上海市寶山區(qū)2024屆高三年級下冊二模試題 數學含答案

上海市寶山區(qū)2024屆高三下學期二模試題

2023學年第二學期期中

高三年級數學學科教學質量監(jiān)測試卷

考生注意：

1.本試卷共21題，滿分150分，考試時間120分鐘；

2.本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁，正反面；

3.在本試題卷上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；

4.可使用符合規(guī)定的計算器答題.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）,

要求在答題紙相應題序的空格內直接填寫結果，每個空格填對得分，否則一律得零分.

1.拋物線/=4〉的焦點坐標為.

2.已知tana=3,則tan^a一（J=_____-

3.將八二萬（其中a>0）化為有理數指數幕的形式為.

4.已知向量a=（2加,2）,3=（1,加+1）,若a-Z=10,則實數加=.

5.設實數x、y滿足（x+yi）i—2+4i=（x-yi）（l+i）（i為虛數單位），則x+y=.

6.有一組數從小到大排列為：3,5,X,8,9,10.若其極差與平均數相等，則這組數

據的中位數為.

7.已知集合/={2,|a+l|,a+3},且leZ,則實數a的值為.

8.在數列{4}中，％=2,且=a,i+lg/—（〃22）,則％oo=____.

"n-1

9.某公司為了了解某商品的月銷售量y（單位：萬件）與月銷售單價x（單位：元/件）之

間的關系，隨機統(tǒng)計了5個月的銷售量與銷售單價，并制作了如下對照表：

月銷售單價X（元/件）1015202530

月銷售量y（萬件）1110865

由表中數據可得回歸方程y=ax+b中。=-0.32,試預測當月銷售單價為40元/件時，月

銷售量為_______萬件.

22

10.已知雙曲線與一與=i（a>0,6>0）,以雙曲線的右頂點Z為圓心，6為半徑作圓，圓Z

ab

與雙曲線的一條漸近線交于M、N兩點，若/腿4N=60°,則雙曲線的離心率為

11.某區(qū)域的地形大致如下左圖，某部門負責該區(qū)域的安全警戒，在哨位。的正上方安裝探

照燈對警戒區(qū)域進行探查掃描.

假設1：警戒區(qū)域為空曠的扇環(huán)形平地444片；

假設2：視探照燈為點且距離地面20米；

假設3：探照燈M照射在地面上的光斑是橢圓.

當探照燈M以某一俯角從44+1側掃描到22+1側時，記為一次掃描，此過程中照射

在地面上的光斑形成一個扇環(huán)耳優(yōu)=1,2,3,…）.由此，通過調整M的俯角，逐次掃描形成

扇環(huán)耳、§2、53L.

第一次掃描時，光斑的長軸為斯，1=30米，此時在探照燈/處測得點尸的俯

角為30。（如下右圖）.記144+/=，，經測量知1441=80米，且｛〃｝是公差約為01

米的等差數列，則至少需要經過次掃描，才能將整個警戒區(qū)域掃描完畢.

12.空間直角坐標系中，從原點出發(fā)的兩個向量￡、加滿足：a-b=2,\b\=l,且存在實

數/,使得I句-21Z+）上0成立，則由a構成的空間幾何體的體積是.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5

分），每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把答題紙上相應題序內的

正確結論代號涂黑，選對得相應滿分，否則一律得零分.

13.已知a〉6〉0,貝1I（）.

Ij_

A.a2>b2B.2a<2bC.a2<b2D.log]a>log]b

22

14.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（0,cr2）-若P（XWa）=9，則尸（|x|Va）=（）.

15.已知直線/、機、〃與平面a、/3,則下列命題中正確的是（）.

A.若a〃尸，Iua,nuB，則/〃〃B.若Iua,貝!

C.若/_La,/〃尸，則“_1_〃D.若/_L〃，加，〃，則/〃加

16.數列｛4｝中，5“是其前〃項的和，若對任意正整數"，總存在正整數機，使得

5?=am,則稱數列｛a“｝為“某數列”.現有如下兩個命題：

①等比數列｛2"｝為“某數列”；

②對任意的等差數列｛4｝,總存在兩個“某數列”也,｝和｛%｝,使得4="+c”.

則下列選項中正確的是（）.

A.①為真命題，②為真命題B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對

應的題號）內寫出必要的步驟.

