重慶市青木關中學2023-2024學年高一上學期期末考試數(shù)學試題

青木關中學高2025級高一（上）期末考試數(shù)學試題滿分：150分考試時間：120分鐘一、單項選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先表示出集合，再由交集和補集的運算得出結(jié)果即可.【詳解】集合，集合，集合，所以.故選：D2.方程的解所在區(qū)間可以為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由零點存在性定理判斷即可.【詳解】方程所對應的函數(shù)為，在上為增函數(shù).，，所以由零點存在性定理可知：方程的解所在區(qū)間為：.故選：C.3.若，則（）A. B.12 C.48 D.144【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)計算得出結(jié)果.【詳解】由對數(shù)的運算性質(zhì)可知.故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，再利用誘導公式求解即可.【詳解】因為，所以，故選：B.5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，即可求出結(jié)果.【詳解】由得到或，令，則，因為在定義域上是減函數(shù)，又的開口向上且對稱軸為，易知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：B.6.（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式以及兩角差的正弦公式化簡可得結(jié)果.【詳解】故選：A7.函數(shù)的定義域為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得恒有成立，結(jié)合二次不等式恒成立性質(zhì)對進行分類討論進行求解即可.【詳解】由題意得恒成立，當時,恒成立，滿足題意；當時,,解得,綜上.故選:C.8.已知命題“對，都有恒成立”為真，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，則問題轉(zhuǎn)化為在的最小值滿足，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可求出.【詳解】令，則問題轉(zhuǎn)化為在上的最小值滿足即可.當時，，最小值為，符合題意；當時，對稱軸，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而適合題意；當時，對稱軸，則，所以；綜上的取值范圍為.故選：A.二、多項選擇題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中不止一項符合題目要求.全選對得5分，沒選全得3分，選錯得0分.）9.下列說法正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.“冪函數(shù)在上單調(diào)遞減”的充要條件為“”C.命題的否定為：D.已知一扇形圓心角，且其所在圓的半徑，則扇形的弧長為【答案】AD【解析】【分析】由充分必要條件舉例可得到A正確；由冪函數(shù)的單調(diào)性可得到B錯誤；由全稱與特稱命題的性質(zhì)可得到C錯誤；由弧長公式可得到D正確.【詳解】A：，可以是，所以充分性不成立；若，則恒成立，所以必要性成立，故A正確；B：由題意可知，又冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故B錯誤；C：命題的否定為：，故C錯誤；D：扇形圓心角，所以由弧長公式可知弧長為，故D正確.故選：AD10.下列說法正確的是（）A.若，則的最小值為4B.若，則的最小值為1C.若，則的最大值為6D.若，且，則【答案】ACD【解析】【分析】A由基本不等式和乘法可得；B舉反例可得；C由二次函數(shù)的性質(zhì)可得；D由基本不等式和解不等式可得.【詳解】A：，當且僅當時取等號，故A正確；B：當時，，故B錯誤；C：設，開口向下，對稱軸為，最大值為，故C正確；D：由已知可得，當且僅當，即或時取等號，由解得或，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的部分圖象如下，則以下說法正確的是（）A.B.的一個對稱中心為，一條對稱軸為C.向左平移個單位后為偶函數(shù)D.向右平移個單位后為奇函數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】首先由圖像和三角函數(shù)的性質(zhì)得到，得出A錯誤；由正弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心得出B正確；由平移變換和奇偶性得出CD正確.【詳解】由圖像可得，，由，因為，所以，所以.A：由以上解析可知故A錯誤；B：對稱中心：，當時，對稱中心；對稱軸，當時，對稱軸為，故B正確；C：向左平移個單位后為，為偶函數(shù)，故C正確；D：向右平移個單位后為，為奇函數(shù)，故D正確；故選：BCD.12.下列關于函數(shù)的說法正確的是（）A.當時，是單調(diào)函數(shù)B.當時，是單調(diào)函數(shù)C.當時，的值域為D.當時，的值域為【答案】AC【解析】【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性和值域求參數(shù)即可.【詳解】若是單調(diào)函數(shù)，而的對稱軸為，則，解得，顯然A正確，B錯誤，當時，此時函數(shù)和上分別單調(diào)遞減，而,此時滿足，由二次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)得的值域為，故C正確，當時，，故的值域不為，則D錯誤.故選：AC三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.）13.已知，則__________.【答案】##【解析】【分析】由三角函數(shù)的誘導公式列方程組解出或，再由誘導公式算出結(jié)果即可.