四川省瀘州市高三第二次教學質(zhì)量診斷性考試文科數(shù)學試題

瀘州市高2021級第二次教學質(zhì)量診斷性考試

數(shù)學（文科）

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.第I卷1至2頁，第n卷3至4

頁.共150分.考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題的答案標號涂黑.

3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，作圖題可先用鉛

筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)

域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1,已知全集°={"“+2>°},集合，={x|x?l},則令/=（）

A.（-2,1）B.（-2,1]C.D.（7,1）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)補集的定義計算可得.

【詳解】因為。={x|x+2>0}={x|x>—2},A={x\x>l],

所以令4=（—2/）.

故選：A

d—\

2.若復數(shù)2=幺一為純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為（）

1+1

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】

對得復數(shù)進行除法運算，再利用純虛數(shù)的概念，求得。的值.

("i)(l-i)(?-1)-(a+l)i

【詳解】因為"南

2

所以a—l=O=>a=l.

故選：B.

【點睛】本題考查復數(shù)的運算及純虛數(shù)的概念，考查基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.中，“4>8"是"sin/>sin8”的（）

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】由正弦定理，大角對大邊，大邊對大角等證明出充分性和必要性均成立，從而求出答案.

【詳解】因為力>B,由大角對大邊可得。>b,

由正弦定理得‘一=—^,且456（0,兀），

sinAsinB

所以sin/>0,sinB>0,故sin/>sinB,充分性成立，

同理當sin/>sinB時，A,Be（0,n）,sin/〉O,sinB〉0,

dh

由正弦定理——=——可得a”,

sinAsmB

由大邊對大角可得力>B,必要性成立，

“4>6”是“sinN>sin3”的充要條件.

故選：C

4.在某校高中籃球聯(lián)賽中，某班甲、乙兩名籃球運動員在8場比賽中的單場得分用莖葉圖表示（如圖一）,

莖葉圖中甲的得分有部分數(shù)據(jù)丟失，但甲得分的折線圖（如圖二）完好，則下列結(jié)論正確的是（）

A.甲得分的極差是18B.乙得分的中位數(shù)是16.5

C.甲得分更穩(wěn)定D.甲的單場平均得分比乙低

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圖一中甲的得分情況可判斷ABC的正誤，結(jié)合圖二可判斷圖一丟失的數(shù)據(jù)，計算兩者的均值

后可判斷D的正誤.

【詳解】對于甲，其得分的極差大于或等于28-9=19,故A錯誤；

從折線圖看，甲的得分中最低分小于10,最高分大于或等于28,且大于或等于20的分數(shù)有3個，故其得

分不穩(wěn)定，故C錯誤；

乙的數(shù)據(jù)由小到大依次為：9,14,15,16,17,18,19,20

乙得分的中位數(shù)為"擔工=16.5,故B正確.

2

9+14+15+18+19+17+16+20

乙得分的平均數(shù)為=16,

8

從折線圖上，莖葉圖中甲的得分中丟失的數(shù)據(jù)為一個為15,另一個可設(shè)為加，

其中10〈加＜15,

9+12+13+15+20+26+28+加旦％〉空〉

故其平均數(shù)為16故D錯誤.

8

故選：B.

5.函數(shù)/（X）=（—工—e]cosx的部分圖象大致是（）

【解析】

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，并判斷xe0,]時，函數(shù)值的正負，即可判斷選項.

【詳解】：/(x)=(e-x-ex)cosx,

，定義域為R,關(guān)于原點對稱，

由f(-x)=(eT-e~x)cos(-x)=-(e^x-ex)cosx=-f(x)，

所以為奇函數(shù)，排除BD；

IT

當0＜x＜］時，cosx＞0,因為y=『“為R上減函數(shù)，y=e*為R上的增函數(shù),

則^=「—F為R上的減函數(shù)，且當x=0,y=0,貝I當0＜尤＜，

片工-爐＜0,故/(x)＜0,排除A.

故選：C.

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S的值為()

A.250B.240C.200D.190

【答案】C

【解析】

【分析】模擬程序運行，確定變量值的變化，判斷循環(huán)條件可得結(jié)論.

【詳解】程序運行時，變量值變化如下：

z=10,5=0,5=100,7=140,不滿足S?T；i=8,S=164,T=168,不滿足SNT；i=6,S=200,

T=176,滿足S?T,輸出S=200.

故選：C.

