2023屆高考復(fù)習(xí)系列模擬數(shù)學(xué)試卷4（新高考I卷）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023屆高考復(fù)習(xí)系列模擬數(shù)學(xué)試卷4（新高考I卷）第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗因為全集，集合，由補(bǔ)集的運(yùn)算可得或，對應(yīng)區(qū)間為.故選：B.2．若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗，.故選：C.3．我國古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用做第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會徽．如圖，大正方形是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，，為的中點，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，即，∴．故選：A．4．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個直角圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)直角圓角的底面半徑為，母線為，高為，因為直角圓錐的軸截面為等腰直角三角形，所以有，因為直角圓錐的側(cè)面積為，所以有，即，因此，所以該直角圓錐的體積為，故選：D5．某學(xué)習(xí)小組八名學(xué)生在一次物理測驗中的得分（單位：分）如下：，這八人成績的第60百分位數(shù)是.若在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生，則得分都比低的概率為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗，故這8人成績的第60百分位數(shù)是從小到大排列的第5個數(shù)，即，在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生共有種情況，其中得分都比低的有種，所以所求概率故選：C6．將函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的，再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點對稱 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．過點 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗D〖解析〗將函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的，可得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向左平移個單位，可得到函數(shù)的圖象，對于A選項，，A錯；對于B選項，，B錯；對于C選項，，C錯；對于D選項，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，D對.故選：D.7．已知，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗，則，故函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則則，即由，∴，故同理可證又，∴，則故選：C.8．在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)，在等腰中，，設(shè)的外心是，外接圓半徑是，則，∴，設(shè)外接球球心是，則平面，平面，則，同理，，又平面，所以，是直角梯形，設(shè)，外接球半徑為，即，則，所以，在直角中，，，，，∴，，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以的最小值是．故選：D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．平面 D．與所成的角是〖答案〗ABD〖解析〗連接，則是的中位線，∴，故A正確；連接，，則，平面，平面，∴平面，即平面，故B正確；連接，則平面即為平面，顯然不垂直平面，故C錯誤；∵，∴或其補(bǔ)角為與所成的角，，故D正確．故選：ABD．10．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為B．函數(shù)的極小值是C．當(dāng)時，對于任意的，都有D．函數(shù)的圖像有條切線方程為〖答案〗AB〖解析〗因為所以，，所以的單調(diào)減區(qū)間為，故A正確．令，則或所以在，單調(diào)遞增在單調(diào)遞減所以函數(shù)的極小值為，故選項B正確；由，若即矛盾，故選項C錯誤．，解的或，當(dāng)時切點不在上當(dāng)時切點不在上，故選項D錯誤，故選：AB．11．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過拋物線上一點作的垂線，垂足為，則下列說法正確的是（

）A．準(zhǔn)線的方程為B．若過焦點的直線交拋物線于兩點，且，則C．若，則的最小值為3D．延長交拋物線于點，若，則〖答案〗BCD〖解析〗因為拋物線的方程為，所以，所以準(zhǔn)線的方程為錯誤；由題意可知，B正確；由拋物線上的點到焦點與到準(zhǔn)線的距離相等可知，所以當(dāng)三點共線時，取得最小值，即為點到準(zhǔn)線的距離，所以最小值為正確；如圖所示，不妨設(shè)在第一象限，過作軸于點，過作軸于點，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為，則，易知，則有，即，解得，則，D正確.故選：BCD.12．已知奇函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則下列選項正確的是（

