2022-2023學(xué)年上海市三校（金山中學(xué)、閔行中學(xué)、嘉定一中）高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市三校（金山中學(xué)、閔行中學(xué)、嘉定一中）2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1.若集合，則實(shí)數(shù)__________〖答案〗〖解析〗由，所以，所以.故〖答案〗為：.2.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗由向量，，因?yàn)?，所以，解?故〖答案〗為：.3.函數(shù)的最小正周期是________〖答案〗〖解析〗函數(shù)，函數(shù)的最小正周期為.故〖答案〗為：.4.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，所?故〖答案〗為：.5.已知某圓錐的高為4，底面積為，則該圓錐的側(cè)面積為___.〖答案〗〖解析〗圓錐底面積為，則底面半徑為3，又圓錐的高為4，則圓錐的母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積為.故〖答案〗為：.6.計(jì)算_______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.7.已知函數(shù)，則__________．〖答案〗〖解析〗，，.故〖答案〗為：.8.已知是雙曲線與拋物線的一個(gè)共同焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率的大小為______.〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)為，也是雙曲線的焦點(diǎn)，所以，所以，即，所以雙曲線的離心率為.故〖答案〗為：.9.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的值為________.〖答案〗3〖解析〗根據(jù)題意，，得，

由題意可知，解得或，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，顯然是函數(shù)的極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，沒有極值，不符合題意，舍去，

故〖答案〗為：3.10.設(shè)、、為空間中三條不同的直線，若與所成角為，與所成角為，則與所成角的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗不妨設(shè)、、相交于點(diǎn)，如圖，根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)圓錐，其中底面圓心為，軸所在直線為，小圓錐的母線所在直線為，軸截面；大圓錐的母線所在直線為，軸截面，且在一條直線上.由題意，，由圖可知，當(dāng)移動到，移動到時(shí)，可得與所成角的最小，最小值為.當(dāng)移動到，移動到時(shí)，可得與所成角的最大，最大值為.所以與所成角的取值范圍為.故〖答案〗為：.11.已知正數(shù)、滿足，則的最小值為___.〖答案〗〖解析〗正數(shù)、滿足，則，則，又時(shí)，，則，則的最小值為.故〖答案〗為：.12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點(diǎn)到兩直線與的距離之和為，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗將直線與的方程化為一般式為，，所以到兩直線的距離之和為：，所以①.當(dāng)時(shí)，①式變形為：；當(dāng)時(shí)，①式變形為：；當(dāng)時(shí)，①式變形為：；當(dāng)時(shí)，①式變形為：；則動點(diǎn)為如圖所示的四邊形的邊，的幾何意義為正方形邊上任意一點(diǎn)與連線的斜率.，，，.則的取值范圍是：.故〖答案〗為：.二、選擇題（本大題共4題、滿分20分）13.設(shè)為直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗B〖解析〗A中，也可能相交；B中，垂直與同一條直線的兩個(gè)平面平行，故正確；C中，也可能相交；D中，也可能在平面內(nèi).14.在中，設(shè)三個(gè)內(nèi)角A、、的對邊依次為、、，則“”是“”成立的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗C〖解析〗由，可得，則，又，則，以上步步可逆.則“”是“”成立的充要條件.故選：C.15.設(shè)，若函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，由圖知，兩個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)為，則，由圖知單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則，則，∴，由圖知，∴，故選：D．16.已知數(shù)列滿足，且對任意的正整數(shù)，都有，若對任意的正整數(shù)成立，則正整數(shù)的最小值為（）A.2021 B.2022 C.2023 D.2024〖答案〗B〖解析〗由數(shù)列滿足，且對于任意的正整數(shù)，都有，可得，若時(shí)，即，可得，解得或，不符合題意，舍去；若時(shí)，可得，解得，因?yàn)椋圆环项}意，舍去；所以，所以，即為，則，若正整數(shù)使得對任意正整數(shù)成立，則，所以正整數(shù)的最小值為.故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求的值；（2）求的通項(xiàng)公式.解：（1）.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，的通項(xiàng)公式為.18.已知在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，.（1）求證：直線平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鏋檎叫危詾榈闹悬c(diǎn)，所以，在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槊?