17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

在AABC中，角2、B、C的對邊分別為a、b、c,

已知sin2A+sin12*5C=sin2B+smAsinC

（1）求角5的大??；

（2）若AZBC的面積為由，求a+c的最小值，并判斷此時A45C的形狀.

18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

如圖，已知點尸在圓柱的底面圓。的圓周上，48為圓。的直徑.

（1）求證：BP1AXP；

（2）若CM=2,NBOP=60°,圓柱的體積為16缶,求異面直線AP與A{B所成角的

大小.

19.（本題滿分16分，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分）

在課外活動中，甲、乙兩名同學進行投籃比賽，每人投3次，每投進一次得2分，否則

得0分.已知甲每次投進的概率為工，且每次投籃相互獨立；乙第一次投籃，投進的概率為

2

1從第二次投籃開始，若前一次投進，則該次投進的概率為3二，若前一次沒投進，則該

25

2

次投進的概率為一.

5

⑴求甲投籃3次得2分的概率；

⑵若乙投籃3次得分為X,求X的分布和期望；

⑶比較甲、乙的比賽結果.

20.(本題滿分16分，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分)

2

已知雙曲線2L=1的左、右頂點分別為2、B,設點尸在第一象限且在雙曲線上,

2

。為坐標原點.

(1)求雙曲線的兩條漸近線夾角的余弦值；

(2)若方?麗W9,求麗的取值范圍；

(3)橢圓C的長軸長為2拒，且短軸的端點恰好是2、8兩點，直線AP與橢圓的另一

個交點為。.記APC%、A048的面積分別為S2.求S；-S22的最小值，并寫出取

最小值時點尸的坐標.

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

函數y=g(x)的表達式為g(x)=sin(ox)(?！?).

(1)若。=1,直線/與曲線y=g(x)相切于點(?」)，求直線/的方程；

(2)函數y=g(x)的最小正周期是2兀，令〃(x)=x,g(x)-Inx,將函數y=〃(x)的零

點由小到大依次記為國,馬，…,Z，…(〃21,〃WN),證明：數列｛sin%｝是嚴格減數列；

(3)已知定義在R上的奇函數歹=/(%)滿足f(x+2a)=-f(x)(a>0),

對任意XE[0,2Q],當XWQ時，都有/(x)</(a)且/(a)=1.

記F(x)=/(x)+g(x),G(x)=/(x)+g(x+；).

當。=兀時，是否存在再、x2G7?,使得尸(M)=G(%2)+4成立？若存在，求出符合

題意的Xpx2;若不存在，請說明理由.

參考答案

]-

1.（0,1）2.-3.a44.25.26.7.5

..2A/3,「8兀

7.08.49.1.610.----11.1512.—

39

12.解:由已知得后2"]+"|2,所以3|升+8/73+4/2⑻240

一4

所以存在實數/,使得不等式4『+16/+3］。『40有解，則ANO,解得區(qū)耳

又因為a年=2且|”=1,所以。在6方向上的數量投影是2,

所以，a圍成的空間幾何體是以原點為頂點，高為2,母

4

線長為國的圓錐（如圖）

-18兀

故由a構成的空間幾何體的體積一兀?

