河南省開封市2024屆高三第一次模擬考試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

開封市2024屆高三年級第一次模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、

考生號等填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答

案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇

題時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（1-2以2+，）的對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知向量。=（八-1）,6=（1,機(jī)+2）,若q//b，貝！|"7=（）

A.-1B.1C.-1-72D.-1+72

3.記S“為等比數(shù)列｛4｝的前w項和，若q+?+qul,a2+a3+a4=2,則臬=（）

A.6B.8C.9D.12

4.^log2G+log2/?=3,則4+8的最小值為（）

A.272B.4A/2C.276D.476

5.現(xiàn)要從6名學(xué)生中選4名代表班級參加學(xué)校的4x100m接力賽，已知甲確定參加比

賽且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，則合適的選擇方法種數(shù)為（）

A.84B.108C.132D.144

6.a,6為實數(shù)，則是“a+lnb>6+lna”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知。為坐標(biāo)原點，過拋物線C：V=8x焦點尸的直線與C交于A,B兩點,若

\AF\=\AO\,則|幽=（）

A.5B.9C.10D.18

8.記了'（X）,g'（x）分別為函數(shù)/Xx）,g（x）的導(dǎo)函數(shù).若存在％wR,滿足了（%）=8（%）

且『'5）=g'（%）,則稱不為函數(shù)/（X）與g（尤）的一個“S點”.若函數(shù)f（x）=/_1與

g（x）=ln（or）存在“S點”，則。=（）

12

A.eB.2eC.—D.—

ee

二選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要.求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0

分.

9.設(shè)集合&=「卜2_4=0},8={小=彳2-4},則（）

A.AnB=0B.AB=AC.A<JB=BD.AB={-2,2}

10.氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃,現(xiàn)有

甲、乙、丙、丁四地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)的部分信息（記錄數(shù)據(jù)都是正整

數(shù)）.依據(jù)以下信息，能確定進(jìn)入夏季地區(qū)的選項有（）

A.甲地5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22

B.乙地5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為25,平均數(shù)為24

C.丙地5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為22,眾數(shù)為22

D.丁地5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是28,平均數(shù)為24,方差為4.8

11.已知圓M:（無-l>+（y+2）2=2,直線/:x-3y+3=0,P是直線/上的動點，過點P

作圓〃的切線M，切點為A,則切線長IP*取最小值時，下列結(jié)論正確的是（）

A.\PA\=2A/2B.IPA|=A/10

C.RI的方程可以是y=-尤+1D.E4的方程可以是y=7x+l

12.函數(shù)/。）=3"+。（。>0）的圖象向左平移5個單位長度后與原圖象關(guān)于無軸

對稱，則下列結(jié)論一定正確的是（）

B./⑺的一個周期是兀

D?小）在［。,琮）上單調(diào)遞減

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)個）=鬻是奇函數(shù)，且出）總則的）=

14.已知雙曲線dr沖2=1（〃7>0）的左、右焦點分別為匕，F(xiàn)2,垂直于x軸的直線/經(jīng)

過耳且與雙曲線交于A、8兩點，若|物=2,貝lJcos/然".

2

15.記ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,c,若cosC="a=3b,則

cosA=.

16.已知點S,A,B,。均在半徑為2的球面上，一ABC是等邊三角形，SAL平面A5C,

則四面體SABC體積的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.記—ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=f,且.「=2.

3smn+sinC

⑴求。；

(2)若，IBC的面積為無，求J1BC的周長.

2

18.已知數(shù)列為等差數(shù)列,%-3%=6,且%=6.

⑴求右;

(2)記S,為數(shù)列的前”項和,求s“.

19.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-AqGR中，E為線段的中點.

(1)求四面體4片。石的體積；

(2)求平面AB}E與平面AB,C夾角的余弦值.

20.已知直線/：＞=日+2叱0)與橢圓C：\+方=1(。＞6＞0)在第一象限交于A,B兩

點，E為線段A2的中點，。為坐標(biāo)原點，直線AB,OE的斜率之積為

(1)求橢圓C的離心率;

⑵若直線/與x軸，》軸分別相交于N兩點，且IMARNBI,|AB|=后，求橢圓C

的方程.