22

7.已知點P在橢圓C:y+^=l±,C的左焦點為后若線段PF的中點在以原點。為圓心，|。耳為半

徑的圓上，則|尸盟的值為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角形的中位線定理與圓的半徑求得|萬尸1,再利用橢圓的定義即可得解.

22

【詳解】因為橢圓C：土+匕=1

98

所以該橢圓。=3,6=2e，則c=l，

設(shè)橢圓的右焦點為廠'，連接尸P,記線段尸尸的中點為。，連接

因為。分別為廠的中點，所以|PF'|=2=2,

又|PF|+\PF'\=2a=6,所以|PF|=6-|PFf|=4.

故選：B.

TT

8.已知函數(shù)/(x)=sin2x+/)cos2x的圖象關(guān)于直線x=一對稱，則b的值為()

8

A.--B.-1C.—D.1

22

【答案】D

【解析】

【分析】利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解】因為f(x)=sin2x+bcos2x=A/1+62sin(2x+0)(其中tane=b),

又函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=&對稱，

8

所以51+/—sin—Fbcos-,

44

19

所以i+/=50+b),解得b=i.

故選：D

9.定義域為R的函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=/(x—2),當為4—2,2]時,函數(shù)/(x)=4—設(shè)函數(shù)

g(x)=e*z(_2<x<6),則方程/(x)—g(x)=O的所有實數(shù)根之和為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】首先得到/(X)是以4為周期的周期函數(shù)，g(x)關(guān)于x=2對稱，在同一平面直角坐標系中畫出

>=8(力與了=/(可(》?-2,6])的圖象，數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)的交點，再根據(jù)對稱性計算可得.

【詳解】因為定義域為R的函數(shù)/(x)滿足〃x+2)=/(x—2),即/(x+4)=/(x),

所以/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

_4_x_2x2

又g(x)=e*)(-2<x<6),則g(4-x)=el()l=e-\-\=,

所以g(x)關(guān)于x=2對稱，又g(—2)=g(6)=e+2-21=4〉0,

e

..\e￥+2,2<x<6

又g(x)=e>'=\,

L，_2<X<2

又當xe[-2,2]時，函數(shù)/(x)=4_f,所以/(—2)=/(2)=0,則/(6)=/(2)=0,

令/(x)—g(x)=0,即/(x)=g(x),

在同一平面直角坐標系中畫出>=g(x)與y=e[-2,6])的圖象如下所示：

由圖可得〉=g(x)與V=/3(工式一2,6])有4個交點，交點橫坐標分別為西,工2，》3，X4，

且七與Z關(guān)于x=2對稱，4與退關(guān)于》=2對稱，

所以X]+14=4,x3+x2=4,

所以方程/(x)-g(x)=0的所有實數(shù)根之和為X]+x2+x3+x4=8.

故選：D

22

10.已知雙曲線C:二-斗=1（。＞0,6＞0）的左，右兩個焦點分別為片，為其左頂點，以線段片鳥為

a~b~

直徑的圓與C的漸近線在第一象限的交點為且|山|=三|月乙則。的離心率（）

A.72B.V3C.V5D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意求得點W的坐標，再由條件得到關(guān)于。，“c的齊次方程，從而得解.

【詳解】因為雙曲線。馬一^=1（"0力＞0）的漸近線方程為^=±紇，

a~b~a

而以線段公鳥為直徑的圓的方程為-+/=。2,

因為M在第一象限，所以

又/（—a,0）,則\AM^=（a+a）2+b2=4a2+b2,

而出心|=2c,|阪4|=1|用所以|九神=；閨閭2,

22

所以4a之+〃=—x4/,即4a之+，—/=2/,則°?=3/,

2

所以雙曲線。的離心率為e=g二百.

a

故選：B.

11.已知三棱錐S—43C的底面是邊長為3的等邊三角形，且￡4=48,ZSAB=120°,平面平

面45C,則其外接球的表面積為（）

A.12兀B.24兀C.36兀D.39兀

【答案】D

【解析】

【分析】分別利用正弦定理求得△ABC,△S48的外接圓的半徑，再利用兩個面垂直的三棱錐的外接球半

徑R滿足(2R)2=(24『+(2々『—AB2,從而得解.

