2024高考數(shù)學(xué)模擬卷（新題型地區(qū)專用）

2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新題型地區(qū)專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.設(shè)集合M={x|-2WxW2},N={y|y=2，+1},則（）

A.[一2,?。〣.（1,2]C.[1,2]D.（l,+8）

【答案】A

【解析】由題設(shè)N={y|y>l},故MuN={x|-24尤42}“y|y〉l}={x|x12},故選：A

2.“x<l”是“_?_4x+3>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】解不等式Y(jié)-4x+3>0得x>3或x<l,記4=(-8,1)U(3,+8),8=(—e,l),

因為AB,所以“x<l”是“尤2—4元+3>0”的充分不必要條件.故選：A

22

3.已知橢圓E：a+1=1（。>6>0）的長軸長是短軸長的3倍，則E的離心率為（）

AV2口2&「有n273

3333

【答案】B

【解析】由題意，2a=6b,所以：=g，則離心率e=（=「J=Jl-gj=孚.

故選：B.

4.已知向量A5=（g,l）,AC=（2后-2）,則AB在衣上的投影向量是（）

【答案】A

A"ACAC4（2后-2）

【解析】AB在AC上的投影向量為ABcos

AC\（273）2+（-2）：

,故選A

5.已知等差數(shù)列｛4｝的前幾項和為S“，S4=1,跖=4,則17+/+《9+%0=

D.10

【答案】C

【解析】在等差數(shù)列｛%｝中，邑=1,縱=4,所以邑=1,S「S4=3,

故反⑷-S4，S12-S8，S16-SQ,%)-S16構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，

所以S20-S[6=1+(5-1)X2=9,即0(7+。18+419+a20=9,故選C

6.在黨的二十大報告中，習(xí)近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”，促進城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政

部門積極響應(yīng)黨中央號召，近期將安排甲、乙、丙、丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個地區(qū)指導(dǎo)教

育教學(xué)工作，則每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為()

A.1B,1C.1D.A

99327

【答案】B

【解析】甲、乙、丙、丁4名教育專家到三個地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法共有：3"=81種；每個地區(qū)至

少安排1名專家的安排方法有：C：A；=36種；

由古典概型的計算公式，每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為：三36=，4

o19

故選：B.

7.我圓古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一

個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為。，大正方形的面積為折，小正方形的

S3sina+cosa

面積為S2,若法二25,則的值為(

2sina-cos。

7_

2

【答案】C

【解析】設(shè)大正方形的邊長為。，則直角三角形的直角邊分別為asina,acosa,

TT

因為a是直角三角形較小的銳角，所以

可得S1=儲㈤=S]-4乂]/sinacosa=a1-la1sintzcosa,

則二1

=25,

a2一2a2sinacosa1-2sincrcosa

sin2+cos2atan2or+1立刀相,3一，4

n即n-------------=25,所以---------二25,解得tana=：或tana=一（舍去）,

l-2sinacosal—2tana43

3x—+1

3sina+coscr_3tana+1_413

所以故選C.

2sina—cosa2tana-l2x--l

4~

8.已知雙曲線。：5-5=1（。＞0力＞0）的左焦點為%離心率為e,直線y=履（左/0）分別與C的左、右兩支

交于點M,N.若，的面積為百，=60。，則e?+3儲的最小值為（）

A.2B.3C.6D.7

【答案】D

【解析】連接叫,班，有對稱性可知：四邊形岬”為平行四邊形，故|N可=|岬八明|=|加段,

/RNF]=120°,S.RNLS.MF、N=6,

由面積公式得：/人/卜|叫卜山120。=若，解得：|N￡|?|N段=4,

由雙曲線定義可知：|耳MT《N|=2a,

片叱+鳥鋸-4,_（隼7-KN『+24MgN-4c2

在三角形耳”中，由余弦定理得:cos120°=

2F]N?F?N~2F[N?F?N

2￡N?工N—4/

解得：|￡N|MN|=『,

24N?耳Np

所以---=4，解得：/=3,

3

i^e2+3a2=l+^+3a2＞l+2J^-3a2=7,

ava

當(dāng)且僅當(dāng)彳=3",即/=i時，等號成立.