21.已知函數(shù)/(x)=aln%-%+l且/(%)(。.

⑴求。的值；

⑵證明：當(dāng)時，exsinx-x>f{x).

22.某市每年上半年都會舉辦“清明文化節(jié)”，下半年都會舉辦“菊花文化節(jié)”，吸引著眾

多海內(nèi)外游客.為了更好地配置“文化節(jié)”旅游相關(guān)資源，2023年該市旅游管理部門對初

次參加“菊花文化節(jié)”的游客進(jìn)行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，有］的人計劃只參加“菊花文化

節(jié)”，其他人還想?yún)⒓?024年的“清明文化節(jié)”，只參加“菊花文化節(jié)”的游客記1分，兩

個文化節(jié)都參加的游客記2分.假設(shè)每位初次參加“菊花文化節(jié)”的游客計劃是否來年參

加“清明文化節(jié)”相互獨立，將頻率視為概率.

(1)從2023年初次參加“菊花文化節(jié)”的游客中隨機(jī)抽取三人，求三人合計得分的數(shù)學(xué)期

望；

⑵2024年的“清明文化節(jié)”擬定于4月4日至4月19日舉行，為了吸引游客再次到訪，

該市計劃免費向到訪的游客提供“單車自由行”和“觀光電車行”兩種出行服務(wù).已知游客

甲每天的出行將會在該市提供的這兩種出行服務(wù)中選擇，甲第一天選擇“單車自由行”的

41

概率為工，若前一天選擇“單車自由行”，后一天繼續(xù)選擇“單車自由行”的概率為了，若

前一天選擇“觀光電車行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車行”的概率為:，如此往復(fù).

(i)求甲第二天選擇“單車自由行”的概率；

(ii)求甲第〃"=1,2,L,16)天選擇“單車自由行”的概率匕，并幫甲確定在2024

年“清明文化節(jié)”的16天中選擇“單車自由行”的概率大于“觀光電車行”的概率的天數(shù).

1.D

【解析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，求出復(fù)數(shù)所對應(yīng)點的坐標(biāo)得答案.

【詳解】由題得(1-2，)(2+，)=4-3+

所以在復(fù)平面內(nèi)該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(4,-3),該點在第四象限.

故選：D

【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,

意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

2.A

【分析】根據(jù)平面向量共線的充要條件及向量坐標(biāo)運(yùn)算即得.

【詳解】由a〃6可得〃如〃z+2)=-1,解得機(jī)=-1.

故選：A.

3.C

【分析】由4+%+/=1，a2+a3+a4=2,求得4=；,4=2,代入等比數(shù)歹ij前”項和公式求

解.

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

因為4+々2+4=1，a2+a3+=2,

所以%(1+4+/)=1,44(l+q+/)=2,

解得q=~^1q=2,

所以S-26)

61-q1-2

故選：C

4.B

【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則可得或=8,繼而利用基本不等式即可求得最小值.

【詳解】H^/log2?+log2Z?=log2ab=3,

所以次2=8且々＞0力＞0,

所以〃+Z?22sjab=4A/2,

當(dāng)且僅當(dāng)a=/?=2^/^時，等號成立，

故。+6的最小值為4A歷，

故選：B.

5.B

【分析】特殊位置優(yōu)先排，分類求解可得.

【詳解】當(dāng)甲跑第1棒時，則有A；=60種選擇方法；

當(dāng)甲跑第4棒時，乙參加比賽則有A；A”24種選擇方法，乙不參加比賽則有A：=24種選擇

方法.

故合適的選擇方法種數(shù)為60+24+24=108種.

故選：B

6.A

【分析】令，(x)=x-lnx,xe(O,+w),利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合充分條件、必

要條件的定義判斷即可.

