2022年上海長寧區(qū)高考全國統(tǒng)考預測卷數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如圖在直角坐標系中，過原點。作曲線y=*+l（%?0）的切線，切點為尸，過點尸分別作x、y軸的垂線,

垂足分別為A、B,在矩形Q4F6中隨機選取一點，則它在陰影部分的概率為（）

D.

2

2.已知集合4=＞|沈,1},5=卜|3工＜1},則A&可=（)

A.{x|x<0}B.{x|怎1k1}C.{x|-L,x<0}D.{x|x.-1}

3.已知函數(shù)/（x）=；sinx+苧cosx，將函數(shù)的圖象向左平移皿加＞0）個單位長度后，所得到的圖象關于V軸

對稱，則隙的最小值是（）

71

A.-B.—C.-D.—

6432

4.已知戊為銳角，且當sin2a=2sina,則cos2a等于（)

2214

A.-B.—C.—D.——

3939

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為（）

192513

A.—B.4C.D.——

3T2

6.已知命題p:Hr。>2,x；—8〉0,那么M為()

3

A.3x0>2,x0-8<0B.Vx〉2,8<0

33

C.3x0<2,x0-8<0D.VX<2,%-8<0

<0

7.已知a,beR,函數(shù)/(x)=<11,若函數(shù)y=/(x)—ta—Z?恰有三個零點，則()

—x3—(a+l)x+ax,%0

132

A.a<-l,b<0B.a<-l,b>Q

C.a>-l,b<0D.a>-l,b>0

YCCSX7LTC

8?函數(shù)k在一w，5上的圖象大致為（）

9.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)4=2+乙z.z=5,則|z|=

A.1B.V?

C.5D.5s/5

10.第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運會會旗中五環(huán)所占面積與

單獨五個環(huán)面積之和的比值P,某學生做如圖所示的模擬實驗：通過計算機模擬在長為10,寬為6的長方形奧運會旗

內隨機取N個點，經統(tǒng)計落入五環(huán)內部及其邊界上的點數(shù)為〃個，已知圓環(huán)半徑為1,則比值尸的近似值為()

7in12〃8n7rn

-----B.-----D.

8N7rN7rN12N

x/(x)

11.已知函數(shù)/⑴=e土-依，xe(0,+a)),當九2〉%i時，不等式恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍為

XX

()

A.(-oo,e]B.(-oo,e)C.D.一吟

47T

12.已知函數(shù)/(%)=sin(2x—-)的圖象向左平移叭①>0)個單位后得到函數(shù)g(x)=sin(2x+—)的圖象，則(P的最

44

小值為()

兀715兀

A.—C.—D.

42~8

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

F,P(2,、Q)為雙曲線C上一點，且鼎=3,

13.已知雙曲線C：1—當=1(/?>a>0)的左、右焦點為2

/b2

若線段P耳與雙曲線C交于另一點A,則APA8的面積為.

14.過動點以作圓：(x—2了+(y—2)2=1的切線MN,其中N為切點，若I政V|=|MO|(。為坐標原點)，貝!J|MN|

的最小值是.

x+y>3

15.已知實數(shù)x,V滿足約束條件yW3x-l,則z=1的最小值為.

16.已知b為拋物線C：y2=4x的焦點，過尸作兩條互相垂直的直線4，12,直線與c交于a、B兩點,直線右

與C交于D、E兩點，貝!）|人^+|。國的最小值為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在國家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對某種產品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產品進行

合理定價，將該產品按事先擬定的價格試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示：

試銷價格

456789

X（元）

產品銷量y

898382797467

（件）

已知變量乂丁且有線性負相關關系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學通過計算求得回歸直線方程分別為:甲亍=4x+53；乙

y=-4x+105；丙3=-4.6x+104,其中有且僅有一位同學的計算結果是正確的.

（1）試判斷誰的計算結果正確？

（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過1,則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中

隨機抽取3個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)為2的概率.

18.（12分）已知函數(shù)/（x）=|x-3|+|x—1|.

