2022-2023學(xué)年四川省成都市天府新區(qū)太平中學(xué)高二下學(xué)期畢業(yè)班摸底測試數(shù)學(xué)試卷（理科）（一）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市天府新區(qū)太平中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期畢業(yè)班數(shù)學(xué)摸底測試（理科）（一）一、單選題(共60分）1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．14．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．5．某班有40位同學(xué)，將他們從01至40編號，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取5人參加文藝演出，抽出的編號從小到大依次排列，若排在第一位的編號是07，那么第四位的編號是（

）A．29 B．30 C．31 D．326．已知，若，則實數(shù)的值為（

）A． B．或 C． D．不存在7．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線的一條漸近線平行，且雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．8．若函數(shù)在在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．在正中，連接三角形三邊的中點，將它分成4個小三角形，并將中間的那個小三角形涂成白色后，對其余3個小三角形重復(fù)上述過程得到如圖所示的圖形．在內(nèi)隨機取一點，則此點取自白色部分的概率是（

）A． B． C． D．10．在連續(xù)五次月考中，甲?乙兩人的成績依次為甲：124，126，132，128，130乙：121，128，135，133，123則下列說法正確的是（

）A．乙的成績的極差小于甲的成績的極差B．乙的成績的中位數(shù)小于甲的成績的中位數(shù)C．甲的發(fā)揮比乙的發(fā)揮更為穩(wěn)定D．隨機取其中同一次成績，甲得分低于乙的概率為11．如圖，正方體的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為線段上的動點（不含端點），

①異面直線與AF所成角可以為②當(dāng)G為中點時，存在點E，F(xiàn)使直線與平面AEF平行③當(dāng)E，F(xiàn)為中點時，平面AEF截正方體所得的截面面積為④存在點G，使點C與點G到平面AEF的距離相等則上述結(jié)論正確的是（

）A．②③ B．②④ C．①③ D．①④12．已知函數(shù)的定義域為，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、填空題(共20分）13．已知向量，，則向量在向量方向上的數(shù)量投影為__________．14．已知函數(shù)，若曲線在點處的切線與直線平行，則__________．15．直線（為參數(shù)）上與點距離等于的點的是_________．16．已知為圓上一點，橢圓焦距為6，點關(guān)于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍為____________．三、解答題(共70分）17．已知函數(shù).(1)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求的最小值．

18．近年來，我國居民體重“超標(biāo)”成規(guī)模增長趨勢，其對人群的心血管安全構(gòu)成威脅，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)衡量人體胖瘦程度是否健康，中國成人的數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)是：為偏瘦；為正常；為偏胖；為肥胖．下面是社區(qū)醫(yī)院為了解居民體重現(xiàn)狀，隨機抽取了100個居民體檢數(shù)據(jù)，將其值分成以下五組：，，，，，得到相應(yīng)的頻率分布直方圖．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求的值，并估計該社區(qū)居民身體質(zhì)量指數(shù)的樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)；(2)現(xiàn)從樣本中利用分層抽樣的方法從，的兩組中抽取6個人，再從這6個人中隨機抽取兩人，求抽取到兩人的值不在同一組的概率．

19．如圖，在四棱錐中，，且，底面ABCD是邊長為2的菱形，．(1)證明：平面平面ABCD；(2)若，求平面PCD與平面PAD所成銳二面角的余弦值．20．已知橢圓過點，長軸長為.(1)求橢圓的方程及其焦距；(2)直線與橢圓交于不同的兩點，直線分別與直線交于點，為坐標(biāo)原點且，求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo)．

21．設(shè)，函數(shù)．(1)判斷的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論；(2)若，記的一個零點為，若，求證：．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)若，是曲線C上的兩個動點，且，求的取值范圍．

——★參考答案★——一、單選題1．C〖解析〗由題可得=，，所以，故選：C.2．D〖解析〗，，，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D．3．A〖解析〗如圖，先作出不等式組表示的可行域，由目標(biāo)函數(shù)，得，表示斜率，縱截距為的直線，因此結(jié)合圖形分析可知z在點A處取得最小值，聯(lián)立直線方程，解得，可得點A的坐標(biāo)為，所以.故選：A．

