E.求線段CE的長.

A

D

BEC

【答案】2^/3+—

4

【分析】過A作AH_L5C,在中，因?yàn)镹3=30。，AB=12,得至U4/=6,BH=66,

AH77

在RtACH中，由tanC=——=一，得到C〃=—,從而得到8C=B//+C"=66+」，再

CH744

結(jié)合￡>E垂直平分A3,得到8O=；A8=6,DEIAB,在Rt△應(yīng)況1中，根據(jù)

cosB=—=^,得至1」85=46,進(jìn)而根據(jù)圖形上線段關(guān)系得到

BE2

CE=BC-B￡=6A/3+--4A^=2A/3+-.

44

【詳解】過A作垂足為點(diǎn)”，如圖所示:

在RtZ\A5"中，ZB=30°,AB=\2,

：.AH=6,BH=60

在RtAC"中，tanC=—=—,

CH7

：.CH=~7,

4

/.BC=BH+CH=6y/3+-,

4

DE垂直平分AB,

/.BD=-AB=6,DEJ.AB,

2

在中，cosB=—=—,

BE2

/.BE=4收

：.CE=BC—BE=6C+——473=273+-.

44

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)求線段長問題，涉及含30。角的直角三角形性質(zhì)、正切函數(shù)、垂

直平分線的性質(zhì)、余弦函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握三角函數(shù)求線段長是解決問題的關(guān)鍵.

3

16.如圖，在中，AD上于點(diǎn)。，若4。=6,BC=12,tanC=-,求:

2

(1)0)的長

(2)cosB的值

【答案】(1)4

(2)?

【分析】(1)直接在放AADC中根據(jù)正切的定義求解即可；

(2)先求出2。的長，再利用勾股定理求出的長，最后根據(jù)余弦的定義求解即可.

(1)

解：VADXBC,

ZAZ)C=90°,

4n3

***在Rt￡\ADC中，tanC=二—,

CD2

：.CD=-AD=4；

3

(2)

解：由(1)得CD=4,

:.BD=BC-CD=8,

在向△A3。中，由勾股定理得：AB=y/AD2+BD2=10-

.R_BD_4

??cosB=----=—.

AB5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，正確求出CD的長是解題的關(guān)鍵.

提升篇

“3

1.如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形O4C3是菱形，在x軸的正半軸上，cosNAOB二二反比

24

例函數(shù)》=一在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4與8C交于點(diǎn)孔貝!UA0歹的面積等于()

x

z

o

A.15B.20C.30D.40

【答案】B

【分析】過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)設(shè)。4=〃,通過解直角三角形找出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合反

比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出。的值，再根據(jù)四邊形OAC5是菱形、點(diǎn)尸在邊5C

上，即可得出S菱形O8C4，結(jié)合菱形的面積公式即可得出結(jié)論.

【詳解】解：過點(diǎn)A作4W_L尤軸于點(diǎn)如圖所示.

在RfAOAM中，ZAW=90°,OA=a,cosZAOB=|,

3__________4

922=a,

/.OM=OAcosZAOB=—afAM=y/oA-OM~^

一34

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（g。，

24

??,點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，

x

34

—〃x—〃=24,

55

解得：〃二50,或〃=-5&（舍去）.

：.OM=3y/2,AM=4叵,OB=OA=5垃.

;四邊形08cA是菱形，點(diǎn)尸在邊上，

**?SAAOF—5S菱形OBCA=2OB-AM=~x5垃x4A/2=20.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題

的關(guān)鍵是找出5根。尸=^S菱形O8C4?

3

2.如圖，在RtABC中，NC=90。，cosB=-,將一ABC繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到A笈C,且

Drr）

使得匕恰好落在AB邊上，A笈與AC交于點(diǎn)D,則%的值為（）

【答案】B

【分析】如圖（見解析），設(shè)2C=3a（a>0）,先根據(jù)余弦三角函數(shù)得出BE的長，再根據(jù)等

腰三角形的三線合一可得班'的長，從而可得A"的長，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=4a,

ZA=ZA,,最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得等=養(yǎng)，由此即可得出答案.

【詳解】如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E

「在RtABC中，ZC=90°,cosB=-=-

AB5

二.可設(shè)BC=3a（a>0）,則AB=5a,AC=JAB2一3c?=4a

..BCg是等腰三角形

:.BB'=2BE（等腰三角形的三線合一）

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，B'C=BC=3a,A'C=AC=4a,ZA=ZA

BFBF3

在RtABCE中,cosB=—,即——=-

BC3a5

解得55二9三a

—=學(xué)

1Qn7a

ABf=AB-BBf=5a----=

55

JZA=ZAf

在VAST）和ZWCD中,

[ZADBr=ZA'DC

/.ABrD-ACD

.b，d_ab，_7y。_7

*CD-AT--20

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了余弦三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，運(yùn)用余弦三角函數(shù)求出BE的長是解題關(guān)鍵.