（1）若不等式/（幻〈龍+加有解，求實數(shù)旭的取值范圍；

（2）函數(shù)/'（x）的最小值為〃，若正實數(shù)a,b,。滿足a+b+c=〃，證明：4-ab+be+ac>Sabc.

19.（12分）某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級過濾，使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采

用并聯(lián)安裝，再與一級過濾器串聯(lián)安裝.

,__________,々級過濾器

----------1過濾器二

其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要

更換相互獨立）.若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯，則一級濾芯每個160元，二級濾芯每個80元.若客戶在使用

過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元，二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量，為

此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內更換濾芯的相關數(shù)據(jù)制成的圖表，其中表1是根據(jù)100個一級過濾

器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表，圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.

表1：一級濾芯更換頻數(shù)分布表

一級濾芯更換的個數(shù)89

頻數(shù)6040

以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個二級過濾器更換濾芯的頻率

代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.

(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率；

(2)記X表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的二級濾芯總數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望；

(3)記私〃分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若加+〃=19,且me{8,9},

以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù)，試確定機，〃的值.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=-ae*-2a2工.

(1)討論/Xx)的單調性；

(2)若/'(x)?。恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

21.(12分)已知拋物線G：*=2py(p>0)和圓。2：(%+1)2+/=2,傾斜角為45。的直線過拋物線G的焦點，

且與圓相切.

(1)求P的值；

(2)動點M在拋物線G的準線上，動點A在G上，若G在A點處的切線4交y軸于點3,設=+求

證點N在定直線上，并求該定直線的方程.

22.(10分)如圖，在四棱錐尸—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,

APCD是正三角形，PC±AC,E是亂的中點.

E^7\

A

D

B

(1)證明：AC±BE；

(2)求直線BP與平面比)￡所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

設所求切線的方程為y=履，聯(lián)立],=?優(yōu)＞°),消去y得出關于x的方程，可得出A=O,求出左的值，進而求得

、y=x+1

切點p的坐標，利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積，然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】

設所求切線的方程為y=履，則上＞0,

聯(lián)立,‘="("〉0),消去y得好—履+i=o①，由4=獷—4=0,解得左=2,

[y=x2+i

方程①為Y_2X+1=0,解得X=1,則點P(l,2),

所以，陰影部分區(qū)域的面積為5=j(x2+l-2x)t&=f|x3-^2+%￥=1,

o\373

Q1

矩形。4網的面積為S'=1x2=2,因此，所求概率為尸=刀=二.

S6

故選：A.

【點睛】

本題考查定積分的計算以及幾何概型，同時也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.

2.D

【解析】

先求出集合A,B,再求集合5的補集，然后求4一(a5)

【詳解】

4=瓚kl},B={x|x＜0},所以Al(^B)={x|x..-1).

故選：D

【點睛】

此題考查的是集合的并集、補集運算，屬于基礎題.

3.A

【解析】

n

化簡/(x)=sinx+cosx為〃x）=sinx+-,求出它的圖象向左平移砥機＞0）個單位長度后的圖象的函數(shù)表

3

71

達式y(tǒng)=sin|x+〃z+一,利用所得到的圖象關于y軸對稱列方程即可求得根=\+H（＞ez）,問題得解。

3

【詳解】

函數(shù)=；sinx+]^cosx可化為：f(x)=sin71

XH--

3

將函數(shù)/（X）的圖象向左平移風，〃＞0）個單位長度后,

得到函數(shù)＞=Sinx+加+g的圖象，又所得到的圖象關于y軸對稱,

所以sin1o+〃2+g)=±l,解得:m+y=y+Gz),即：m=^+k7T(JcGZ),

JI

又根＞0,所以加而11=7

6

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質等知識，考查轉化能力，屬于中檔題。

4.C

【解析】

由A/3sin2a=2sina可得cosa=—，再利用cos2a=2cos之0一1計算即可.

3

【詳解】

因為2gsinacosa=2sin。，sin。。。，所以cosa=Y^，

3

21

所以cos2a=2cos9a-l=——1=——.