【詳解】令〃x)=x-lnx,XG(0,+OO),

1_1

則k(x)=l=彳r，所以當(dāng)0<x<l時r(x)<0,當(dāng)x>l時網(wǎng)x)>0,

即/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)0>。>1時可以得至f(b),即a-lna>》一lnb成立，

即a+lnZ?>Z?+ln〃成立，故充分性成立，

當(dāng)OVIVZJVI時>/(人),即a-lna>Z?—lnh成立，即a+lnb>Z?+ln〃成立，

所以由a+lnZ?>Z?+lna推不出。>人>1,故必要性不成立，

所以“〃>/?>1"是“〃+1!16>/?+111〃”的充分不必要條件.

故選：A

7.B

【分析】由IA尸1=1A0及拋物線方程可求出A點坐標(biāo)，從而得直線A5的方程，聯(lián)立拋物線

和直線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出王+W，由拋物線定義可得結(jié)果.

【詳解】如圖：由拋物線C：V=8x可知焦點坐標(biāo)廠(2,0),取線段。尸中點。，即。(1,0),

又|AP|=|AO|,所以ADLO用故設(shè)A(l,%),因點A在拋物線上，得%=±20,

根據(jù)對稱性取%=20,又因直線A5過焦點廠,

所以直線A3的方程為：y=-2?(x-2),

y1=8x

聯(lián)立得f-5%+4=。①,

y=-2\/2(x-2)

設(shè)4(國,兇),3(々,為),則辦，三為①式兩根，所以占+%=5,

由拋物線定義可知|AB|=K+W+P=5+4=9,

8.D

【分析】設(shè)與為Ax)與g(x)的“S點”，根據(jù)題中定義可得出關(guān)于％的方程組，即可求得實數(shù)

。的值.

【詳解】函數(shù)/(%)=依2T,g(x)=lnax,其中依＞0,

貝了(x)=2依，g'(x)=1,

竭-1=Inax

/(x())=g(xo)0

設(shè)為為f(x)與g(x)的“S點”,可得

2ax0=—

［冊

XQ-------

解得2

2

a=-

e

7

因此，?=-.

e

故選：D.

【點睛】本題考查函數(shù)中的新定義問題，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題中“S點”的定義得出方程進(jìn)

行求解.對于新定義問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解新定義的實質(zhì)，緊扣新定義進(jìn)行推理論證.

9.BC

【分析】根據(jù)題意得到集合A,B,然后求交集和并集即可.

【詳解】由題意得/={-2,2},B={y\y>-4],

所以AI8={_2,2}=A,A^B={y\y>-4}=B.

故選：BC.

10.AD

【分析】利用眾數(shù)、中位數(shù)、方差、平均數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】對于A：因為眾數(shù)為22、中位數(shù)為24,所以22出現(xiàn)了兩次，

若有一天低于22,則中位數(shù)不可能為24,

所以另兩個數(shù)據(jù)均大于24(且不相等)，故甲地一定進(jìn)入夏季，故A正確；

對于B：若乙地區(qū)的數(shù)據(jù)從小到大依次為18、23、25、26、28,

滿足中位數(shù)為25,平均數(shù)為24,但是乙地不一定進(jìn)入夏季，故B錯誤；

對于C：若丙地區(qū)的數(shù)據(jù)從小到大依次為18、22、22、22、26,

滿足平均數(shù)為22,眾數(shù)為22,但是丙地不一定進(jìn)入夏季，故C錯誤；

對于D：設(shè)其余4個數(shù)據(jù)分別為。、b、c、d(正整數(shù))，則

24)2+(b-24)2+(c-24)2+(d-24)2+(28-24)1=4.8,

所以(a-24)2+(6-24)2+(c-24)2+(1-24)2=8)

若a、b、c、d(正整數(shù))中有一個數(shù)據(jù)小于22，則(a-24f+僅-24)2+(c-24)2+(tZ-24)2>9,

不符合題意，

故。、b、。、d(正整數(shù))均不小于22,故丁地區(qū)進(jìn)入夏季，故D正確；

故選：AD

11.ACD

【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心M到直線/的距離d,即可求出|上4二，再求

出過點加。,-2)與直線/垂直的直線方程，聯(lián)立兩直線方程求出交點坐標(biāo)，即為尸點坐標(biāo)，

再設(shè)切線方程為>=履+1,利用圓心到直線的距離等于半徑，求出％,即可得解.

