2024屆上海市數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆上海市上海師范大學附中高三數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.已知是雙曲線二-3=1(。>0力>0)的左右焦點，過K的直線與雙曲線的兩支分別交于48兩點(4在右

ab

支，B在左支)若A4B6為等邊三角形，則雙曲線的離心率為()

A.V3B.75C.76D.V7

2.過點玖2C，2和)的直線/與曲線y=&3-$交于4B兩點，若2PA=5AB，則直線/的斜率為()

A.2-73B.2+6

C.2+G或2-6D.2-△或垂>-1

3.已知函數(shù)“X)的定義域為(0,+8),且2/⑶.2/(?)=4望，當°<X<1時，〃X)<0.若"4)=2,則函數(shù)

在［1,16］上的最大值為()

A.4B.6C.3D.8

4.設(shè)"logs。，b=log020.3,C=203,則的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<hD.c<h<a

Q

5.已知｛可｝為正項等比數(shù)列，S“是它的前"項和，若［=16,且％與%的等差中項為6，則S5的值是()

O

A.29B.30C.31D.32

6.函數(shù)y=/(x)(xeR)在(-8』上單調(diào)遞減，且/(x+1)是偶函數(shù)，若/(2x-2)>/(2),則x的取值范圍是

()

A.(2,+oo)B.(-oo,1)U(2,+oo)

C.(1,2)D.(-co,1)

7.已知雙曲線C：鳥一/=1(“>0,。>0)的焦距為2c,焦點到雙曲線C的漸近線的距離為弓c,則雙曲線的漸

近線方程為()

A.y=±>/3xB.y=±\f2xC.y=±xD.y=±2x

8.0是正四面體ABC。的面ABC內(nèi)一動點，七為棱A￡＞中點，記。P與平面BCE成角為定值6,若點P的軌跡為

一段拋物線，貝Utane=（）

A.V2B,也也D.272

2V

9.已知A類產(chǎn)品共兩件4*2，B類產(chǎn)品共三件4，B2，B3,混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分開來，每次隨機

檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件A類產(chǎn)品或者檢測出3件B類產(chǎn)品時，檢測結(jié)束，則第一次檢測出8

類產(chǎn)品，第二次檢測出A類產(chǎn)品的概率為（）

323

C.一D.

25510

下列與函數(shù)y={定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是（

10.

B.=log,WC.y=log2

A.y=2幅”2D.y=/

,滿足,卜忖=a.〃=c.(a+2B-c)=

11.記M的最大值和最小值分別為Mmax和知而「若平面向量4、b、2,

則（）

V3+V7_V3-V7

A.B.a+c

Imaxmax2

=V3+V7II6-布

Dn-a+c.=-o-

min2IImin/

12.已知向量。，人滿足|a|=4,人在。上投影為-2,則。-3可的最小值為（)

A.12B.10c.VwD.2

填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2x—y<6

13.設(shè)X,）,滿足約束條件x+y>3,若z=x+3y+a的最大值是10,則。=

”3

14.某公園劃船收費標準如表:

船型兩人船（限乘2人）四人船（限乘4人）六人船（限乘6人）

每船租金（元/小時）90100130

某班16名同學一起去該公園劃船，若每人劃船的時間均為1小時，每只租船必須坐滿，租船最低總費用為.元,

租船的總費用共有種可能.

15.已知正數(shù)用方滿足a+b=L則^+工的最小值等于,此時a=.

ab

16.在三棱錐S-ABC中，SA,SB,SC兩兩垂直且以=SB=SC=2,點”為S-ABC的外接球上任意一點,

則MA-MB的最大值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，矩形COEF和梯形A8CO所在的平面互相垂直，ZBAD=ZADC=90，AB=AD=-CD,

2

（D若M為E4的中點，求證：AC//平面MDP；

（2）若45=2,求四棱錐七一ABC。的體積.

18.（12分）如圖1,四邊形ABC。為直角梯形，AD//BC,AD±AB,NBCD=60°,AB=26BC=3,E

為線段CO上一點，滿足3C=CE,F為BE的中點,現(xiàn)將梯形沿BE折疊（如圖2）,使平面BCE_L平面A8EZ）.