33

故選：c.

【點睛】

本題考查二倍角公式的應用，考查學生對三角函數(shù)式化簡求值公式的靈活運用的能力，屬于基礎題.

5.A

【解析】

19

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，當x=3,—>4,退出循環(huán)，輸出結果.

3

【詳解】

程序運行過程如下：

2211

x=3,M-Qix=—,M=—；x=~~,M=—；

3326

.19223

x=3,M=—；x=-,M=——；

636

1101919

x=V，M=—;x=3,M=—>4,退出循環(huán)，輸出結果為上，

2333

故選：A.

【點睛】

該題考查的是有關程序框圖的問題，涉及到的知識點有判斷程序框圖輸出結果，屬于基礎題目.

6.B

【解析】

利用特稱命題的否定分析解答得解.

【詳解】

已知命題。：上0>2,x；-8>0,那么"是VX〉2,X3-8<0.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查特稱命題的否定，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.

7.C

【解析】

當x<0時，、=/0)—依一6=無一公一人=(1一。)無一5最多一個零點；當x..O時，

y=f(-^)-ax—/?=—%3——(tz+1)%2+ax—ax—=—x3——(tz+V)x~—b,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，根據(jù)單調

性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得.

【詳解】

當x<0時，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(l-a)x-b=O,Wx=----；y=/(x)—以一匕最多一個零點；

1-a

當x..0時，y=f(x)_ax_Z?=_V——(a+l)x_+ctx_ax_Z?=_—_(a+l)x——b,

y'=x2-(a+l)x,

當a+L,O,即&—1時，y..O,y=f(x)-ax-b^[O,+與上遞增，y=/(尤)—公—〃最多一個零點.不合題意;

當a+l>0,即a>—1時，令y'>0得xe[a+l,+g)，函數(shù)遞增，令V<0得尤e[0,a+1),函數(shù)遞減；函數(shù)最

多有2個零點；

根據(jù)題意函數(shù)y=/(九)-依-。恰有3個零點=函數(shù)y=/(尤)-以-。在(-8,0)上有一個零點，在[0,+◎上有2

個零點，

如圖：

卜。>0

—<o且h31,

l-a-(a+1)3——(a+l)(a+l)2-Z?<0

、32

__1：

解得6<0,1—a>0,0>b>—(6z+1),a>—1.

遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及。力兩個參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過程中

有可能分類不全面、不徹底.

8.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在0<x<：時的符號，即可求解.

【詳解】

XCOQX

由/(-X)=—=-/(X)可知函數(shù)/(無)為奇函數(shù).

2+2

所以函數(shù)圖象關于原點對稱，排除選項A,B；

當0<了<￡時，cos冗>0,

2

「-小)=卓＞。，排除選項。,

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性，屬于中檔題.

9.B

【解析】

由Z.…可得z=3所以⑶*=高=尋卮故選B.

10.B

【解析】

根據(jù)比例關系求得會旗中五環(huán)所占面積，再計算比值P.

【詳解】

設會旗中五環(huán)所占面積為S,

士工Sn60〃

由于二=一，所以S=——

60NN

_S12n

故可得=——?

57r7iN

故選:B.

【點睛】

本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎題.

11.D

【解析】

由巫巫)

變形可得%了(%)＜々/(W)，可知函數(shù)g(x)=4(x)在xe(0,+oo)為增函數(shù)，由

g'(x)=蜻-2ax20恒成立，求解參數(shù)即可求得取值范圍.

【詳解】

xe(0,+oo),

％/(%)<X2f(%),即函數(shù)g(%)=4(%)=e"——在無￡(°，y)時是單調增函數(shù).

貝！Ig'(%)=ex-lax>。，恒成立.

ex

2〃工—?

x

令m(x)=J,貝!Jmz(x)=――

xx

xe(0,1)時,mr(x)<0,m(x)單調遞減,xG(1,+oo)時ni(x)>0,m(x)單調遞增.

e

■-2a<m(jr)niin=m(V)=e,:.a<-

故選:D.

