安徽省高中2024屆高三年級下冊數(shù)學聯(lián)考試題 含解析

2024年安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)第26屆高三聯(lián)考

數(shù)學試卷

考生注意：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘

貼在答題卡上的指定位置

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑，如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無數(shù).

3.考試后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知集合人=卜—內(nèi)},人3—3或%>3},則&A)U6=()

A.[—3,—2]B.(——3>(―2,+oo)C.[—2,3]D.(―8,—2)u(3,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】求出函數(shù)定義域化簡集合A,再利用補集、并集的定義求解即得.

【詳解】由>=而1,得尤2—2,因此A=[—2,+oo),=(-oo,-2),

而5=(-<?,—3升(3,+8),所以(14)。5=(70,—2)。(3,+8).

故選：D

2.已知復數(shù)z=1+2"則z-1+31在復平面內(nèi)對應的點的坐標為()

4i-l

A.信A)B.信q)仁卜白《)D12得)

【答案】B

【解析】

【分析】用復數(shù)的運算法則化簡即可求得.

z-1+31l-2i-l+3i4-i

【詳解】由復數(shù)z=l+2i,則』=1—2i，

4i-l4i-l—17

故復數(shù)zT+31在復平面內(nèi)的點的坐標為.

4i-lU717；

故選：B

3.若a〉0,b>0,貝廣夜+揚<2”是"a+Z?Wl”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】B

【解析】

【分析】借助充分條件與必要條件的定義，先借助特值排除充分性，再借助基本不等式驗證必要性即可得.

【詳解】當。=/?=1時，?"+后<2成立，而a+bWl不成立，

故"G+新<2”不是“a+Z?W1”的充分條件；

當a+bWl時，有a+b22瓢,當且僅當a=b時等號成立，

則G+揚=+=\la+b+2s/ab<+=y/2<2>

故"血+新<2”是“a+bW1”的必要條件.

故選：B.

4.已知在單調(diào)遞增的等差數(shù)列｛4｝中，。3與內(nèi)的等差中項為8，且出?。8=-17,則｛%｝的公差4=

()

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，列出關于4,d方程組，求得d的值，即可得到答案.

【詳解】由等差數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，可得公差d>0,

因為。3與%的等差中項為8，可得。3+%=2%=8x2,可得生=8,即q+4d=8,

又因為g,。8=—*,可得(%+d)(%+7d)=-17,

即64—9Q2=—17,解得2=3或d=—3(舍去).

故選：C.

5.科學家從由實際生活得出的大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率較高，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的

頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出定律：在大量6進制隨機數(shù)據(jù)中，以w開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為

^（n）=log——，如裴波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律.后來常有數(shù)學愛好者用此定律

fcn

kIn6-In2

來檢驗某些經(jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實性.若￡片0（〃）=（左wN*，左＞4）,則左

〃=4In2+ln5

的值為（）

A.11B.15C.19D.21

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)條件中的概率公式，結(jié)合求和公式，以及對數(shù)運算，即可求解.

j6八/\〔5.6〔7［左+1In6-In2

【詳解】自片。(〃)=叼+%+/+-+坨丁=1^^?

口r1k+1In3TC+lc.,「

即ig—=—=ig3,則—二3,Z得l=上二n.

4In104

故選：A

3

6.已知tan(cr—萬)=/，sin(cr-/7)=3cos(cr+/?),貝［|tana-tan)=

365

A-—2B.-C.一D.

553

【答案】C

【解析】

【分析】由兩角和與差的正弦，余弦，正切公式求解即可.

/、/、sinfcif-/?)

【詳解】由于sin(a—^)=3cos(a+尸)，所以----；------r=3,

Jcos(o+,)

sinacosB-cosasinBtan戊一tan〃

所以------------------------二3,所以=3,

cosacosp-sinorsinp1一tanatan/?

3tan。一tan/3

又tan(o—/?)=］,所以

1+tanatanP4

4(tana-tan〃)tana-tan4,-口小0

所以--------------2=------------j由題設顯然tanawtan/?,

1+tanortanp1-tanatanp

所以4(1-tanatan4)=1+tanatan/,

3

所以tanatan/?=一，

6

所以tan二一tan/=3(1-tanatan用咚

3T5

故選：C.