（1）求證：平面ACE_L平面8CE；

（2）能否在線段A3上找到一點P（端點除外）使得直線AC與平面PC尸所成角的正弦值為正？若存在，試確定

4

點尸的位置；若不存在，請說明理由.

19.（12分）如圖，三棱臺ABC-A瓦G?中，側(cè)面A片船與側(cè)面4c2cA是全等的梯形，若4A上AB,_LAG，

且AB—2A}B}—4A)A.

AiCi

(I)若O)=2g,AE=2EB，證明：〃平面BCC4；

TT

(ID若二面角G-A4-8為求平面A4BA與平面C43c所成的銳二面角的余弦值.

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=ar-(a+l)lnx-』，aeR.

x

(1)當aWl時，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若。=1,當xe[l,2]時，函數(shù)nx)=f(x)+：+口-彳，求函數(shù)2幻的最小值.

XX'X

21.(12分)隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強烈的沖擊.某雜志社近9年來的紙質(zhì)廣告收入如下表所

示：

年份201020112012201320142015201620172018

時間代號，123456789

廣告收入蟲千萬元)22.22.52.832.52.321.8

根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對f和作線性相關(guān)性檢驗，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.243；

根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對f和)'作線性相關(guān)性檢驗，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.984.

(1)如果要用線性回歸方程預測該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入，現(xiàn)在有兩個方案,

方案一：選取這9年數(shù)據(jù)進行預測，方案二：選取后5年數(shù)據(jù)進行預測.

從實際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗的角度分析，你覺得哪個方案更合適？

附：相關(guān)性檢驗的臨界值表：

小概率

n-2

0.050.01

30.8780.959

70.6660.798

(2)某購物網(wǎng)站同時銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書，據(jù)統(tǒng)計，在該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中，只購買電

子書的讀者比例為50%,紙質(zhì)版本和電子書同時購買的讀者比例為10%,現(xiàn)用此統(tǒng)計結(jié)果作為概率，若從上述讀者

中隨機調(diào)查了3位，求購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.

22.(10分)以坐標原點為極點，X軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，判斷

x=1+2zc

直線/:《,c。為參數(shù))與圓c：P2+20cos6—2Qsine=O的位置關(guān)系.

y=\-2t

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解題分析】

根據(jù)雙曲線的定義可得兒486的邊長為4a,然后在中應(yīng)用余弦定理得dc的等式，從而求得離心率.

【題目詳解】

由題意|胡|一|伍|=忸可—忸耳|=

2a,2"，X\AF2\=\BF2\=\AB\,

|曲|—忸耳|=|AB|=4a，二防=2a,

在A46工中+|A用之一2|4用|4用cos60。，

即4c2=(6a)2+(4a)2-2x6ax4ax—=28a2，

2

故選：D.

【題目點撥】

本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把A到兩焦點距離用。表示，然后用余弦定理建立關(guān)系式.

2、A

【解題分析】

利用切割線定理求得利用勾股定理求得圓心到弦AB的距離，從而求得NAPO=30°,結(jié)合NPQx=45，

求得直線/的傾斜角為15,進而求得/的斜率.

【題目詳解】

曲線y=J13—f為圓1+1=13的上半部分,圓心為(0,0),半徑為J將.

設(shè)PQ與曲線y=J13—f相切于點。,

則|PQ『=歸山忖耳=|「山.(|%+|.|)=［儼*=|PO「_|OQ『=35

所以|%=5,|AB|=2,

25y2^/31

0到弦AB的距離為Jg=2A/3，SinZAPO=-7=—尸=7，所以NAPO=30°,由于NPQx=45,

\OP\2>/6xV22

所以直線/的傾斜角為45-30=15，斜率為tanl5=tan(45-30)=tan45-tan30_26

1+tan45xtan30

本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.

3、A

【解題分析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)塞運算，可得/(;)+/(?)=/(M；利用定義可證明函數(shù)“》)的單調(diào)

性，由賦值法即可求得函數(shù)/(x)在［1,16］上的最大值.