3

3.如圖，在矩形4BC￡）中，BC=6,E是BC的中點(diǎn)，連接AE,tanZBAE=-,P是A。邊

4

上一動(dòng)點(diǎn)，沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)。落在AE上的點(diǎn)M處，當(dāng)是直角三

c.白或日D.3或更

3737

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD,AD=BC,NB=90。，根據(jù)勾股定理求得AE,當(dāng)4

是直角三角形時(shí)，分兩種情況①當(dāng)乙4。7=90。時(shí)②當(dāng)/”。=90。時(shí)分類計(jì)算即可;

【詳解】???四邊形ABC。是矩形,

：.AB=CD,ZB=90°,

；BC=6,E是BC的中點(diǎn),

：.BE^3,

4

?；tanZAEB=-

3

AB=BE-tanZAEB-4,

ACD=4,

在RtAABE中，AE=y/AB2+BE2=732+42=5，

?.?四邊形ABC。是矩形，

/.AD=BC=6,

由折疊可知，PD=PD,

設(shè)PD=x,則PD'—x,A尸=6-x,

當(dāng)△人尸。是直角三角形時(shí)，

①當(dāng)NAZ)7=90。時(shí)，

???ZAD'P=ZB=90°f

*：AD//BC,

：.ZPAD'=ZAEBf

：.AABE^APD'A,

.APPDf

**

.6-x_x

.8

.,x=—,

3

8

：.PD=~；

3

②當(dāng)NAPD=90。時(shí)，

,

???ZAPD=ZB=90°f

VZPAE=/AEB,

：.LAPDs^EBA,

.APPDf

??蔗―訪‘

.6-x_x

??=一,

34

綜上所述：當(dāng)△AP。是直角三角形時(shí)，PD的值為|或日；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與

性質(zhì)，牢固掌握以上知識(shí)點(diǎn)并準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，A3是的直徑，DA,0c與。相切于點(diǎn)A,C.若=則/ABC的正

切值為______

B-----C

【答案】2

【分析】根據(jù)切線長定理得到ZM=OC,/ADO=/CDO,根據(jù)切線的性質(zhì)得到。,

證明3C〃OD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/AOD=/4BC,根據(jù)正切的定義計(jì)算即可.

【詳解】解：連接AC,0D,

DA,0c與一。相切于點(diǎn)A、C,

:.DA^DC,ZADO=NCDO,OA1AD,

.-.ODLAC,

回是〈。的直徑，

:.ZACB=90°,

BC//OD,

ZAOD=ZABC,

AT)

在RfOAD中，tanNAOD=-----=2,

OA

tanZABC=2,

B'~P

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、解直角三角形，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是

解題的關(guān)鍵.

5.如圖所示，AB=4,BC=8,AB13C于點(diǎn)8,點(diǎn)。是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ADLOE

3

于點(diǎn)。，tanZ￡)AE=-,連接CE,則CE長的最小值是______.

4

【答案】3

【分析】在BC上截取3Q=3,構(gòu)造相似，可得出NAQE=90。，過C點(diǎn)作CHLE?？傻贸?/p>

△ABQs^QHC即可求出CE的長

【詳解】解：在2C上截取8。=3,貝IJCQ=5,

及△ABQ中，BQ:AB:AQ=3:4:5,

3

*/tan/DAE=—,

4

二在RfAADE中，DE:AD:AE=3:4:5,

：.AEADsZXQAB

NQAB=NEAD,

AQAE

：.NBAD=NQAE,

：.ABADs/\QAE,

/.ZAQE=90°,

/EQC的角度固定不變，

...CH為CE的最小值.

過C點(diǎn)作CHLEQ

：.ZCHQ=ZABQ=90°

■；ZAQE=90°

：.ZCQH=ZQAB

：.叢ABQS^QRC,

?：CQ=5,

：.CH=3,

CE的最小值是3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似的性質(zhì)與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

k

20.如圖所示，矩形A5CD的頂點(diǎn)A,3在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y二—在第一象限

x

3

內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)。，交于點(diǎn)E.若A5=6,CE=2BE^ZAOD=-,則上的值為

【答案】彳

ATJ3

【分析】由tanZA8=市可設(shè)他=3"04=%’表示出點(diǎn)仄E的坐標(biāo)，由反比

例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)E列出關(guān)于“的方程，解之求得a的值即可得出答案.

403

【詳解】解：???tanNAOO=K=：,

OA4

設(shè)