7.設P—ABCD與Q-ABC。為兩個正四棱錐，正方形A8CD的邊長為后且NPCQ=90。，點M在

線段AC上，且3cM=AM,將異面直線PQ,QM所成的角記為夕，則sin。的最小值為（）

「V31

B\_____D.-

A-T-I33

【答案】A

【解析】

【分析】建立適當空間站直角坐標系后，借助空間向量表示出。的余弦值，結(jié)合基本不等式計算即可得解.

【詳解】連接3。交AC于點。，以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

因為正方形ABCD的邊長為0,所以Q4=OB=OC=OD=1,

因為3CW=AM,所以M為0C的中點,

設OP=h,在直角△PCQ中，^OPOQ=OC2=1,故。。=工,

h

所以「(0,0出,1)(-1,0,0),010,0,—'),"(0；10],

2

則PD=(―1,o,,Q"=,

當且僅當5=即〃=后時等號成立，所以|cos6?|的最大值為：，

因此sin。的最小值為且

3

8.已知點M是直線［:奴+y-2a=0和4：1一紗+2=0（aeR）的交點，A（-l,0）,B（m,0）,且

點M滿足=可恒成立.若C（2,2）,則2|阿+|MC|的最小值為（）

A.76B.276C.回D.2A/10

【答案】B

【解析】

r\。。I。

【分析】聯(lián)立方程組求得M（出工,‘一），根據(jù)已知條件，求得加的取值范圍，當三點共線

a—1a—1

時，即可求得最小值.

2a—2

X一

ax+y-2a=Q〃—1P22d+2

【詳解】由直線方程聯(lián)立＜得，c,c即1N/(-J

x-ay+2=02。+2a—1a—1

>-i

L<2-1

2a+2_V

^\MA\=^\MB\,即

1.”1J

化簡整理得，(2-根)2a2+4(2-7〃)a+47〃2-4m+4=0,因為aeR,

所以A=16(2—根了—16(2—m)(山2-根+1)20,解得加之2,

又因為2|M4|+|MC|=|Affi|+|MC|,

所以當M,5c三點共線時，2\MA\+\MC\取得最小值，

所以21M4|++\MC\=BC=J(2-mf+4>246.

所以21M4|+|MC|的最小值為2m.

故選：B

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知樣本數(shù)據(jù)%,%，%3,%，/(%<0,々，％3，》4，工5>°)的方差為平均數(shù)最>0，貝！|()

A.數(shù)據(jù)3%—2,3X[-2,3%-2,3x4-2,3/一2的方差為9s?

B.數(shù)據(jù)3%—2,3%-2,3x3-2,3x4-2,3%—2的平均數(shù)大于0

C.數(shù)據(jù)％2，%,14，工5的方差大于52

D.數(shù)據(jù)々,退,Z，毛的平均數(shù)大于x

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)方差、平均數(shù)的定義和性質(zhì)，結(jié)合題意，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對A：數(shù)據(jù)3%—2,3X2-2,3退—2,3%—2,3%-2的方差為9s2,A正確；

對B：數(shù)據(jù)3%—2,3X[-2,3當一2,3x4-2,3%—2的平均數(shù)為3元—2,

當0〈亍<2時，3x-2<0,故B錯誤；

3

對C：去掉一個最小(特異值)的數(shù)據(jù)，剩下的數(shù)據(jù)的方差有可能更小，故C錯誤；

對D：因為元=石+々+；+%+了>0,數(shù)據(jù)的平均數(shù)々+\%+工5

因為藥<0,故數(shù)據(jù)々，了3，％4，匕的平均數(shù)大于元，故D正確.

故選：AD.

10.如圖，函數(shù)/(x)=Asin(ox+0)1A〉0,o〉0,|dW鼻的圖象與x軸的其中兩個交點為A,B,與

y軸交于點C,。為線段2C的中點，OB=6OC，OA=2,AO=翌"，則()

'3

A.的最小正周期為12兀B.“X)的圖象關于直線％=8對稱

C.”可在[5,7]單調(diào)遞減D./(—X+2)為奇函數(shù)

【答案】CD

【解析】

【分析】結(jié)合題意計算可得/(x)=gsin三，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得.