【題目詳解】

函數(shù)/(x)的定義域為(o,+8),且2,⑵,2〃")=4望’

貝!I?/(：)+/(〃)=/(m)；

任取斗工24。，”)，且用<^2,則。<,<1,

故/（五］<0，

\X2）

令"2=%,n=x2,則/—+/（々）=/（%），

即/（%）—/（%）=/隹］<0，

故函數(shù)/（X）在（（）,+<?）上單調(diào)遞增，

故小）皿=/（16），

令加=16,九=4,

故/（4）+/（4）=/。6）=4,

故函數(shù)f（x）在［1,16］上的最大值為4.

故選：A.

【題目點撥】

本題考查了指數(shù)塞的運算及化簡，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.

4、A

【解題分析】

選取中間值。和1,利用對數(shù)函數(shù)y=log3x,y=log。,2%和指數(shù)函數(shù)y=2、的單調(diào)性即可求解.

【題目詳解】

因為對數(shù)函數(shù)y=log3x在（0,+力）上單調(diào)遞增，

所以Iog3（）.5<log31=0,

因為對數(shù)函數(shù)y=10go,2X在（（）,+8）上單調(diào)遞減，

所以0=log。21<log020.3<log020.2=1,

因為指數(shù)函數(shù)y=2V在R上單調(diào)遞增，

所以2°3>2°=1,

綜上可知,a<6<c.

故選:A

【題目點撥】

本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運用能力;選取合適的中間值是

求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.

5、B

【解題分析】

設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q,運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，求出公比，再由等比數(shù)列的求和公式，計

算即可得到所求.

【題目詳解】

設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q,

則a4=16q3,a?=16q6,

9

與a7的等差中項為

9

即有34+37=—,

4

9

即16q3+16q6,=-,

4

解得q=；(負值舍去)，

付q(l-0164一；)

則有s$=」_LL=——、7"=1.

…1-1

2

故選C.

【題目點撥】

本題考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，同時考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題.

6、B

【解題分析】

根據(jù)題意分析/(x)的圖像關(guān)于直線x=l對稱，即可得到f(x)的單調(diào)區(qū)間，利用對稱性以及單調(diào)性即可得到％的取值

范圍。

【題目詳解】

根據(jù)題意，函數(shù)y=/(x)滿足/(x+1)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線X=1對稱，

若函數(shù).V=/(X)在(一8』上單調(diào)遞減，則fM在［1,收)上遞增，

所以要使f(2x—2)>/(2),則相變形可得|2x—3|>1,

解可得：x>2或x<l,即x的取值范圍為(―8/)D(2,+8)；

故選：B.

【題目點撥】

本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，有一定綜合性，屬于中檔題。

7、A

【解題分析】

利用雙曲線C：鳥-，=1（。>0,〃>0）的焦點到漸近線的距離為弓。，求出。，。的關(guān)系式，然后求解雙曲線的

漸近線方程.

【題目詳解】

雙曲線C：鳥一/=1（。>0/>0）的焦點（。,0）到漸近線法+羽=0的距離為等,，

可得：=—C,可得2=正，-=V3,則c的漸近線方程為y=±JIx.

yja2+b22c2a

故選A.

【題目點撥】

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)建出。力的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中檔題.

8、B

【解題分析】

設(shè)正四面體的棱長為2,建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，求出面BCE的法向量，設(shè)P的坐標，求出向量￡>p,

71

求出線面所成角的正弦值，再由角。的范圍0,-,結(jié)合。為定值，得出sin。為定值，且P的軌跡為一段拋物線，

所以求出坐標的關(guān)系，進而求出正切值.

【題目詳解】

由題意設(shè)四面體A8C。的棱長為2,設(shè)。為8c的中點，

以。為坐標原點，以。4為x軸，以QB為丁軸，過。垂直于面ABC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系

O-xyz,

則可得QB=OC=1,OA=—x2=V3,取。4的三等分點G、F如圖,

2

則OG=』OA=立，AG=OF=-0A=^-,DG=yjAD2-AG2=^-,EF=-DG=—，

3333323

(h2府(2h

所以8(0,1,0)、C(0,-l,0),A(石,0,0)、DY,0,3、E3

(V32何

由題意設(shè)P（x,y,0）,DP=

,ABO和ACD都是等邊三角形，E為AO的中點，.?.B￡_LAT>,CE1AD,

2百n2而］

BECE=E.?.ADJ?平面BCE,AD=-：-，U,---為平面8CE的一個法向量,

7T

因為0P與平面BCE所成角為定值。，則0,-

由題意可得

因為P的軌跡為一段拋物線且tan6為定值，則sin3也為定值,

=”得獷=8后,此時sin"/，則C°S6=9,tan"翳考

故選：B.

