2024年新高考突破 檢測5 解析幾何（附答案解析）

檢測五解析幾何

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.（2021新高考〃,3）拋物線y2=2px（p>0）的焦點到直線>=尤+1的距離為企，則p=（）

C.2V2D.4

2.（2023北京八一中學(xué)模擬）已知從點（-5,3）發(fā)出的光線，經(jīng)無軸反射后,反射光線恰好平分圓/+k辦-

2y-3=0的圓周，則反射光線所在的直線方程為（）

A.2x-3y+l=0B.2x-3y-l=0

C.3尤-2y+l=0D.3尤-2y-l=0

2

3.（2023山東濟寧一模）若過點P（0,-l）的直線/與圓⑶-百）+廿=1有公共點，則直線/的傾斜角的最大

值為（）

A，7B.7D.§

6433

4.（2023湖南常德一模）已知拋物線的方程為/=4%過其焦點尸的直線與拋物線交于MN兩點，且

\MF\=5,0為坐標(biāo)原點，則的面積與△NOF的面積之比為（）

11

A怖B.；C.5D.4

54

5.（2023全國甲，理8）已知雙曲線諄一，=13>0,6>0）的離心率為迷。的一條漸近線與圓（尤-2）2+”

3）2=1交于48兩點，則|AB|=（）

V5?2V53V5八4百

A5。55

6.（2023廣東佛山二模）已知方程A^+Bk+Cxy+Qx+Ey+J^O淇中現(xiàn)有四位同

學(xué)對該方程進行了判斷，提出了四個命題：

甲:可以是圓的方程;乙:可以是拋物線的方程;丙:可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;丁:可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

程.

其中，真命題有（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

7.（2023山東德州一模）由點P（-3,0）射出的兩條光線與。。曲+1）2+尸=1分別相切于點A,B,稱兩射線

PAPB上切點右側(cè)部分的射線和優(yōu)弧A8右側(cè)所夾的平面區(qū)域為。。1的“背面”.若OQ：（X-1）2+S-

。2=1處于ooi的，，背面，，，則實數(shù)/的取值范圍為（）

A.[-2V3,2V3]

8.（2023湖南長郡中學(xué)一模）已知。為坐標(biāo)原點，雙曲線C:，—，=1（°>0/>0）的左、右焦點分別是

尸也,離心率為苧,尸（孫力）是C的右支上異于頂點的一點，過點巳作巳的平分線的垂線,垂足是

若雙曲線C上一點7滿足第?取=5,則點T到雙曲線C的兩條漸近線的距離之和為

（）

A.2V2B.2V3C.2V5D.2V6

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得5分,部分選對的得2分.有選錯的得0分.

9.（2023福建泉州三模）已知48為圓CM+y2=4的直徑且不與>軸重合，直線Uy=kx+\與y軸交于點

加,則（）

A.I與C恒有公共點

B.ZXABM是鈍角三角形

C.AABM的面積的最大值為1

DJ被C截得的弦的長度的最小值為2次

10.已知拋物線C：F=4X的焦點為尺斜率為1的直線I交拋物線于A.B兩點，則（）

A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為尤=1

B.線段AB的中點在直線y=2上

C.若|AB|=8,則△OA8的面積為2企

D.以線段A尸為直徑的圓一定與y軸相切

11.（2023河北邯鄲一模）已知雙曲線信-，=1（°>0,6>0）的左、右焦點分別是品,尸2,過尸1作圓

x2+y2=a2的切線/,切點為加,且直線雙曲線C的左、右兩支分別交于4,8兩點，則下列結(jié)論正確

的是（）

A.若。=3/=4,貝!IIBQI+IB&UZG

B.若則雙曲線C的漸近線方程為產(chǎn)出2尤

C.若阿8|=2阿西|,則雙曲線C的離心率是g

D.若M是的中點，則雙曲線C的離心率是愿

12.（2023山東蒲澤二模）法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn):與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的

軌跡是以橢圓中心為圓心的圓我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C5+產(chǎn)=1外尸2分

別為橢圓的左、右焦點，直線I的方程為x+V2y-3=0,M為橢圓C的蒙日圓上一動點,MA,MB分別與

橢圓相切于兩點,。為坐標(biāo)原點，下列說法正確的是（）

A.橢圓C的蒙日圓方程為V+y2=3

B.記點A到直線/的距離為d,則d-|AB|的最小值為手

C.一矩形四條邊與橢圓C相切，則此矩形面積的最大值為6

D.AAOB的面積的最小值為|,最大值為苧

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.（2023福建廈門二模）寫出與直線尤=l,y=l和圓f+y2=l都相切的一個圓的方

程:.

