浙江省寧波市余姚市2023-2024學年九年級上學期期末數學試題（有答案）

o

浙江省寧波市余姚市2023_2024學年九年級上學期期末數學

模擬試題

一、選擇題（共10小題，每題3分）

1.如圖,四邊形/8CD內接于OO,若NC=130。,則N8OD的度數為（）

O

市

泗

A.50°B.100°C.130°D.150°

2.已知x,%z滿足2=二一=工，則盤二上的值為（）

6xv-zz+xy+2z

111

A.1B.—C.—D.

喙332

3.如圖/、B、C在。。上，連接CM、OB、OC,若N8OC=3乙4。昆劣弧/C的度數是120。,

O。。=2G.則圖中陰影部分的面積是（）

收i

A.71—V3B.2TT—V3C.—2V3D.4/r—3*\/3

2

O

、/?一?

4.設x二號上，則代數式、（、+1）（%+2）（%+3）的值為（）

A.-1B.1C.0D.2

5.點。是ZU5C的外心，也是△5CZ）的內心，若乙4=70。,則乙MC的度數是（）

O

-1-

A

A.80°B.90°C.100°D.110°

6.如圖1,正方形/BCD繞中心。逆時針旋轉45。得到正方形現將整個圖形的外圍以

。為位似中心得到位似圖形如圖2所示，位似比為,，若整個圖形的外圍周長為16,則圖中的陰

2

影部分面積為（）

A.6+3A/2B.4+2A/2C.2+V2D.8+4A/2

ab

7.已知4c15C于=，下列選項中的半徑為---的是（）.

a+b

8.二次函數y=ax2+bx+c（a^0）的大致圖象如圖所示，頂點坐標為（1,-4*點4（4,歹）是該拋

物線上一點,若點。（%,%）是拋物線上任意一點，有下列結論：

-2-

o

市

泗

x2<3.

6

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.銳角三角形45。的三邊是。，瓦c,它的外心到三邊的距離分別為機八己,那么機：n：p等于（

窿

晝)

111

A.B.a：b：c

oa~b

C.cosA:cosB:cosCD.sin:sin5:sinC

10.如圖，點。為正方形ABCD的中心，以BC的中點〃為圓心,"4為半徑畫弧交CB的延長線

轂于點E.以BE為邊向上作正方形BEFG,過點A作AK1AE交CD于點K,取EK的中點M連

嫩

結MO.已知40=2石+2,則（W的長為（)

D

O

師+行

A.yj~5+1c.3D.272

區(qū)2

二、填空題（共6小題，每題4分，共24分）

11.如圖,是某商店售賣的花架，其中幺?！ㄍFQE=24cm,￡產=40cm,2C=50cm,則AB

長為cm.

O

-3-

D

12.把一根長度為6的鐵絲截成3段，若三段的長度均為正整數，則能構成三角形的概率為

13.因為cos60°=；,cos240°=—g,所以cos240°=cos(180°+60°)=—cos60°；由止匕

猜想、推理知：當。為銳角時有cos(180°+i)=-cos。,則：cos210°=.

14.如圖，在RtAABC中/C=90。4為AB邊上一點，以4E為直徑的半圓0與BC相切于點D,

連接AD,BE=3,BD=3也.P是4B邊上的動點，當八4。尸為等腰三角形時4P的長為

15.圖1是一款由若干條吊鏈等間距懸掛而成的掛簾,吊鏈頂端懸掛在水平橫梁上，自然下垂

時底部呈圓弧形，其中最長吊鏈為95cm,最短吊鏈為45cm,掛滿后呈軸對稱分布.圖2是其示

意圖，其中最長兩條吊鏈/C與AD之間的距離AB為114cm.若吊鏈數量為偶數，記對稱軸右

側最短掛鏈的底端為點凡當C,F,B三點在同一條直線上時,吊鏈的數量為.

16.如圖，已知正方形4BCD的邊長為4,點￡是正方形內部一點，連接E4,班滿足

NEAB=NEBC點P是BC邊上一動點，連結PD,PE.則PD+PE長度的最小值為

-4-

三、（共8小題，計66分）

17.（6分）計算：—2sin45°+（2

18.（6分）2023年5月30日上午，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，舉國振奮.為了使同學們進

一步了解中國航天科技的快速發(fā)展，余姚某中學九（1）班團支部組織了一場手抄報比賽.要求該

班每位同學從/：“北斗”,8：“5G時代”,C：“東風快遞”Q：“智軌快運”四個主題中任選一個

自己喜愛的主題.比賽結束后,該班團支部統(tǒng)計了同學們所選主題的頻數，繪制成如圖兩種不

完整的統(tǒng)計圖，請根據統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題.

九（D班學生喜愛九（1）班學生喜愛

的主題扇形圖

圖②

（1）九（1）班共有名學生；并補全圖①折線統(tǒng)計圖;

⑵請閱讀圖②，求出。所對應的扇形圓心角的度數；

（3）若小余和小姚分別從4民。,。四個主題中任選一個主題,請用列表或畫樹狀圖的方法求出他

們選擇相同主題的概率.