）．A．為非奇非偶函數(shù)B．C．D．〖答案〗BCD〖解析〗由已知有為R上的奇函數(shù)，所以，故的定義域為R，且，故為奇函數(shù)，故A選項錯誤；由已知有：恒成立，令時，①，因為為奇函數(shù)，故，令時，②，由①②解得：，，故B選項正確；由已知有：恒成立，即恒成立，令，則恒成立，由A選項知是奇函數(shù)，故，故，即，所以，所以是一個周期為4的周期函數(shù)，則，所以，故C選項正確；由已知有：在R上可導(dǎo)，對求導(dǎo)有：，即，令時，，則，因為，所以．又因為是奇函數(shù)，故是偶函數(shù)，所以，因為是一個周期為4的周期函數(shù)，所以也是一個周期為4的周期函數(shù)，以下是證明過程：假設(shè)為周期為的函數(shù)，則，所以為周期為的函數(shù)，故，故D選項正確．故選：BCD.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．的展開式中項的系數(shù)為______________________.（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗的展開式通項為，所以，．故所求的系數(shù)為．故〖答案〗為：14．已知圓與圓相交于兩點，則_________.〖答案〗〖解析〗因為圓與圓相交于兩點，所以直線AB的方程為：，即，圓心到弦AB的距離，所以，故〖答案〗為：.15．已知點在曲線上，該曲線過的切線交坐標(biāo)軸于兩點，若，則△面積的取值范圍是____________________.（為坐標(biāo)原點）〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，得，，切線方程為：，設(shè)切線交軸于，交軸于，故可得，，則△面積為：，又，，令，，則，所以，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，故，時，，所以，，則△面積的取值范圍是.故〖答案〗為：16．以原點為對稱中心的橢圓C1，C2焦點分別在x軸，y軸，離心率分別為e1，e2，直線l交C1，C2所得的弦中點分別為，若，則直線l的斜率為__________．〖答案〗±1〖解析〗設(shè)橢圓，橢圓，設(shè)直線l與C1的交點為，直線l的斜率為，則，∴，即，∴，同理可得，又，∴，，又，∴，即，∴，.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知正項數(shù)列的前項和為，且，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和，求證：.（1）解：當(dāng)時，，所以，由，得，兩式相減得，又，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是以為公差的等差數(shù)列，又，所以數(shù)列是以為首項為公差的等差數(shù)列，所以；（2）證明：，則，所以，所以.18．在中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且．（1）求A的值；（2）若的面積為，求a的最小值．解：（1）由，可得所以整理得：，由正弦定理得：，∴，∵A為內(nèi)角，∴；（2）由，得，所以，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，符號成立，∴，又，∴，即a的最小值為．19．如圖，在直三棱柱中，側(cè)面是正方形，且平面平面.（1）求證：；（2）若直線與平面所成的角為，E為線段的中點，求平面與平面所成銳二面角的大小.（1）證明：設(shè)，則中點為M，且∵平面平面且交線為，平面，∴平面，∵平面，∴，又直三棱柱，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）解：由（1）知平面，所以直線與平面所成的角為，不妨設(shè)以B為原點，分別為x，y，z軸正向建立坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，故可設(shè)，設(shè)平面的法向量為，，故可設(shè)，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，∴.20．2020年，一場突如其來的新型冠狀病毒疫情席卷全球，時至今日，仍影響著人們的生產(chǎn)生活，為快速箭查出陽性患者，需按如下方案進(jìn)行核酸檢測：隨機(jī)將10人分成一組，將10人樣本混合后檢測.若混合樣本呈陰性，說明10人全部陰性；若混合樣本呈陽性，說明其中至少一人呈陽性，則必須對這10人進(jìn)行單人單檢.假設(shè)攜帶病毒（陽性）的人在人群中的占比為，且每個人是否攜帶病毒相互獨(dú)立.（1）現(xiàn)有10份單人單檢的樣本，其中有2份為陽性.求恰好經(jīng)過3次檢測就排查出所有陽性樣本的概率.（2）請結(jié)合離散型隨機(jī)變量及其分布列的有關(guān)知識，計算當(dāng)值在什么范圍時，上述核酸檢測方案優(yōu)于單人單檢方案.（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）記事件A：恰好經(jīng)過3次檢測就排查出所有陽性樣本.所以需要第三次檢測是陽性，前兩次中有一次是陽性..即恰好經(jīng)過3次檢測就排查出所有陽性樣本的概率為.（2）有10人參加核酸檢測.若采用單人單檢方案，10人需要采集10次；若采用上述核酸檢測方案，檢測次數(shù)為，則的可能取值為1，11.其中，.所以要使上述核酸檢測方案優(yōu)于單人單檢方案，只需，整理化簡得：，解得：.因為，所以，所以，所以.綜上所述：當(dāng)時，上述核酸檢測方案優(yōu)于單人單檢方案21．已知雙曲線的離心率為，經(jīng)過坐標(biāo)原點O的直線l與雙曲線Q交于A，B兩點，點位于第一象限，是雙曲線Q右支上一點，，設(shè)（1）求雙曲線Q的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：C，D，B三點共線；（3）若面積為，求直線l的方程．