2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)突破 函數(shù)的極值（原卷版）

第3講函數(shù)的極值與最值

函數(shù)的極值

極值問題是導(dǎo)函數(shù)的一個直接應(yīng)用，極值點作為單調(diào)區(qū)間的分界點和函數(shù)最值

點的候選點，在研究函數(shù)單調(diào)性和最值時具有重要意義.

極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，我們先來看相關(guān)定義：

⑴極大值:一般地,設(shè)函數(shù)“X)在點X。及其附近有定義,如果對X。附近的所有的

點都有/(X)</(%),就說/(%)是函數(shù)/(X)的一個極大值，記作丁極大值=/(%)，

其中X。是極大值點.

(2)極小值:一般地設(shè)函數(shù)/⑴在點見及其附近有定義,如果對見附近的所有的

點都有/(%)>/(%0)，就說/(%)是函數(shù)/(%)的一個極小值，記作y極小值=/(%0),

其中「是極小值點.

看上面對極值點和極值的一般定義，我們要注意以下幾點:一是極值點和極值的

定義不要搞混淆;二是極值是一個雙邊定義:極值點的兩邊函數(shù)都有定義，極值才

存在;三是極值具有局部性，極值是函數(shù)局部的最值,一個函數(shù)區(qū)間內(nèi)可存在多個

極值.

在高中階段，我們可以簡單地理【解析】一階導(dǎo)函數(shù)為零的點即為原函數(shù)的極值

點，一般來說，做大題不會出錯,不過保險起見還是需要驗證一下極值點兩邊一階

導(dǎo)數(shù)是否變號，即原函數(shù)單調(diào)性是否改變.

需要注意的是，極值點處導(dǎo)函數(shù)可能不存在，比如函數(shù)〃x)=|x-l|,x=l是函數(shù)

的極小值點，但在極值點處導(dǎo)函數(shù)是不存在.這是大學(xué)要研究的內(nèi)容，不需要過分

糾結(jié).

極值問題的兩種考查方式:一種是直接求極值點(極值)，一般步驟是求導(dǎo),解出導(dǎo)

函數(shù)的零點，即為函數(shù)的極值點(求解后需要驗證)，如果含參數(shù)的話還要分類討論

一下.再求極值.

另外一種就是給出某個點是極值點，來求解參數(shù)的取值范圍.

求無參函數(shù)的極值點和極值

求極值點的步驟：

⑴篩選:令/'(司=0求出/'(%)的零點(此時求出的點有可能是極值點).

(2)精選:判斷原函數(shù)在廣(力的零點左、右兩邊，其單調(diào)性是否發(fā)生變化,若發(fā)生

變化，則該點為極值點，否則不是極值點.

(3)定性：通過函數(shù)單調(diào)性判斷出是極大值點還是極小值點:先增后減一是極大

值點，先減后增一是極小值點.

通常，判定一個點是極大值點還是極小值點我們有兩種充分判別條件：

第一充分條件:設(shè)函數(shù)/(%)在點X。的某個鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)(廣(%)可以不存

在).

⑴若在寺的左鄰域內(nèi),外力>0.在見的右鄰域內(nèi),外力<0,則“X)在4處取

得極大值/(%).

(2)若在毛的左鄰域內(nèi),〃龍)<0.在無。的右鄰域內(nèi),r⑺>0,則〃力在七處取

得極小值/(%).

⑶若在與的左、右鄰域內(nèi),r⑴不變號，則/(%)在/處沒有極值.

注意:第一充分條件利用一階導(dǎo)數(shù)符號來判斷函數(shù)單調(diào)性時,為了快速判別，我們

只需要在極值點X。的左邊或者右邊取一個特殊值驗證一階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號即可

(這個方法我們稱為特殊值法).

第二充分條件:設(shè)/(X)在X。處具有二階導(dǎo)數(shù)，且則

⑴當(dāng)/"(/)<0時，函數(shù)/(%)在X。處取得極大值.