【詳解】由題可A(2,0),312H—,o1,C(0,Asin,則+T—t,Asin^9

2

有Q|Asind=2+—,sin(20+0)=0,

CD

2A2sin>_28

AD-巫1-1+

343

把|Asin。2+二代入上式，得I-2x--24=0,解得工=6(負值舍去),

①)CDco

71由解得夕=一三，二石Asin

co——,sin仁+0)=0,=8,

6

解得A=￡,二/(x)=4sin7171

—X-----

63

2兀

=12

對A,7(%)的最小正周期為萬，故A錯誤;

6

fsin(/x8—1]=0,故B錯誤;

對B:/⑻=7171

3\6633)

對C：當5Vx<7時，彳在［5,7］單調(diào)遞減，故C正確;

2636

兀/兀16.彳九，為奇函數(shù)，故D正確.

對D：/(-%+2)=^-sin一(—x+?2)------sm

6V733

故選：CD.

11.在棱長為1的正方體A5C?！?與G2中，以A,G為焦點的橢圓，繞著軸AG旋轉(zhuǎn)180。得到的旋

轉(zhuǎn)體稱為橢球AG，橢圓的長軸就是橢球的長軸，若橢球AG的長軸長為2,則下列結(jié)論中正確的是

()

A.橢球AG的表面與正方體ABC。-A與G0的六個面都有交線

B.在正方體ABC。-A耳G2的所有棱中，只有六條棱與橢球AG的表面相交

C.若橢球AG的表面與正方體ABC。-A4G2的某條棱相交，則交點必是該棱的一個三等分點

D.橢球AG的表面與正方體ABC。-ABJGR的一個面的交線是橢圓的一段

【答案】ABD

【解析】

【分析】對A：根據(jù)題意畫圖即可判斷；對BC：假設存在橢球與棱相交的點，根據(jù)橢圓的定義，列方程求

解，即可判斷；對D：以正方形ABCD的中心建立空間直角坐標系，設出交點坐標，根據(jù)其在橢圓上，求

得其軌跡方程，即可判斷.

【詳解】對A：根據(jù)題意，畫圖易知A正確；

對B,C：假設尸是橢球的表面與棱A3的交點，設=

則PA+PC,=X+J（1-X）2+（V2）2=2.解得x=g，

故棱AB上有一點P（AB的中點）滿足條件；

同理在AD,44,G4,GO,CG上各有一點滿足條件；

設Q是橢球AC］的表面和棱BBX的交點，則QA+QG=11+BQ2+3+與捕＞2,

故棱8月上不存在滿足條件的點Q；

同理在棱BC,4。,C。,4男上也不存在滿足條件點，故B正確，C錯誤；

對D：連接AC,5。交于點。，連接AG，4°I交于點。1，連接。01，以。為坐標原點，建立如下所示

空間直角坐標系：

在正方形A6CD內(nèi)（含邊界），設〃（羽y,0）是橢球AC】的表面和正方體的表面的交點,

+/+1=2,

x----

兩邊平方整理得：I4J,r_i,

也即+/+1=2------------....-1

11

48

顯然點M的軌跡為橢圓的一部分，故D正確.

故選：ABD.

【點睛】關鍵點點睛：解決D選項的關鍵是建立坐標系，根據(jù)交點M滿足的條件，求得M的軌跡方程,

進而進行判斷.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.[?+之]的展開式中廣7的系數(shù)是.

【答案】240

【解析】

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，利用賦值法，即可求得對應的系數(shù).

【詳解】的展開式的通項公式IM,6，

令3—gr=-7,解得廠=4,又C>24=240,則該二項式展開式中的系數(shù)是240.

故答案為：240.

13.已知數(shù)列｛4｝滿足（—l）'+%+2+（T）“4=3（T）"+l（〃eN*）,若勾=出=1，貝乂%｝的前20項

和$20-------

【答案】-250

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，按奇偶討論求出出“一1，%〃，再分組求的即得.

+1

【詳解】數(shù)列｛4｝滿足:（-irtz?+2+（-ira?=3（-ir+i,

當九為正奇數(shù)時，。"+2-?！?-2,即數(shù)歹打。2"一』是以％=1為首項，—2為公差的等差數(shù)列,

于是。2〃一1=1+（〃_1）,（-2）=-2n+3,

當〃為正偶數(shù)時，一4+2+4=4,即4+2—%=-4,

則數(shù)列｛%"是以外=1為首項，T為公差的等差數(shù)列，于是?”=1+(”—1＞(-4)=一4〃+5,

所以｛4｝的前20項和S20=1+(”xl0+1+(-35)xl0=-250.

