2023年高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷數(shù)學(xué)試題（六）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023年高考沖刺模擬試卷數(shù)學(xué)試題（六）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則（）A． B． C． D．3．如圖，已知是半徑為，圓心角為的扇形，點(diǎn)，分別在，上，且，，點(diǎn)是圓弧上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值為（）A． B． C． D．4．中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上下底面平行，且均為扇環(huán)形扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分，現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，對應(yīng)的圓心角為，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．5．（）A． B． C． D．6．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（）A．B．C．D．7．已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線分別交雙曲線的左右兩支于，兩點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．8．若存在，使對于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，

每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．在公差不為零的等差數(shù)列中，已知其前項(xiàng)和為，，且，，等比數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則10．已知函數(shù)對都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且對，，當(dāng)時(shí)，都有則下列結(jié)論正確的是（）A． B．是偶函數(shù)C．是周期為4的周期函數(shù) D．11．某人有6把鑰匙，其中4把能打開門．如果不放回地依次隨機(jī)抽取3把鑰匙試著開門，設(shè)事件為“第次能打開門”，則下列結(jié)論中正確的是（）A．事件與互斥 B．C． D．12．我國古代《九章算術(shù)》里記載了一個(gè)“羨除”的例子，羨除，隧道也，其所穿地，上平下邪．如圖是一個(gè)“羨除”模型，該“羨除”是以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體，四邊形為正方形，平面，，，則（）A．該幾何體的表面積為 B．該幾何體的體積為C．該幾何體的外接球的表面積為 D．與平面所成角的正弦值為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．若的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為__________．14．已知拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，是拋物線上的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的平分線交拋物線于點(diǎn)，且，都在軸的上方，則直線的斜率為__________．15．如圖，一根絕對剛性且長度不變、質(zhì)量可忽略不計(jì)的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動，沙漏擺動時(shí)離開平衡位置的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為__________．16．已知圓：與直線相切，函數(shù)過定點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦，，則四邊形面積的最大值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且數(shù)列是為公比的等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求和．18．（12分）為了加強(qiáng)地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水質(zhì)量和可持續(xù)利用，推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)，由國務(wù)院第149次常務(wù)會議通過的《地下水管理?xiàng)l例》自2021年12月1日起施行．某市水務(wù)部門組織宣傳小分隊(duì)進(jìn)行法律法規(guī)宣傳，某宣傳小分隊(duì)記錄了前9周每周普及的人數(shù)，得到下表：時(shí)間周123456789每周普及的人數(shù)8098129150203190258292310并計(jì)算得：，，，．（1）從這9周的數(shù)據(jù)中任選4個(gè)周的數(shù)據(jù)，以表示4周中每周普及宣傳人數(shù)不少于240人的周數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）由于統(tǒng)計(jì)工作人員的疏忽，第5周的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)有誤，如果去掉第5周的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出每周普及的人數(shù)關(guān)于周數(shù)的線性回歸方程．附：線性回歸方程中，，．19．（12分）在中，內(nèi)角，，的對邊長分別為，，．（1）若，求面積的最大值；（2）若，在邊的外側(cè)取一點(diǎn)（點(diǎn)在外部），使得，，且四邊形的面積為，求的大小．20．（12分）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的等邊三角形，，，，在上且滿足．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．21．（12分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，橢圓的中心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在直線上，且橢圓過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）為橢圓上兩個(gè)動點(diǎn)，且直線與的斜率之積為，，為垂足，求的最大值．22．（12分）已知函數(shù)．（1）若，的極大值為3，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.——★參考答案★——一、單項(xiàng)選擇題1．B

〖解析〗由題意可得，，所以，故選B．2．C

〖解析〗由復(fù)數(shù)的幾何意義知，，則，故選C．3．A〖解析〗以為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，，，所以，所以的最小值為，故選A．4．D