【點睛】

本題考查構造函數(shù),借助單調性定義判斷新函數(shù)的單調性問題，考查恒成立時求解參數(shù)問題,考查學生的分析問題的能力

和計算求解的能力，難度較難.

12.A

【解析】

首先求得平移后的函數(shù)g(x)=sin|2x+20一,再根據(jù)sin12x+2夕一?]=sin[2x+?]求°的最小值.

【詳解】

根據(jù)題意，Ax)的圖象向左平移。個單位后，所得圖象對應的函數(shù)

g(x)=sin2(X+Q)—￡=sin(2x+2(p-^)=sin(2x+,

77"TTTCTT.

所以2夕——=2k7r+-,keZ,所以夕=去r+上水eZ.又。>0,所以9的最小值為

4444

故選：A

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的圖象變換，誘導公式，意在考查平移變換，屬于基礎題型.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.還

4

【解析】

由已知得歸周=3忸閭即歸耳「=9歸國2,歸閭2=0—蛾+2,可解得0,由網2,后)在雙曲線c上,代入即可求得

雙曲線方程,然后求得直線尸耳的方程與雙曲線方程聯(lián)立求得點A坐標，借助S,PAF2~SAPF1F2_，即可解得所求.

【詳解】

由已知得|尸居|=3歸閭，又|尸耳「=(2+域+2,|PE「=(2-c『+2,所以(2+c『+2=9[(2-c『+2,解得

42422

1或H1a=3=2

c=3或c=2,c上，所以/一記，所以9或<(舍去)，因

b2=6b1=2

a2+b2-9a2+b2=4

此雙曲線C的方程為：-￡=1.又片(一3.0),所以線段尸￡的方程為y=#(x+3)，與雙曲線C的方程聯(lián)立消去

x整理得8y2_10&>+4=0,所以％=當，%=血，所以點4坐標為一：，乎，所以

<6XGW.

qc_c

^\PAF°\PFF0\A.FF

2X2{22244

【點睛】

本題主要考查直線與雙曲線的位置關系，考查雙曲線方程的求解，考查求三角形面積，考查學生的計算能力，難度較難.

14.述

8

【解析】

解答：由圓的方程可得圓心。的坐標為(2,2),半徑等于1.

由M(a,田，貝!|\MN^=(a-2)2+(b-2)2-l2=a2+b2-4a-4b+7,

眼。|2=/+比

由|“V|=|MO|,得a2+b2-4a-4b+l=a2+b2.

整理得：4a+4萬-7=0.

8滿足的關系為：4a+4Z>—7=0.

求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值.

在直線4a+4Z>-7=0上取一點到原點距離最小，

由“垂線段最短”得，直線0M垂直直線4a+4萬-7=0,

HI7

1

由點到直線的距離公式得：的最小值為：,9=-V2.

A/42+428

1

15.-

2

【解析】

作出滿足約束條件的可行域，將目標函數(shù)視為可行解（九,y）與（0,0）點的斜率，觀察圖形斜率最小在點3處，聯(lián)立

x+y=3

；，解得點3坐標，即可求得答案.

x=2

【詳解】

x+y>3

作出滿足約束條件1的可行域，該目標函數(shù)2=2=曰視為可行解（x,y）與（0,0）點的斜率，故

八xx-0

［x<2

k（）B—z—k°A

由題可知，聯(lián)立J；：—1得4（2,5）,聯(lián)立,：［；=3得8（2,1）

所以壇壇B=］，故!

【點睛】

本題考查分式型目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，屬于簡單題.

16.16.

【解析】

由題意可知拋物線C:V=4x的焦點F:（1,0）,準線為X=-1

設直線4的解析式為y=M九-1）

?.?直線/14互相垂直

：.1,的斜率為-7

k

與拋物線的方程聯(lián)立｛',=—1）,消去y得公爐_（2左2+4）X+左2=0

y=4x'）

設點4（%,%）,5（孫冉），。玉,%）。（為4，%）

242+422+4

由跟與系數(shù)的關系得看+々=勺"，同理—

?.?根據(jù)拋物線的性質，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離

|AB|=不+1+%,+1,同理|DE^=%+1+乂+1

2"2+42r+4A

.,.|AB|+\DE\=父+馬一+4=8+—+4^2>8+2A/474=16,當且僅當k2=1時取等號.