故答案為：—250

14.已知拋物線C:/=4x的焦點為R過尸的直線/與C交于A,B兩點.過A作C的切線機及平行

于X軸的直線加，過方作平行于機的直線交加于過8作C的切線〃及平行于X軸的直線4,過方

Q

作平行于”的直線交，于N.若忸N|=§,則點A的橫坐標為.

【答案】3

【解析】

【分析】利用導數(shù)的幾何意義，求切線私〃的斜率，并利用直線的交點求點的坐標，再根據(jù)方程

Q

\AM\-\BN\=~,求點A的坐標.

【詳解】設4(%,%),3(々,丁2)，不妨設點A在第一象限，點8在第四象限，

所以過點b(1,0)且與直線機平行的直線為丁=了(無一1)，當＞=%時，得x=y嘉+1=2%+1,

即M（2x{+LyJ

/—f—1-1

當＞=-2?時，丁二一尸，所以點A處切線的斜率為

所以過點尸(1,0)且與直線n平行的直線為y二x—1），當y=%時，得%==2馬+1

即NOW+I,%），

所以|=2玉+1—%=%+1,忸N|=2/+1一/=W+1

sin皿C=^^=口3

BD4V34

【小問2詳解】

在△ABD和△BCD中，由余弦定理得

BD2=AB2+AD2-2ABADcosA=42+42-2x4x4xcosA=32-32cosA，

BD2=CB2+CD2-2CB-C￡>cosC=62+22-2x6x2xcosC=40-24cosC,

得4cosA—女osC=—1,又cosA=3cosC,得cosA=-,，cosC=—,

39

則sinA=2^Z，sinC=&6,

39

四邊形43C。的面積S=SABn+SRrn=-ABADsinA+-CB-CDsmC

1//2夜1,4751672+875

=—x4x4義-----1——xoAx2x------=----------------.

23293

16.2023年12月19日至20日，中央農(nóng)村工作會議在北京召開，習近平主席對“三農(nóng)”工作作出指示.某

地區(qū)為響應習近平主席的號召，積極發(fā)展特色農(nóng)業(yè)，建設蔬菜大棚.如圖所示的七面體ANG-CDE/m

是一個放置在地面上的蔬菜大棚鋼架，四邊形ABC。是矩形，AB=8m,AD=4m,ED=CF=lm,

且即，CF都垂直于平面ABC。，G4=GB=5m,HE=HF，平面ABG,平面ABCD

(1)求點H到平面ABC。的距離；

(2)求平面BfWG與平面AG8E所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)4

⑵—

13

【解析】

【分析】(1)取A5,CD的中點證得平面ADE//平面肱VHG,得到AE//GH,再由平面

ABG//平面CDEHG,證得AG//EH,得到平行四邊形AGHE,得到G〃=AE,求得HN=4,結(jié)

合平面ABC。，即可求解；

(2)以點N為原點，建立空間直角坐標系，分別求得平面3EHG和平面AGUE的法向量

)=(1,3,4)和浣=(1,—3,4),結(jié)合向量的夾角公式,即可求解.

【小問1詳解】

如圖所示，取A5CD的中點連接GM,MN,HN,

因為G4=GB,可得

又因為平面ABG_L平面ABCD,且平面ABGc平面A5CD=AB,GMu平面ABG,

所以GM,平面ABCD,同理可得：平面ABCD,

因為平面ABCD,所以ED//HN,

又因為石。仁平面ACVHG,HNu平面MNHG,所以ED//平面肱VHG,

因為上W//AD,且平面ACVHG,MNu平面MNHG,所以A。//平面MNWG,

又因為ADcDE^D，且AD.DEu平面ADE,所以平面ADE7/平面ACVHG,

因為平面AEHG與平面ADE和平面MNHG于AE,GH,可得AE//GH,

又由GMUHN,AB//CD,且AB=M和CDHN=N,

所以平面ABG//平面CDEHG,

因為平面AEHG與平面ABG和平面CDEHF于AG,EH,所以AG//EH,

可得四邊形AGHE為平行四邊形，所以G//=AE,

因為AE=JAD2+￡>E2=142+肝=而,所以GH=屈，

直角_AMG,可得GM=儂2_(苧2=后—42=3,

在直角梯形GMNH中，可得珈=3+J17-4z=4,

因為平面ABCD,所以點H到平面ABCD的距離為4.