a

故選：D

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）

A.|z|~=zz

B.若2=(1-2講，則復(fù)平面內(nèi)三對應(yīng)的點位于第二象限

C.z2=|z|-

D.若忖=1,則|z+i|的最大值為2

【答案】ABD

【解析】對于A,設(shè)2=〃+歷，故N=a-歷，貝!|憶「="+62,zN=(a+6i)(q-bi)=a2+Z?2,故|z「=z5成立，

故A正確，

對于B,z=(l-2i)2=-4i-3,z=4i-31顯然復(fù)平面內(nèi)三對應(yīng)的點位于第二象限，故B正確，

22222

對于C,易知，『二"+6，z=a+b+2abi，當(dāng)而wO時，z?t|z|,故C錯誤，

對于D,若|z|=1,貝l]/+/=i,而卜+i[=Jo?+(b+l)2=42b+2,易得當(dāng)b=l時，|z+i|最大，此時|z+i|=2,

故D正確.

故選：ABD

jr

10.將函數(shù)＞=5也28(/＞0)向左平移二個單位，得到函數(shù)/(X),下列關(guān)于/(X)的說法正確的是()

6

A./(x)關(guān)于(-a寸稱

571

B.當(dāng)。=1時，AM關(guān)于x=-記對稱

C.當(dāng)0＜。41時，Ax)在、m上單調(diào)遞增

TT5兀]「3

D.若Ax)在二二上有三個零點，則。的取值范圍為1，-

【答案】ABC

【解析】f(%)=sin+＞0),當(dāng)x=q時，得201+2=0,/(x)=0,故選項A正確；

當(dāng)。=1時，/(-日)=sin12(-fj+m]]=-l,T是函數(shù)的最小值，所以f(x)關(guān)于x=-獸對稱，故選項B

12|_v12oyj12

正確；

當(dāng)0＜。41時，0〈尤＜白，得所以/(X)在(0嗜]上單調(diào)遞增，故選項C正確；

由-緊處辿，得042小尤+引工2。兀，由于Ax)在J-g當(dāng)上有三個零點，所以2兀＜2即＜3兀，所以

66＜o(jì)y[_66_

3

故選項D錯誤.

故選：ABC.

11.已知函數(shù)/'(x)滿足：①對任意x,yeR,f(x+y)+f(x)+/(y)=/(x)-f(y)+2；②若x*y,則

.則()

A.”0)的值為2B.f(x)+f(-^)>4

C.若〃1)=3,則"3)=9D.若〃4)=10,則〃-2)=4

【答案】ABC

【解析】對于A,令x=y=0,得3〃0)=[〃0)了+2,解得“0)=1或"0)=2,

若〃0)=1,令y=0,得2〃x)+l=〃x)+2,即三1,

但這與②若x*y,則矛盾,

所以只能〃0)=2,故A正確；

對于B,令丁=一》，結(jié)合/'(0)=2得，+〃一x)=+,

解得〃x)+/(—x)?4或〃X)+〃T)W0,

又"0)=2,所以2〃0)=4>0,

所以只能f(x)+/(r)±4,故B正確;

對于C,若"1)=3,令y=l得，〃x+l)+〃x)+3=3〃x)+2,

所以〃x+l)=2/(x)-l,所以/⑵=2/(1)-1=6—1=5,

所以〃3)=2〃2)-1=10—1=9,故C正確；

對于D,取=

則〃x)"(y)+2=(V3pl(括丫+1+2=(65'+(百>+(6丫+3

=〃》+)0+〃6+/3旦/")=(有)，+1單調(diào)遞增，

滿足"4)=10,但”-2)=?故D錯誤.

故選：ABC.

第II卷(非選擇題)

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.12尤+/］的展開式中的常數(shù)項為.

【答案】40

5

(2A(2Y5_5

【解析】依題意，2x+”的展開式的通項為7；+I=C>(2X)5T.”=C>25T.XM,

V)\)

令5-$=0可得r=3.故常數(shù)項為C；"=40.

13.已知正四棱臺ABC。-A及GR的上、下底面邊長分別為4、6,高為0,則正四棱臺ABC。-A旦GR

的體積為,外接球的半徑為.

［答案］謔V26

3

【解析】根據(jù)題意易知該棱臺的上、下底面積分別為：H=4?=16，星=6=36,

所以正四棱臺A3C。-48cA的體積為丫=；(工+廊;+5?卜0=￥；

連接AC,3D交于點。2，連接4G，8自交于點。［，如圖所示：

當(dāng)外接球的球心。在線段O,O2延長線上，

設(shè)。外接球半徑為R,則。2。2=(〃-0『，

因為002=3,上、下底面邊長分別為4、6,

則DO［=；BD=3五,

所以A?=DQ；+h2=DO；+(h-夜『nh=3近,R=726

當(dāng)外接球的球心。在線段。2a延長線上，顯然不合題意；

當(dāng)球心。在線段。。2之間時，則。02=(0一〃『，同上可得，介=3應(yīng)，不符舍去.

