2024年高考第二次模擬考試數(shù)學試卷（全國卷）（文科）（含答案與解析）

2024年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學（文科）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準

考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內(nèi)容

5.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知全集。={x|-24x42,xeZ},集合A={-1,1,2},8={-2,0,1,2},則距（）

A.{-1,0,1}B.0C.{-2,-1,0}D.{-1}

1—/71

2.設i為虛數(shù)單位，若復數(shù)產(chǎn)為純虛數(shù)，貝巾二（）

1+1

A.-1B.1C.0D.2

3.已知向量。=（1,0）,8=（4,機），若囚-耳不超過3,則加的取值范圍為（）

A.[-石，石]B.[-石，百]C.[-3,3]D.[-5,5]

4執(zhí)行下面的程序框圖，為使輸出S的值小于91,則輸入的正整數(shù)N的最小值為

A.5B.4C.3D.2

第1頁共24頁

5.若｛%｝是等差數(shù)列，S“表示｛%｝的前〃項和，華+%>。，59<0,則｛5“｝中最小的項是（）

A.54B.S5C.S6D.S]

6.已知函數(shù)/⑺的定義域為R,設g（x）=</（x）.設甲：/（x）是增函數(shù)，乙：g（x）是增函數(shù)，貝（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

22

7.已知點A為橢圓M：3-+二=1的一點，工,工分別為橢圓M的左，右焦點，N與4巴的平分線交y軸

43

于點則8的面積為（）

A.gB.—C.1D.2

22

8.設.='］,b=log030.2,c=log030.4,貝。，b,c的大小關系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

22

9.已知雙曲線C:3/-y2=3療的一條漸近線/與橢圓從=+匕=1（“>6>0）交于兩點,若閨詞=1ABi,

ab

（耳耳是橢圓的兩個焦點），則E的離心率為（）

A.73-1B.且

2

C.（-8,1）D.（-<?,0）

10.已知四棱錐尸-ABCD中，側面底面ABCD,PA=PB=4y/3,底面ABCD是邊長為12的正方形，

S是四邊形ABC。及其內(nèi)部的動點，且滿足PS46,則動點S構成的區(qū)域面積為（）

A.467tB.12兀C.24無D.2476

28s—S

11.已知等比數(shù)列｛%,｝的公比為q=g,S“為其前”項和，且（=--~","@N*,則當7；取得最大值時，

an+l

對應的〃為（）

A.2B.3C.4D.5

「3兀\

12.已知函數(shù)/（x）=sin（x+0）,0<（p<n,若函數(shù)在0,彳）上存在最大值，但不存在最小值，貝。。的

取值范圍是（）

/c兀］（兀］「兀兀］，兀兀

A-［叼B(yǎng)-f71c-k力3D-K3F

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

第2頁共24頁

13.已知數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列，數(shù)列也｝是等比數(shù)列，%+為=:,且媳屹。=8.則4譽+,3=.

14.已知〃x)為定義在R上的奇函數(shù)，當xNO時，/(%)=x3-(?+l)x+a,則關于x的不等式〃力＜0的

解集.

15.已知數(shù)列｛4“｝滿足。向+。"=2〃-1,若?！?1對“eN*恒成立，則％的取值范圍為.

16.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的表面上，且SAL平面

ABC,SA=34,NABC=弓,AC=2/M是邊BC上一動點，直線與平面ABC所成角的正切值的最大值

為百，則球。的表面積為.

三、解答題：本大題共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)在_ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=3底,asinB=Z?sin^A+-|^.

⑴求角A；

⑵作角A的平分線與8C交于點D,且求b+c.

18.(12分)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野

生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，

調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)S，y)(i=l,2,…，20),其中x,?和%分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)

20202020

和這種野生動物的數(shù)量，并計算得￡七=60,?=1200,￡(西-君2=80,工(%-刃2=9000,

i=li=li=li=l

20

X^,-^）（y,-y）=800.

i=l

(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均

數(shù)乘以地塊數(shù))；

(2)求樣本(M,y,)(i=l,2,20)的相關系數(shù)(精確到0.01)；

(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物

數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

￡(%一無)(y一歹)

附：相關系數(shù)尸1目，=1.414.