3~9

13.A14.A15.C16.C

17.解：（1）由正弦定理得力+02b~+ac2分

又由余弦定理得COSB=D"=—=_4分

laclac2

7T

因為5是三角形內角，所以3=—6分

3

（2）由三角形面積公式

171

^\ABC=萬sinB=—acsin—=8分

234

得ac=410分

因為Q+C>2，前=4，當且僅當。=c=2時取等號,12分

所以a+c的最小值為4,此時A45c為等邊三角形14分

18.解：（1）證明：圓柱。a中，易知48,圓。，從而4P是4。在圓。上的投影.....2分

又幺8為圓。的直徑，可得BP上4P......................4分

由三垂線定理，就得5尸，4尸...........6分

（2）延長尸。交圓。于點。，連接8。、4。、AQ,

易知BQHAP,N&BQ（或其補角）即為所求的角............8分

由題知％=乃?CM?.44尸4乃?Z&=16及萬

解得幺4=4行................10分

A4BQ中，QB=273,42=6,AXB=473

由余弦定理得

,…八12+48-36]_

cosZA5O=-------產------產.......................13分

12.2V3-4V32

從而N4BQ=60°

所以異面直線AP與AXB所成角的大小為60°................................14分

19.1?：（1）甲投籃3次得2分，即只投中1次，概率°=c；；x[-：]=|

................3分

（2）由題意知X的所有可能取值為0,2,4,6

則尸(x=o)=1x3xN=2.................4分

'725550

1231221328

P(X=2)=—x—x—+—x—x—+—x-x—=——.................5分

v,25525525525

p(^=4)ax^2+lx2x2+lx2x2=A.................6分

,,25525525525

P(X=6)」X，L2.................7分

'725550

r0246

889

98分

隨機變量X的分布為---

I一

50252550

noon

期望E（X）=0x—+2x—+4x—+6x——=39分

v750252550

(3)設甲三次投籃的得分Y,則y=0,2,4,6

’02461

可求得隨機變量y的分布為1231_

Is8

88>

133

所以E（y）=0x—+2x—+4x—+6x-=3.11分

''8888

r）（y）=02x-+22x-+42x-+62x--32=3....12分

'"8888

又可算得。⑺=X2+22X色+42X色+62x2-32=區(qū).…]3分

'，5025255025

因為￡（X）=E（y）,￡＞（x）＞￡＞（y）

所以甲最終的得分均值等于乙最終的得分均值，但乙贏得的分值不如甲穩(wěn)定…..…16分

另解：設甲三次投籃的次數為J,J=0,1,2,3

1q

則￡田=3X5=5

設甲的投籃得分為y,則y=2j,從而E(y)=M2j)=2E?=3

20.解：(1)兩條漸近線方程為J5x±y=0...............1分

設兩條直線夾角為8,貝h05。='三1=L............2分

|V3-V3|3

所以雙曲線的兩條漸近線夾角的余弦值為』...............3分

3

(2)設尸&，%)(X］〉1,必〉0),由已知得2(—1,0)、5(1,0).........4分

西=(一1—項，一%)，PB=(l-xl-yl),則西?麗=x；_i+%2V9

得%j2+v/＜10...............6分

又點尸在雙曲線上，有X；—21_=1即/2=2卜2—])

從而x；+2(x；Wx/<4.

又點尸是雙曲線在第一象限的點，所以x；e(l,4].

OP=x；=x；+2(%/-1)=3x,2-2G(1,10]

所以OPe(l,Vio]

(3)橢圓。中。=JI,b=l,焦點在y軸上，標準方程為與+/=1

設Q&，%)，(%>0,%>°)，直線AP的斜率為k,(k>0)

則直線AP的方程為y=k(x+1)

廣曲x+1)\A

聯(lián)立方程組F得--------

(2+左2卜2+2左2%+左2—2=0

r\7,2?.”2

該方程的兩根分別為-1和超=二7同理可得X,=--y

所以X]“2=1

-x2xy2=j/2

2_

則S；—S?2=彌-=ax2k-l)-2(l-x2)=^x1*+2x/

當且僅當工=三即x：=2時取等號，..........15分

2xx

所以S；—s；的最小值為—g,此時點P的坐標為（72,72）.......16分

另解:上3=1^,左

西+1°x2+l

/X2/、2

因為七所以號=上、即七=三

X［+lx2+1（匹+1）x2+1）

又必2=2。；—1）,%2=2（1—超2）,代入上式化簡得

五匚=匕三，整理得再“2=1

2+1x2+1

21.解(1)①=1時，g(x)=sinx,則g'(x)=cosx........1分

從而左=g，g=cos］=0........3分

所以直線/的方程是歹=1........4分

(2)由——二2兀，可知①=1,貝!I)(x)=xsinx-lnx(x>0),..........5分

CD

當h(x)=0時sinx=....6分

x

①當0<x<l時，sinx>0,---<0,此時函數y=〃（x）沒有零點；...........7分

x

②當XN1時，

因為（一）'=二^,可知y=—在［l,e］上嚴格增，在［%+8）嚴格減

XXX

7T兀

又y=sinx在工^］上嚴格增，在［^，司嚴格減，

所以x￡［1,e］時，y=sinx在x=e時有最小值sine，

Inx,Q-口,/士1ne1

y=---在x=e時有取大值----=-

xee

IInx

因為sine＞—所以sinx=——在工0上沒有交點,

X

即〃(x)=xsinx-Inx在[1,e]上沒有零點9分

所以函數y=〃(x)的零點x"滿足e＜X］＜》2＜…＜馬＜…，

EdInx.Ue”In%lnxlnx

因為y=