14.（2023天津,12）過原點的一條直線與圓C:（尤+2>+y2=3相切,交曲線丁=2/9>0）于點P,若［0尸|=8,

則p的值為__________.

15.（2022全國甲，文15）記雙曲線諄-真=13>0,6>0）的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C

無公共點”的e的一個值________1

16.（2023河北石家莊一模）已知為尸2分別是橢圓瑤+、=l（a>b>0）的左、右焦點,3是C的上頂點,

過Fi的直線交C于尸。兩點,0為坐標(biāo)原點,與△PQF2的周長比為孚，則橢圓的離心率

為;如果|26|=應(yīng)，且2尸」尸。,則△「。尸2的面積為.

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

22_

17.（10分）已知雙曲線a-4=13>0力>0）過點432）,且離心率e=V5.

⑴求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)務(wù)程；

（2）如果氏C為雙曲線上的動點，直線AB與直線AC的斜率互為相反數(shù)，證明直線BC的斜率為定值，

并求出該定值.

18.（12分）（2023河北唐山二模）已知拋物線。:產(chǎn)=2。工（/?>0）的焦點為為C上一點,8為準(zhǔn)線/上一

^JF=2FA,\AB\=9.

⑴求C的方程；

（2）M,N,E（xo,-2）是C上的二點，若AEM+AEN=1,求點E到直線A7N距曷的最大值.

19.(12分X2021全國甲，理20)拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O,焦點在x軸上，直線l:x=\交C于P,。兩

點，且已知點M(2,0),且OM與/相切.

⑴求COM的方程；

⑵設(shè)44A是C上的三個點，直線A1A2AA3均與相切.判斷直線與。/的位置關(guān)系，并說

明理由.

20.(12分X2023江蘇海安高級中學(xué)一模)某城市決定在夾角為30°的兩條道路石民跖之間建造一個

半橢圓形狀的主題公園，如圖所示,43=2千米，。為AB的中點0。為橢圓的長半軸，在半橢圓形區(qū)域

內(nèi)再建造一個游樂區(qū)域三角形OMN,其中在橢圓上，且的傾斜角為45°,交OD于點G.

主

干

道

(1)若OE=3千米，為了不破壞道路ER求橢圓長半軸長的最大值；

(2)若橢圓的離心率為與，當(dāng)線段OG長為何值時，游樂區(qū)域三角形OMN的面積最大?

21.(12分)(2023山東青島一模)已知。為坐標(biāo)原點橢圓C:：+\=1(“泌＞0)的左、右焦點分別為

尸2人為橢圓C的上頂點,△4尸1巳為等腰直角三角形，其面積為1.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)直線/交橢圓C于兩點，點W在過原點且與/平行的直線上,記直線WP,WQ的斜率分別為

kx,k^WPQ的面積為S從下面三個條件。②③中選擇兩個條件，證明另一個條件成立.

6=今軟曲=3(W為原點Q

注:若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

22.(12分)(2023浙江湖州、衢州、麗水二模)已知雙曲線C：v-y2=l,A是雙曲線C的左頂點，點尸坐標(biāo)

為(4,0).

(1)過點尸作C的兩條漸近線的平行線分別交雙曲線C于氏S兩點,求直線RS的方程.

⑵過點尸作直線/與橢圓9+y2=l交于點直線ARAE與雙曲線C的另一個交點分別是點M,N.

試問:直線MN是否過定點?若過定點,請求出該定點坐標(biāo);若不過定點,請說明理由.

檢測五解析幾何

?l2-O+llL

1.B解析拋物線的焦點坐標(biāo)為(*0),其到直線x-j+l=0的距離d=^=-=VX解得p=2(p=-6

舍去).