，面，所以平?（2）解：因?yàn)槠矫妫瑸檎叫?，平面，所以，兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，所以，，即，令，則，，即，，設(shè)點(diǎn)P到平面MAC的距離為d，所以，所以，點(diǎn)到平面的距離為.19.為慶祝神舟十四號載人飛船返回艙成功著陸，某學(xué)校開展了航天知識競賽活動，共有100人參加了這次競賽，已知所有參賽學(xué)生的成績均位于區(qū)間，將他們的成績（滿分100分）分成五組，依次為、、、、，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出的值，并用各區(qū)間的中間值估計(jì)這100人的競賽成績的平均數(shù)；（2）采用按比例分配的分層抽樣的方法，從競賽成績在（即第四、五組內(nèi)）的學(xué)生中抽取了12人作為航天知識宣講使者.現(xiàn)從這12名使者中隨機(jī)抽取1人作為組長，求這名組長的競賽成績在內(nèi)的概率.解：（1）由，解得；這100人的競賽成績的平均數(shù)估計(jì)為：.（2）成績在的頻率為0.25，成績在的頻率為0.05，所以競賽成績在，兩個(gè)組的人數(shù)之比為，采用分層抽樣的方法從中抽取人，所以成績在抽得的人數(shù)為人，成績在抽得的人數(shù)為人.現(xiàn)從這12名使者中隨機(jī)抽取1人作為組長，則這名組長的競賽成績在內(nèi)的概率為.20.把右半個(gè)橢圓和圓弧合成的封閉曲線稱為“曲圓”，“曲圓”與軸的左、右交點(diǎn)依次記為、，與軸的上、下交點(diǎn)依次記為、，過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與“曲圓”交于、兩點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，求的周長；（2）當(dāng)、兩點(diǎn)都在半橢圓時(shí)，是否存在以為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，求的面積的最大值.解：（1）因?yàn)閳A弧的左頂點(diǎn)，剛好是半橢圓的左焦點(diǎn)，所以點(diǎn)與重合時(shí)，的周長為；（2）假設(shè)存在直線，因?yàn)?、兩點(diǎn)都在半橢圓，或，所以，聯(lián)立得，設(shè)、，則恒成立.所以，.以為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，即，代入韋達(dá)定理得，即，解得，所以不存在直線，滿足題意.（3）①由(2)知，當(dāng)、兩點(diǎn)都在半橢圓時(shí)，設(shè)直線的方程為，當(dāng)在第一象限時(shí)，.且，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)脮r(shí)等號成立，即的面積為；②當(dāng)、兩點(diǎn)分別在半橢圓與圓弧上時(shí)，此時(shí)當(dāng)與重合時(shí)取得最大值，此時(shí).綜上，的面積的最大值為3.21.已知曲線，在點(diǎn)處的切線為，若曲線上存在異于的點(diǎn)，使曲線在點(diǎn)處的切線與重合，則稱為曲線關(guān)于的“公切點(diǎn)”；若曲線上存在，使曲線在處的切線與垂直，則稱為曲線關(guān)于的“正交點(diǎn)”.（1）求曲線關(guān)于的“正交點(diǎn)”；（2）若，，已知曲線上存在關(guān)于的“正交點(diǎn)”，求的取值集合；（3）已知，若對任意，曲線上都存在關(guān)于的“正交點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），，則，設(shè)的斜率為，的斜率為，的“正交點(diǎn)”，則，，，，即的“正交點(diǎn)”為.（2），設(shè)的斜率為，的斜率為，的“正交點(diǎn)”，，，同理，，因?yàn)?，所以，即，設(shè)，因，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以，同理，因?yàn)?，所以，即，則，又，所以.故的取值集合為.（3）設(shè)的斜率為，的斜率為，的“正交點(diǎn)”，，，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所以不存在這樣的點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，所以上式也不成?故的取值范圍為.上海市三校（金山中學(xué)、閔行中學(xué)、嘉定一中）2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1.若集合，則實(shí)數(shù)__________〖答案〗〖解析〗由，所以，所以.故〖答案〗為：.2.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗由向量，，因?yàn)?，所以，解?故〖答案〗為：.3.函數(shù)的最小正周期是________〖答案〗〖解析〗函數(shù)，函數(shù)的最小正周期為.故〖答案〗為：.4.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，所?故〖答案〗為：.5.已知某圓錐的高為4，底面積為，則該圓錐的側(cè)面積為___.〖答案〗〖解析〗圓錐底面積為，則底面半徑為3，又圓錐的高為4，則圓錐的母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積為.故〖答案〗為：.6.計(jì)算_______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.7.已知函數(shù)，則__________．〖答案〗〖解析〗，，.故〖答案〗為：.8.已知是雙曲線與拋物線的一個(gè)共同焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率的大小為______.〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)為，也是雙曲線的焦點(diǎn)，所以，所以，即，所以雙曲線的離心率為.故〖答案〗為：.9.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的值為________.〖答案〗3〖解析〗根據(jù)題意，，得，