19.（8分）如圖，在5x5的正三角形的網格中,△ABC的三個頂點都在格點上.請按要求畫圖和

計算：①僅用無刻度直尺；②保留作圖痕跡.

-5-

⑴在圖1中，畫出“8。的8C邊上的中線ND.

(2)在圖2中，直接寫出cosZAEC的值.

20.(8分)現有成135。角且足夠長的墻角和可建總長為15m圍墻的建筑用料來修建儲料

場.(1)如圖1,修建成四邊形A8CD的一個儲料場，使5C〃4D/C=90。.新建圍墻為

BCD.怎樣修建圍墻才能使儲料場的面積最大?最大面積是多少？

(2)愛動腦筋的小聰建議：把新建的圍墻建成如圖2所示的以/為圓心的圓弧AD,這樣修建的

儲料場面積會更大.聰明的你認為小聰的建議合理嗎?請說明理由.

21.(8分)如圖,△NBC內接于OQAB為。。的直徑48=5HC=3.連接OC,弦4D分別交

OC,BC于點E,凡其中點￡是/。的中點.

(1)求證：乙CAD=4CBA.

(2)求所：尸〃的值.

22.(8分)已知二次函數y=ax?+bx+c(a>0)的圖象經過點.N(-1,1)和3(2,4).

(1)求。力滿足的關系式；

——6——

⑵若函數圖象與X軸無交點，求/+b2的取值范圍.

23.(10分淀義：圓心在三角形的一邊上,與另一邊相切，且經過三角形一個頂點(非切點)的圓,

稱為這個三角形圓心所在邊上的“伴隨圓”.

(1)如圖①，在A43C中/。=90%48=5n。=3,則BC邊上的伴隨圓的半徑為.

(2)如圖②,A48C中乙4c3=90。,點E在邊k0E=2BE,D為AC的中點，且NCED=90。.

①求證：△CED的外接圓是A43C的/C邊上的伴隨圓；

②——的值為

CE

3

24.(12分)如圖,拋物線歹=af一耳工+c(aw0)與x軸交于點4民與y軸交于點C(0,-2),

tanZABC=-.直線x=l交8c于點。，點尸是直線5c下方拋物線上一動點，連接PD.

2

(1)求此拋物線的解析式;

(2)如圖1,連接尸C,求△PCD面積的最大值及此時點P的坐標；

(3)如圖2,連接/C,過點P作PELBC于點E,是否存在點P使以三點為頂點的三角形與

A42c相似,若存在，直接寫出點尸的坐標；若不存在,請說明理由.

-7-

數學答案

一、選擇題(每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)

12345678910

BBCACACBCD

二、填空題(每小題4分，共24分)

11.3012.-13.^^-14.6或2V15.2016.2713-2

32

三、解答題（本大題有7題，共66分）

17.（6分）解：原式=2后—2、1+1-3=拒—2.

18.（6分）

(2)。所對應扇形圓心角的大小為360°乂h=108°,

■■D所對應的扇形圓心角的大小為108°；

(3)畫樹狀圖如解圖②，

開始

ABCD

八八八八

ABCDABCDABCDABCD

共有16種等可能的結果,小林和小峰選擇相同主題的結果有4種,

.?.小林和小峰選擇相同主題的概率為&='，

164

19.(8分X每小題4分XD如圖，線段4D就是所求作的中線；

——8——

???四邊形CMGN為菱形，且邊長為5,

V35百

:.CGLMN,：.CGLFD,OG=MGsin600=5x—=------,

22

??.CG=2OG=5技

???△GED為等邊三角形，且邊長為2,同理：HG=43,

.?.在RtACD/7中/CHD=90WH=1,CH=CG-HG=473,

DH2+CH2=CD-12+(4V3j=CD。,：CD=7,

cosZAEC=cosZFDC=也=

CH7

20（每小題4分，共8分）.

解：（1）過點/作N813C于點

■■^BAD=\35°,BC//AD,^C=90o,.-.^ABC=45°,CDlAD.

設CZ)=x,則AH=BH=CD=x,

-9-

；,AD=HC=15-2x,

設儲料場的面積為S,則S=x(15—2x)+1x2,

.->5=--(X-5)2+—.

2V72

.,.當x=5時，儲料場的面積最大，最大面積為37.Sn?.此時40=15-2x5=5.

故當ND=DC=5米,3C=10米時，所建儲料場的面積最大，最大面積為37.5m2.

(2)小聰建議合理.理由如下:

135-7T-AD20

由題忌得----------=15AD=—

1807i

■?-——a47.7>37.5,.?.小聰的建議是合理的.

71

21.(每小題4分，共8分)

(1)證明：為半徑,￡為4D中點.

；.OCL4DHC=CD,：.乙4BC-CAD；

(2)解：在RtZXNBC中H8=5HC=3,則BC=4,

.AC3

**?sin2_CB4—----二一,

AB5

CF3Q

sinACAD=—=-,HiJC^=-,

AC55

則AE=^AC2-CE2=—=ED,

5

-10-

RCAAr4

???cosACBA=二—則cosZCAD=----=—,

AB5AF5

27

則AF=2-,：.EF=AF-AE=--—

444520

241521

則廠O=4D—4F=---------

5420

；.EF：FD=9：1.