2.A解析由圓的方程得圓心為(1,1),

???反射光線恰好平分圓d+y2_2r2y一3=0的圓周，

，反射光線經(jīng)過點(1,1).

?；(-5,3)關(guān)于x軸對稱的點為(-5,-3),.?.反射光線所在直線經(jīng)過點(-5,-3),.?.反射光線所在直線方程

為啥=宏，即2x-3y+l=0.

-0-1-J-1

2

3.C解析直線的傾斜角最大時，直線與圓相切,此時斜率存在，圓(x-g)+y2=l的圓心為

C(g,0),半徑r=l.

設(shè)直線/的方程為y=kx-l,SP丘-y-l=0,直線到圓心的距離為"=善3=1,

出+1

解得左=8或左=0,當(dāng)左時,傾斜角最大為

4.D解析由解析式可知，焦點*0,1),準(zhǔn)線方程為y=-l,

設(shè)M(xi,yi),N(X2,y2)/MN：y=/a:+l,則|AfF|=yi+l=5,得％=4m=±4.

由拋物線的對稱性，不妨設(shè)點M在第一象限內(nèi)，則M(4,4).

聯(lián)立｛:y+1'得”-4"-4=0'％2=-4,

C

即M=-l,所以1=魯=4.

、AN0F\x2\

5.D解析由6=￡=芯,得°=遙&,所以6=后次=2。所以雙曲線C的漸近線的方程為

a

y=±-x=±2x.

由題,知,雙曲線。的一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=l交于A乃兩點，所以滿足條件的漸近線為

b.

y=-x=2x

又圓心(2,3)到漸近線2x-y=0的距離d==2圓的半徑r=l,所以

M+(一1)25

\AB\=2y/r2-d2=2Jl-|=^^故選D.

6.C解析因為方程Ar2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=O,^：中ANB2C*NE》F,

所以當(dāng)A=3=l?C=D=E=0與P=-l時,方程為d+Fl=0,即f+y2=i,故方程可以是圓的方程；

當(dāng)A=1^B=C=D=O^E=-1^F=-2時,方程為V-y-ZR,即"d-2,故方程可以是拋物線的方程；

當(dāng)A=223=l2C=D=E=0三/=-1時,方程為Zd+V-IR,即_/+半=1,故方程可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

2

方程；

若方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則有A3<0,C=0=E=0,尸<0,這與矛盾,故方程

不可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

所以真命題有3個.

7.D解析設(shè)過點P的切線方程為y=k(x+3),

二^|^=上理，

Q3_

不妨令直線AP的方程為y=f(x+3),即x-V3y+3=0,

直線尸8的方程為y=-弓(x+3),即x+\^y+3=0.

22

,/OO2:(x-l)+(y-t)=l處于。Oi的“背面”,

..?。。2與網(wǎng)相切時,取最小值,由/篙=1,解得-言或-2仃,結(jié)合圖形可得,的最小值為

-苧，同理。。2與PA相切時可得力的最大值為U苧,竽WfW苧.

8.A解析設(shè)半焦距為c,延長F2M交PR于點N,如圖.因為是/產(chǎn)iP尸2的平分線，/2MLPM

所以ANP尸2是等腰三角形，所以|PN|=|P產(chǎn)2|,且“是的中點.

Fd0\>2友

根據(jù)雙曲線的定義可知|尸產(chǎn)1|-|尸碼=2a,即|NFi|=2a因為。是FIF2的中點，所以MO是△NFi￡的

中位線，所以\MO\=^\NFi|=a=V2.

又雙曲線的離心率為苧，所以c=B力=1,所以雙曲線C的方程為.所以FI(-V3,0),F2(V3,0),

雙曲線C的漸近線方程為x土。=0.一

設(shè)“〃/),點T到兩漸近線的距離之和為s,則S=R鬻+嗜a由亭?哥=(公

8)(〃+遮)+丫2=〃2+丫2_3=5,得I/2+V2=8.

又點T在］-y2=l上，則］-丫2=1,即〃2_2V2=2,解得r=6/2=2.由|訓(xùn)>的訓(xùn)，故$=碧=2段.