〖解析〗此幾何體為兩個(gè)半圓柱的組合體：一個(gè)大的半圓柱中間挖去一個(gè)小的同軸半圓柱，，故選D．5．A〖解析〗原式，故選A．6．C〖解析〗因?yàn)?，，令，則，所以在上遞增，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)椋傻?，所以，所以，故選C．7．C〖解析〗過作交于，因?yàn)?，可得，所以為中點(diǎn)，設(shè)，由雙曲線定義可得，，所以，故，解得，所以，故選C．8．D

〖解析〗由題意得，如圖，當(dāng)直線過且與曲線相切時(shí)，最?。O(shè)切點(diǎn)為，則，解得，故，故選D．二、多項(xiàng)選擇題9．BC〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有，，即，解得或（舍去），，所以，，．因?yàn)?，故，，兩式相減，得，所以，故選BC．10．ABC〖解析〗的圖象關(guān)于直線對稱，故關(guān)于軸對稱，所以是偶函數(shù)，故B正確；在中，令得，因?yàn)?，所以，解得，故A正確；則有，所以是周期為4的周期函數(shù)，故C正確；對，，當(dāng)時(shí)，都有，所以在上單調(diào)遞增，所以，，因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤．故選ABC．11．BCD

〖解析〗第2次能打開門包含第一次能打開門和第一次不能打開門，故事件與不互斥，故A錯(cuò)誤；，，故B正確；所以，故C正確；因?yàn)?，所以，故D正確．故選BCD．12．ABD

〖解析〗易得該幾何體的表面積為，體積為，故A，B正確；取，中點(diǎn)，，正方形中心，中點(diǎn)，連接，，，，依題意，平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，等腰中，，，同理，所以等腰梯形的高，由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，幾何體的外接球的球心在直線上，連接，，，正方形的外接圓半徑，則有而，，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線含點(diǎn)時(shí)，視為非負(fù)數(shù)，若點(diǎn)在線段不含點(diǎn)上，視為負(fù)數(shù)，即有，即，解得，所以該幾何體的外接球的球心為，半徑為，所以該幾何體的外接球的表面積，故C錯(cuò)誤；取中點(diǎn)，連接，由等體積法可求得點(diǎn)到平面的距離，設(shè)與平面所成角為，則，故D正確．故選ABD．三、填空題13．〖解析〗由，則展開式中的系數(shù)為，，得．14．〖解析〗由題意可得拋物線的方程為拋物線，設(shè)，過點(diǎn)分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義可得，所以，解得，，同理，，所以．15．

〖解析〗由，得，由得，故，故，所以其最小正周期為，而區(qū)間的區(qū)間長度是該函數(shù)的最小正周期的，所以當(dāng)區(qū)間關(guān)于函數(shù)圖象的對稱軸對稱時(shí)，取得最小值，不妨取區(qū)間，則，，所以的最小值為．16．5

〖解析〗由題意得圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過圓心作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，所以，又，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以四邊形面積的最大值為．四、解答題17．解：（1）因?yàn)椋覕?shù)列是3為公比的等比數(shù)列，所以，（2分）當(dāng)時(shí)，，（4分）當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以．（5分）（2）由已知可得，（6分）所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（7分）所以，（9分）所以．（10分）18．解：（1）的可能取值為0，1，2，．，，，，（4分）所以的分布列為0123．（6分）（2）去掉第5周的數(shù)據(jù)后可得新數(shù)據(jù)表如下：時(shí)間周12346789每周普及的人數(shù)8098129150190258292310則，，，，（7分）所以，所以，（11分）故剩下的數(shù)據(jù)所求出的線性回歸方程為

．（12分）19．解：（1）因?yàn)?，，可得，又由正弦定理得，即，由余弦定理，得，∵，∴，即．?分）中，由余弦定理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積取得最大值．（5分）（2）設(shè)，則，（7分）在中，，由（1）知為正三角形，故，（9分）故，（10分）因?yàn)椋?，，?/p>