(2)當(dāng)/"(%)>0時，函數(shù)/(%)在X。處取得極小值.

注意:利用駐點處二階導(dǎo)數(shù)符號來判斷駐點是否為極值點時，二階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)

號，其實決定了-階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.解題時,為了快速判別，我們可以直接判定決定

一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)號部分函數(shù)的單調(diào)性，一階導(dǎo)函數(shù)為增一是極小值點，一階導(dǎo)函

數(shù)為減一是極大值點.為極大值點(這個方法，我們稱之為一階單調(diào)性法).

【例1】求函數(shù)y=x-ln(l+x)的極值.

【例2】求函數(shù)/(x)=gx3-x2-3x的極值.

已知極值/極值點反求參數(shù)

題型:已知含參函數(shù)/(%)的極值點為X。,在極值點與處的極值為為，求參數(shù).

方法:列出方程組，求解參數(shù)即可.

fM=y0

［例1］已知函數(shù)/(%)=依2+/211次在％=1處有極值；,求實數(shù)0,6的值.

【例2】已知函數(shù)/(x)=x-%匚-2alnMaeR),若函數(shù)/(%)在％=2日寸取得

極值，求實數(shù)。的值.

【例3】已知函數(shù)/(x)=51<2x3-Q5x2+35a2x,其中qeR,若函數(shù)〃尤)在％=］處

取得極大值,求實數(shù)。的值.‘一"

已知極值點反求參數(shù)范圍(第二判別法)

對于已知極值點來求參數(shù)取值范圍的題目，我們一般有兩種解法：

方法一:分類討論，求出導(dǎo)函數(shù)，確定/(］)=o的根，然后由根分實數(shù)為若干

個區(qū)間，討論各區(qū)間中f'(x)的正負(fù)，得單調(diào)區(qū)間，若在X。左側(cè)遞減，右側(cè)遞增，則X。

是極小值點;若在X。左側(cè)遞增，右側(cè)遞減，則X。是極大值點.

方法二:第二充分判別條件驗證，求出二階導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)/"(毛)<0時，函數(shù)/(%)在

/處取得極大值;當(dāng)/(%)>0時，函數(shù)/(同在5處取得極小值，來快速求解參數(shù)

取值范圍.

注意:這個是充分條件，一般用來驗證答案，不作為解題過程，可作為分析過程。

［例1］已知函數(shù)/⑺=［依2_(4。+1)%+4"+3］/(?/0),若“X)在x=2處取

得極小值，求a的取值范圍.

2

【例2】已知〃x)=a21n%—若函數(shù)/(%)在x=l處取得極

大值，求實數(shù)。的取值范圍.

【例3】(已知函數(shù)/(x)=ex-X-odn(x+l)-l,函數(shù)〃尤)在x=0處有極大值,

求。的取值范圍.

函數(shù)的最值

最值就是函數(shù)在某個區(qū)間上的最大值和最小值,從函數(shù)圖像直觀說來，最大值與

最小值在圖像中體現(xiàn)為函數(shù)的最高點和最低點，由最大值和最小值可以確定函數(shù)

的值域，我們來看最值的具體定義：

(1)設(shè)函數(shù)“X)的定義域為。，若抽e，使得對VxG。，均滿足/(x)W/(%),

那么稱x=/為函數(shù)f(x)的一個最大值點"(％)稱為函數(shù)f(x)的最大值.

(2)設(shè)函數(shù)/(可的定義域為。，若罵e，使得對V%e均滿足/(%)2/(%),

那么稱x=/為函數(shù)/(%)的一個最小值點,/(%)稱為函數(shù)/(%)的最小值.

最值是函數(shù)的一個重要特征值,研究最值可以得出函數(shù)值域，也可以用在求解不

等式相關(guān)的問題中.