故答案為16

點睛：（1）與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關.利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離

轉化為到準線的距離，可以使運算化繁為簡.“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題

的重要途徑；（2）圓錐曲線中的最值問題，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的條件.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

9

17.（1）乙同學正確；（2）—.

20

【解析】

（1）根據(jù)變量羽y且有線性負相關關系判斷甲不正確.根據(jù)回歸直線方程過樣本中心點（,不），判斷出乙正確.

（2）由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)，計算出誤差，求得“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)，由此利用古典概型概率計算公式，求得

所求概率.

【詳解】

（1）已知變量羽y具有線性負相關關系，故甲不正確，

7=6.5,3=79,代入兩個回歸方程，驗證乙同學正確，

故回歸方程為：y=-4x+105

(2)由(1)得到的回歸方程，計算估計數(shù)據(jù)如下表:

X456789

y898382797467

y898581777369

卜-M021212

由上表可知，“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)為3.

用列舉法可知，從6個不同數(shù)據(jù)里抽出3個不同數(shù)據(jù)的方法有20種.

從符合條件的3個不同數(shù)據(jù)中抽出2個，還要在不符合條件的3個不同數(shù)據(jù)中抽出1個的方法有3x3=9種.

9

故所求概率為P==

20

【點睛】

本小題主要考查回歸直線方程的判斷，考查古典概型概率計算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.

18.(1)[-1,+co)(2)見解析

【解析】

(1)分離機得到g(x)=/(九)—x=k-3|+|x—l|—x,求g(x)的最小值即可求得機的取值范圍；(2)先求出〃，得到

a+b+c=2,利用乘"1"變化即可證明不等式.

【詳解】

-3x+4,x<1

解：⑴設g(x)=/(x)-x=|x-3|+|x-l|-x=<-x+2,l<x<3,

x-4,x>3

g(x)在(-甩3]上單調遞減，在(3,+8)上單調遞增.

故gCOmin=g(3)=-L

,:g(x)K必有解，/.m>-1.

即加的取值范圍為［-1,+8).

(2)/(x)=|^-3|+|x-l|>|(x-3)-(x-l)|=2,當且僅當lWxW3時等號成立.

〃=2,即a+/?+c=2.

/714^.a4a.b4b.cc

V(ez+Z?+c)—+—+—=1+—+—+1+—+—+4+—+—

\abc)bcacab

/ab4ac4bc、1「

=6+—+—+—+—+—+—>16.

bacacb

當且僅當。=L，b=~,c=l時等號成立.

22

114

?*.—■l--1-->8,即4aZ?+6c+ac28abe成立.

abc

【點睛】

此題考查不等式的證明，注意定值乘“1"變化的靈活應用，屬于較易題目.

52

19.(1)0.024；(2)分布列見解析，EX=—;(3)7W=8,"=H

【解析】

(1)由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過

濾器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，而由一級濾芯更換頻數(shù)分布表和二級濾芯更換頻數(shù)條

形圖可知，一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可

求出概率；

(2)由二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知，一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,

而X的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率，可得到X的分布列及數(shù)學期望；

(3)由加+〃=19,且加e{8,9},可知若加=8,則〃=11,或若機=9,則”=10,再分別計算兩種情況下的所

需總費用的期望值比較大小即可.

【詳解】

(1)由題意知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾

器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，設“一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數(shù)

恰好為16”為事件A,

因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,所以

P(A)=0.6x0.2x0,2=0.024.

(2)由柱狀圖知，一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,由題意X的可能取

值為8,9,10,11,12,

從而P(X=8)=0.2x0.2=0.04,尸(X=9)=2x0,2x0.4=0.16,

產(X=10)=2x0.2x0.4+0.4x0.4=0.32,P(X=11)=2x0.4x0.4=0.32,

產(X=12)=04x0.4=0.16.