14.定義：max{x,y}為實數(shù)中較大的數(shù).若“，仇c>0,則max1!+b,：+bc；+c1的最小值為.

【答案】2

【解析】設(shè)M=max］\-b,—ni>c,—+cl,

IacabI

貝!）由題意可得MNL+b>0,MzL+6c>0,Mz3+c>0,

acab

因為j,+jlcu,+bc,所以

\acJa

①當(dāng)cNl時，—+bc>—+b>0,

aac

只需考慮加上，+灰\"之二+c，

ab

所以M之工+/^之工+17222,M>-+c>-+l>2-f

aaVabbvb

所以〃222，x24=4,可得M22,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c=l時取等號;

②當(dāng)0<c<l時，0<工+。。<，+6,只需考慮++

aacacb

可得M22,當(dāng)且僅當(dāng)"1,A=1時取等號.

綜上所述，M的最小值為2.

四'解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明'證明過程及驗算步驟。

15.(本小題滿分13分)已知函數(shù)/'(x)=alnx-x.

⑴當(dāng)。=1時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

⑵當(dāng)a>0時，求函數(shù)〃尤)的最大值.

【解】(1)/(x)的定義域為(0,y)，

11_r

當(dāng)a=l時，/(x)=lnx-x,/'(%)=——1=------,

當(dāng)-(%)=上三>0,解得：O<X<1,

X

當(dāng)((%)=上三<0,解得：X>1.

X

???/W在(0,D上為增函數(shù)；/(%)在(L+8)上為減函數(shù);

(2)了(尤)的定義域為(0,+8),

當(dāng)a>0時，令/得令/'(工)<0時，得%>〃,

二.Ax)的遞增區(qū)間為(0,。)，遞減區(qū)間為.

/(x)max=-a="(Ina-1).

16.(本小題滿分15分)如圖，在五面體ABCDEF中，底面ABCD為平行四邊形，族〃平面AB-CD,

為等邊三角形，BC=CE=2AB=2EF,ZABC=60°.

(1)求證：平面E4B_L平面ABC。；

(2)求平面ECD與平面FCD夾角的余弦值.

【解】(1)不妨設(shè)AB=1,則3C=CE=2,

在平行四邊形ABCD中，BC=2,AB=1,NABC=60。，連接AC,

由余弦定理得AC2=12+22-2xlxlxcos60°=3,即AC=7L

AC2+AB2=BC2，：.AC1AB.

又AC2+AE2=CE2,:.ACLAE,ABAE=A,

AC_L平面又ACu平面ABC。.

???平面EAB1平面ABCD.

取A3中點G,連接EG,EA^EB,:.EGLAB,

由(1)易知EG,平面ABC。，且EG=B.

2

如圖，以A為原點，分別以射線AB,AC所在直線為軸，豎直向上為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則dg,0,g],F0，g，g，C(0,A/3,0),D(-1,AO),耳卜2,2君,0),C卜1,26網(wǎng),

CD=(-1,0,0),gjo考,一乎

n-CD=0

設(shè)平面FCD的法向量為〃=(x,y,z),貝i]<

n-FC=0'

—x=0

得拓6n

令y=i,得力=(o,i,i),

——y------z=0

12'2

m-CD=0

設(shè)平面ECD的法向量為機=(%,加4),則＜

m-EC=0

得―；%+6%一手芍=0令%=1,得比=(OJ2),

m,n33A/10

cosm,n=?-r=—F=----T==--------,

|沖網(wǎng)V2xV510

所以平面ECD與平面尸CD夾角的余弦值之叵.

10

17.(本小題滿分15分)己知某種業(yè)公司培育了新品種的軟籽石榴，從收獲的果實中隨機抽取了50個軟籽

石榴，按質(zhì)量(單位：g)將它們分成5組：[360,380),[380,400),[400,420),[420,440),[440,460]得

到如下頻率分布直方圖.