．（12分）20．解：（1）如圖，過點(diǎn)作交于，連接，設(shè)，連接，，，又，可得，四邊形為正方形，，（2分），，，，，為的中點(diǎn)，，（4分）因?yàn)?，平面，又平面，平面平面．?分）（2）在中，，，又，，，，又，，平面，平面，故建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，（6分）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，得，（8分）設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，，令，得，（10分），故平面與平面夾角的余弦值為．（12分）21．解：（1）設(shè)橢圓的中心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則有（1分），，橢圓的中心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在直線上，，（3分）又橢圓過點(diǎn)，可得，解得，所以橢圓的方程．（5分）（2）設(shè)，由題意得直線斜率不為零，設(shè)，由得，即，所以（6分）由，得，即，所以，所以，所以，化簡得，所以或，（9分）若，則直線過橢圓的左頂點(diǎn)，不適合題意，所以，所以過定點(diǎn)，因?yàn)?，為垂足，所以在以為直徑的圓上，，的中點(diǎn)為，又，所以，所以的最大值為，即的最大值為．（12分）22．解：（1）因?yàn)?，由，得，即的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，因?yàn)?，，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，解得．（5分）（2）當(dāng)時(shí)，，，即，所以．令，則，（7分）令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即，，（10分）所以，所以，又，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．（12分）2023年高考沖刺模擬試卷數(shù)學(xué)試題（六）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則（）A． B． C． D．3．如圖，已知是半徑為，圓心角為的扇形，點(diǎn)，分別在，上，且，，點(diǎn)是圓弧上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值為（）A． B． C． D．4．中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上下底面平行，且均為扇環(huán)形扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分，現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，對應(yīng)的圓心角為，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．5．（）A． B． C． D．6．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（）A．B．C．D．7．已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線分別交雙曲線的左右兩支于，兩點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．8．若存在，使對于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，

每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．在公差不為零的等差數(shù)列中，已知其前項(xiàng)和為，，且，，等比數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則10．已知函數(shù)對都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且對，，當(dāng)時(shí)，都有則下列結(jié)論正確的是（）A． B．是偶函數(shù)C．是周期為4的周期函數(shù) D．11．某人有6把鑰匙，其中4把能打開門．如果不放回地依次隨機(jī)抽取3把鑰匙試著開門，設(shè)事件為“第次能打開門”，則下列結(jié)論中正確的是（）A．事件與互斥 B．C． D．12．我國古代《九章算術(shù)》里記載了一個(gè)“羨除”的例子，羨除，隧道也，其所穿地，上平下邪．如圖是一個(gè)“羨除”模型，該“羨除”是以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體，四邊形為正方形，平面，，，則（）A．該幾何體的表面積為 B．該幾何體的體積為C．該幾何體的外接球的表面積為 D．與平面所成角的正弦值為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．若的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為__________．14．已知拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，是拋物線上的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的平分線交拋物線于點(diǎn)，且，都在軸的上方，則直線的斜率為__________．15．如圖，一根絕對剛性且長度不變、質(zhì)量可忽略不計(jì)的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動，沙漏擺動時(shí)離開平衡位置的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為__________．16．已知圓：與直線相切，函數(shù)過定點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦，，則四邊形面積的最大值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且數(shù)列是為公比的等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求和．18．（12分）為了加強(qiáng)地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水質(zhì)量和可持續(xù)利用，推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)，由國務(wù)院第149次常務(wù)會議通過的《地下水管理?xiàng)l例》自2021年12月1日起施行．某市水務(wù)部門組織宣傳小分隊(duì)進(jìn)行法律法規(guī)宣傳，某宣傳小分隊(duì)記錄了前9周每周普及的人數(shù)，得到下表：時(shí)間周123456789每周普及的人數(shù)8098129150203190258292310并計(jì)算得：，，，．（1）從這9周的數(shù)據(jù)中任選4個(gè)周的數(shù)據(jù)，以表示4周中每周普及宣傳人數(shù)不少于240人的周數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）由于統(tǒng)計(jì)工作人員的疏忽，第5周的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)有誤，如果去掉第5周的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出每周普及的人數(shù)關(guān)于周數(shù)的線性回歸方程．附：線性回歸方程中，，．19．（12分）在中，內(nèi)角，，的對邊長分別為，，．（1）若，求面積的最大值；（2）若，在邊的外側(cè)取一點(diǎn)（點(diǎn)在外部），使得，，且四邊形的面積為，求的大小．20．（12分）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的等邊三角形，，，，在上且滿足．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．21．（12分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，橢圓的中心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在直線上，且橢圓過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）為橢圓上兩個(gè)動點(diǎn)，且直線與的斜率之積為，，為垂足，求的最大值．22．（12分）已知函數(shù)．（1）若，的極大值為3，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.——★參考答案★——一、單項(xiàng)選擇題1．B

