新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圓知識(shí)總結(jié)與題型練習(xí)及答案

九年級(jí)上冊(cè)《圓》專(zhuān)題

第一部分：知識(shí)總結(jié)

、圓的概念

集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；

2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;

3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合

軌跡形式的概念：

1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；

(補(bǔ)充)2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線(也叫中垂線)；

3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；

4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是:平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線；

5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條

直線。

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi)二>d<r=>點(diǎn)C在圓內(nèi)；

2、點(diǎn)在圓上nd=r=>點(diǎn)6在圓上；

3、點(diǎn)在圓外nd>r=>點(diǎn)A在圓外；

三、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離二>d>r=>無(wú)交點(diǎn)；

2、直線與圓相切nd=rn有一個(gè)交點(diǎn);

3、直線與圓相交d<r=>有兩個(gè)交點(diǎn);

四、垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。

推論1：(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；

(2)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱(chēng)2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論,

即:

①AB是直徑②ABLCD③CE=DE④弧BC=弧6。⑤弧4。=弧40

中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

即：在。。中，,/AB//CD

...弧AC=弧8。

五、圓心角定理

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等,

弦心距相等。此定理也稱(chēng)1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，

只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，

即：①=②AB=DE；

③OC=OF；④弧BA—弧BD

六、圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。

即：???NAO3和NACfi是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角

ZAOB=2ZACB

2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，

相等的圓周角所對(duì)的弧是等??；

即：在?。中，ND都是所對(duì)的圓周角

ZC=ZD

推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所

對(duì)的弦是直徑。

即：在。。中，?.?AB是直徑或ZC=90°

AZC=90°，AB是直徑

推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，==

，△ABC是直角三角形或NC=90°

注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于

斜邊的一半的逆定理。

七、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

即：在。。中，

?..四邊形A5CD是內(nèi)接四邊形

AZC+Z￡L4D=180°ZB+Z￡>=180°

NDAE=NC

八、切線的性質(zhì)與判定定理

(1)切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；

兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

即：?.?上WLQ4且腦V過(guò)半徑0A外端

.??MN是。。的切線

(2)性質(zhì)定理：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑(如上圖)

推論1：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)。

推論2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。

以上三個(gè)定理及推論也稱(chēng)二推一定理：

即：①過(guò)圓心；②過(guò)切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。

九、切線長(zhǎng)定理B

切線長(zhǎng)定理：

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心

的連線平分兩條切線的夾角。

即：..?％、必是的兩條切線

:.PA=PB

P0平分/BPA

十、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算

(1)正三角形

在。。中△ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在RtABOD中進(jìn)行：

OD:BD:OB=1:6:2；

(2)正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在RtAOAE中進(jìn)行，

OE:AE:OA=l:l：y/2：

(3)正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在HfAQAB中進(jìn)行，AB:OB:OA=l：y/3:2.

十一、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式

H冗R

1>扇形：(1)弧長(zhǎng)公式：I—----;

180

nyr/?21

(2)扇形面積公式：S=-----=—lR

3602

n：圓心角R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑I：扇形弧長(zhǎng)S：扇形面

2、圓柱：)D1

<1)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖(選學(xué))

母線長(zhǎng)

S表=5側(cè)+2S底=2%泌+2%產(chǎn)

,C1

(2)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖(選學(xué))

⑴S表=5側(cè)+S底=九火廠+"2

AB

十二、圓與圓的位置關(guān)系（選學(xué)）

外離（圖1）=＞無(wú)交點(diǎn)=>d>7?+r；

外切（圖2）=＞有一個(gè)交點(diǎn)=>d=7?+r；

相交（圖3）=＞有兩個(gè)交點(diǎn)=>R—r<d</?+r；

內(nèi)切（圖4）=＞有一個(gè)交點(diǎn)=>d=R—r；

內(nèi)含（圖5）=＞無(wú)交點(diǎn)=>d<R-r；

圖5

第二部分：習(xí)題及詳解

選擇題（共10小題）

1.下列說(shuō)法，正確的是（

A,弦是直徑B.弧是半圓

C.半圓是弧D.過(guò)圓心的線段是直徑

2.如圖，在半徑為5cm的。。中，弦AB=6cm,OC±AB于點(diǎn)C,則OC=(

3.一個(gè)隧道的橫截面如圖所示,它的形狀是以點(diǎn)。為圓心，5為半徑的圓的一部分，M是。。中

弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過(guò)圓心O交。。于點(diǎn)E.若CD=6,則隧道的高（ME的長(zhǎng)）為（）

