2023屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)試卷（廣東專用）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷（廣東專用）數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知：，所以．故選：B．2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，，解得，即.故選：D.3.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以，所以，故選：A.4.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）A.2n–1 B.2–21–n C.2–2n–1 D.21–n–1〖答案〗B〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.5.已知雙曲線以正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)該正方形的另兩個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線E的離心率為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，正方形的頂點(diǎn)A，B為雙曲線的焦點(diǎn)，頂點(diǎn)C，D在雙曲線上則，故由正方形得：，所以，則即：，兩邊同除得：，解得：或（舍）故選：A.6.紅燈籠，起源于中國(guó)的西漢時(shí)期，兩千多年來(lái)，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營(yíng)造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上下兩個(gè)相同球冠剩下的部分.如圖2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為，球冠的高為，則球冠的面積.如圖1，已知該燈籠的高為58cm，圓柱的高為5cm，圓柱的底面圓直徑為14cm，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得：，所以cm，所以cm，所以兩個(gè)球冠的面積為cm2，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為：cm2，故選：C.7.為落實(shí)疫情防控“動(dòng)態(tài)清零”總方針和“四早”要求，有效應(yīng)對(duì)奧密克戎變異株傳播風(fēng)險(xiǎn)，確保正常生活和生產(chǎn)秩序，某企業(yè)決定于每周的周二、周五各做一次抽檢核酸檢測(cè).已知該企業(yè)組裝車間的某小組有6名工人，每次獨(dú)立、隨機(jī)的從中抽取3名工人參加核酸檢測(cè).設(shè)該小組在一周內(nèi)的兩次抽檢中共有名不同的工人被抽中，下列結(jié)論不正確的是（）A.該小組中的工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為B.C.該小組中的工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為D.〖答案〗B〖解析〗依題意每次抽取，工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為，故A正確；依題意的可能取值為，則，意味著第一次從6人中選中的3人，第二次仍然為這3人，則，同理可得：，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，工人甲一周內(nèi)兩次均未被選中的概率為，所以工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為，故正確；，意味著第一次先從6人中選中3人，第二次抽到的3人中，含有第一次抽到的3人中的2人，另外一人從沒(méi)有抽到的3人中抽取，故概率為：，同理可得：，所以，故D正確.故選：B.8.實(shí)數(shù)，，分別滿足，，，則，，大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，，，則，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.為迎接黨的二十大勝利召開，某中學(xué)舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽，對(duì)全校參賽的1000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照?分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.得分在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為300C.該校學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)大于80D.估計(jì)該校學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，由頻率分布直方圖性質(zhì)得：，解得，故正確；對(duì)于B，由頻率分布直方圖得：成績(jī)落在區(qū)間的頻率為，所以人數(shù)為，故B不正確；對(duì)于，由頻率分布直方圖得：的頻率為的頻率為，所以成績(jī)的中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，估計(jì)成績(jī)的平均數(shù)為：，所以成績(jī)的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，故D正確.故選：AD.10.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G為C1D1的中點(diǎn)，K為A1D1中點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段B1C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在棱C1C上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的有（）A.直線BD1⊥平面A1C1DB.異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是C.PQ+QG的最小值為D.過(guò)點(diǎn)GKM的平面截正方體所得多邊形的面積為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，連接，則，由題可知，平面，且平面，則，又，面，平面，平面，則，同理可得，，面，直線平面，則選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由題可知，，，所以四邊形為平行四邊形，則，所以與所成角即為異面直線與所成角，易知是等邊三角形，又點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，所以直線與所成角的取值范圍是，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖展開平面，使平面共面，過(guò)作，交與點(diǎn)，交與點(diǎn)，則此時(shí)最小，由題可知，，，則，即的最小值為，則C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，作中點(diǎn)，連接，如圖，易知多邊形為過(guò)點(diǎn)GKM的平面截正方體所得多邊形，易求，即多邊形為正六邊形，連結(jié)交于點(diǎn)，故.故選：ACD.11.已知F是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線C上的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)M在C的準(zhǔn)線上的投影為N，則（）A.曲線C的準(zhǔn)線方程為 B.若，則的面積為C.若，則 D.