由題意可知，解得或，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，顯然是函數(shù)的極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，沒有極值，不符合題意，舍去，

故〖答案〗為：3.10.設(shè)、、為空間中三條不同的直線，若與所成角為，與所成角為，則與所成角的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗不妨設(shè)、、相交于點(diǎn)，如圖，根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)圓錐，其中底面圓心為，軸所在直線為，小圓錐的母線所在直線為，軸截面；大圓錐的母線所在直線為，軸截面，且在一條直線上.由題意，，由圖可知，當(dāng)移動到，移動到時(shí)，可得與所成角的最小，最小值為.當(dāng)移動到，移動到時(shí)，可得與所成角的最大，最大值為.所以與所成角的取值范圍為.故〖答案〗為：.11.已知正數(shù)、滿足，則的最小值為___.〖答案〗〖解析〗正數(shù)、滿足，則，則，又時(shí)，，則，則的最小值為.故〖答案〗為：.12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點(diǎn)到兩直線與的距離之和為，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗將直線與的方程化為一般式為，，所以到兩直線的距離之和為：，所以①.當(dāng)時(shí)，①式變形為：；當(dāng)時(shí)，①式變形為：；當(dāng)時(shí)，①式變形為：；當(dāng)時(shí)，①式變形為：；則動點(diǎn)為如圖所示的四邊形的邊，的幾何意義為正方形邊上任意一點(diǎn)與連線的斜率.，，，.則的取值范圍是：.故〖答案〗為：.二、選擇題（本大題共4題、滿分20分）13.設(shè)為直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗B〖解析〗A中，也可能相交；B中，垂直與同一條直線的兩個(gè)平面平行，故正確；C中，也可能相交；D中，也可能在平面內(nèi).14.在中，設(shè)三個(gè)內(nèi)角A、、的對邊依次為、、，則“”是“”成立的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗C〖解析〗由，可得，則，又，則，以上步步可逆.則“”是“”成立的充要條件.故選：C.15.設(shè)，若函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，由圖知，兩個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)為，則，由圖知單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則，則，∴，由圖知，∴，故選：D．16.已知數(shù)列滿足，且對任意的正整數(shù)，都有，若對任意的正整數(shù)成立，則正整數(shù)的最小值為（）A.2021 B.2022 C.2023 D.2024〖答案〗B〖解析〗由數(shù)列滿足，且對于任意的正整數(shù)，都有，可得，若時(shí)，即，可得，解得或，不符合題意，舍去；若時(shí)，可得，解得，因?yàn)椋圆环项}意，舍去；所以，所以，即為，則，若正整數(shù)使得對任意正整數(shù)成立，則，所以正整數(shù)的最小值為.故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求的值；（2）求的通項(xiàng)公式.解：（1）.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，的通項(xiàng)公式為.18.已知在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，.（1）求證：直線平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以為的中點(diǎn)，所以，在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槊?，面，所以平?（2）解：因?yàn)槠矫?，為正方形，平面，所以，兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，所以，，即，令，則，，即，，設(shè)點(diǎn)P到平面MAC的距離為d，所以，所以，點(diǎn)到平面的距離為.19.為慶祝神舟十四號載人飛船返回艙成功著陸，某學(xué)校開展了航天知識競賽活動，共有100人參加了這次競賽，已知所有參賽學(xué)生的成績均位于區(qū)間，將他們的成績（滿分100分）分成五組，依次為、、、、，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出的值，并用各區(qū)間的中間值估計(jì)這100人的競賽成績的平均數(shù)；（2）采用按比例分配的分層抽樣的方法，從競賽成績在（即第四、五組內(nèi)）的學(xué)生中抽取了12人作為航天知識宣講使者.現(xiàn)從這12名使者中隨機(jī)抽取1人作為組長，求這名組長的競賽成績在內(nèi)的概率.解：（1）由，解得；這100人的競賽成績的平均數(shù)估計(jì)為：.（2）成績在的頻率為0.25，成績在的頻率為0.05，所以競賽成績在，兩個(gè)組的人數(shù)之比為，采用分層抽樣的方法從中抽取人，所以成績在抽得的人數(shù)為人，成績在抽得的人數(shù)為人.現(xiàn)從這12名使者中隨機(jī)抽取1人作為組長，則這名組長的競賽成績在內(nèi)的概率為.20.把右半個(gè)橢圓和圓弧合成的封閉曲線稱為“曲圓”，“曲圓”與軸的左、右交點(diǎn)依次記為、，與軸的上、下交點(diǎn)依次記為、，過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與“曲圓”交于、兩點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，求的周長；（2）當(dāng)、兩點(diǎn)都在半橢圓時(shí)，是