、忙(i)吃

Vi=li=l

第3頁共24頁

19.（12分）在正方體AG中，E、R分別為AG、的中點，ACIBD=P,AGIEE=Q，如

圖.

（1）若4。交平面EEBD于點R,證明：P、Q、R三點共線；

（2）線段AC上是否存在點“，使得平面與2”〃平面瓦8￡>,若存在確定〃的位置，若不存在說明

理由.

20.（12分）已知函數(shù)/（x）=e[f-（2a+i）x+f|.

第4頁共24頁

⑴若〃=求曲線y=〃x）在點（oj（o））處的切線；

⑵討論/（月的單調(diào)性；

21.（12分）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為b，點D（p,O）,過F的直線交C于A,B兩點,

當A點的橫坐標為1時，點A到拋物線的焦點F的距離為2.

⑴求拋物線C的方程；

⑵設直線AD,與C的另一個交點分別為N,點尸，。分別是AB,的中點，記直線OP,OQ

的傾斜角分別為a,P.求tan（a-力）的最大值.

（二）選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

%=2coscc

22.（10分）已知曲線C的參數(shù)方程為.r-（a為參數(shù)），直線/過點尸（0,1）.

y=sincr

⑴求曲線c的普通方程；

113

（2）若直線/與曲線C交于A,B兩點,且網(wǎng)+兩=］，求直線/的傾斜角.

選修4-5：不等式選講

23.（10分）已知函數(shù)〃X）=9-2X-3|.

⑴求不等式了（力“的解集；

（2）設函數(shù)g（x）=F（x）+|x+l|+2的最小值為加，若a>0,6>0且2a+6=〃z,求證：4a2+/?2>2.

第5頁共24頁

2024年高考第二次模擬考試

數(shù)學（文科）.全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準

考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內(nèi)容

5.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知全集。={x|-24x42,xeZ},集合A={-1,1,2},8={-2,0,1,2},則a（Ac2）=（）

A.{-1,0,1}B.0C.{-2,-1,0}D.{-1}

【答案】C

【分析】本題首先可以根據(jù)題意求出AcB,然后根據(jù)補集的概念得出結果.

【詳解】由題意得。={引—2V*M2,xeZ}={_2,—l,0,l,2},AcB={l,2},

所以，&(AB)={-2,-l,0},

故選：C.

（

2.設i為虛數(shù)單位，若復數(shù)1—產(chǎn)21為純虛數(shù)，貝（）

1+1

A.-1B.1C.0D.2

【答案】B

【分析】分子分母同乘分母的共輾復數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的概念得到答案.

所以*=0且*w0,解得a=l.

【洋斛】1+i-(l+i)(l-i)一22,

故選：B

3.已知向量“=（1,0）,萬=（4,機），若囚-4不超過3,則根的取值范圍為（）

A.[-B.C.[—3,3]D.[-5,5]

第6頁共24頁

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的坐標表示和幾何意義可得4+加〈9,解之即可求解.

【詳解】由題意知，2a-b=｛-2-m）,

所以=,4+m,M3,得4+療工9,

即<5,解得-A/5<m<A/5,

即實數(shù)m的取值范圍為［-如，君］.

故選：B

4.執(zhí)行下面的程序框圖，為使輸出S的值小于91,則輸入的正整數(shù)N的最小值為

/輸入M

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【解析】閱讀程序框圖，程序運行如下：

首先初始化數(shù)值：t=l,M=100,S=0,然后進入循環(huán)體：

M

此時應滿足fWN,執(zhí)行循環(huán)語句：S=S+M=100,M=—記=—10,/=/+1=2；

_M

此時應滿足fWN,執(zhí)行循環(huán)語句：S=S+M=90,M=-----=1/=/+1=3；

10

此時滿足S<91,可以跳出循環(huán)，則輸入的正整數(shù)N的最小值為2.