若，則〖答案〗BC〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)，有，，，曲線C的準(zhǔn)線方程為，A不正確；，而，則，即有，的面積，B正確；由得：，顯然，即有，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，有，則，在中，，由余弦定理得：，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，D不正確.故選：BC12.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列一定成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗若為偶函數(shù)，則，故，則為奇函數(shù)故，由可得，又可得，兩式相減得，所以函數(shù)的周期為4；由可得又可得，兩式相加得所以函數(shù)的對(duì)稱中心為；則，，故A選項(xiàng)正確；又，則，由函數(shù)的周期為4可得，，故B，D選項(xiàng)正確；可得，所以，故C選項(xiàng)不正確；故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)______．〖答案〗4〖解析〗因?yàn)榈亩x域?yàn)椋@然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，則，所以對(duì)于恒成立，解得，故.故〖答案〗為：4.14.在的展開式中，的系數(shù)為__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知，把二項(xiàng)式看成由和兩項(xiàng)構(gòu)成，展開式中含的項(xiàng)為，再將展開可得含的項(xiàng)為即可知的系數(shù)為.故〖答案〗為：15.已知定義在R上的函數(shù)滿足：①曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率均不小于1；②曲線在原點(diǎn)處的切線與圓相切，請(qǐng)寫出一個(gè)符合題意的函數(shù)______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由②可設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與圓相切的直線為，則，解得或（舍），結(jié)合①知曲線在原點(diǎn)處的切線為．當(dāng)時(shí)，（〖答案〗不唯一，只要符合題意即可），滿足①．因?yàn)?，所以曲線在原點(diǎn)處的切線為，滿足②．故符合題意．故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）16.函數(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其中為不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則__________．〖答案〗4107〖解析〗由題意可得：當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)共有項(xiàng)奇數(shù)，且，故令,則，兩式相減得：，即，則.故〖答案〗為：4107.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意的都有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)中的最大值為，最小值為，令，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，相減得，整理得，因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，即，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即，所以，所以，所以.18.（本小題滿分12分）已知在銳角中，是的中點(diǎn)，且.求的值；若，求的面積.解：（1）解法一：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,所以,即，所以.解法二：在中，由正弦定理得,即，在中，由正弦定理得,即，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?所以，所以.（2）在中，因?yàn)椋卿J角，所以，由（1）得，在中，因?yàn)槭卿J角，所以，所以，所以.19.（本小題滿分12分）如圖，為半球的半徑，為上一點(diǎn)，為半球面上一點(diǎn)，且.證明：;若,求直線與平面所成的角的正弦值.（1）證明：因?yàn)闉橹睆?，為上一點(diǎn),所以，又因?yàn)?，平面,平面,所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)闉橹睆剑瑸榘肭蛎嫔弦稽c(diǎn)，所以，又因?yàn)?平面,平面，所以平面,因?yàn)槠矫?，所?（2）解：在中,由,得，在中，由，，得，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以兩兩相互垂直，如圖，分別以,,為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,因?yàn)?,所以，即，解得，取，得，又因?yàn)椋?，設(shè)直線與平面所成角為，所以.20.（本小題滿分12分）某校組織“百年黨史”知識(shí)比賽，每組有兩名同學(xué)進(jìn)行比賽，有2道搶答題目．已知甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行同一組比賽，每人搶到每道題的機(jī)會(huì)相等．搶到題目且回答正確者得100分，沒(méi)回答者得0分；搶到題目且回答錯(cuò)誤者得0分，沒(méi)搶到者得50分，2道題目搶答完畢后得分多者獲勝．已知甲答對(duì)每道題目的概率為．乙答對(duì)每道題目的概率為，且兩人各道題目是否回答正確相互獨(dú)立．（1）求乙同學(xué)得100分的概率；（2）記X為甲同學(xué)的累計(jì)得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）由題意，乙同學(xué)得100分的基本事件有{乙搶到兩題且一道正確一道錯(cuò)誤}、{甲乙各搶到一題都回答正確}、{甲搶到兩題且回答錯(cuò)誤}，所以乙同學(xué)得100分的概率為.（2）由題意，甲同學(xué)的累計(jì)得分可能值為，；；；；；分布列如下：050100150200所以期望21.（本小題滿分12分）已知橢圓C：，經(jīng)過(guò)圓O：上一動(dòng)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線．切點(diǎn)分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓O相交于異于點(diǎn)P的M，N兩點(diǎn)．（1）求證：M，O，N三點(diǎn)共線；（2）求△OAB面積的最大值．（1）證明：由圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限，若斜率不存在，則直線為，所以，則另一條切線為(即斜率為0)，此時(shí)；若、斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)切線方程為，聯(lián)立橢圓方程有，整理得，所以，整理得，且，所以，又，故，即；綜上，有，又M，N兩點(diǎn)圓O上，即，由圓的性質(zhì)知：是圓O的直徑，所以M，O，N三點(diǎn)共線，得證；（2）解：同（1），由圓的對(duì)稱性，設(shè)在第一象限，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，、斜率都存在且不為0，令為，聯(lián)立橢圓并整理得：，由，整理得，所以，又在橢圓上，則，故，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得，即；同理可得：直線的方程為，又在直線、直線上，則，所以直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得：，又，則，故，所以，，又不共線，，，而O到直線的距離，所以，令，，且，即或，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)；綜上，，當(dāng)時(shí)△OAB面積的最大值.