【詳解】圓M：(x-l)2+(y+2)2=2圓心為2),半徑廠=0,

則圓心M到直線/的距離〃=

因為尸是直線/上的動點，過點尸作圓加的切線B4,切點為A,

則切線長1尸川的最小值為|四四=」/一/=2應(yīng),故A正確，B錯誤;

設(shè)過點與直線/垂直的直線方程為3x+y+〃=0,則3-2+〃=0,解得〃=-1,

所以3x+y—1=0,

%-3y+3=0Ix=0/、

，解得「所以P(O,1),

3x+y-l=0

顯然過點尸(0,1)的切線的斜率存在,

卜+3|廣

設(shè)切線2的方程為>=履+1,則&2+(_]『=〃,解得％=_i或％=7,

所以切線外的方程為y=-x+i或y=7x+i.

故選：ACD

12.ABD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移變換結(jié)合平移后圖象性質(zhì)可得。=2+4左水eN,即可得

/(x)=cosK2+4%)x+$],Z:eN,由此將x=g代入可判斷A；根據(jù)周期性定義可判斷B；求

O2

出了卜-馬的表達(dá)式結(jié)合偶函數(shù)定義判斷C;結(jié)合X的范圍，確定8+9但小，結(jié)合

余弦函數(shù)單調(diào)性，判斷D.

【詳解】函數(shù)Ax)=cos[ox+巳](。>0)的圖象向左平移￡個單位長度后得到

TTJT

y=cos[(a(x+彳)+二]的圖象，

26

兀7F?71\(07171\71|

由題意可得COS[G(%+—)+—]=-cosa>x+—,即COS(GX+——+—)=-cosa)x+—,

26I6726I6J

故——=7r+2瓦,keZ故G=2+4匕左cZ,由于0>0,故口=2+4k#￡N,

2

TT

故f(x)=cos[(2+4k)x+—],左￡N,

6

對于A,f[二]=cos[(2+4^)--+—]=cos(兀+—)=-

A正確;

J2662

jrjr

對于B,于(x+7i)=cos[(2+4k)(x+7i)+—]=cos[(2+4k)x+—]=/(x),

66

即了(X)的一個周期是兀，B正確；

對于C,—丘j=cos[(2+4左)(%—立)+5]=cos[(2+4%)x---------+—]=cos[(2+4k)x--],

不妨?。?1,此時/[-5)=cos(6x-1),此時函數(shù)不是偶函數(shù)，

即/[一])不是偶函數(shù)，C錯誤；

對于D,當(dāng)/(。,制時,8心力8+泊了力

由于尸cosx在]上單調(diào)遞減，故/(X)在(0,曰上單調(diào)遞減，D正確，

故選：ABD

2

13.-##0.4

5

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可求出6=0,根據(jù)=搟可求出a=l,從而可求出答案.

【詳解】因為函數(shù)/(尤)的定義域為R,且為奇函數(shù)，

所以“0)=0,即6=0,

2

解得4=1,

5

此時，=滿足,

X+1X+1

所以/(%)="X，所以/(2)=2L=2-

x+12+15

2

故答案為：—.

14.-

9

令X=J1+L求出y,即可求出A、B

【分析】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，求出。、6、。

Vm

坐標(biāo)，由I?I求出加，再利用余弦定理計算可得.

2_2L_i

【詳解】雙曲線V-啊2=1(%>0)即Xr-丁一1,所以。=1

Vm

m

解得y=±‘,如圖不妨令A(yù)

m

所以|4即=二=2,解得加=1,

m

則A(①1),B(72,-l),耳卜應(yīng),0),

所以|A耳|=忸耳|=3,

防「+忸町-體砰7

所以cos/A￡2=

21A周9

,7

故答案為：—

x

?

15._旦#

66

【分析】利用余弦定理得到c=屈，再由余弦定理計算可得.