9.ABD解析‘直線hy=kx+l與y軸交于點M

...”(0,1),點加在圓。:/+丁=4內(nèi)部,；./與C恒有公共點，故A正確；

?.?點/在圓。:/+9=4內(nèi)部,ZAMB為鈍角，

二△A3M是鈍角三角形，故B正確；

?.?點/到A8的最大距離，即到圓心的距離，為1,

1

，SAABM〈5X4X1=2,故C錯誤；

當(dāng)/被C截得的弦的長度最小時，圓心到直線/的距離最大，且此距離為點M到圓心的距離，為1,

此時弦長為2義用于=2百,故D正確.

故選ABD.

10.BCD解析對于A,拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-l,故A錯誤；

對于B,設(shè)點4苞,丫1),8(陶助),設(shè)線段A3的中點為"(砥⑹,則［四一：如兩式作差得

加3+為=48汨),可得念=畿勺,

所以丁1+以=4,故丁0=名1及=2,故B正確；

對于C,設(shè)直線AB的方程為y=x+b,聯(lián)立｛，2"可得f+(2b-4)x+Z?2=0/=4S-2)2-4/?2>0,解得

b<l,

貝Ixi+x2=4-2b,xiX2=b2,\AB\=V2?J(%i+^2)2~^xix2=魚乂4"-5=8,解得b=-l,點O到直線l的

距離為d=j=—條故5AAOB=1|AB|-6/=1X8X^=2V2,^C正確；

V2LL22

對于D,設(shè)線段Ab的中點為N(X3J3),則X3=",

由拋物線的定義可得|AF|=X1+1=2X竽，即|4尸|等于點N到y(tǒng)軸的距離的兩倍，

故以線段A/為直徑的圓一定與y軸相切，故D正確.

11.ABD解析如圖所示，對于A,由a=3,6=4,得c=5,所以|OK|=5,QM=3,|MK|=4.

設(shè)底尸2|=心,則|3川=〃葉6,在△3吊巳中油余弦定理可得cosN防％=士解得

”zx6l加U(m+：6了)5

m二10,

則由巳|=10,|3尸11=16,從而|8川+|3尸2|=26,故A正確；

對于B,由3凡，即k得〃即/2,因為。為尸田的中點，所以M為3K的中點，由題意可知

|OM|=a,|MPi|=6,貝1][8/2|=2。,|8產(chǎn)i|=26,由雙曲線的定義可得|8尸1卜|8%|=262。=2。,即6=2°,則雙

曲線C的漸近線方程為y=±2x,故B正確；

對于C,由|M3|=2|MB|,得|8/1|=36,則|B&|=3bQ,在/2中，由余弦定理可得cosZ

RFF=(3b)2+(2c)2_(3兒2a)2=b

12-2x3bx2c,

整理得2=|測e=J(-f+1=半，故C錯誤；

aL\\aJz

對于D,因為MO分別是3戶1,6仍的中點，所以O(shè)M〃/2,所以1361=24,13-1=26.

由雙曲線的定義可得IBRITB產(chǎn)2l=26-2a=2a,即6=2°,貝[]e=J(\)+1=而,故D正確.

故選ABD.

12.ACD解析對于A,當(dāng)直線M4,M3中一條斜率為0,另一條斜率不存在時，則M(土

當(dāng)直線M4,MB斜率均存在時，設(shè)根血加)，切線方程為y=k(x-xo)+yo,

'y=k(x-x0)+y0,

由

萬+y2=1,

222

得(1+2^)x-4^(Axo-jo),x+2(/cxo-y0)-2=0,

由/=0整理可得(瞪-2)F-2xoyoA+y]-l=O,

v2-]丫2_]

MA.LMB,**?%o+據(jù)=3,；.點M的軌跡為f+y2=3.經(jīng)檢

驗,M(土企，土1)滿足f+9=3,???蒙日圓的方程為f+產(chǎn)=3,故A正確.

對于B,，.?A為橢圓C上的點,，|AFi|+\AF2\=2a=2y/2,

：.d-\AF21=d-（2魚-I）=d+|AFI|-2A/2.

?.,d+|AR|的最小值為點Fi到直線/的距離，

A.4、反

又Fi（-1,0）,（J+\AFi|）min=-^===

.,.（4/-|AF2|）min=^-2V2>B錯誤.