【小問2詳解】

解：以點N為原點，以MI7,NC,NH所在的直線分別為x,%z軸，建立空間直角坐標系，

如圖所示，則E(0,-4,1),F(0,4,1),G(4,0,3),H(0,0,4),

可得HE=(0,-4,-3),HF=(0,4,-3),HG=(4,0,-1),

〃?H(Jr-4x—2—0

設平面的法向量為〃=(Xy,z),貝!J<,

ri-HF=4y-3z=0

取z=4,可得x=Ly=3,所以川=(1,3,4),

m-HG=4a—c=0

設平面AGHE的法向量為m=(a,b,c),貝卜

m-HE=-4b—3c=0

取c=4,可得a=l,Z?=—3,所以zn=(1,—3,4),

/，\m-n1-9+164

貝、/卜桐71+9+16-71+9+1613，

4

即平面BFHG與平面AGHE所成銳二面角的余弦值二.

17.已知雙曲線—1=1(a〉0,b>0)的左、右焦點分別為E，F(xiàn),,離心率為2,P是E的右

a23b1

支上一點，且尸片，尸耳，△尸片鳥的面積為3.

(1)求E的方程；

(2)若E的左、右頂點分別為A,B,過點B的直線/與￡的右支交于M,N兩點，直線AM和的斜

2

率分別即為和%v，求KM+§ABN的最小值.

2

【答案】(1)d—21=1

3

(2)-1

【解析】

【分析】(1)由三角形面積及雙曲線的定義，利用勾股定理求解即可；

(2)設直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，由根與系數(shù)的關系及斜率公式化簡可得心，代入

扁/+-kBN中化簡即可得出最值.

【小問1詳解】

設雙曲線的半焦距為c(c>0),

-3t

.也==%（。2+1）=?。?y==_1

kBN%（%1+1）%（。1+3）。1%+3%9t+3y3'

3r-172

…^BN~,^AM+§^BN=（^AW-D-,

直線AM與E的右支有交點，.?.—g＜勤＜JL

2

，當上3=1,kBN=一3時，k1M+-kBN取得最小值，且最小值為-1.

18.某校在90周年校慶到來之際，為了豐富教師的學習和生活，特舉行了答題競賽.在競賽中，每位參

賽教師答題若干次，每一次答題的賦分方法如下：第1次答題，答對得20分，答錯得10分，從第2次答

題開始，答對則獲得上一次答題所得分數(shù)兩倍的得分，答錯得10分，教師甲參加答題競賽，每次答對的

概率均為《，每次答題是否答對互不影響.

（1）求甲前3次答題得分之和為70分的概率.

（2）記甲第i次答題所得分數(shù)X,（ieN*）的數(shù)學期望為E（Xj.

（i）求E（Xj,E（X2）,E（X3）,并猜想當此2時，E（XJ與E（X”）之間的關系式;

(ii)若fE(Xj>320,求”的最小值.

i=\

【答案】（1）-

4

（2）（i）E（Xi.）=E（X,._1）+5,z＞2;（ii）10

【解析】

【分析】（1）由題意，得到前3次的得分分別為20（對），40（對），10（錯）或10（錯），20（對），40

（對），進而求得得分之和為70分的概率；

（2）（i）根據(jù)題意，分別求得￡（Xj=15,E（X2）=20,E（X3）=25,結(jié)合題意，得到

￡（Xj=￡（X"J+5,即可完成猜想；

（ii）由⑴得到｛￡（*）｝為等差數(shù)列，求得之E（XJ=5〃~：25〃,結(jié)合火石區(qū)）=315和

z=l2z=l

10

￡E（X,）=375,即可求解.

Z=1

小問1詳解】

解：由題意，前3次的得分分別為20（對），40（對），10（錯）或10（錯），20（對），40（對），所以

甲前3次答題的得分之和為70分的概率為P=2x（-）3=

【小問2詳解】

解：（i）甲第1次答題得分20分，10分的概率分別為則E（Xj=20xg+10xg=15,

甲第2次答題得分40分，20分，10分的概率分別為

442

甲第3次答題得分80分，40分，20,10嗯分的概率分別為,

8842

則E（XJ=80XL+40XL