（1）解：由雙曲線的離心率為，所以，解得，所以雙曲線Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：由得,又，所以,，由得①，由于，在雙曲線上，所以，相減得②由①②得③，由于，所以，將③代入得，所以，因此C，D，B三點共線（3）解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程為：，故，所以，直線的方程為，聯(lián)立，所以由于軸，，所以，所以，由于，代入得，令，則，化簡得，由于，所以，因此，解得或由于，所以，故直線方程為22．已知函數(shù)（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，證明：.（1）解：在上單調(diào)遞增，所以恒成立，令恒成立，當(dāng)時，恒成立.當(dāng)時，所以h（x）在上單調(diào)遞增，所以時，，故不符合題意.當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以解得.綜上，的取值范圍是.（2）證明：當(dāng)時，，要證，即證，只需證，即證令，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故存在使得所以，即在時遞增，在時遞減.令，則二次函數(shù)關(guān)于直線對稱，函數(shù)圖象開口向下，且，故當(dāng)時，，又∴，又，所以函數(shù)在上存在唯一零點，使得.,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立因為取等號的條件不一致，故.2023屆高考復(fù)習(xí)系列模擬數(shù)學(xué)試卷4（新高考I卷）第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗因為全集，集合，由補(bǔ)集的運(yùn)算可得或，對應(yīng)區(qū)間為.故選：B.2．若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗，.故選：C.3．我國古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用做第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會徽．如圖，大正方形是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，，為的中點，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，即，∴．故選：A．4．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個直角圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)直角圓角的底面半徑為，母線為，高為，因為直角圓錐的軸截面為等腰直角三角形，所以有，因為直角圓錐的側(cè)面積為，所以有，即，因此，所以該直角圓錐的體積為，故選：D5．某學(xué)習(xí)小組八名學(xué)生在一次物理測驗中的得分（單位：分）如下：，這八人成績的第60百分位數(shù)是.若在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生，則得分都比低的概率為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗，故這8人成績的第60百分位數(shù)是從小到大排列的第5個數(shù)，即，在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生共有種情況，其中得分都比低的有種，所以所求概率故選：C6．將函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的，再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點對稱 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．過點 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗D〖解析〗將函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的，可得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向左平移個單位，可得到函數(shù)的圖象，對于A選項，，A錯；對于B選項，，B錯；對于C選項，，C錯；對于D選項，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，D對.故選：D.7．已知，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗，則，故函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則則，即由，∴，故同理可證又，∴，則故選：C.8．在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)，在等腰中，，設(shè)的外心是，外接圓半徑是，則，∴，設(shè)外接球球心是，則平面，平面，則，同理，，又平面，所以，是直角梯形，設(shè)，外接球半徑為，即，則，所以，在直角中，，，，，∴，，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以的最小值是．故選：D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．平面 D．與所成的角是〖答案〗ABD〖解析〗連接，則是的中位線，∴，故A正確；連接，，則，平面，平面，∴平面，即平面，故B正確；連接，則平面即為平面，顯然不垂直平面，故C錯誤；∵，∴或其補(bǔ)角為與所成的角，，故D正確．故選：ABD．10．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為B．函數(shù)的極小值是C．當(dāng)時，對于任意的，都有D．函數(shù)的圖像有條切線方程為〖答案〗AB〖解析〗因為所以，，所以的單調(diào)減區(qū)間為，故A正確．令，則或所以在，單調(diào)遞增在單調(diào)遞減所以函數(shù)的極小值為，故選項B正確；由，若即矛盾，故選項C錯誤．，解的或，當(dāng)時切點不在上當(dāng)時切點不在上，故選項D錯誤，故選：AB．11．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過拋物線上一點作的垂線，垂足為，則下列說法正確的是（