【詳解】因為三棱錐S-48C的底面是邊長為3的等邊三角形，

所以AB-3,則SA-AB-3，

設(shè)AABC,ASAB的外接圓的半徑分別為小々，

AB2父

則在等邊“5C中，2q=—^=3x—7==2j3,

sin60°

在△￡43中，ZSAB=120°,

所以SB?=&42+282_2”.幺8?0S/&48=32+32-2X3X3X^-1^=27,

則SB=3l52c々=而SB而=3cAn耳2=,6，

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的半徑為R，因為平面SAB1平面ABC,

則(2R『=(24+(2力_2爐=(26『+62—32=39，

所以其外接球的表面積為4位2=3971.

故選：D.

12.已知/(X),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，對任意無，V滿足/(x-y)=〃x)g(y)-g(x)/(y),且

/(-2)=/(1六0,則下列說法正確的是()

2024

A.g(O)=-lB.若/(1)=2024,則Z/(〃)=2024

n-1

C.函數(shù)/(2x—1)的圖像關(guān)于直線X=1■對稱D.g(l)+g(-l)=-l

【答案】D

【解析】

27r27r

【分析】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷A、D,取/(月=5也？-%這3=(：05?-1可判斷(2,對

于B,通過觀察選項可以推斷/(x)很可能是周期函數(shù)，結(jié)合/(x)g(y),g(x"(y)的特殊性及一些已經(jīng)證

明的結(jié)論，想到令y=—1和歹=1時可構(gòu)建出兩個式子，兩式相加即可得出/(x+l)+/(x—1)=-/卜)，

2024

進一步得出/(X)是周期函數(shù)，從而可求Z/(〃)的值.

n=\

【詳解】對于A,令x=y=0,可得/⑼=/(O)g(O)—g(O"(O)=O,得/(0)=0,

令y=0,x=l,代入已知等式得/(l)=/(l)g(O)—g(l)/(O),

可得/⑴[i_g(o)]=_g(i)/(o)=o,結(jié)合/(1戶0得l—g(0)=0,

所以g(O)=l,故A錯誤；

對于D,因為g(o)=i,令x=o,代入已知等式得/(一力=/(0)g(力—g(o)/(y),

將/⑼=o，g(o)=i代入上式,得/(-力=-/(同,所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù).

令x=l,J=-1,代入已知等式，得/(2)=/(l)g(—l)—g(l)/(—l),

因為=—/⑴，所以/(2)=/(l)[g(—l)+g⑴],

又因為”2)=—/(—2)=—/⑴，所以⑴=/(l)[g(f+g⑴],

因為/(1)N0,所以g(l)+g(—1)=—1,故D正確；

對于B,分別令y=-1和y=l,代入已知等式，得以下兩個等式：

/(x+l)=/(x)g(-1)-g(x)/(-1),/(X-l)=/(x)g⑴-g(x)/⑴，

兩式相加易得/(x+1)+/(x—1)=~f(x),所以有/(x+2)+/(x)=—f(x+1),

即/(x)=-/(x+l)-/(x+2),

有-/(x)+/(x)=/(x+l)+/(x—l)—/(x+l)—/(x+2)=0,

即/(x—l)=/(x+2),所以/(x)為周期函數(shù)，且周期為3,

因為/⑴=2024,所以/(—2)=2024,所以/(2)=—/(—2)=—2024,/(3)=/(0)=0,

所以/⑴+/(2)+/(3)=0,

2024

所以￡/（〃）=/⑴+/（2）+/（3）+…+/（2024）

?=1

=/（2023）+/（2024）=/（1）+/（2）=0,故B錯誤;

27r217r

對于C,lx/（x）=sin—X,g（x）=COS—X,滿足/'（xr）=/（x）g（y）-g（x）/（y）及〃-2）=N0,

所以f（2x-l）=sin—（2x-l）,又/（0）=sin0=0,

所以函數(shù)/（2x-1）的圖像不關(guān)于直線x=1?對稱，故C錯誤；

故選：D.

【點睛】思路點睛：對于含有X，〉的抽象函數(shù)的一般解題思路是：觀察函數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可利用的點，以及

利用證明了的條件或者選項；抽象函數(shù)一般通過賦值法來確定、判斷某些關(guān)系，特別是有雙變量，需

要雙賦值，可以得到一個或多個關(guān)系式，進而得到所需的關(guān)系，此過程中的難點是賦予哪些合適的值，這

就需要觀察題設(shè)條件以及選項來決定.

第II卷（非選擇題共90分）

注意事項：

（1）非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出,

確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無效.

（2）本部分共10個小題，共90分.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題紙上）.

13.已知向量￡范滿足|￡|=1,向=百,|￡-2否1=3,貝.