A.4B.6C.8D.9

4.如圖，AB是。0的直徑，BC=CD=DE-NCOD=34。，則NAEO的度數(shù)是（）

A.51°B.56°.C.68°D.78。

5.如圖，在。O中，弦ACII半徑OB,ZBOC=50°,則NOAB的度數(shù)為（）

A.25°B.50°C.60°D.30°

6.。0的半徑為5cm,點(diǎn)A到圓心O的距離OA=3cm,則點(diǎn)A與圓O的位置關(guān)系為（）

A.點(diǎn)A在圓上B.點(diǎn)A在圓內(nèi)

C.點(diǎn)A在圓外D.無(wú)法確定

7.已知。。的直徑是10,圓心O到直線1的距離是5,則直線1和的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.相切D.外切

8.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于OO,半徑為4,則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和前的長(zhǎng)分別

為（）

A.2,—B.2?,nC.冊(cè),空D.2M,好

333

9.如圖，四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，。。的半徑為2,ZB=135°,則血的長(zhǎng)（）

A.2nB.nC.—D.—

23

10.如圖，直徑AB為12的半圓，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，此時(shí)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)BT則圖中陰影部

分的面積是（）

A.12RB.24RC.6RD.36R

二.填空題（共10小題）

11.如圖，AB是。。的直徑，CD為。。的一條弦，CD_LAB于點(diǎn)E,已知CD=4,AE=1,則

的半徑為.

12.如圖，在△ABC中，NC.=90。，NA=25。，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D,交

AC于點(diǎn)E,則面的度數(shù)為.

13.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AB為。O的直徑，點(diǎn)C為面的中點(diǎn).若NA=40。，則/B=

度.

（13題圖）（14題圖）（15題圖）（17題圖）

14.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的。P的圓心P的坐標(biāo)為（-3,0）,將。P

沿x軸正方向平移，使。P與y軸相切，則平移的距離為.

15.如圖，點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，則NBAO的度數(shù)為.

16.已知一條圓弧所在圓半徑為9,弧長(zhǎng)為昌I,則這條弧所對(duì)的圓心角是

2

17.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，先以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，再以AB邊的

中點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)的一半為半徑畫(huà)弧，則兩弧之間的陰影部分面積是（結(jié)果保留兀）.

18.已知圓錐的底面圓半徑為3,母線長(zhǎng)為5,則圓錐的全面積是.

19.如果圓柱的母線長(zhǎng)為5cm,底面半彳空為2cm,那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是.

20.半衽為R的圓中，有一弦恰好等于半徑，則弦所對(duì)的圓心角為.

三.解答題(共5小題)

21.如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E,連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F,且CF_LAD.

(1)請(qǐng)證明：E是OB的中點(diǎn)；

(2)若AB=8,求CD的長(zhǎng).

22.已知：如圖，C,D是以.AB為直徑的。O上的兩點(diǎn)，且ODIIBC.求證：AD=DC.

23.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。0分別與BC,AC交于點(diǎn)D,E,過(guò)點(diǎn)D作

的切線DF,交AC于點(diǎn)F.

(1)求證：DF_LAC；

(2)若。。的半徑為4,NCDF=22.5。，求陰影部分的面積.

24.如圖，AOAB中，OA=OB=4,zA=30°,AB與。。相切于點(diǎn)C,求圖中陰影部分的面積.(結(jié)

果保留n)

25.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖示的數(shù)據(jù)計(jì)算出該幾何體的表面積.

俯視圖

參考答案

選擇題（共10小題）

1.C2.B3.D4.A5.A6.B7.C8.D9.B10.B

二.填空題（共10小題）

11.512.50：13.7014.1或515.54：16.50：17.2n

2————

18.24Tl19.20Tlem220.6（T

三.解答題（共5小題）

21.（1）證明：連接AC,如圖,直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E,.,.眾二俞，,AC=AD,

,過(guò)圓心O的線CF_LAD,,AF=DF,即CF是AD的中垂線，,AC=CD,

AC=AD=CD.即：△ACD是等邊三角形，NFCD=30。，

在RtACOE中，OEh^OC，,OE=-1oB，二點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)；

(2)解：在R3OCE中，AB=8,/.0C,AB=4,

又：BE=OE，OE=2,QQ2-Qg6-4=2A/3,,CD-2CE-4A/3-

ODIIBC,Z1=ZB,Z2.=Z3,又OB=OC,Z.B=Z3,Z1=Z2,AD=DC.

23.(1)證明：連接OD,VOB=OD,/ABC=/ODB,

AB=AC,