4．D〖解析〗因為在上單調(diào)遞減，所以，，又，即，所以.故選：D.5．C〖解析〗由題意，從40位同學(xué)，用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取5人參加文藝演出，可得組距為，因為排在第一位的編號是07，則第四位的編號是.故選：C.6．B〖解析〗由題意，，，即.當(dāng)，即時，，解得，滿足題意；當(dāng)，即時，，解得，滿足題意.所以或.故選：B.7．C〖解析〗因為直線與雙曲線的一條漸近線平行，所以，即，由直線，令，得，則雙曲線的一個焦點為，即半焦距，由，得，所以，所以雙曲線的方程為.故選：C.8．D〖解析〗因為，所以，依題意在上恒成立，所以，令，，因為在上單調(diào)遞增，則，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：D.9．B〖解析〗將中間白色三角形依規(guī)律分成4個小白色三角形，如圖所示，則共可分為16個相同的小三角形，白色部分有7個小三角形，黑色部分有9個小三角形，故在內(nèi)隨機取一點，則此點取自白色部分的概率是，故選：B．10．C〖解析〗A選項，甲的成績的極差為，乙的成績的極差為，故A選項錯誤；B選項，甲的成績的中位數(shù)為128，乙的成績的中位數(shù)為128，故B選項錯誤；C選項，，兩個人的平均成績相同，甲的成績的方差為，乙的成績的方差為，所以甲的發(fā)揮比乙穩(wěn)定，C選項正確；D選項，五次月考中，同一場次，甲比乙低分的有3次，所以概率為，D選項錯誤.故選：C.11．C〖解析〗對①：因為//，故與的夾角即為與的夾角，又當(dāng)與重合時，取得最大值，為；當(dāng)與點重合時，取得最小值，設(shè)其為，則，故；又點不能與重合，故，故①錯誤；對②：當(dāng)為中點時，存在分別為的中點，滿足//面，證明如下：取的中點為，連接，如下所示：

顯然//，又面面，故//面；又易得//，面面，故//面；又面，故面//面，又面，故//面，故②正確；對③：連接，如下所示：

因為////，故面即為平面截正方體所得截面；又，故該截面為等腰梯形，又，，故截面面積，故③正確；對④：連接，取其中點為，如下所示：

要使得點到平面的距離等于點到平面的距離，只需經(jīng)過的中點，顯然當(dāng)點分別為所在棱的中點時，不存在這樣的點滿足要求，故④錯誤.故選：C.12．D〖解析〗由題意得，，即，所以，即，又，所以，故，，可得，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減，所以的極大值為.簡圖如下：

所以，，.故選：D.二、填空題13．〖解析〗由題意可得：，所以向量在向量方向上的數(shù)量投影為.故〖答案〗為：.14．〖解析〗由題意知，所以曲線在處的切線斜率，所以，解得，故〖答案〗為：.15．，〖解析〗當(dāng)時對應(yīng)的點為，當(dāng)時對應(yīng)的點為.故〖答案〗為：，.16．〖解析〗圓關(guān)于直線對稱的圓為：，依題意可得圓與橢圓有交點，又橢圓的右焦點是圓的圓心，所以，且，又，所以，.故〖答案〗為：.三、解答題17．解：（1）函數(shù)的定義域為，，令，則或時，令，則時，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.18．解：（1）根據(jù)頻率分步直方圖可知組距為，所有矩形面積和為，所以，解得；因為，兩組頻率之和為，而的頻率為，故中位數(shù)在之間，設(shè)為，則，解得，即該社區(qū)居民身體質(zhì)量指數(shù)的樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)為.（2）由頻率分步直方圖可知的頻數(shù)為，的頻數(shù)為，所以兩組人數(shù)比值為，按照分層抽樣抽取人，則在，分別抽取人和人，記這組兩個樣本編號為，這組編號為，故從人隨機抽取人所有可能樣本的構(gòu)成樣本空間：設(shè)事件“從6個人中隨機抽取兩人，抽取到兩人的值不在同一組”則，故，即從這6個人中隨機抽取兩人，抽取到兩人的值不在同一組的概率為.19．（1）證明：連接DB交AC于點O，連接PO．因為ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O為BD的中點．因為PB＝PD，所以PO⊥BD．又因為AC，平面APC，且，平面APC，所以BD⊥平面APC．又平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD．（2）解：取AB中點M，連接DM交AC于點H，連接PH．因為，所以△ABD是等邊三角形，所以DM⊥AB．又因為PD⊥AB，，平面PDM，所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．由（1）知BD⊥PH，且，平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD．由ABCD是邊長為2的菱形，在△ABC中，，．由AP⊥PC，在△APC中，，所以．以O(shè)為坐標(biāo)原點，、分別為x軸、y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，所以，令得．設(shè)平面的法向量為，所以，令得．設(shè)平面與平面的夾角為．所以，，所以，平面與平面夾角的余弦值為．20．（1）解：由題得，所以橢圓的方程為，焦距為.（2）證明：如圖，