【答案】1

【解析】

【分析】對|Z-|=3兩邊平方化簡可得結(jié)果

【詳解】因為|￡|=1,向=道,|￡一21|=3,

所以--4a-b+4b=32?

所以1—424+12=9,解得屋5=1，

故答案為：1

x>0

14.已知實數(shù)x,y滿足約束條件<x+y<2,則z=4x+y的最大值等于.

x+3y>3

13

【答案】—

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意，畫出可行域和目標函數(shù)，直接判斷最大值點即可.

31

可得z=4x+y在點P(-,-)處取得最大值，

此時zmax=-.

13

故答案為：—.

2

15.若函數(shù)/(x)=lnx-有零點，則實數(shù)。的取值范圍是.

e

【答案】［0,+8)

【解析】

【分析】利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值，依題意只需/(x).之0,即可求出參數(shù)的

取值范圍.

【詳解】函數(shù)/(x)=lnx—1x+a的定義域為(0,+“)，

e

116—V

又/'(》)=——=上三，所以當o<x<e時/'(x)>o,當％>e時/'(x)<0,

xeex

所以/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(x)1mx=/(e)=a,又x30時/(x)--oo,x-+<?時/(x)?-oo,

又函數(shù)/(x)=Inx—L+a有零點，所以/(x)max?。，即a20,

e

所以實數(shù)。的取值范圍是［o,+").

故答案為：［0,+")

16.AZ8C的內(nèi)角C的對邊分別為a,6,c,已知c?=3/—3/,則tan(/-8)的最大值為.

【答案】@

4

【解析】

【分析】利用正余弦定理，結(jié)合三角恒等變換得到tan/=2tanB,再利用基本不等式即可得解.

【詳解】由余弦定理得=/+。2-26ccos/,z)2=/+。2-2accosB，

兩式相減得2—Z?2)—2c(acosB—bcos/),

因為/=3a1-3b2,所以。=3(QCOS5—Z?COS/),

由正弦定理得sinC=3(sinAcos5-sin5cosA),

即sin(/+5)=3(sinAcosS-sin5cosA),

所以sin/cosg+sinBcos/=3(sinAcosB-sinBcosA),

貝!JsinAcosB-2cos/sin5,

因為在Az43c中，cos4cos5不同時為0,sin/>O,sinB>0,故cosZw0,cos_5w0,

所以tan/=2tanB，

71

又。2=3"—3〃>0,所以。>6,則/>B,故0<B<—,則tan3〉0,

2

/,c、tanA-tanBtan51

tan(A-B\-------------二-------z—二一-----------

所以1+tan/tanB1+2tan251.口

--------------F2tanB

tan5

/1亞

\---.,-----

-O4，

2J------x2tanB

Vtan5

i萬

當且僅當——二2tanB,即tanB二注時，等號成立，

tan52

則tan(Z—8)的最大值為字.

故答案為：巫.

4

【點睛】易錯點睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正一各項均為

正；二定一積或和為定值;三相等一等號能否取得“，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，=|(??-1)(/7eN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

V

(2)在與%+i之間插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為一的等差數(shù)列，求〃.

50

【答案】⑴an=3"

(2)?=99

【解析】

【分析】(1)利用。”與S”的關(guān)系式，結(jié)合等比數(shù)列的定義與通項公式即可得解；

(2)利用等差數(shù)列的通項公式即可得解.

【小問1詳解】

因為S,=T(%—D(〃eN*),

3

當〃=1時，S[=5(q-1)=%,所以q=3,

3

當〃22時,S“T=5(%_I-1),

33

所以%=Si=—1)，整理得%=3a，i，

所以數(shù)列｛4｝是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛an｝的通項公式為an=3"；

【小問2詳解】

因為%=3",%+]=3計1,

3"1

由題意得：3H+1=3,,+(?+1)~,即3=1+(〃+1＞公，

所以〃=99.

18.如圖，45CD為圓柱底面的內(nèi)接四邊形，ZC為底面圓的直徑，PC為圓柱的母線，且42=/。.

(1)求證：AP工BD；

PF1

(2)若「。=/。=25。=4,點少在線段尸4上，且力=：，求四面體尸的體積.

FA3

【答案】(1)證明見解析

(2)6

【解析】

【分析】(1)由平面幾何的知識可得再由線面垂直的性質(zhì)得到尸C,8。，即可證明1平

面上4C,從而得證；

(2)設(shè)ZC口AD=E,連接E尸，即可證明EF//PC,從而得到PC//平面BDF、EE1平面ABCD,

、

再證明ZC_L平面BDF,最后根據(jù)VPBDF=VC_BDF=；SBDFCE計算可得.

