浙江省臨平蕭山聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023學(xué)年第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試高二數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1．本卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或簽字筆再答題卷指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無(wú)效!3．考試結(jié)束后，只需上交答題卷．選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)榛?，，則.故選：D2.已知，為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，故.故選：C.3.已知平面向量，，且，則（）A. B.0 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】首先求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，解?故選：A4.已知雙曲線(xiàn)左，右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線(xiàn)左支上存在點(diǎn)使得，則離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)：雙曲線(xiàn)左支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離：可確定雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍.詳解】由題意：.故選：A5.已知，，則（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得出，解方程，可得出的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，由已知可得，解得，故.故選：D.6.數(shù)學(xué)家歐拉研究調(diào)和級(jí)數(shù)得到了以下的結(jié)果：當(dāng)較大時(shí)，（，常數(shù)）．利用以上公式，可以估算的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意可得，，兩式相減，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】依題意可得，，兩式相減可得.故選：B7.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依題意可得，利用充分條件、必要條件的定義判斷可得答案．【詳解】，則，，所以，所以由不能推出，充分性不成立；反之，成立，即必要性成立；，則“”是“”的必要不充分條件．故選：B．8.已知圓與直線(xiàn)，過(guò)上任意一點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，切點(diǎn)為和，若線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】推導(dǎo)出垂直平分，分析可知，當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，此時(shí)，，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，如下圖所示：由圓的幾何性質(zhì)可知，，因?yàn)椋?，，所以，，所以，，則，設(shè)，則為的中點(diǎn)，由勾股定理可得，由等面積法可得，所以，當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，由，可得，所以，的最小值為，當(dāng)與直線(xiàn)垂直時(shí)，取最小值，則，因?yàn)椋獾?故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查圓的切點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般方法有如下兩種：（1）求出切點(diǎn)弦所在直線(xiàn)的方程，然后利用勾股定理求解；（2）利用等面積法轉(zhuǎn)化為直角三角形斜邊上的高，作為切點(diǎn)弦長(zhǎng)的一般求解.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知一組數(shù)據(jù)：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均數(shù)為，則（）A.B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4C.若將這組數(shù)據(jù)每一個(gè)都加上0.3，則所有新數(shù)據(jù)的平均數(shù)變?yōu)?D.這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為5.5【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)求出值，再根據(jù)百分位的性質(zhì)求出結(jié)果．【詳解】由題意得，解得，故A正確；將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，則中位數(shù)，故B錯(cuò)誤；若將這組數(shù)據(jù)每一個(gè)都加上0.3，則所有新數(shù)據(jù)的平均數(shù)變?yōu)椋蔆正確；因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故D正確．故選：ACD．10.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，，下面說(shuō)法正確的是（）A.B.C.是銳角三角形D.最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理可判斷A選項(xiàng)；利用余弦定理可判斷BC選項(xiàng)；利用二倍角的余弦公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由正弦定理可得，A對(duì)；對(duì)于B，由余弦定理可得，，，所以，，B錯(cuò)；對(duì)于C，因?yàn)?，則為最大角，又因?yàn)?，則為銳角，故為銳角三角形，C對(duì)；對(duì)于D，由題意知，為最小角，則，因?yàn)?，則，則，D錯(cuò).故選：AC.11.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，面，，點(diǎn)E是棱上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），F(xiàn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，則（）A.一定不存在點(diǎn)E，使平面B.一定不存在點(diǎn)E，使平面C.以D為球心，半徑為2的球與四棱錐的側(cè)面的交線(xiàn)長(zhǎng)為D.的最小值【答案】ACD【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，利用空間向量判斷A，B，把展開(kāi)到同一平面內(nèi)計(jì)算判斷D，求出球面與的交線(xiàn)，再借助對(duì)稱(chēng)計(jì)算判斷C即可.【詳解】對(duì)于A，在四棱錐中，面，因?yàn)槊?，所以，因?yàn)榈酌媸钦叫危?，以為原點(diǎn)，射線(xiàn)分別為軸非負(fù)半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，顯然面的一個(gè)法向量為，而，即不垂直，所以與平面不平行，故A正確；對(duì)于B，又，所以，即，若，則，所以存在點(diǎn)，使得，又平面，所以平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意球面與的交線(xiàn)如圖中圓弧，而，所以，所以圓弧的弧長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于D，由于面，面，所以，而，面，所以面，又面，所以，同理，且，把展開(kāi)到同一平面內(nèi)，要使取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在上，且，如圖，因?yàn)?，所以由勾股定理得，所以，而，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及空間圖形中幾條線(xiàn)段和最小的問(wèn)題，把相關(guān)線(xiàn)段所在的平面圖形展開(kāi)并放在同一平面內(nèi)，再利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短解決是關(guān)鍵.12.已知函數(shù)，的零點(diǎn)分別為、，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】分析可知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，利用圖象的對(duì)稱(chēng)性可判斷A選項(xiàng)；由化簡(jiǎn)可判斷B選項(xiàng)；由基本不等式可判斷C選項(xiàng)；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于函數(shù)，可得，可得，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，由，得，由，得，作出函數(shù)、、的圖象如下圖所示：由對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)于A選項(xiàng)，，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由，可得，所以，，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，由可得，則，這與即矛盾，所以，，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，由不等式的基本性質(zhì)可得，D錯(cuò).故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵分析出函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，以及同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性來(lái)得出等量關(guān)系，再利用不等式的基本性質(zhì)求解.非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.過(guò)、兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】利用兩點(diǎn)間的斜率公式可得出直線(xiàn)的斜率.