直線與橢圓方程聯(lián)立，化簡得，，即.設(shè),，,，則，．直線的方程為，則，直線的方程為，則，因為，所以+=0，所以，所以，把韋達(dá)定理代入整理得或，當(dāng)時，直線方程為，過定點，即點A，不符合題意，所以舍去.當(dāng)時，直線方程為，過定點.所以直線經(jīng)過定點.21．（1）解：，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，在處取得極小值也是最小值，，，即單調(diào)遞增，當(dāng)x趨于0時，趨于，，在內(nèi)存在唯一的零點，即的零點個數(shù)為1；（2）證明：令是減函數(shù)，，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，由知：；由（1）的討論知存在唯一的零點，當(dāng)時，，，，又，…①，其中，令，，則；即為，不等式等價于，其意義為：當(dāng)函數(shù)與函數(shù)的函數(shù)值相等時，比較對應(yīng)的自變量之間的大小關(guān)系；設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，是減函數(shù)，又，時，，即，時，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；即.22．解：（1）因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以，又，所以曲線的普通方程為，又，所以，所以，即曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）由，設(shè)，，則，，所以當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，取得最大值，所以的取值范圍為.四川省成都市天府新區(qū)太平中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期畢業(yè)班數(shù)學(xué)摸底測試（理科）（一）一、單選題(共60分）1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．14．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．5．某班有40位同學(xué)，將他們從01至40編號，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取5人參加文藝演出，抽出的編號從小到大依次排列，若排在第一位的編號是07，那么第四位的編號是（

）A．29 B．30 C．31 D．326．已知，若，則實數(shù)的值為（

）A． B．或 C． D．不存在7．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線的一條漸近線平行，且雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．8．若函數(shù)在在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．在正中，連接三角形三邊的中點，將它分成4個小三角形，并將中間的那個小三角形涂成白色后，對其余3個小三角形重復(fù)上述過程得到如圖所示的圖形．在內(nèi)隨機取一點，則此點取自白色部分的概率是（

）A． B． C． D．10．在連續(xù)五次月考中，甲?乙兩人的成績依次為甲：124，126，132，128，130乙：121，128，135，133，123則下列說法正確的是（

）A．乙的成績的極差小于甲的成績的極差B．乙的成績的中位數(shù)小于甲的成績的中位數(shù)C．甲的發(fā)揮比乙的發(fā)揮更為穩(wěn)定D．隨機取其中同一次成績，甲得分低于乙的概率為11．如圖，正方體的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為線段上的動點（不含端點），

①異面直線與AF所成角可以為②當(dāng)G為中點時，存在點E，F(xiàn)使直線與平面AEF平行③當(dāng)E，F(xiàn)為中點時，平面AEF截正方體所得的截面面積為④存在點G，使點C與點G到平面AEF的距離相等則上述結(jié)論正確的是（

）A．②③ B．②④ C．①③ D．①④12．已知函數(shù)的定義域為，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、填空題(共20分）13．已知向量，，則向量在向量方向上的數(shù)量投影為__________．14．已知函數(shù)，若曲線在點處的切線與直線平行，則__________．15．直線（為參數(shù)）上與點距離等于的點的是_________．16．已知為圓上一點，橢圓焦距為6，點關(guān)于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍為____________．三、解答題(共70分）17．已知函數(shù).(1)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求的最小值．

18．近年來，我國居民體重“超標(biāo)”成規(guī)模增長趨勢，其對人群的心血管安全構(gòu)成威脅，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)衡量人體胖瘦程度是否健康，中國成人的數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)是：為偏瘦；為正常；為偏胖；為肥胖．下面是社區(qū)醫(yī)院為了解居民體重現(xiàn)狀，隨機抽取了100個居民體檢數(shù)據(jù)，將其值分成以下五組：，，，，，得到相應(yīng)的頻率分布直方圖．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求的值，并估計該社區(qū)居民身體質(zhì)量指數(shù)的樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)；(2)現(xiàn)從樣本中利用分層抽樣的方法從，的兩組中抽取6個人，再從這6個人中隨機抽取兩人，求抽取到兩人的值不在同一組的概率．

19．如圖，在四棱錐中，，且，底面ABCD是邊長為2的菱形，．(1)證明：平面平面ABCD；(2)若，求平面PCD與平面PAD所成銳二面角的余弦值．20．已知橢圓過點，長軸長為.(1)求橢圓的方程及其焦距；(2)直線與橢圓交于不同的兩點，直線分別與直線交于點，為坐標(biāo)原點且，求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo)．

21．設(shè)，函數(shù)．(1)判斷的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論；(2)若，記的一個零點為，若，求證：．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)若，是曲線C上的兩個動點，且，求的取值范圍．

