專項訓練－方程思想解題技巧課件2023-2024學年人教版八年級數學下冊

方程思想解題技巧薈萃八年級數學（下）專項訓練

所謂方程思想，就是從分析問題的數量關系入手，通過設定未知數，把問題中的已知量與未知量的數量關系轉化為方程或方程組等數學模型，然后利用方程的理論或方法，使問題得到解決.

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?如圖，AB比AC長2cm，BC的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，△ACD的周長是14cm，求AB和AC的長.?

方法：此題用代數方法解較好.可設AB，AC的長分別為xcm，ycm，已知AB比AC長2cm，只需再找到AB與AC的另一個等量關系即可列出二元一次方程組.

應用1：方程思想在證三角形形狀中的應用1.如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，DE是BC的垂直平分線，交BC于點D，交AB于點E，AF⊥BC于點F.(1)若∠BAC＝90°，求AE的長；

(2)若DF＝0.7，求證：△ABC為直角三角形.【證明】∵DE是BC的垂直平分線，∴BD＝CD.設BD＝y(tǒng)，則CD＝y(tǒng).∵DF＝0.7，∴BF＝y(tǒng)＋0.7，CF＝y(tǒng)－0.7.∵AF⊥BC，∴AB2－BF2＝AF2，AC2－CF2＝AF2.∴AB2－BF2＝AC2－CF2，即42－(y＋0.7)2＝32－(y－0.7)2，解得y＝2.5，即BD＝CD＝2.5.∴BC＝5.∵32＋42＝52，∴AC2＋AB2＝BC2.∴△ABC為直角三角形.應用2：方程思想在求陰影部分的面積中的應用2.如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的點F處.已知CE＝3cm，AB＝8cm，求圖中陰影部分的面積.【解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠ECF＝∠ABF＝90°.由折疊可知，AF＝AD，EF＝DE＝CD－CE＝AB－CE＝8－3＝5(cm).∵在Rt△CEF中，EF2＝CE2＋CF2，∴CF＝4cm.設BF＝xcm，則AF＝AD＝BC＝BF＋CF＝(x＋4)cm.

應用3：方程思想在探究線段相等的條件中的應用3.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm.點P從點A沿AB方向以1cm/s的速度運動至點B，點Q從點B沿BC方向以6cm/s的速度運動至點C，P，Q兩點同時出發(fā).(1)求BC的長；

(2)當運動2s時，求P，Q兩點之間的距離；【解】如圖，連接PQ.當運動2s時，AP＝1×2＝2(cm)，BQ＝6×2＝12(cm).∴BP＝AB－AP＝7－2＝5(cm).在Rt△BPQ中，由勾股定理得PQ2＝BP2＋BQ2＝52＋122＝132，∴PQ＝13cm.即P，Q兩點之間的距離為13cm.(3)當P，Q兩點運動幾秒時，AP＝CQ？

應用4：方程思想在求線段長中的應用4.[2023·隨州]如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點D為AC上一點，若BD是∠ABC的角平分線，則AD＝

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?.5

【點撥】如圖，過點D作DE⊥AB于點E.∵∠C＝90°，∴CD⊥BC.∵BD是∠ABC的角平分線，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.

∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL).∴BE＝BC＝6.在Rt△ABC中，∵AC＝8，

∴AE＝AB－BE＝10－6＝4.設CD＝DE＝x，則AD＝AC－CD＝8－x.在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，∴42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.∴AD＝8－x＝5.應用5：方程思想在求幾何中函數解析式的應用5.如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，設CD的長為x，四邊形ABCD的面積為y，求y與x之間的函數解析式.

【解】如圖，過點D作DE⊥AC于點E，設BC＝a，則AC＝4a.由∠BAD＝90°，∠DEA＝90°，易得∠2＝∠1.∵∠ACB＝90°，∴∠DEA＝∠ACB.又∵DA＝AB，∴△DAE≌△ABC(AAS).∴AE＝BC＝a，DE＝AC＝4a.∴EC＝AC－AE＝4a－a＝3a.∴在Rt△DEC中，CD2＝EC2＋DE2.

應用6：方程思想在解銷售問題中的應用6.[2023·邵陽]低碳生活已是如今社會的一種潮流形式，人們的環(huán)保觀念也在逐漸加深.“低碳環(huán)保，綠色出行”成為大家的生活理念，不少人選擇自行車出行.某公司銷售甲、乙兩種型號的自行車，其中甲型自行車進貨價格為每臺500元，乙型自行車進貨價格為每臺800元.該公司銷售3臺甲型自行車和2臺乙型自行車，可獲利650元，銷售1臺甲型自行車和2臺乙型自行車，可獲利350元.(1)該公司銷售一臺甲型、一臺乙型自行車的利潤各是多少元？

(2)為滿足大眾需求，該公司準備加購甲、乙兩種型號的自行車共20臺，且資金不超過13000元，最少需要購買甲型自行車多少臺？【解】設需要購買甲型自行車m臺，則需要購買乙型自行車(20－m)臺，由題意得500m＋800(20－m)≤13000，解得m≥10.答：最少需要購買甲型自行車10臺.應用7：方程思想在解實際等距問題中的應用7.如圖，某校(點M)距公路(直線l)的距離(MA的長)為1km，在公路上距該校2km處有一個車站(點N)，該校擬在公路上建一個公交車?？空?點P)，以便于該校職工乘車上下班，要求?？空镜皆撔Ｅc車站的距離相等，請問：?？空緫ㄔ谑裁次恢?？并計算?？空镜杰?/p>

站的距離.

應用8：方程思想在求平面直角坐標系中函數解析式的應用8.節(jié)約用水是我們的美德，水龍頭關閉不嚴會造成滴水，容器內盛水量w(L)與滴水時間t(h)的函數關系可

以用顯示水量的容器如

圖①的試驗，并根據試

驗數據繪制出如圖②的

函數圖象，結合圖象解答下列問題：(1)求w與t之間的函數解析式；

(2)計算在這種滴水狀態(tài)下，一天(24h)容器內的盛水量是多少升.【解】由解析式可知，當t＝24時，一天容器內的盛水量w＝0.4×24＋0.3＝9.9，即在這種滴水狀態(tài)下一天容器內的盛水量是9.9L.應用9：方程思想在求實際問題中最值的應用9.[2023·遂寧]端午節(jié)是我國入選世界非物質文化遺產的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗，某超市為了滿足人們的需求，計劃在端午節(jié)前購進甲、乙兩種粽子進行銷售，經了解，每個乙種粽子的進價比每個甲種粽子的進價多2元，用1000元購進甲種粽子的個數與用1200元購進乙種粽子的個數相同.(1)甲、乙兩種粽子每個的進價分別是多少元？

(2)該超市計劃購進這兩種粽子共200個(兩種都有)，其中甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，若甲、乙兩種粽子的售價分別為12元/個，15元/個，設購進甲種粽子m個，兩種粽子全部售完時獲得的利潤為W元.

①求W與m的函數關系式，并求出m的取值范圍；

②超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

應用10：方程思想在求統(tǒng)計中“三數”的應用10.[2023·德陽]在一次數學測試中，張