【題目點撥】

考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時的情況，屬于中等題.

9、D

【解題分析】

根據(jù)分步計數(shù)原理，由古典概型概率公式可得第一次檢測出8類產(chǎn)品的概率，不放回情況下第二次檢測出A類產(chǎn)品的

概率，即可得解.

【題目詳解】

A類產(chǎn)品共兩件A,A2,B類產(chǎn)品共三件4,,與，

_3

則第一次檢測出8類產(chǎn)品的概率為g；

21

不放回情況下，剩余4件產(chǎn)品，則第二次檢測出A類產(chǎn)品的概率為一=—；

42

313

故第一次檢測出8類產(chǎn)品，第二次檢測出A類產(chǎn)品的概率為-x-=—；

故選：D.

【題目點撥】

本題考查了分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，古典概型概率計算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10、C

【解題分析】

分析函數(shù)y=J=的定義域和單調(diào)性，然后對選項逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性，由此確定正確選項.

yJX

【題目詳解】

函數(shù)y=亡的定義域為（0,+”）,在（0,+”）上為減函數(shù).

A選項，）'=2咋2'的定義域為（0,+力），在（0,+8）上為增函數(shù)，不符合.

B選項，y-log,的定義域為R,不符合.

C選項，^=1082-的定義域為（。,+力），在（0,+8）上為減函數(shù)，符合.

D選項，y=f的定義域為［0,+8）,不符合.

故選：C

【題目點撥】

本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

11、A

【解題分析】

設(shè)。為匕的夾角，根據(jù)題意求得。然后建立平面直角坐標系，設(shè)"=。4=（2,0）,b=OB=（l網(wǎng),

c=OC=（x,y）,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算得出點C的軌跡方程，將卜-c|和w+c］轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距

離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.

【題目詳解】

由已知可得a/=WWcose=2,則cos6=g,Q0494兀，：.9=三,

建立平面直角坐標系，設(shè)”=。4=（2,0）,b=OB小網(wǎng),c=OC=（x,y）,

由c-（a+2Z?-c）=2,可得（工,），＞（4-2%,26—2〉）=2,

即4%-2/+2底-2/=2,

化簡得點C的軌跡方程為（x_1）2+y-^-=；,則卜_q=J（x_2）2+y2,

則|a-c|轉(zhuǎn)化為圓（x—l）2+（y_立］=3上的點與點（2,0）的距離，.?.卜_4

Q+CI轉(zhuǎn)化為圓（x-l）,y*=；上的點與點（一2,0）的距離,

7

，卜+d=%+使1+」=也+返*+d=%+使[一旦后".

1hmx\(2J221ImimV(2J22

故選：A.

【題目點撥】

本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關(guān)鍵,

考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.

12、B

【解題分析】

根據(jù)人在。上投影為-2,以及cos<a,方>e[-l,0),可得卜，「2；再對所求模長進行平方運算，可將問題轉(zhuǎn)化為

模長和夾角運算，代入網(wǎng)即可求得卜-3目..

IIminIImin

【題目詳解】

人在a上投影為一2,即>=一2

H>0cos<d,b><0

又cos<a,b>e[-1,0)二,Ln=2

a-3b=d2-6d-b+9b2=|?|'-6|a||/?|cos<a,b>+9|^|=9,+64

:.\a-?>b\=79x4+64=10

IImin

本題正確選項：B

【題目點撥】

本題考查向量模長的運算，對于含加減法運算的向量模長的求解，通常先求解模長的平方，再開平方求得結(jié)果；解題

關(guān)鍵是需要通過夾角取值范圍的分析，得到舊的最小值.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

7

13、——

2

【解題分析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.

【題目詳解】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：

97

故可得10='+9+”，解得以=一一.

22

7

故答案為：-彳.

【題目點撥】

本題考查由目標函數(shù)的最值求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.

14、36010

【解題分析】

列出所有租船的情況，分別計算出租金，由此能求出結(jié)果.