——★參考答案★——一、單選題1．C〖解析〗由題可得=，，所以，故選：C.2．D〖解析〗，，，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D．3．A〖解析〗如圖，先作出不等式組表示的可行域，由目標(biāo)函數(shù)，得，表示斜率，縱截距為的直線，因此結(jié)合圖形分析可知z在點A處取得最小值，聯(lián)立直線方程，解得，可得點A的坐標(biāo)為，所以.故選：A．

4．D〖解析〗因為在上單調(diào)遞減，所以，，又，即，所以.故選：D.5．C〖解析〗由題意，從40位同學(xué)，用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取5人參加文藝演出，可得組距為，因為排在第一位的編號是07，則第四位的編號是.故選：C.6．B〖解析〗由題意，，，即.當(dāng)，即時，，解得，滿足題意；當(dāng)，即時，，解得，滿足題意.所以或.故選：B.7．C〖解析〗因為直線與雙曲線的一條漸近線平行，所以，即，由直線，令，得，則雙曲線的一個焦點為，即半焦距，由，得，所以，所以雙曲線的方程為.故選：C.8．D〖解析〗因為，所以，依題意在上恒成立，所以，令，，因為在上單調(diào)遞增，則，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：D.9．B〖解析〗將中間白色三角形依規(guī)律分成4個小白色三角形，如圖所示，則共可分為16個相同的小三角形，白色部分有7個小三角形，黑色部分有9個小三角形，故在內(nèi)隨機取一點，則此點取自白色部分的概率是，故選：B．10．C〖解析〗A選項，甲的成績的極差為，乙的成績的極差為，故A選項錯誤；B選項，甲的成績的中位數(shù)為128，乙的成績的中位數(shù)為128，故B選項錯誤；C選項，，兩個人的平均成績相同，甲的成績的方差為，乙的成績的方差為，所以甲的發(fā)揮比乙穩(wěn)定，C選項正確；D選項，五次月考中，同一場次，甲比乙低分的有3次，所以概率為，D選項錯誤.故選：C.11．C〖解析〗對①：因為//，故與的夾角即為與的夾角，又當(dāng)與重合時，取得最大值，為；當(dāng)與點重合時，取得最小值，設(shè)其為，則，故；又點不能與重合，故，故①錯誤；對②：當(dāng)為中點時，存在分別為的中點，滿足//面，證明如下：取的中點為，連接，如下所示：

顯然//，又面面，故//面；又易得//，面面，故//面；又面，故面//面，又面，故//面，故②正確；對③：連接，如下所示：

因為////，故面即為平面截正方體所得截面；又，故該截面為等腰梯形，又，，故截面面積，故③正確；對④：連接，取其中點為，如下所示：

要使得點到平面的距離等于點到平面的距離，只需經(jīng)過的中點，顯然當(dāng)點分別為所在棱的中點時，不存在這樣的點滿足要求，故④錯誤.故選：C.12．D〖解析〗由題意得，，即，所以，即，又，所以，故，，可得，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減，所以的極大值為.簡圖如下：

所以，，.故選：D.二、填空題13．〖解析〗由題意可得：，所以向量在向量方向上的數(shù)量投影為.故〖答案〗為：.14．〖解析〗由題意知，所以曲線在處的切線斜率，所以，解得，故〖答案〗為：.15．，〖解析〗當(dāng)時對應(yīng)的點為，當(dāng)時對應(yīng)的點為.故〖答案〗為：，.16．〖解析〗圓關(guān)于直線對稱的圓為：，依題意可得圓與橢圓有交點，又橢圓的右焦點是圓的圓心，所以，且，又，所以，.故〖答案〗為：.三、解答題17．解：（1）函數(shù)的定義域為，，令，則或時，令，則時，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.18．解：（1）根據(jù)頻率分步直方圖可知組距為，所有矩形面積和為，所以，解得；因為，兩組頻率之和為，而的頻率為，故中位數(shù)在之間，設(shè)為，則，解得，即該社區(qū)居民身體質(zhì)量指數(shù)的樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)為.（2）由頻率分步直方圖可知的頻數(shù)為，的頻數(shù)為，所以兩組人數(shù)比值為，按照分層抽樣抽取人，則在，分別抽取人和人，記這組兩個樣本編號為，這組編號為，故從人隨機抽取人所有可能樣本的構(gòu)成樣本空間：設(shè)事件“從6個人中隨機抽取兩人，抽取到兩人的值不在同一組”則，故，即從這6個人中隨機抽取兩人，抽取到兩人的值不在同一組的概率為.19．（1）證明：連接DB交AC于點