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)且.（1）設(shè)，討論的單調(diào)性；（2）若且存在三個(gè)零點(diǎn).1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；2）設(shè)，求證：.（1）解：,,因?yàn)?定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,解,得,解,得當(dāng)時(shí),解,得,解,得綜上,當(dāng)時(shí),增區(qū)間為,減區(qū)間為,當(dāng)時(shí),增區(qū)間為,減區(qū)間為,（2）1）解：因?yàn)榍掖嬖谌齻€(gè)零點(diǎn).所以有3個(gè)根當(dāng)時(shí),,在上是單調(diào)遞增的,由零點(diǎn)存在定理,方程必有一個(gè)負(fù)根.當(dāng),,即有兩個(gè)根,令,可轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn),可得,,是單調(diào)遞增的,可得,,是單調(diào)遞減的,其中,當(dāng),所以可得,即得.2）證明：因?yàn)榍掖嬖谌齻€(gè)零點(diǎn).設(shè)，,易知其中,,因?yàn)?所以,故可知;①由1）可知與有兩個(gè)交點(diǎn),,是單調(diào)遞增的,,,,所以;②,若,則若,構(gòu)造函數(shù),設(shè),因?yàn)橛忠驗(yàn)?所以③因?yàn)橛忠驗(yàn)樗约吹芒苡散邰芸芍?,在上單調(diào)遞增,可得,可知與同號(hào)所以,在上單調(diào)遞增.,,又由1)可知所以,,,是單調(diào)遞增的,所以⑤由①②⑤可知.2023屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷（廣東專用）數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知：，所以．故選：B．2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，，解得，即.故選：D.3.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以，所以，故選：A.4.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）A.2n–1 B.2–21–n C.2–2n–1 D.21–n–1〖答案〗B〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.5.已知雙曲線以正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)該正方形的另兩個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線E的離心率為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，正方形的頂點(diǎn)A，B為雙曲線的焦點(diǎn)，頂點(diǎn)C，D在雙曲線上則，故由正方形得：，所以，則即：，兩邊同除得：，解得：或（舍）故選：A.6.紅燈籠，起源于中國(guó)的西漢時(shí)期，兩千多年來(lái)，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營(yíng)造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上下兩個(gè)相同球冠剩下的部分.如圖2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為，球冠的高為，則球冠的面積.如圖1，已知該燈籠的高為58cm，圓柱的高為5cm，圓柱的底面圓直徑為14cm，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得：，所以cm，所以cm，所以兩個(gè)球冠的面積為cm2，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為：cm2，故選：C.7.為落實(shí)疫情防控“動(dòng)態(tài)清零”總方針和“四早”要求，有效應(yīng)對(duì)奧密克戎變異株傳播風(fēng)險(xiǎn)，確保正常生活和生產(chǎn)秩序，某企業(yè)決定于每周的周二、周五各做一次抽檢核酸檢測(cè).已知該企業(yè)組裝車間的某小組有6名工人，每次獨(dú)立、隨機(jī)的從中抽取3名工人參加核酸檢測(cè).設(shè)該小組在一周內(nèi)的兩次抽檢中共有名不同的工人被抽中，下列結(jié)論不正確的是（）A.該小組中的工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為B.C.該小組中的工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為D.〖答案〗B〖解析〗依題意每次抽取，工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為，故A正確；依題意的可能取值為，則，意味著第一次從6人中選中的3人，第二次仍然為這3人，則，同理可得：，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，工人甲一周內(nèi)兩次均未被選中的概率為，所以工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為，故正確；，意味著第一次先從6人中選中3人，第二次抽到的3人中，含有第一次抽到的3人中的2人，另外一人從沒(méi)有抽到的3人中抽取，故概率為：，同理可得：，所以，故D正確.故選：B.8.實(shí)數(shù)，，分別滿足，，，則，，大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，，，則，因?yàn)椋?，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.為迎接黨的二十大勝利召開，某中學(xué)舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽，對(duì)全校參賽的1000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照?分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.得分在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為300C.該校學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)大于80D.估計(jì)該校學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，由頻率分布直方圖性質(zhì)得：，解得，故正確；對(duì)于B，由頻率分布直方圖得：成績(jī)落在區(qū)間的頻率為，所以人數(shù)為，故B不正確；對(duì)于，由頻率分布直方圖得：的頻率為的頻率為，所以成績(jī)的中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，估計(jì)成績(jī)的平均數(shù)為：，所以成績(jī)的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，故D正確.故選：AD.10.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G為C1D1的中點(diǎn)，K為A1D1中點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段B1C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在棱C1C上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的有（）A.