所以X的分布列為

X89101112

P0.040.160.320.320.16

EX=8x0.04+9x0.16+10x0.32+11x0.32+12x0.16=10.4（個）.

或用分數(shù)表示也可以為

X89101112

14884

P

2525252525

EX=8x—+9x—+10x—+llx—+12x—=—（個）.

25252525255

（3）解法一：記y表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買各級濾芯所需總費用（單位：元）

因為加+”=19,且加e{8,9},

1°若〃2=8,則八=11,

EY}=160x8+400x0.4+80x11+200x0.16=2352（元）；

2。若m=9,貝1J〃=10,

EK=160x9+80x10+200x0.32+400x0.16=2368（元）.

因為故選擇方案：機=8,"=11.

解法二：記〃，分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買一級濾芯和二級濾芯所需費用（單位：元）

1°若加=8,則〃=11,

〃，的分布列為

12801680

P0.60.4

48801080

P0.840.16

該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買的各級濾芯所需總費用為

E7+=1280x0.6+1680x0.4+880義0.84+1080x0.16=2352（元）；

2°若機=9,則〃=10,

的分布列為

80010001200

P0.520.320.16

Er)2+E^2=160x9+800x0.52+1000x0.32+1200x0.16=2368(元).

因為助1+EJi<Er)2+E}

所以選擇方案："2=8,"=11.

【點睛】

此題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法及應用，考查古典概型，考查運算求解能力，屬于中檔題.

20.(1)當a=0時，/(元)在(—8,+8)上單調遞增；當a〉0時，/(尤)在(―s,ln(2a))上單調遞減，在(ln(2a),+8)上

「-11

單調遞增；當。<0時，/(x)在(―8,ln(—a))上單調遞減，在(ln(—a),+8)上單調遞增；(2)ae-e\一.

2

【解析】

(1)對a分三種情況。=0,a〈0,a)0討論求出函數(shù)/(x)的單調性；(2)對a分三種情況。=0,。(0,。0,先求出每

一種情況下函數(shù)f(x)的最小值，再解不等式得解.

【詳解】

(1)f'(x)=e2'-aex-2?2=(e*+a)(ex-2?),

當。=0時，f\x)^e2x>0,7(x)在(—8,+8)上單調遞增；

當a>0時，f'(x)<0,x<ln(2tz),f(x)>0,x>ln(2a),

〃x)在(-8,ln(2a))上單調遞減，在(ln(2a),+s)上單調遞增；

當。<0時，f'(%)<0,c_72,f\x)>0,x>ln(-a),

a2

a2=lr+c-

〃x)在(-8/n(-a))上單調遞減，在(ln(-a),+8)上單調遞增.

綜上：當a=0時，/(x)在(-8,+A)上單調遞增;

當a>0時，/(x)在(-oo,ln(2a))上單調遞減，在(ln(2a),+oo)上單調遞增;

當。<0時，在(-8/n(—a))上單調遞減，在(ln(—a),+8)上單調遞增.

(2)由(1)可知：

當。=0時，/(x)=e2'>0,.?.「=()成立.

當a>0時，/(x)^=/(ln(2a))=1e21n(2fl)-aeln(21i,-2a2ln(2a)=-2a2ln(2a)>0,

ln(2a)<0,/.0<a<—.

2

當a<0時，/(x)^=/(ln(-?))=|e2to(-fl)-aeln(-a)-2a2ln(-a)

o2

=^|--2a21n(—a)20,

333

ln(一即―/工〃<0,

「31一

綜上。e—e4,—.

2

【點睛】

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推

理能力.

21.(1)p=6；(2)點N在定直線了=3上.

【解析】

(1)設出直線4的方程為>=無+孑，由直線和圓相切的條件：d=r,解得P；

(2)設出“(私-3),運用導數(shù)求得切線的斜率，求得4為切點的切線方程，再由向量的坐標表示，可得N在定直線

上；

【詳解】

解：⑴依題意設直線4的方程