對于C,：矩形四條邊均與C相切，，該矩形為蒙日圓的內(nèi)接矩形.

2

設(shè)矩形的長為m,寬為〃，蒙日圓的半徑r=V3,-*?m2+zt2=（2V3）,

：?nrnWm7=6（當(dāng)且僅當(dāng)根=〃二①時,等號成立），

?,?此矩形面積的最大值為6,故C正確.

對于D,設(shè)點A（xi,力）位于橢圓上半部分，即產(chǎn)

二?橢圓。在點A處的切線斜率左1=-―11?二切線方程為y-yi二-^Yx-xi）,即

r2—1」當(dāng)

2產(chǎn)三

xix+2”y=x1+2y/=2,.,.在點A處的切線方程為等+yiy=l.

同理可得，當(dāng)點4（劉力）位于橢圓下半部分，即產(chǎn)一｛1一三時,切線方程為號+y產(chǎn)1.

???橢圓C在點A處的切線方程為當(dāng)+yiy=l,同理可知，橢圓C在點3處的切線方程為等+y2y=1.

+yi7o=1,xx

設(shè)Mx。）。）,則/,可知點A,B的坐標(biāo)滿足方程W+yoy=l,

號+y2yo=i,2

即切點弦A3所在直線方程為等+yoy=L

當(dāng)班=0時,"（上國,0）,此時所在直線方程為x=±^,：.\AB\=2x

2V32V32

---X----=一；

333'

(等+y()y=1,

當(dāng)y(#0時，由〈丫2得(2禿+詔)爐-4%*+4-4犬=0,

〔萬+,i

由A知就+yo=3,(6-%O)-X2-4XOX+4XQ-8=0,

設(shè)A(xi,yD,3(X2,y2),貝!)為+%2=^^,%1%2=?0

O_XQO-%0

.448-3)(其-4)

A\AB\=-4x—V=

6%

又原點。到直線的距離d=1

16(xg-3)(xg-4)1

S^AOB=^\AB\-d=4(4-說)21

(6*)2羽―、2+

(6曷)(6曷)

令點=/「??福6［。,3）,；.6-de（3,6］,則te［林）；曲線尸2/+近段）為開口方向向下,對稱軸

為直線的拋物線，

4

，+7=(S/vlOB)max=2XH1=YV2，(S"O5)min=2X1_2

?-ymax=-2xQ)+；=ijmin=-2xQ)

o9Alo8L29-3,

綜上所述,“03的面積的最小值為|,最大值為弓，故D正確.

故選ACD.-

13.(x-2)2+y2=l(答案不唯一)解析設(shè)圓的方程為(『a)2+(y/)2=R2,和直線相切可以得R=\a-

1|=|6-1|,和圓相切得'a?+《2=R+I或+租=欣-1],若取〃=2力=0,則R=l,此時圓的方程為(x-

2)2+y2=l.

14.6“解析易知切線的斜率存在，設(shè)其方程為產(chǎn)質(zhì)，導(dǎo)0,則由題意，得圓C的圓心為(-2,0),半徑

r=V3.由平組=百,解得k=±y[3.由圓與拋物線的對稱性，不妨取直線產(chǎn)Bx.直線y=y[3x與曲

k2+l

,=警，得咨).因為[0罰=8,所以$產(chǎn)+(*>=64,解得

線交于點P,則由

y=V3x,3333

p=6.

15.2(答案不唯一，只要l<e<遍即可)解析由題意知,雙曲線C的漸近線方程為y=壬%,要使直

線y=2x與雙曲線C無公共點，只需2?2即可.

a

由2?2,得￥忘4,所以e2<5,故l<eW返.

aaL

16.yI解析設(shè)尸畫=2c油題意,MQW的周長為

IPQI+IPBI+IQ尸2|=|PR|+|PF2|+|QR|+|QF2|=4a因為〃="+廿,所以△。臺品的周長為a+b+c^

22222

以=l+i,整理得b=V2a-c9b=2a-2y/2ac+c9a-2V2ac+2c=0^2e2-2V^e+l=0,解得

4a4

_V2

方.