(1)用樣本估計總體，求該品種石榴的平均質(zhì)量；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)

⑵按分層隨機抽樣，在樣本中，從質(zhì)量在區(qū)間[380,400),[400,420),[420,440)內(nèi)的石榴中抽取7個石榴

進行檢測，再從中抽取3個石榴作進一步檢測.

(i)己知抽取的3個石榴不完全來自同一區(qū)間，求這3個石榴恰好來自不同區(qū)間的概率；

(ii)記這3個石榴中質(zhì)量在區(qū)間[420,440)內(nèi)的個數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【解】(1)該品種石榴的平均質(zhì)量為工=20X[370X0.005+(390+410+450)X0.010+430X0.015]=416,

所以該品種石榴的平均質(zhì)量為416g.

(2)由題可知，這7個石榴中，質(zhì)量在[380,400),[400,420),[420,440)上的頻率比為

0.010:0.010:0.015=2:2:3,

所以抽取質(zhì)量在[380,400),[400,420),[420,440)上的石榴個數(shù)分別為2,2,3.

(i)記4="抽取的3個石榴不完全來自同一區(qū)間”，3=“這3個石榴恰好來自不同區(qū)間”，

則尸⑷二y=土"叫=邛上，

v7C；35v7C；35

12

所以尸(刎=曾=1=》

35

即這3個石榴恰好來自不同區(qū)間的概率為

(ii)由題意X的所有可能取值為0,1,2,3,

d

貝1JP（x=o）=。4P（X=1）=罟C2c18

3535

cY12C31

P（X=2）=-^P（X=3）=M=L

35，I/C：35

所以X的分布列為

X0123

418121

p

35353535

41sioia

所以雙乂）=0X——+■——+2*—+3*——=一

''353535357

18.(本小題滿分17分)已知拋物線：y2=2x,直線/：y=x-4,且點氏。在拋物線上.

⑴若點AC在直線/上，且A,3,C,。四點構(gòu)成菱形ABCD,求直線3D的方程；

(2)若點A為拋物線和直線/的交點(位于無軸下方)，點C在直線/上，且A2,C,。四點構(gòu)成矩形ABCD,

求直線3。的斜率.

【解】⑴由題意知AC_Z_BZ),設(shè)直線即:x=-y+

(x=—y+m.

聯(lián)立＜2c得_/+2丫-2〃7=0,

［y=2x

貝1%+=-2,yByD=-2m,xB+xD=-(yB+yD)+2m=2m+2,

則的中點W+L-l)在直線＞=x—4上，

代入可解得%=2,9+2了_4=0,4=20＞0,滿足直線與拋物線有兩個交點，

所以直線3。的方程為》=一＞+2,即x+y-2=0.

(2)當(dāng)直線AB,AO的斜率為0或不存在時，均不滿足題意.

由得［—2或］y=4(舍去)’故gm

方法一：當(dāng)直線的斜率存在且不為。時，設(shè)直線2=《y+2).

聯(lián)立V2c',得y2—2Zy—4f—4=°，所以%+為=2"

[y=2尤

所以B（2t2+4r+2,2/'+2）.同理得￡）13—7+2,—[+2）.

由8。的中點在直線>=》-4上，

得口…+2+>；+2）-4?+2一1

[ip?2+—+^?—1—4=0.

令/_：=,，則p?+p_2=0,解得P=-2或p=l.

當(dāng)P=1時，直線8。的斜率kBD=---------------，-；J=—4

2』+4f+2-（"-；+2）t--+2

當(dāng)p=-2時，直線的斜率不存在.

所以直線3。的斜率為;.

方法二:設(shè)3（看,加,￡＞（々,%）,線段的中點

則%+%2=2a,%+%=2（。一4）.

2

y,+2乃+2,A±1.A±__I

由A3_LAD,得二一=即才c抬.=

x,-2-2^--2--2

22

所以—2（乂+%）+8=0.

又X%+%）2-（才+創(chuàng)=Q"4）2-2（司+9）］

=；［4（。一4『-甸=2/_184+32,

故X%-2（%+%）+8=。可轉(zhuǎn)化為2〃2—18〃+32-4（〃-4）+8=0,

即〃2一11〃+28=0.解得〃=7或a=4.

k=%-X==2=1

所以直線的斜率如一々—王一義—近一%+%一4一4.

萬一萬

當(dāng)a=4時，斜率不存在；當(dāng)a=7時，斜率的0=:.

所以直線3。的斜率為g.

19.（本小題滿分17分）交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用.設(shè)A,B,C,D是

直線,上互異