）A．準(zhǔn)線的方程為B．若過焦點的直線交拋物線于兩點，且，則C．若，則的最小值為3D．延長交拋物線于點，若，則〖答案〗BCD〖解析〗因為拋物線的方程為，所以，所以準(zhǔn)線的方程為錯誤；由題意可知，B正確；由拋物線上的點到焦點與到準(zhǔn)線的距離相等可知，所以當(dāng)三點共線時，取得最小值，即為點到準(zhǔn)線的距離，所以最小值為正確；如圖所示，不妨設(shè)在第一象限，過作軸于點，過作軸于點，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為，則，易知，則有，即，解得，則，D正確.故選：BCD.12．已知奇函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則下列選項正確的是（

）．A．為非奇非偶函數(shù)B．C．D．〖答案〗BCD〖解析〗由已知有為R上的奇函數(shù)，所以，故的定義域為R，且，故為奇函數(shù)，故A選項錯誤；由已知有：恒成立，令時，①，因為為奇函數(shù)，故，令時，②，由①②解得：，，故B選項正確；由已知有：恒成立，即恒成立，令，則恒成立，由A選項知是奇函數(shù)，故，故，即，所以，所以是一個周期為4的周期函數(shù)，則，所以，故C選項正確；由已知有：在R上可導(dǎo)，對求導(dǎo)有：，即，令時，，則，因為，所以．又因為是奇函數(shù)，故是偶函數(shù)，所以，因為是一個周期為4的周期函數(shù)，所以也是一個周期為4的周期函數(shù)，以下是證明過程：假設(shè)為周期為的函數(shù)，則，所以為周期為的函數(shù)，故，故D選項正確．故選：BCD.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．的展開式中項的系數(shù)為______________________.（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗的展開式通項為，所以，．故所求的系數(shù)為．故〖答案〗為：14．已知圓與圓相交于兩點，則_________.〖答案〗〖解析〗因為圓與圓相交于兩點，所以直線AB的方程為：，即，圓心到弦AB的距離，所以，故〖答案〗為：.15．已知點在曲線上，該曲線過的切線交坐標(biāo)軸于兩點，若，則△面積的取值范圍是____________________.（為坐標(biāo)原點）〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，得，，切線方程為：，設(shè)切線交軸于，交軸于，故可得，，則△面積為：，又，，令，，則，所以，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，故，時，，所以，，則△面積的取值范圍是.故〖答案〗為：16．以原點為對稱中心的橢圓C1，C2焦點分別在x軸，y軸，離心率分別為e1，e2，直線l交C1，C2所得的弦中點分別為，若，則直線l的斜率為__________．〖答案〗±1〖解析〗設(shè)橢圓，橢圓，設(shè)直線l與C1的交點為，直線l的斜率為，則，∴，即，∴，同理可得，又，∴，，又，∴，即，∴，.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知正項數(shù)列的前項和為，且，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和，求證：.（1）解：當(dāng)時，，所以，由，得，兩式相減得，又，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是以為公差的等差數(shù)列，又，所以數(shù)列是以為首項為公差的等差數(shù)列，所以；（2）證明：，則，所以，所以.18．在中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且．（1）求A的值；（2）若的面積為，求a的最小值．解：（1）由，可得所以整理得：，由正弦定理得：，∴，∵A為內(nèi)角，∴；（2）由，得，所以，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，符號成立，∴，又，∴，即a的最小值為．19．如圖，在直三棱柱中，側(cè)面是正方形，且平面平面.（1）求證：；（2）若直線與平面所成的角為，E為線段的中點，求平面與平面所成銳二面角的大小.（1）證明：設(shè)，則中點為M，且∵平面平面且交線為，平面，∴平面，∵平面，∴，又直三棱柱，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）解：由（1）知平面，所以直線與平面所成的角為，不妨設(shè)以B為原點，分別為x，y，z軸正向建立坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，故可設(shè)，設(shè)平面的法向量為，，故可設(shè)，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，∴.20．2020年，一場突如其來的新型冠狀病毒疫情席卷全球，時至今日，仍影響著人們的生產(chǎn)生活，為快速箭查出陽性患者，需按如下方案進(jìn)行核酸檢測：隨機(jī)將10人分成一組，將10人樣本混合后檢測.若混合樣本呈陰性，說明10人全部陰性；若混合樣本呈陽性，說明其中至少一人呈陽性，則必須對這10人進(jìn)行單人單檢.假設(shè)攜帶病毒（陽性）的人在人群中的占比為，且每個人是否攜帶病毒相互獨(dú)立.（1）現(xiàn)有10份單人單檢的樣本，其中有2份為陽性.求恰好經(jīng)過3次檢測