因為|母7=/,所以。=魚,所以6=c=l,即橢圓的方程為^+>2=1,

焦點R(-1,O)，/2(1,0),所以直線8R的斜率為1."

因為所以直線PQ的斜率為-1,即直線PQ的方程為y=-x-l.

(Y2

聯(lián)立萬+f=i，得3f+4x=0,即x=0或%=-1.

ly

不妨令尸工)，

所以APQB的面積為gx2xg+l)=g.

94

=1,

葭-訪a2—8,

解由題意

17.(1)——2解得2

c1+^=V5,b=32,

,a

故雙曲線的方程為^--^T=l.

05Z

(2)證明設(shè)點B(xi,yi),C(X2,y^i

設(shè)直線AB的方程為y-2=k(x+3),

代入雙曲線方程，得(41濡-2-3%+2訴(3左+2)2-32=0,

22

6/C+4/C3/C+4/C+12_2廿+2軌+8.(3/C2+4/C+122/C2+24/C+8)

/.-3+%i=-

4-k2=47彳了'4了

同理c(3-2-41+122/-2軌+8)

4-/'4-/c2

-7_4佻_(

??kBc=-^~=S

8k

18.解⑴如圖,因為市=2瓦?,

所以|A7nW|AB|=3.

由前二2同,加=-*%產(chǎn)*可得XA=P.

由拋物線的定義可知,四|二〃+畀3,解得p=2.

則。的方程為y2=4x

⑵因為點后(沏,-2)在拋物線C上，所以必=1.

設(shè)直線MN的方程為％=(y+〃,M(xi,yi),N(%2,y2),yi,y2齊2,

將x=ty+n代入/=4羽得y2_4/y-4〃=0,貝1)1+,2=4彳,％,2=-4幾

依M=紅?=當(dāng)工=吃,同理kEN=~^.

X1-1光71-2y2-2

不j

774,44(y.+y)-1616t-161超4日/

kEM^kEN---H-----=-----——?-—777=―工77=1灌理1m侍〃=-61+c5,

y「2y2-2丫1丫2-2(丫1+丫2)+4-4n-8t+4

則直線MN的方程為無=。6+5,所以直線MN過定點7(5,6).

當(dāng)E7UMN時，點￡到直線跖V的距離最大,且最大距離為|E7]=(5-1)2+(6+2產(chǎn)=4逐,經(jīng)檢驗

符合題意.

19.解⑴由題意設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁=2/?。?,當(dāng)x=l時,y2=2.y=土

因為OPLOQ,所以四=1,即2〃=1,

故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方您為/=x

0M的方程為(x-2)2+y2=i.

(2)由題意可知直線A1A2,A1A3,A2A3均不平行于X軸.

設(shè)點Ai(xi,yi),A2(X2,y2),A3(%3,y3),直線44的方程為x-%二加(yw),直線A14的方程為x-為二加2。-

yi),根4根2.

AixiyA1A2x-nny+m\y\-yl=0,4

因為點在拋物線。上，所以二工所以直線的方程可化為線AIA3的

方程可化為x-moy+miyx-yl=0.

M,OM(2,0),r=1,

因為直線AIA2,AIA3與。相切的圓心坐標(biāo)為半徑

|2+四71-*|=]|2+m2ylMI

所以

1+m^14-7712

皿'加2為方程與言等’的根，

所以

即如四2為方程加2(y)l)+皿4y1-2資)+yf-4弁+3=0的根.

又機停機2,所以所以如+加2=號￡^,如加2二匕胃盧.由久丁/+恤％-資=0,消去x,得產(chǎn)

7—X,

W+加iyi-y1=0,所以％+經(jīng)二加1,即y2=mi-yi.

同理,第=加2-%.

)*"'得y2-ky-b=0,^以a+”二42y3二也所以

設(shè)直線A2A3的方程為x=@+b,由

k=y2+y3=mi+m2-2yi=第,-6=p2丁3=(如-y)02-%)=加閉2平(的+m2)+yi=^77.

Yl-1YI-1

妊+1

=駕土=1=八故直線A2A3與。航相

必+1

而

20.解(1)以。為坐標(biāo)原點,0。所在直線為x軸,。4所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，圖略，由

題意A(0,l),E(0,3).