〖解析〗由題意可得，，所以，故選B．2．C

〖解析〗由復(fù)數(shù)的幾何意義知，，則，故選C．3．A〖解析〗以為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，，，所以，所以的最小值為，故選A．4．D

〖解析〗此幾何體為兩個(gè)半圓柱的組合體：一個(gè)大的半圓柱中間挖去一個(gè)小的同軸半圓柱，，故選D．5．A〖解析〗原式，故選A．6．C〖解析〗因?yàn)?，，令，則，所以在上遞增，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)?，可得，所以，所以，故選C．7．C〖解析〗過作交于，因?yàn)?，可得，所以為中點(diǎn)，設(shè)，由雙曲線定義可得，，所以，故，解得，所以，故選C．8．D

〖解析〗由題意得，如圖，當(dāng)直線過且與曲線相切時(shí)，最小．設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，故，故選D．二、多項(xiàng)選擇題9．BC〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有，，即，解得或（舍去），，所以，，．因?yàn)?，故，，兩式相減，得，所以，故選BC．10．ABC〖解析〗的圖象關(guān)于直線對稱，故關(guān)于軸對稱，所以是偶函數(shù)，故B正確；在中，令得，因?yàn)椋?，解得，故A正確；則有，所以是周期為4的周期函數(shù)，故C正確；對，，當(dāng)時(shí)，都有，所以在上單調(diào)遞增，所以，，因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤．故選ABC．11．BCD

〖解析〗第2次能打開門包含第一次能打開門和第一次不能打開門，故事件與不互斥，故A錯(cuò)誤；，，故B正確；所以，故C正確；因?yàn)?，所以，故D正確．故選BCD．12．ABD

〖解析〗易得該幾何體的表面積為，體積為，故A，B正確；取，中點(diǎn)，，正方形中心，中點(diǎn)，連接，，，，依題意，平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，等腰中，，，同理，所以等腰梯形的高，由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，幾何體的外接球的球心在直線上，連接，，，正方形的外接圓半徑，則有而，，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線含點(diǎn)時(shí)，視為非負(fù)數(shù)，若點(diǎn)在線段不含點(diǎn)上，視為負(fù)數(shù)，即有，即，解得，所以該幾何體的外接球的球心為，半徑為，所以該幾何體的外接球的表面積，故C錯(cuò)誤；取中點(diǎn)，連接，由等體積法可求得點(diǎn)到平面的距離，設(shè)與平面所成角為，則，故D正確．故選ABD．三、填空題13．〖解析〗由，則展開式中的系數(shù)為，，得．14．〖解析〗由題意可得拋物線的方程為拋物線，設(shè)，過點(diǎn)分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義可得，所以，解得，，同理，，所以．15．

〖解析〗由，得，由得，故，故，所以其最小正周期為，而區(qū)間的區(qū)間長度是該函數(shù)的最小正周期的，所以當(dāng)區(qū)間關(guān)于函數(shù)圖象的對稱軸對稱時(shí)，取得最小值，不妨取區(qū)間，則，，所以的最小值為．16．5

〖解析〗由題意得圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過圓心作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，所以，又，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以四邊形面積的最大值為．四、解答題17．解：（1）因?yàn)椋覕?shù)列是3為公比的等比數(shù)列，所以，（2分）當(dāng)時(shí)，，（4分）當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以．（5分）（2）由已知可得，（6分）所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（7分）所以，（9分）所以．（10分）18