【小問1詳解】

JT

因為/C為底面圓的直徑，且=即N/8C=NNDC=—,

2

又AC=4C,所以RtAC4B0RtAC4。，所以CB=CD,

所以4CJ.BD,

又PC為圓柱的母線，即PC,平面/BCD,3￡>u平面48CD,所以0

又PCc4c=C,PC,ZCu平面上4。，所以8。人平面R4C,

又R4u平面上4C,所以4PLAD.

【小問2詳解】

在RtZk/BC中ZC=4、BC=2,

所以AB=J/。?—BC?=2百，又sinZ8/C=箓=（，則

AC2o

設(shè)/cnm二5,

CE]

所以在RtZXZBE中，AE=ABcosZBAC=3,BE=ABsinNBAC=5所以C￡=l,則——=-,

EA3

PF]

又不7=:，連接E尸，所以￡尸〃PC,因為平面,EEu平面BDE,

FA3

所以PC〃平面,

3

又PC=4,所以防=—PC=3,

4

又PC，平面/BCD,所以EE1平面/BCD,

又/Cu平面48cO,ADu平面/BCD,所以￡/工/。，EF1BD,

又AC，BD,且EF(~]BD=E,EF,BDu平面BDF,

所以/C,平面ADE,

所以%OF=Z-BOF=；S-BDF-CE=；xgx2百x3xl=G.

19.某校為了讓學生有一個良好的學習環(huán)境，特制定學生滿意度調(diào)查表，調(diào)查表分值滿分為100分.工作人

員從中隨機抽取了100份調(diào)查表將其分值作為樣本進行統(tǒng)計，作出頻率分布直方圖如圖.

(1)估計此次滿意度調(diào)查所得的平均分值嚏(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);

(2)在選取的100位學生中，男女生人數(shù)相同，規(guī)定分值在(1)中的最以上為滿意，低于嚏為不滿意，據(jù)

統(tǒng)計有32位男生滿意.據(jù)此判斷是否有95%的把握認為“學生滿意度與性別有關(guān)”？

(3)在(2)的條件下，學校從滿意度分值低于嚏分的學生中抽取部分進行座談，先用分層抽樣的方式選

出8位學生，再從中隨機抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率.

附：爛=——皿心式——，其中“=a+"c+".

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（片淮）0.100.050.0100.0050.001

K。2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）x=70

（2）有95%的把握認為“學生滿意度與性別有關(guān)”

【解析】

【分析】（1）利用頻率分布直方圖平均數(shù)的求法求解即可;

（2）利用（1）的結(jié)論及給定信息得到2x2列聯(lián)表，再計算42的觀測值，與臨界值表比對作答即可得解;

（3）求出8位業(yè)主中男女人數(shù)，利用列舉法及古典概率公式即可得解.

【小問1詳解】

根據(jù)頻率分布直方圖知，

x=（45x0.012+55x0.016+65x0.020+75x0.024+85x0.018+95x0.010）x10=70,

所以此次滿意度調(diào)查中物業(yè)所得的平均分值為70分.

【小問2詳解】

由（1）及已知得2x2列聯(lián)表如下：

不滿意滿意總計

男183250

女302050

總計4852100

則K2的觀測值為：片=100x（30x32—18x20）-=755.769〉3.841,

50x50x48x5213

所以有95%的把握認為“業(yè)主滿意度與性別有關(guān)”.

【小問3詳解】

由（2）知滿意度分值低于70分的業(yè)主有48位，其中男士18位，女士30位,

用分層抽樣方式抽取8位業(yè)主，其中男士3位，女士5位，

記男士為a,b,c,記女士為1,2,3,4,5,

從中隨機抽取兩位為監(jiān)督員事件為：

ab,ac,al,a2,a3,a4,a5,be,bl,b2,63,64,b5,cl,c2,c39c4,c5,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,

共計28個基本事件，

其中抽到男女各一人有4M5/l/2,/?3,64,Z)5,cl,c2,c3,c4,c5,共15個基本事件，

所以恰好抽到男女各一人為監(jiān)督員的概率為p=—.

28

20.已知函數(shù)-0^+2(4>0).

(1)求曲線y=/(x)在點(OJ(O))處的切線方程；

⑵若求實數(shù)0的取值范圍.