2

【詳解】因為cosC=],a=3b,由余弦定理，=〃2+匕2-2〃)cosc,

9

所以。2=9/+/72—2X3MX§,所以。=痼，

二匚2.c+Z?-。6b+b-9b

所以cosA=-----------=-----―一

2bc2y/6b

V6

故答案為:

6

16.|

【分析】設(shè).ABC的邊長為&4=6僅＞0),求出ABC外接圓的半徑乙則四面

從而得至!1；〃+；/=4,表示出SMC，再由

體SABC外接球的半徑E==2，

匕A6c=1'ABC'SA得到％°=都26-/),再令“上⑵-.，(0<x<4)，利用導(dǎo)

數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得解.

【詳解】設(shè)4ABe的邊長為。(。＞0),SA=b(b＞0),

設(shè)..ABC外接圓的半徑r=」^=^a,

sin6003

又SAJ_平面ABC,所以四面體SABC外接球的半徑R=

113

即一片+一片=4,貝|/=12-則。<62<16,則。<6<4,

344

12

又SABC=—<3sin60°=^-a,

■ABC24

所以％BC=京八始'4=*。?=*6]12-/2)=*126-肘),

39

令/(%)=12x-,(0<工<4),則/⑺=12-1%2,

當(dāng)0<x<#時*(x)>。，當(dāng)￥^<x<4時/'(x)<0,

所以/(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

所以〃尤)殍卜早，

即(126_：63=%且，當(dāng)且僅當(dāng)6=生叵時取等號,

max33

V332738

所以(LBCL=____V________—_

123-3

故答案為：g

【點睛】關(guān)鍵點睛：由外接球的半徑得到*+*=4,從而得到心⑵-沙

再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值.

17.⑴百

⑵3+百

【分析】(1)已知條件由正弦定理得。=2sinA,可求。；

(2)由_ABC的面積得be,余弦定理求6+c,可得..ABC的周長.

【詳解】⑴由正弦定理得.L二=2=二,貝。=2sinA=2x^=^.

sinn+sinCsinA2

(2)S=—Z?csinA=,得be=2,

ABC242

由余弦定理"-b2+c2-2bccosA-(b+c)~-3bc,

即3=(6+c)~-6,則方+c=3,所以a+6+c=3+6.

45c的周長為3+VL

18.(1)%=〃(〃+1);

⑵S“=%

n+1

【分析】(1)結(jié)合題意以及數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列相關(guān)知識，建立方程組,

求解出首項和公差，表示出％的通項公式，再轉(zhuǎn)化為凡即可；

n

(2)結(jié)合(1)問，表示出,以及S”，利用裂項相消法即可計算.

an

【詳解】(1)因為數(shù)列［%］為等差數(shù)列，所以其前三項分別是?，?，等，并設(shè)公差為小

［孔J123

生^

一-￡1-211-^=2

311-

所以

即

-6且-61

”0

-31

21-二3

解得所以QI的通項公式為：+(〃T)d=2+(〃-l)xl="+l,

即￡=篦+1,所以

j___1_

(2)由(1)問可得：為=〃(〃+1),所以丁二加二

n及+1

01111

所以S〃=］+7+7++—,

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出點￡到平面陰。的距離人再由錐

體的體積公式計算可得；

(2)利用空間向量法計算可得.

【詳解】(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則4(0,0,0),4(1,0,1),C(l,l,o),E(0，l，，，

所以期=(1,0,1),AC=(1,1,0),

設(shè)平面AB。的一個法向量為〃=(x,y,z),貝6,取〃

ACn=x+y=0

3

所以點E到平面明C的距離/匹吧_W_1，

同一有一2

又AB、=AC=B\C=叵,所以SABQ=gx（夜）xsin60°=,

所以四面體ABCE的體積V=LSABC-〃='X/X」I=L.

313224

（2）設(shè)平面A5IE的法向量為根=（〃,仇c）,

ABX-m=a+c=0

則<1取加=（2,1,-2）,

AE?機(jī)=/7+—c=0

I2

所以k°s〃司=酬=2=$，

所以平面ABtE與平面ABtC夾角的余弦值為且.