故選D.

5.若｛%｝是等差數(shù)列，S,表示｛q｝的前"項和，％+。8>。，品<。，則｛SJ中最小的項是（）

A.S4B.S5C.SsD.S]

第7頁共24頁

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式可得。5<。，再結合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷處以的符號，即可得出答案.

【詳解】因為S9=9(4；%)=9%<0,

所以出<。，

因為生+“6=”3+”8>0，所以“6>~a5>0，

所以公差>。，

故當〃W5時，??<0,當"26時，°,

所以當”=5時，S“取得最小值，

即設,｝中最小的項是匕

故選：B.

6.已知函數(shù)AM的定義域為R,設g(x)=</(x).設甲：/(x)是增函數(shù)，乙：g(x)是增函數(shù)，貝I]()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】D

【分析】利用導數(shù)分別求出與g(x)為增函數(shù)的條件并結合充分必要條件進行判斷即可求解.

【詳解】由題意得的定義域為R,g(x)=e"(x)的定義域也為R；

充分性：若是增函數(shù)，則廣(x"0恒成立，g'(x)=e*(〃x)+〃x)),

因為e*>0,但〃x)+/'(x)的正負不能確定，所以g(x)的單調(diào)性不確定，故充分性不滿足；

必要性：若g(x)是增函數(shù)，則8'(同=/(〃尤)+尸(””0恒成立，

因為e，>0,所以〃x)+/'(x)20恒成立，但尸(x)的正負不能確定，所以的單調(diào)性不確定，故必要性

不滿足；

所以甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件，故D正確.

故選：D.

22

7.已知點A為橢圓V：上+匕=1的一點，月，工分別為橢圓M的左，右焦點，N耳A8的平分線交y軸

43

于點則的面積為()

第8頁共24頁

A.gB.—C.1D.2

22

【答案】C

【分析】結合光學性質(zhì)，列出直線A3方程，即可求解答案.

22

【詳解】設點A（M，%）且不為頂點，因為橢圓方程為?+]■=：!,

所以過A的切線方程即直線QE為牛+寧=1,

由光學幾何性質(zhì)知，kAB-kDE=-l,

所以以B=誓，

則直線AB的方程為y-%二曰“工-苫。）.

令x=0,得力=普=一：，所以為=1.

所以以然&=gx2xl=l.

8,設a=,b=log030.2,c=log030.4,貝。，b,c的大小關系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【分析】首先將對數(shù)式和指數(shù)式與臨界值比較，再判斷大小關系.

【詳解】a=W<1,即0<a<g,&=log030.2>l,即b>l,

因為0.4?<0.3,所以logo-3&42>logo_30.3=1,即k>go.30.4>g,

且log030.4<log030.3=1,則;<c<1,

所以

故選：D

第9頁共24頁

22

9.已知雙曲線C:3尤2-y=3癡的一條漸近線/與橢圓氏2+2L=l(a>/>0)交于兩點,若忸月

ab

(月，工是橢圓的兩個焦點)，則￡的離心率為()

A.73-1B.6

2

C.(-8,1)D.(f,0)

【答案】A

【分析】由題意求出雙曲線的漸近線，則可得NA。8=60。，由已知條件可得四邊形AG8耳為矩形，則

\AO\=\OF2\=\AF2\=C,\AF^=^>C,再根據(jù)橢圓的定義列方程化簡可求出離心率.

22

【詳解】由已知C:j-上y=l,則雙曲線的一條漸近線/:y=瓜，即44。8=60。,

m3m

又寓月=|筋|,即|O閭=|圖，且四邊形舄為矩形,

所以|AO|=|O閭=|傷|=c,則14用=J山用2-3用2=瓜,

又根據(jù)橢圓定義可知|4居|+|和卜限+c=2q,

所以離心率e=/V^=gT.