【答案】(1)了=2

(2)(0,l]u[3,+co)

【解析】

【分析】(1)對/(x)求導，利用導數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)先利用導數(shù)分析/(x)的單調(diào)性，再構(gòu)造g(x)=將問題轉(zhuǎn)化為g(x)max>3,利用/(x)的

單調(diào)性，分析得|/(X)lmax，從而得解.

【小問1詳解】

因為/(x)=2/一分+2(a>0),則f'(x)=6x2-lax,

所以/(0)=2,/'(0)=0,

所以曲線了=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程y=2；

【小問2詳解】

x2

因為f\)-6x-2ax=6xfx--j,且。＞0,

所以當0<x<三時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

當x<0或X〉]時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增;

當"121,即?！?時，/(x)在[—1,0]單調(diào)遞增，在[0』單調(diào)遞減，

且/(_1)=_。4_3,/(0)=2,/(1)=4_。<1,

所以g(x)max=l/(x)lmax=max{a,2,|4—a|}?3,此時符合題意；

當0<]<1,即0<°<3時，/(x)在[―1,0]和—,1單調(diào)遞增，在0,—單調(diào)遞減，

顯然/(X)在X=三處取得極小值，此時極小值為/[1]=2—盤>0，

而/(-1)=-ae(-3,0),/(0)=2,/(1)=4-?>0,

所以g(x)max=1/(X)lmax=^x{a,2,4-研,

要使g(x)max23,則必有4—。之3,解得。41，故

綜上a的取值范圍是(0,1]33,+8).

【點睛】結(jié)論點睛：

⑴/卜)>0有解/⑺111ax>0;/(X)<O有解

(2)/(x)>a有解o/(x)max>a；/(x)<a有解。/(工心<a.

(3)/(x)>g(x)有解o[/(x)-g(X)Lax〉°；/(x)<g(x)有解o[/(x)-g(x)Ln<0?

(4)Bx^M,3X2GN,/(^)>g(x2)^/(x1)max>g(x2)min.

21.設(shè)廠為拋物線8:y=21(p>0)的焦點，點p在〃上，點^\PF\=\PM\=5.

(1)求H的方程；

(2)過點廠作直線/交X于/、3兩點，過點2作x軸的平行線與X的準線交于點C,過點/作直線CF

\GB\

的垂線與〃的另一交點為。，直線C2與ND交于點G,求三U的取值范圍.

【答案】(1)y2=4x

【解析】

【分析】⑴先由歸尸|=|尸M得點尸的橫坐標，再利用拋物線的定義即可得解;

（2）聯(lián)立直線/與拋物線X的方程，得到必+外/1%，再%2,再根據(jù)題意依次求得點。與點G的坐標，從

\GB\

而將;轉(zhuǎn)化為關(guān)于玉的表達式，從而得解.

【小問1詳解】

依題意，點尸的坐標為［1刀），

又用作,°］，附H?M=5,所以點尸的橫坐標為3（+用=2）,

由拋物線的定義得小=20+言=5,所以0=2,

所以拋物線H的方程為y2=4x.

【小問2詳解】

由（1）知點少的坐標為（1,0）,設(shè)直線/的方程為》=沖+1,

x-my+\

聯(lián)立＜2，消去了,得/—4my—4=0,易知A〉0,

y=4x

設(shè)/（國,乃）,5（%2，%），則%+%=4加,％為=一4,故石馬=組々=1，

因為〃的準線為x=-1,因為直線平行于X軸，

所以點。的坐標為。（-1,外），則直線CR的斜率為上尸=-修，

22

所以直線4D的斜率為一，其方程為y-%=—（x-xj,

%必

因為點G的縱坐標為巴，

2

所以點G的橫坐標為%=X1+^-^=X1+2X2+2,

|GB|x+2X+2-Xx+x+2+xx+2x%,2+2%,+1

所以--------------2-------2=-------2----=--------2-------=----------

2

|GC|xx+2X2+2+1%1+2X2+3x1+2x1x2+3x1x^+3%^2

1

=A±l=i.

玉+2石+2

111i1i

因為%>。，則A0</<5,所以5<1—,<1，

|651

BPJ——L的取值范圍是

|GC|

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為（國,%）,（馬,%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或了）的一元二次方程，注意A的判斷；

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為西+工2、xix2（或%+%、為%）的形式；

（5）代入韋達定理求解.

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計分.

選修44：坐標系與參數(shù)方程

22.在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標