因為NO防=30°,所以|0川=|OE|tan30°=V3,

所以F(百,0),g=-遮，

所以直線E廠的方程為y=-V3x+3.

設(shè)|0。|=4必>0,則D(a,0),

儼2

所以橢圓的方程為馬+/1，當(dāng)。最大時直線所與橢圓相切加卜+、=1，

22

整理可得(1+3“2)^-6B〃￥+8〃2=。，

4=(6次〃2)2.4(1+3々2).8〃2=0,解得〃=苧(負值舍去).

所以橢圓的長半軸長的最大值為竿.

(2)因為e=^=亨力=1,〃2=52+。2,所以。2=4,

所以橢圓的方程為++y2=l.

設(shè)|OG|=r,0<W2,則GQ,O),直線MN的方程為y=x-t.

ry=x-t,

聯(lián)立2,整理可得Sd-StC+dP/R,

匕+y=1，

設(shè)M(xi,yD,N(X2j2),則尤I+X2=￡,XIM=^A

22

\yi-yiI=l^i-%21=J(%i+%2)-4%1%2=[野=|?V5-t,

SAOMN=：|OG|.|yi-y2|=：d,V5-C2=|V5t2-t4=|2+

要保證MN與半橢圓有交點，當(dāng)點N位于點3位置時片1,所以1W/W2,當(dāng)，總即t=當(dāng)時,SAOMN

有最大值，最大值為1.

綜上所述，當(dāng)|OG|=當(dāng)時,三角形OMN的面積最大.

21.ft?⑴記|尸1囿=2c,由題意知|二|4尸2|二。,2c=/a,

S

LAFrF2—12=1,解得<2=V2,.\b=l,c=l,

.??橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為S+y2=l.

(2)(/)選②③為條件:設(shè)尸(沏加),。。2,”).

當(dāng)直線/的斜率不存在時,根據(jù)橢圓的對稱性不妨設(shè)點P在第一象限，則由左次2=3,可得由=￥，此

時直線WP的方程為產(chǎn)技與S+y2=l聯(lián)立，解得尸(1號,.一考.

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為廣質(zhì)+/,“

則后%2=之"=1,即xiX2+2yiy2=0.

%i%2，

將y=kx+tKAy+^2=1W-(l+2^2)x2+4to+2/2-2=0,Xi+X2=-~,

y-2_oE.2y-2_nE.2

^?yiy2=(kx[+t)(kx2+t)=I^X[X2+kt(x\+x2)+t2=---------------?+2------2=°，即1+2F=2，.

l+2k1+2/c1+2/c

__________I]+2上2_12

22x2_2

|PQI=V1+/ckl-%21=V1+fc?J(l+%2)4X1%2=2A/2?V1+/c-71+2后.

S=1--^=-2s/2-V14-/C2?」"2k?2=

\t\V2

??,點。到直線/的距離d=2~2,

l+/c22后一/

綜上，①成立.

（方）選①③為條件:設(shè)P（X1,%）,Q（元2/2）.

當(dāng)直線/的斜率不存在時，根據(jù)橢圓的對稱性不妨設(shè)點尸在第一象限,

則由5=芋，可得S=|xi-2_yi=xiyi=y.

又]+比=1,解得Pd,y),2d,-y),

??k\k2~-~-

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y="+。

將y=Ax+/代入/+y2=l#(1+2^)x2+4to+2?-2=0,%i+%2=-4kt2t22

1+2/C2'X1Q-I+2/C2'

|尸Q|=V1+k2\x\-x2\=V1+/c2?](%1+%2)2-4%1%2=2a?V1+fc2?J1+2k2t.

N1rZ/c

???點O到直線l的距離d=^=,

JM2

：.S=g--^=-2^2-V1+/c2-冬3葉守4

l+/c2

t2-2k2

??b1>2=(履1+。("2+，)二爐工lX2+k(Xl+X2)+/2=

1+2/'

t2-2k2

.7r_y^2_1+2/_t2-2kz_1-t2_1

,,12-有-寶工--亦5-泰工一下

l+2k2

綜上，②成立.

（iii）選①②為條件:設(shè)P（xi,yi）,Q（X2,y2）,W（xo,yo）.