10.已知四棱錐尸-AFCD中，側面底面ABCD,PA=BB=46，底面ABCD是邊長為12的正方形,

S是四邊形ABC。及其內(nèi)部的動點，且滿足PSV6,則動點S構成的區(qū)域面積為()

A.4島B.12KC.2471D.24"

【答案】B

【分析】取線段A3的中點E,連接尸E、SE,推導出PEL平面ABC。，可知點S的軌跡是以點E為圓心,

半徑為2面的圓及其內(nèi)部，結合圓的面積公式可求得結果.

【詳解】取線段43的中點E,連接PE、SE,

第10頁共24頁

因為尸A=BB=4jLE為AB的中點，則

因為平面上4B_L平面A3CD,平面TMBc平面ABCD=AB,PEu平面BLB,

所以，PE_L平面A3CZ）,

因為SEu平面A3CO,則PE_LSE,

因為四邊形ABC。是邊長為12的正方形，則的=6,

所以,PE=yJp^-AE2=748-62=273-SE=y]PS2-PE2<^62-（273）"=276,

所以，點S的軌跡是以點E為圓心，半徑為2振的圓及其內(nèi)部，

因此，動點S構成的區(qū)域面積為:兀x（2"『=i2兀.

故選：B.

28s—S

11.已知等比數(shù)列｛%｝的公比為4=石，S”為其前〃項和，且r=J~次,“eN*,則當7；取得最大值時，

an+l

對應的幾為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】利用等比數(shù)列通項公式、前n項和公式及已知得<=-與1><（若"+2-28）,應用基本不等式

2V3

求最大值，并確定取值條件即可.

【詳解】由題設%包=44〃=4石,,4=4（1-必）"-[）,

l-q1-V3

%（1-療）.（1-斤）

所以T=28凡邑“=~1一6if=廳-286"+27

=-浮^甫卡卡—28)<-與1x(2斷；-28)=(^+1)(14一3?

當且僅當*啜即〃=3時取等號,

所以當1取得最大值時，對應的”為3.

第11頁共24頁

故選:B

12.已知函數(shù)〃x）=sin（x+0）,0＜（p＜n,若函數(shù)f（x）在上存在最大值,但不存在最小值，則夕的

取值范圍是（）

A?（［叼八兀］B.（弓71之兀］C.「白兀力3兀］D.，兀3兀

【答案】D

JTTT

【分析】根據(jù)題意分類討論。和兩種情況，結合題目中所給區(qū)間的開和閉以及三角函數(shù)圖象相關

44

知識求解答案即可.

【詳解】若0。＜手，則9"+9＜半+分

44

-3兀\

又因為0＜。＜無，函數(shù)〃x）在［0,彳J上存在最大值，但不存在最小值，

所以當多37r+。2兀，即。7T時，

44

只需滿足號+0W巨，此時手，

4244

當于37r+夕＜兀，即9＜:JT時，

函數(shù)一定存在最大值，要讓函數(shù)無最小值，則］JT-0（學3冗+0-J1T，

此時9＜e＜:,

84

綜上，丁＜94手，即夕的取值范圍是（小學,

o4IX4_

故選：D

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，數(shù)列圾｝是等比數(shù)列，%+%=:，且貼6%=8.則殳管苧=____.

30441

【答案】I

【分析】根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且%+%=1，所以2%=*即氏=g，

因為數(shù)列也｝是等比數(shù)列，且貼6%=8,所以以=8,即%=2,

^^3I^^8I32

所以

他8-13,

7

故答案為：-.

第12頁共24頁

14.已知為定義在R上的奇函數(shù)，當xNO時，/(x)=x3-(?+l)x+o,則關于x的不等式/(力<0的

解集.

【答案】(F,T)U(O,1)

【分析】由/(o)=o求出0=0,由奇函數(shù)的性質(zhì)求出“X)在R上的解析式，再令/(x)<0,即可求出答案.

