遼寧省大連市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

遼寧省大連市2018屆高三第二次模擬考試試卷理科數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，則集合的子集個(gè)數(shù)是（）A．6B．7C．8D．92.復(fù)數(shù)，則（）A．1B．C．2D．43.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．12B．24C．36D．724.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A．B．C．D．5.某工廠生產(chǎn)的一種零件的尺寸（單位：）服從正態(tài)分布.現(xiàn)從該零件的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取20000件零件，其中尺寸在內(nèi)的零件估計(jì)有（）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，A．6827個(gè)B．9545個(gè)C．13654個(gè)D．19090個(gè)6.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A．B．C．D．7.雙曲線的左焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（）A．B．C．2D．8.下面四個(gè)命題：：命題“”的否定是“”；:向量，則是的充分且必要條件；：“在中，若，則“”的逆否命題是“在中，若，則“”；：若“”是假命題，則是假命題.其中為真命題的是（）A．B．C．D．9.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則周長(zhǎng)的取值范圍是（）A．B．C．D．10.關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的試驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值，試驗(yàn)步驟如下：①先請(qǐng)高二年級(jí)500名同學(xué)每人在小卡片上隨機(jī)寫下一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)；②若卡片上的能與1構(gòu)成銳角三角形，則將此卡片上交；③統(tǒng)計(jì)上交的卡片數(shù)，記為；④根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)的值.假如本次試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果是，那么可以估計(jì)的值約為（）A．B．C．D．11.已知，若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．12.已知是定義在上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A．恒成立 B恒成立 C． D.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.某班共有36人，編號(hào)分別為1，2,3,…，36.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知編號(hào)3、12、30在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)編號(hào)是．14. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為 ．15.已知圓錐的底面直徑為，母線長(zhǎng)為1，過(guò)該圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，則截面面積的最大值為．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則(用數(shù)字作答).三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.在中，，是邊上的一點(diǎn).（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.18.某城市的華為專賣店對(duì)該市市民使用華為的情況進(jìn)行調(diào)查.在使用華為的用戶中，隨機(jī)抽取100名，按年齡(單位:歲）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的頻率分布直方圖如圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，分別求出樣本的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)的估計(jì)值(均精確到個(gè)位）；（2）在抽取的這100名市民中，按年齡進(jìn)行分層抽樣，抽取20人參加華為宣傳活動(dòng)，現(xiàn)從這20人中，隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送一部華為，求這2名市民年齡都在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19.如圖，在三棱柱中，和均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)為中點(diǎn)，平面平面.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，且滿足，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率乘積為1的兩條不重合的直線，且與拋物線交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)分別為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).21.已知函數(shù)/.（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）)若在內(nèi)有兩個(gè)不同的兩點(diǎn)，求的取值范圍.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為，直線與曲線相交于兩點(diǎn).（1）寫出曲線的普通方程和直線的參數(shù)方程；（2）求的值.23.選修45：不等式選講關(guān)于的不等式的解集為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且，求證：.試卷答案一、選擇題15:CBCBA610:CDBCA11、12：DA二、填空題13.2114.15.16.264三、解答題17.解：（Ⅰ）在△ADC中，AD＝1，AC＝2eq\r(3)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos∠DAC＝1×2eq\r(3)×cos∠DAC＝3,所以cos∠DAC＝eq\f(\r(3),2).由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠DAC＝12＋1－2×2eq\r(3)×1×eq\f(\r(3),2)＝7，所以CD＝eq\r(7).（Ⅱ）(法一)：在△ABC中由正弦定理得.的周長(zhǎng)為（法二）在中，由余弦定理可得，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)不等式取等號(hào).所以，即又,所以，的周長(zhǎng)為18.解：(Ⅰ)平均值的估計(jì)值中位數(shù)的估計(jì)值：因?yàn)?，所以中位?shù)位于區(qū)間年齡段中，設(shè)中位數(shù)為，所以，.(Ⅱ)用分層抽樣的方法，抽取的20人，應(yīng)有6人位于年齡段內(nèi)，14人位于年齡段外。依題意，的可能值為0,1,2,,分布列為012.19.（Ⅰ）證明：∵AA1=A1C，且O為AC∴A1O⊥AC，又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，且交線為AC，又A1O?平面∴A1O⊥平面ABC（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．由已知可得，,，∴，，，設(shè)平面A1BC1的法向量為，則有，所以的一組解為設(shè)直線與平面所成角為，則又∵=，所以與平面所成角的正弦值為．20.（Ⅰ）解：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(9,6)，∴36＝18p，∴p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x.（Ⅱ）證明:由條件可知，直線l1，l2的斜率存在且均不能為0，也不能為1、1設(shè)l1：y＝k(x－6)＋4，則l2的方程為y＝(x－6)＋4，將l1方程與拋物線方程聯(lián)立得ky2－4y＋16－24k＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝，又y1＋y2＝k(x1＋x2－12)＋8，∴x1＋x2＝，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為，用代替k，得到點(diǎn)H坐標(biāo)為(2k2－4k＋6,2k)，∴＝∴GH方程為：y－2k＝

[x－(2k2－4k＋6)]．整理得令y＝0，則x＝4，所以直線GH過(guò)定點(diǎn)(4,0)21.解：（Ⅰ）(法二)：當(dāng)時(shí)，，令易知，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋栽谏?，在上，所以在上為增函?shù)，在上為減函數(shù)，所以即所以不等式的解集為（Ⅱ）22.解：（Ⅰ）曲線：則，即直線的參數(shù)方程為：（直線參數(shù)方程的其他形式請(qǐng)酌情給分）（Ⅱ）直線：，將直線代入中，得由于，故點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，因此直線與曲線的交點(diǎn)位于點(diǎn)的兩側(cè)，即點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的值異號(hào).設(shè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)值為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)值為，則，故23．（Ⅰ）解：∵，∴，整理得:,由題可得：，即，∴．（Ⅱ）證明：∵a＋b＋c＝1，a＋b≥2eq\r(ab)，b＋c≥2eq\r(bc)，c＋a≥2eq\r(ca