3

20.⑴且

〃21

【分析】（1）利用點差法得到-與=-上，再由離心率公式計算可得；

a22

（2）依題意可得E為線段MN的中點，求出直線/與坐標(biāo)軸的交點，即可得到E點坐標(biāo)，從

而求出心E，由3-?后E=-g求出左，即可得到直線/方程，由（1）可得橢圓C

22

:泉+%=1（6>0）,聯(lián)立直線與橢圓方程，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式求出凡即可得

到橢圓方程.

【詳解】（1）依題意可得左＜0,設(shè)A（占/），W9,%），

直線/與橢圓C交于A,8兩點，線段的中點為E,

22

占

一+X

2=1

。F

22

強(qiáng)%

+

鏟

〃=1

.也%+%%Fk_Mk_%+%

7—,，鼠48，KOE，

-XX+X

ax2+玉X2—%%2121

又直線AB與直線OE的斜率乘積為-;.

（2）因為直線/與x軸，y軸分別相交于M,N兩點，S.\MA\=\NB\,

E為線段AB的中點，所以E為線段的中點,

直線/:＞=h+2（左￥0）與x軸，,軸的交點為知（一；0；N（0,2）,

又心二左。￡=一;，即一公=一；，所以后=一孝或左=,（舍去）,

所以直線/:y=-@x+2,

-2

22

又橢圓C:0+2…'

1五9

y=----x+2

由＜「2，消去y整理得/一2岳+4-62=0,

工+上=1

2b2b2

由A=4伊一2）＞。，可得廿＞2,

又%+%2=2A/2,玉元2=4—〃，

2

所以[AB]=J1+左2J%—司=Q8—4(4—b)=,所以匕2=3,則/=6,

所以橢圓C的方程為m+?=1.

o3

21.(1)4=1

(2)證明見解析

【分析】(1)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出/'(x)的最大值，只需最大值等于零,

即符合"x)WO,進(jìn)而求出。的值；

⑵由(1)知〃x)最大值為"1)=0,當(dāng)x40,3時，e，sinx-x>/(x)轉(zhuǎn)化為當(dāng)

時，e，sin尤-尤>0,利用導(dǎo)數(shù)判斷y=e*sinxr在10,《時的單調(diào)性即可得證.

【詳解】(1)由題知，〃x)的定義域為(0,+動，

若〃“0,/(-)=-〃---F1>。，不滿足題意；

ee

若〃>0,由/(%)=--1=--^知，

xx

當(dāng)X￡(0,a)時，>0,

當(dāng)無￡(。,中20)時，//(%)<0,

所以/(%)在(。㈤上單調(diào)遞增，在(〃,+8)單調(diào)遞減，

故工二夕是/(%)在(。,+")的唯一最大值點，

因為/⑴=0,所以當(dāng)且僅當(dāng)。=1時，/(x)<o,

綜上所述，a=l.

(2)由(1)知，/(x)=lnx-x+l,

/(力最大值為"1)=0,

當(dāng)，e'sinx—x〉/(x)恒成立，

故''[°'2卜寸'e*sinx-%>0恒成立，

令y=e*sinx-x,xe

貝Uy'=e"sinx+excosx-1

xx71

=e(sinx+cosx)—1=V2esinXH---1,

4

因為所以x+：71e713K

44,4

si"/,exel,e2

71

V2exsinY>1,V2exsin|九+二-l>0,

4

所以y=e'sinx-x在呵）上單調(diào)遞增,

且x=0時,y=e°sin0-0=0,

所以當(dāng)工￡卜寸，e"sinx-x>0,

即當(dāng)時，exsinx-x>f(x).

22.(1)4

⑵⑴|；

n—1

(ii)￡=§+”?=,16)；2天

n1785i

【分析】（1）由合計得分可能的取值，計算相應(yīng)的概率，再由公式計算數(shù)學(xué)期望即可；

（2）（i）利用互斥事件的加法公式和相互獨立事件概率乘法公式求概率.；

（ii）由題意，求與與月」的關(guān)系，通過構(gòu)造等比數(shù)列，求出與，再