【詳解】當尤20時，/(x)=%3-(a+l)x+a,

因為/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以/(0)=。=0,

所以當xNO時，/(x)=x3-x,

貝！I當x<0時，一x>0,所以/(―%)=—x3+x,

因為/(X)為定義在R上的奇函數(shù)，所以〃-x)=-"x),

所以當*<。時，/(x)=x3-x,

所以/(x)=v-尤,xwR,

令了(%)=丁-尤=尤(尤-1)(尤+1)<0,解得：。<“<1或x<-l,

故關于X的不等式<o的解集為(Y,T)5°，1)-

故答案為：(f°,—1)口(。/).

15.已知數(shù)列｛4｝滿足?！?i+an=2n-l,若an+1>an對neN*恒成立，則4的取值范圍為.

【答案】[44)

【分析】先由條件得到=2,再將問題轉化為卜>q或1知+2>%，從而得解.

>a2\,a2n+\>a2n

【詳解】法一：

由4+i+4=2〃T,得見+2+。用=2〃+1,兩式相減得a.-%=2,

則數(shù)列｛%"+1｝，｛%“｝都是以2為公差的單調(diào)遞增數(shù)列.

f凡>a.

要使>4對〃￡N*恒成立，只需,

必>%

[1-a.>a[11

而。2=1-《，。3=2+。1，貝Xc1,解得一

[2+q>l—q22

第13頁共24頁

法二：

由a.+i+a“=2〃-1,得。什2+。用=2〃+1,兩式相減得。什?=2,

又。2=1-%,則%“=1-q+2(〃-1)=Z/t-q-1,%“+[=4]+2(〃+1-1)=2“+6,

a2n+2>a2n+l

要使??+1＞/對〃€N*恒成立，即

*>a2n

2H+2-a-1>2n+aii

即2「1’解得一片心了

故答案為:14?

【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是將4+1＞%恒成立，轉化為［的＞%或［的"2＞為3,從而得解.

＞。2［a2n+l＞。2n

16.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的表面上，且SAL平面

ABC,SA=3"/ABC=三,AC=2石,M是邊BC上一動點，直線SM與平面ABC所成角的正切值的最大值

為6，則球。的表面積為.

【答案】43兀

【分析】根據(jù)題意，結合線面角的定義求得AM的最小值，從而確定ABC的形狀，再利用直三棱柱的外接

球的性質(zhì)即可得解.

【詳解】將三棱錐S-ABC放入直三棱柱SAG-ABC,則兩者外接球相同,

取底面A8C,S4G的外心為a。，連接。。2,取其中點為。，連接。4,4a，如圖所示,

SA=36,SA_1平面ABC,則ZSMA為直線與平面ABC的所成角,

又直線SM與平面ABC所成角的正切值的最大值為相，

所以tan/SMA=&_=2叵W括，貝1JAM1nhi=3,此時AM_LBC,

AMAM

jr

在RtABM中，ZABM=-,AM=3,

AB=2瓜,AC=273,

ABC是邊長為2百的等邊三角形,

第14頁共24頁

:.OlA=^AM=2,又OO\=；SA=￥，

222

OA=00；+O,A=［孚］+2=y

43

則球。的表面積為4兀義一=43n.

4

故答案為：437t.

【點睛】方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問

題求解，其解題思維流程如下：

(1)定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相

等且為半徑；

(2)作截面：選準最佳角度做出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些

元素的關系)，達到空間問題平面化的目的；

(3)求半徑下結論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.

三、解答題：本大題共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)在..ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=3叵,asinB=bsin(A+1^.

⑴求角A；

⑵作角A的平分線與BC交于點O,且=求b+c.

【答案】(嗚

⑵6

【分析】(1)由正弦定理邊角互化，化簡后利用正切值求角即得；

(2)充分利用三角形的角平分線將三角形面積進行分割化簡得少+c=c6,再運用余弦定理解方程即得.