【詳解】由誘導公式可知，又因為，由以上兩式可解得或，所以，代入以上兩種結(jié)果得到.故答案為：.14.函數(shù)且的定點為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點的性質(zhì)即可確定定點的坐標．【詳解】因為且，令，得到，此時，所以函數(shù)過定點，故答案為：.15.若，當時，，則__________.【答案】6【解析】【分析】先求出是以為周期的周期函數(shù)，再由對數(shù)的運算性質(zhì)求出結(jié)果即可.【詳解】因為，所以，所以是以為周期的周期函數(shù)，又因為余，故，因為當時，，所以，所以.故答案為：6.16.若滿足以下條件：①；②的圖象關于對稱；③對于不相等的兩個正實數(shù)，有成立，則的解析式可能為__________.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，圖象關于對稱，和對于不相等的兩個正實數(shù)，有成立共同得出即可.【詳解】設，因為，故滿足①；圖象為：故滿足②；設，則，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，故，所以滿足③；當，則，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，故，也滿足③.故答案為：(答案不唯一).四、解答題（本大題共6個小題，共70分.）17.化簡或計算下列各式：（1）；（2）【答案】17.1818.【解析】【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)得到結(jié)果.（2）由半角和全角公式化簡得到結(jié)果.【小問1詳解】【小問2詳解】18.若函數(shù)，（1）若不等式的解集為，求的值；（2）當時，求的解集.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用韋達定理建立方程組，且，即可求出結(jié)果；（2）利用含參的一元二次不等式的解法，分，，和三種情況討論，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為的解集為，所以且，解得.【小問2詳解】，，所以，即，又，當，即時，的解集為；當，即時，當，解集為，當，解集為；當，即或時，的兩根為，，且有，此時，的解集為或，綜上所述，當時，解集為；當，解集為，當，解集為；當或時，的解集為或.19.已知函數(shù)，求：（1）函數(shù)的最小正周期及對稱中心；（2）先將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.【答案】（1）最小正周期為，（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式和輔助角公式化簡為，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出即可.（2）先經(jīng)過平移伸縮變換后再由正弦函數(shù)的單調(diào)性求出值域即可.【小問1詳解】,令所以對稱中心為【小問2詳解】經(jīng)平移變換后，，因為，則，20.如圖所示，是一塊邊長為8米的荒地，小花想在其中開圼出一塊地來種植玫瑰花.已知一半徑為6米的扇形區(qū)域TAN已被小明提前撒下了蔬菜種子，扇形區(qū)域外能供小花隨意種植玫瑰花.最后小花決定在能種植玫瑰的區(qū)域選定一塊矩形PQCR區(qū)域進行種植，其中在邊上，在邊上，是弧上一點.設，矩形的面積為平方米.（1）求關于的函數(shù)解析式；（2）求的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用三角函數(shù)分別表示出，再由矩形的面積公式表示出關于的函數(shù)解析式即可.（2）令，由同角的三角函數(shù)關系得到，即，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出取值范圍即可.【小問1詳解】如圖，延長交于點，延長交于點.由四邊形是正方形，四邊形是矩形，可知.由，可得，..【小問2詳解】令，由，可得，故，即，，其對稱軸為所以當時，取最大值，最大值為16；所以當時，取最小值，最小值為14.即.21.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）若，判斷并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）設，且在區(qū)間上不存在零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）在上是單調(diào)遞增的，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）法一由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和奇函數(shù)關于原點對稱得出；法二奇函數(shù)的定義和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出；（2）由函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）問題轉(zhuǎn)化為求令在上有零點，則在上有解，再由單調(diào)性列出不等式，求出，再取補集即可.【小問1詳解】（法一）因為有意義時，，又因為為奇函數(shù)，所以定義域關于原點對稱，即經(jīng)檢驗適合題意.（法二）由知，即，則，經(jīng)檢驗，時，無意義，故.【小問2詳解】在上是單調(diào)遞增的，證明如下：,設，則，由知，，則且，所以從而，即，則在上單調(diào)遞增函數(shù).【小問3詳解】令在上有零點，則在上有解，令，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減知：，即，那么在區(qū)間上不存在零點時，22.已知函數(shù).（1）若對于，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若與的圖象有且僅有一個交點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得到，再由基本不等式得到在上有