直線BD1⊥平面A1C1DB.異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是C.PQ+QG的最小值為D.過(guò)點(diǎn)GKM的平面截正方體所得多邊形的面積為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，連接，則，由題可知，平面，且平面，則，又，面，平面，平面，則，同理可得，，面，直線平面，則選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由題可知，，，所以四邊形為平行四邊形，則，所以與所成角即為異面直線與所成角，易知是等邊三角形，又點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，所以直線與所成角的取值范圍是，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖展開平面，使平面共面，過(guò)作，交與點(diǎn)，交與點(diǎn)，則此時(shí)最小，由題可知，，，則，即的最小值為，則C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，作中點(diǎn)，連接，如圖，易知多邊形為過(guò)點(diǎn)GKM的平面截正方體所得多邊形，易求，即多邊形為正六邊形，連結(jié)交于點(diǎn)，故.故選：ACD.11.已知F是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線C上的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)M在C的準(zhǔn)線上的投影為N，則（）A.曲線C的準(zhǔn)線方程為 B.若，則的面積為C.若，則 D.若，則〖答案〗BC〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)，有，，，曲線C的準(zhǔn)線方程為，A不正確；，而，則，即有，的面積，B正確；由得：，顯然，即有，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，有，則，在中，，由余弦定理得：，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，D不正確.故選：BC12.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列一定成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗若為偶函數(shù)，則，故，則為奇函數(shù)故，由可得，又可得，兩式相減得，所以函數(shù)的周期為4；由可得又可得，兩式相加得所以函數(shù)的對(duì)稱中心為；則，，故A選項(xiàng)正確；又，則，由函數(shù)的周期為4可得，，故B，D選項(xiàng)正確；可得，所以，故C選項(xiàng)不正確；故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)______．〖答案〗4〖解析〗因?yàn)榈亩x域?yàn)?，顯然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，則，所以對(duì)于恒成立，解得，故.故〖答案〗為：4.14.在的展開式中，的系數(shù)為__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知，把二項(xiàng)式看成由和兩項(xiàng)構(gòu)成，展開式中含的項(xiàng)為，再將展開可得含的項(xiàng)為即可知的系數(shù)為.故〖答案〗為：15.已知定義在R上的函數(shù)滿足：①曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率均不小于1；②曲線在原點(diǎn)處的切線與圓相切，請(qǐng)寫出一個(gè)符合題意的函數(shù)______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由②可設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與圓相切的直線為，則，解得或（舍），結(jié)合①知曲線在原點(diǎn)處的切線為．當(dāng)時(shí)，（〖答案〗不唯一，只要符合題意即可），滿足①．因?yàn)?，所以曲線在原點(diǎn)處的切線為，滿足②．故符合題意．故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）16.函數(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其中為不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則__________．〖答案〗4107〖解析〗由題意可得：當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)共有項(xiàng)奇數(shù)，且，故令,則，兩式相減得：，即，則.故〖答案〗為：4107.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意的都有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)中的最大值為，最小值為，令，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，相減得，整理得，因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，即，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即，所以，所以，所以.18.（本小題滿分12分）已知在銳角中，是的中點(diǎn)，且.求的值；若，求的面積.解：（1）解法一：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,所以,即，所以.解法二：在中，由正弦定理得,即，在中，由正弦定理得,即，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?所以，所以.（2）在中，因?yàn)?，是銳角，所以，由（1）得，在中，因?yàn)槭卿J角，所以，所以，所以.19.（本小題滿分12分）如圖，為半球的半徑，為上一點(diǎn)，為半球面上一點(diǎn)，且.證明：;若,求直線與平面所成的角的正弦值.（1）證明：因?yàn)闉橹睆?，為上一點(diǎn),所以，又因?yàn)?，平面,平面,所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)闉橹睆剑瑸榘肭蛎嫔弦稽c(diǎn)，所以，又因?yàn)?平面,平面，所以平面,因?yàn)槠矫妫?（2）解：在中,由,得，在中，由，，得，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以兩兩相互垂直，如圖，分別以,,為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,因?yàn)?,所以，即，解得，取，得，又因?yàn)?，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以.20.（本小題滿分12分）某校組織“百年黨史”知識(shí)比賽，每組有兩名同學(xué)進(jìn)行比賽，有2道搶答題目．已知甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行同一組比賽，每人搶到每道題的機(jī)會(huì)相等．搶到題目且回答正確者得100分，沒(méi)回答者得0分；搶到題目且回答錯(cuò)誤者得0分，沒(méi)搶到者得50分，2道題目搶答完畢后得分多者獲勝．已知甲答對(duì)每道題目的概率為．乙答對(duì)每道題目的概率為，且兩人各道題目是否回答正確相互獨(dú)立．（1）求乙同學(xué)得100分的概率；（2