【詳解】(1)因asinB=6sin(A+工］,由正弦定理可得：sinB—sinA+^-cosA-sinAsinB=0,

IPsinB^^-cosA-^-sinA=0.

因Be(0,7t),故sin3/0,則有且vosA='sinA,即tanA=5^,

22

因Ae(0,7t),故A=m.............................6分

(2)因為AD為角平分線，所以SDAB+SDAC=S鉆。，

所以1A3.ADsinZDAB+-AC-ADsinZDAC=-ABACsinABAC.

222

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因/BAC==,ZDAB=ZDAC=y,AD=6,則且43+走AC=WARAC,

36444

AB+AC^ABAC,所以b+c=cb...........................9分

又由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccos|=(fe+c)2-3bc,

把a=3拒,6+c=劭分別代入化簡得：(-S+c)-18=0,

解得：b+c=6或Z?+c=-3(舍去)，所以6+c=6...........................12分

18.(12分)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生

動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，

調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(方，yi)(i=l,2,20),其中沏和V分別表示第，?個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)

20202020

2

和這種野生動物的數(shù)量，并計算得?>=60,?=1200,￡(%-元)2=80,2(y.-y)=9000,

z=lz=lz=li=l

20

Za—初⑶一刃=800.

1=1

(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均

數(shù)乘以地塊數(shù))；

(2)求樣本?,yi)(i=l,2,20)的相關系數(shù)(精確到0.01)；

(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物

數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

附：相關系數(shù)片〃^=,、口M.414.

他(七一元這(y―a

Vi=\i=l

【答案】(1)12000；(2)0.94；(3)詳見解析

【解析】

【分析】

(1)利用野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)野生動物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可；

20__

X(x,—x)(x-y)

(2)利用公式廠=碗曰_20_計算即可;

住(智-x)2T(y-y)2

Vz=li=l

(3)各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應采用分層抽樣.

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I20]

【詳解】⑴樣區(qū)野生動物平均數(shù)為m\>=萬義1200=60,

20j=i20

地塊數(shù)為200,該地區(qū)這種野生動物的估計值為200x60=12000........................4分

⑵樣本(4％)(i=l,2,20)的相關系數(shù)為

20

君（外—了）

800272nc）

，二1

1=----a0.94

[2020........................9分

￡（x,.-x）12￡（x-y）2780x90003

Z=1Z=1

(3)由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關性,

由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，

采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結構與總體結構得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性,

從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計...........................12分

19.(12分)在正方體AG中，E、R分別為2G、片￡的中點，AC1BD=P,AQIEFQ,如

圖.

(1)若4。交平面EEBD于點R,證明：p、。、E三點共線；

(2)線段AC上是否存在點使得平面用2M〃平面EFBD,若存在確定M的位置，若不存在說明

理由.

【答案】(1)證明見解析；(2)存在，且苗”=！.

AC4

【解析】

【分析】

(1)先得出PQ為平面EFBD與平面A&GC的交線，然后說明點R是平面A4GC與平面EFBD的公共

點,即可得出尸、。、R三點共線；

(2)設4?！笰G=。，過點”作OM〃PQ交AC于點M，然后證明出平面BQ】“〃平面EEBD,

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再確定出點M在AC上的位置即可.

【詳解】

(DQACIBD=P,ACu平面441GC,平面EFBD，所以，點P是平面A41cle和平面

的一個公共點，同理可知，點。也是平面44GC和平面EEBD的公共點，則平面A&GC和平面匹8。

的交線為PQ,

A。1平面=ACu平面441GC,所以，點R也是平面A41cle和平面67亞)的公共點,

由公理三可知，RwPQ,因此，P、Q、R三點共線；.........................6分

(2)如下圖所示：

設用。JAG=O,過點M作OMIIPQ交AC于點M，

下面證明平面312M〃平面瓦BD.

E、R分別為2。1、31cl的中點，，用

Q§12(Z平面EFB￡),EFu平面EFBD，：.BR//平面EFBD.