22.（每小題4分，共8分）

解：（1）、?二次函數歹=ax?+bx+c（a>0）的圖象經過點2（—1,1）和3（2,4）,

a-b+c=1①

.,?<三，②-①得,3。+36=3,即Qa+b=l^-b=].-a；

4a+2Z?+c=4②

（2）,.?函數圖象與x軸無交點，

???/-4ac<0，即-4Q（2-2Q）<0,??.（1一〃）（1一9。）<0,

解得一<a<1b-\-a.

9

「?Q?+〃=/+（1—Q）=Q2+Q2—2Q+1—2Q?—2Q+1=21Q——,

???當a=1時,/+b2的最小值為工，當a=1時,1+廿的最大值為1,

22

<a~+b2<1.

2

23.(10分)(第1小題3分，第2小題①4分，②3分,)

(1)解：?.?NC=90°H2=5,2C=3,，AC=yjAB2-BC2=4,

■■BC是圓的切線，乙BC4=90。,，/。為圓的直徑.

???/C邊上的伴隨圓的半徑為2.故2.

(2)證明：①證明：如圖連接?！?、OB,

-11-

B

E

???△CEO為直角三角形，

??.△CEO的外接圓圓心。在CD中點上，

4D2

設的半徑為匕則DC=2r,OA=3r,：.——=

AO3

=一=

PD//OB,.-.zl=z2,z3=z4,

???OE=OD,N3=N2,N1=N4,

OC=OP

在△SCO和△8EO中|N1=N4,

OB=OB

:.ABCOmABEO,：.乙BEO=4BCO=900cAB是。0的切線.

-.ACED的外接圓是AJ8C某一條邊上的伴隨圓；

②如圖設圓。的半徑為r,

「在Rt/^OAE中,O/=3r,OE=r,；.EA=V0A2-0E2=2A/2F,

AB-,,.,在RtA^45C中4c=4r,48=3V2r,

BC=yjAB2-AC2=V2r

?.?在RtA(95C中,OC=r,BC=V2r,.-.0B=^OC2+CB2=島,

2G

DEV2,,V2

——二l=——?故——

CE27622

------r

3

24.（每小題4分，共12分）

解：???C（0,-2）,：.OC=2,

OC21

???在RtA50C中，tan/ABC=—=——二—,.?.O5=4,即5（4,0）,

OBOB2

/、/、,16。-6+c=0a——

將點5(4,0),。(0,-2)代入拋物線的解析式得：｛，解得｛2,

10=一2[c=-2

1,3

則此拋物線的解析式為j=-x2--x-2；

22

(2)解：設直線3C的函數解析式為》=履+6,

/、/、4左+6=0k――

將點3(4,0),。(0,-2)代入得：\，解得2,

，?,伍=一2[b=-2

則直線8c的函數解析式為>=—2,

當x=l時,y=%xl—2=—|■，即￡>[1,一|^,

貝。二J(l_0)2+[_|+2?,

要使△PCD的面積最大，則需要點P到CD的距離最大,

設與直線2C平行的直線「的函數解析式為+則尸(O,d),CF=2d,

如圖，過點C作CE，/'于點￡,則CE為直線BC與直線/'間的距離,

13

在RtZkBOC中,08=4,BC=y/OB2+OC2=275，貝UsinNOCB=—=—

BC5

2R

???BC//1'CFE=(OCB,??.sinACFE=sinZOCB=

在RtAC￡F中,sinZCFE=—==拽

cF-2-d5

77

解得C￡=±?(—2-d),

1?3

.■.d越小,C￡越大,當直線/'要與拋物線J=-X2--X-2有交點,

13

即當直線/'與9歹—2有且只有一個交點時,d最小，此時的交點即為點P,

_123

y——x—x-2[

222

聯(lián)立《，整理得：-x-2x-2-d=Q,

y=—x+di

則其根的判別式A=4—4x；(―2—d)=0,解得d=A,

則此時CE=乎x(-2+4)=今5

△PCD面積的最大值為Lx15x3l=l,

225

,1

將d=-4代入—x9—2x—2—d=0得：%=%=2,

-14—

1,3.、

當x=2Ht,j=—x2---x2-2=-3,

???△PCD面積取得最大值時，點P的坐標為（2,一3）；

1,3

(3)解：對于y=/廠_萬工_2,

13

當y=0Ht,—X2--x-2=0,解得x=-l4=4,；.

■.■5(4,0),C(0,-2),.-.^=4+1=5,^C=A/12+22=75,5C=A/22+42=275,

■.AC2+BC2=AB2,

.■.AABC是直角三角形，且Z^C2=90。，

設點P的坐標為[祖,；機2-1機一2),

???PE12C,直線2C的函數解析式為y=^x-2,

???設直線PE的函數解析式為y=-2x+〃,

13、1133

將|