【例】證明不等式皿Wx-1,則構(gòu)造函數(shù)〃x)=lnx-x+1,可通過導(dǎo)數(shù)求出

/(*)max="1)=0,由此可得到對于任意的%>。，均有/(x)W/(x)max=°?故

lnx-x+l<O,lnx<x-l.

那如何求解出函數(shù)的最值呢?當(dāng)然還是用到我們的導(dǎo)數(shù)來求解，最值問題通常會

結(jié)合前面所學(xué)的單調(diào)性、極值和邊界值最終來確定最值，下面我們一一講解.

求無參函數(shù)的最值

題型:求函數(shù)/(X)在XG［加,可上的最大值/(力回和最小值/⑴癡?

方法步驟:一般來說，最值點只可能在極值點或者邊界點處產(chǎn)生，對于無參函數(shù)最

值的解題步驟如下：

第一步:求出極值點和極值"'(％)=0n極值為/(%).

第二步:求出邊界值，即f(m)和/(〃).

第三步:比較極值和邊界值的大小，最大的為最大值，最小的為最小值.

【例1】函數(shù)/(x)=，+tax-1,求在區(qū)間-,e上的最大值.

xe

【例2】已知函數(shù)〃x)=「+x,判斷了⑺的單調(diào)性，并求在-,e上的最

xe

值.

討論含參函數(shù)的最值

討論含參函數(shù)八%)在區(qū)間［a,可上的最值,核心在于求出/(%)在區(qū)間［a,可上的

單調(diào)性和極值，對于最值、單調(diào)性和極值之間的關(guān)系，有如下常用結(jié)論：

(1)若函數(shù)在區(qū)間［a,可上單調(diào)遞增或遞減，則與/e)一個為最大值，另一

個為最小值.

(2)若函數(shù)在區(qū)間［a,可內(nèi)有極值，則要先求出函數(shù)在［a,句上的極值，再與/(a),

于3比較，最大的為最大值，最小的為最小值.

(3)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上有唯-個極值點,這個極值點就是最大(或最小)值

點，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到.

除上述結(jié)論外，我們解題時通常會碰到一種求最大或者最小值的常考模型：

最大值模型:求解含參函數(shù)y=f(k,x)(k為參數(shù))在%G［a,可上的最大值%ax?解

題步驟：

第一步:求出含參的極值點，這個極值點一般為極大值點,并用參數(shù)表示，即

f\k,xo)=O^xo=g(k).

第二步:把極大值點=g(左)分在區(qū)間無c［a,可的左、中、右三種情況來討論.

⑴當(dāng)極大值點在區(qū)間左邊時，即x0=g（左）＜a,函數(shù)y=〃憶尤）（左為參數(shù)）在

xc［a,句上單調(diào)遞減，則ymax=/（a）.

（2）當(dāng)極大值點在區(qū)間中間時，即a＜%=g（左）＜b,函數(shù)y=/（匕x）（左為參數(shù)）在

尤e［a,x（）］上單調(diào)遞增，在無目尤0，句上單調(diào)遞減，則y1mx=/（%）.

⑶當(dāng)極大值點在區(qū)間右邊時，即/=g（左函數(shù)y=/（左，龍）（左為參數(shù)）在

xc［a,句上單調(diào)遞增，則y1mx=/9）.

注意:求最小值的模型類似，可自行總結(jié)。

【例1］已知a為實數(shù)，函數(shù)〃尤）=?（無-"）,設(shè)g（a）為在區(qū)間［0,2］上的

最小值，請寫出g（a）的表達(dá)式.

［例2］已知函數(shù)〃x）=；-二（。〉0）,求函數(shù)在［1,2］上的最大值.

【例3】求g（x）=alnx+2x2-辦-4x在區(qū)間［l,e］上的最小值//（a）.

已知最值反求參數(shù)

反求參數(shù)問題是給出函數(shù)在區(qū)間上的最值，來反求參數(shù)，其一般步驟是：

第一步:按照上一節(jié)的步驟，先討論出含參數(shù)單調(diào)性和最值，這