又OMHPQ,仁平面跳3D,。。匚平面67亞)，，00〃平面及8￡),

QOMIBR=O,OM、BRu平面BRM,因此，平面BRMU平面EFBD.

下面來確定點"的位置：

E、R分別為與G的中點，所以，EFHBQ\,且跖1。如=。，則點。為。。的中點,

易知4c1〃AC,即OQ〃尸M,又OMIIPQ,所以，四邊形OMPQ為平行四邊形，

:.PM=OQ=^OCX=；A1cl=|AC,

四邊形ABC。為正方形，且ACI3￡>=P,則P為AC的中點，所以，點〃為AP的中點，

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：.AM=-AP=-AC,

24

因此，線段AC上是否存在點"，且處=」時，平面42〃〃平面

AC4

EFBD...........................12分

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=e'[x2_(2a+l)x+l]

⑴若求曲線y=〃x)在點(oj(o))處的切線；

⑵討論/(月的單調(diào)性；

【答案】⑴尤+y-i=o

(2)答案見解析

【分析】(1)求導，利用導數(shù)的幾何意義得到切線方程；

(2)求導，對導函數(shù)因式分解，分。。<-]和。=-1三種情況，進行求解函數(shù)的單調(diào)性.

222

【詳解】(1)當a=J時，函數(shù)〃尤)=則"0)=1,切點坐標為(0,1),

r(x)=eI(x2-l),則曲線y=/(x)在點(0,1)處的切線斜率為了'(0)=T,

所求切線方程為y—1=-(》-0)，即x+y-1=0.............................5分

(2)/(x)=eT[x2-(2a+l)x+l],函數(shù)定義域為R,

/'(%)=e%[兀？+(1_24)1一2〃]=eX(x—2a)(九+1),

①〃〉一；，/'(%)>0解得了〈一1或無>21,/'(%)<0解得一1<%<2〃，

所以〃力在(-％-1)和(2a,+“)上單調(diào)遞增,在(-1,2a)上單調(diào)遞減，

②”-g，r(x)>0解得x<2"或X>—1,r(x)<0解得2K-1,

所以“X)在(-8,2a)和(-1,+功上單調(diào)遞增，在(2?,-1)上單調(diào)遞減，

③"一g,7'(x)20恒成立，/(力在(一。,+8)上單調(diào)遞增.

綜上，當.>-g時，/(力在(-8,-1)和(2°,+8)上單調(diào)遞增，在(T,2a)上單調(diào)遞減；

當"-g時，”X)在(-8,2°)和(-1,+動上單調(diào)遞增，在(2a,-1)上單調(diào)遞減；

當a=時，/(X)在(一+8)上單調(diào)遞增...........................12分

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21.(12分)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為歹，點。(p,0),過尸的直線交C于A,B兩點,

當A點的橫坐標為1時，點A到拋物線的焦點F的距離為2.

⑴求拋物線C的方程；

⑵設直線AD,3。與C的另一個交點分別為V,N,點尸，。分別是AB,的中點，記直線OP,OQ

的傾斜角分別為a,B.求tan(a-萬)的最大值.

【答案】(l)V=4x

⑵坐

4

【分析】(1)關鍵拋物線的定義可得4+孑=2,求出p即可求解；

(2)設A-,yl\,B^,y2\,M號,為,Nr,yj,將直線AB:x=啊+lAD：x=---y+2和直線BD,

分別聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理表示，%%，%”，進而可得必=2%、”=2%，由

中點坐標公式與斜率公式可得上”=/二和自°=h為，則%°=tan/=^=?,當〃時

tan(a-￡)最大，由兩角差的正切公式和換元法可得‘一11(”一⑶二7二優(yōu)=%。)，結合基本不等式計算即可

r乙K

k

求解.

【詳解】(1)拋物線的準線為x=-f,

由拋物線的定義知，/+勺2,又無所以。=2,

所以拋物線C的方程為V=4x；...........................4分

(2)由(1)知，戶(1,0),。(2,0),

設