【詳解】由已知可得.故答案為：.14.在直三棱柱中，，，，，則該直三棱柱的外接球的表面積為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】將直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，求出該直三棱柱的外接球的直徑，利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，則，則，將直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如下圖所示：所以，直三棱柱的外接球直徑為，因此，該直三棱柱的外接球的表面積為.故答案為：.15.已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】先把函數(shù)化成的形式，再根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間上的值域求的取值范圍.【詳解】因?yàn)?又.因?yàn)?故答案為：16.已知雙曲線(xiàn)：的右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與C的一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)P，直線(xiàn)PF與C的一個(gè)交點(diǎn)為Q，，且，則C的離心率為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)條件：，可確定點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)條件：可確定點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)在雙曲線(xiàn)上可求出雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】如圖：因?yàn)?，，設(shè).由所以：.所以點(diǎn)坐標(biāo)為.，所以軸.過(guò)作軸的垂線(xiàn)，過(guò)作軸的垂線(xiàn)，相交于點(diǎn).則，又，所以，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)上，所以或（舍去）.故答案為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線(xiàn)的離心率，常見(jiàn)的方法有兩種：（1）求出，，利用求出離心率；（2）根據(jù)條件得到關(guān)于，，的齊次式，結(jié)合和，解方程可得的值.四、解答題：本題共6小題，第17題10分，第18-22題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，可得出函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期；（2）由求出的取值范圍，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)在上的最大值.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，則，故函數(shù)的最小正周期為.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故.18.如圖，在中，已知，，，，分別為，上的兩點(diǎn)，，，相交于點(diǎn)．（1）求的值；（2）求證：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）用、表示，再根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算可得；（2）用、表示、，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可得證.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以；【小?wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以?9.樹(shù)人中學(xué)從參加普法知識(shí)競(jìng)賽的1000同學(xué)中，隨機(jī)抽取60名同學(xué)將其成績(jī)（百分制，均為整數(shù)）分成六組后得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問(wèn)題：（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估計(jì)本次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)；（2）如果確定不低于88分的同學(xué)進(jìn)入復(fù)賽，問(wèn)這1000名參賽同學(xué)中估計(jì)有多少人進(jìn)入復(fù)賽；（3）若從第一組，第二組和第六組三組學(xué)生中分層抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人成績(jī)之差的絕對(duì)值小于25的概率．【答案】（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖見(jiàn)解析；估計(jì)眾數(shù)為.（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各矩形的面積之和為1，求出組的頻率，可補(bǔ)全頻率分布直方圖，由此估計(jì)本次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)；（2）由頻率分布直方圖求出成績(jī)不低于88的頻率，由此估計(jì)進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)；（3）根據(jù)分層抽樣求出各組抽取人數(shù)，再用古典概型求出所抽取的2人成績(jī)之差的絕對(duì)值小于25個(gè)概率.【小問(wèn)1詳解】組的頻率為：.所以補(bǔ)全頻率分布直方圖為：因?yàn)榻M對(duì)應(yīng)的小矩形最高，所以估計(jì)本次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖得分?jǐn)?shù)不低于分的頻率為：.所以這名參賽同學(xué)中估計(jì)進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為：.【小問(wèn)3詳解】從第一組，第二組和第六組三組同學(xué)中分層抽取人，因?yàn)榈谝?、二、六組的頻率之比為，所以第一組抽取人，第二組抽取人，第六組抽取人.設(shè)這人分別為：，從這6人中任選2人的抽法有：基本事件總數(shù)，所抽取的人成績(jī)之差的絕對(duì)值小于包含的基本事件有：基本事件個(gè)數(shù)個(gè)數(shù).所以所抽取的人成績(jī)之差的絕對(duì)值小于的概率為.20.如圖，在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為正方形，，，，平面平面．（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接、，推導(dǎo)出，利用面面垂直的性質(zhì)可得出平面，可得出，推導(dǎo)出平面，可得出，利用正方形的性質(zhì)可得出，可得出平面，再利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：連接、，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，，因?yàn)椋?，，，則，由余弦定理可得，所以，，則，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，則平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，因?yàn)椋?、平面，則平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，因?yàn)椋⑵矫?，則平面，因?yàn)槠矫?，則.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，，因此，平面與平面所成銳角的余弦值為.21.如圖，在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)段，為垂足，且滿(mǎn)足．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的軌跡為．（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．已知為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，對(duì)于任意都有，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，且點(diǎn)【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)、，則，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，代入等式化簡(jiǎn)可得出曲線(xiàn)的方程；（2）記，則直線(xiàn)的方程可化為，將該直線(xiàn)方程與曲線(xiàn)的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出及點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可求出直線(xiàn)的方程，即可得出直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，即為所求的點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，則，因?yàn)?，則，則，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在圓，則，所以，，整理可得.因此，曲線(xiàn)的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：存在，理由見(jiàn)解析.記，則直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立可得，解得，則，故點(diǎn)，所以點(diǎn)，則，因?yàn)椋瑒t，在直線(xiàn)中，令，可得，即點(diǎn)，所以，直線(xiàn)的方程為，所以，存在定點(diǎn)，使得.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線(xiàn)系或曲線(xiàn)的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，常利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.22.已知函數(shù)和的定義域分別為和，若