【題目詳解】

當租兩人船時，租金為：一x9()=720元,

2

當租四人船時，租金為：一x100=400元,

4

當租1條四人船6條兩人船時,租金為：100+6x90=640元，

當租2條四人船4條兩人船時,租金為：2x100+4x90=560元,

當租3條四人船2條兩人船時,租金為：3x100+2x90=480元,

當租1條六人船5條2人船時,租金為：130+5x90=580元，

當租2條六人船2條2人船時,租金為：2x130+2x90=440元,

當租1條六人船1條四人船3條2人船時，租金為：130+100+3x90=500元,

當租1條六人船2條四人船1條2人船時，租金為：130+2x100+90=420元，

當租2條六人船1條四人船時，租金為：2x130+100=360元，

綜上，租船最低總費用為360元，租船的總費用共有10種可能.

故答案為：360,10.

【題目點撥】

本小題主要考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查實際應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.

1

15、3-

2

【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得+乎=?+f+l,由基本不等式的性質(zhì)可得最小值，進而分析基本不等式成立的條

ababab

件可得a的值，即可得答案.

【題目詳解】

根據(jù)題意，正數(shù)。、5滿足a+8=l,

m,,b1ba+bbaP3,°

則一+—=—+----=—+—+122J—x—+1=3,

ababab\ab

當且僅當a=〃時，等號成立，

2

故2+工的最小值為3,此時a=」.

ab2

故答案為：3:—.

2

【題目點撥】

本題考查基本不等式及其應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、273+2

【解題分析】

先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì)，求出外接球的半徑，結(jié)合向量的運算，將問題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點到?SAC外心距離最

大的問題，即可求得結(jié)果.

【題目詳解】

因為SASB,SC兩兩垂直且SA=SB=SC=2,

故三棱錐5-ABC的外接球就是對應(yīng)棱長為2的正方體的外接球.

且外接球的球心為正方體的體對角線的中點。，如下圖所示：

M

容易知外接球半徑為力.

設(shè)線段AB的中點為。一

故可得MAMB^(MOt+?A)?("?+0]B)

=(M?+?孫(用《_?4)

222

=|M<91|-|OIA|=|MO,|-2,

故當I取得最大值時，M4.MB取得最大值.

而當M,AB在同一個大圓上，且

點M與線段AB在球心的異側(cè)時，|加?|取得最大值，如圖所示：

此時，加0=0,0013=1舸0,-2烏(應(yīng)+『一=?+

故答案為：26+2.

【題目點撥】

本題考查球體的幾何性質(zhì)，幾何體的外接球問題，涉及向量的線性運算以及數(shù)量積運算，屬綜合性困難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析(2)匕

【解題分析】

(1)設(shè)EC與DF交于點N,連結(jié)MN,由中位線定理可得MN〃AC,故AC〃平面MDF；

(2)取CD中點為G,連結(jié)BG,EG,則可證四邊形ABGD是矩形，由面面垂直的性質(zhì)得出86_1平

面CDEF,故BG±DF,又DF±BE得出DFJ_平面BEG,從而得出DF_LEG,得出RtADEG?RtAEFD,

列出比例式求出DE,代入體積公式即可計算出體積.

【題目詳解】

(1)證明：設(shè)EC與DF交于氤N,連接MN,

在矩形COEF中，點N為EC中點，

W為E4的中點，，MN//AC,

又TAC<Z平面MD/,MNu平面MDF,

二4?//平面加。/.

（2）取C。中點為G,連接BG,EG,

平面CDEF±平面ABCD,

平面CDEFc平面ABCD=CD,

ADu平面A8CD,AD±CD,

：.AD±平面CDEF,同理石。_L平面ABCD,

AED的長即為四棱錐七一ABC。的高，

在梯形ABCO中A8=，CD=￡）G,AB//DG,

2

四邊形ABGO是平行四邊形，BG//AD,

:.BG工平面CDEF,

又?:DFu平面CDEF，:.BGLDF,

又BE工DF,BEcBG=B,

；.DF工平面BEG,DFA.EG.

注意到Rt_DEGsRtEFD,

:.DEi1=DGEF=8,DE=20，

VE-ABCD-]SABCD-ED=4A/2.

【題目點撥】

求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊

方法——分割法、補形法、等體積法.①割補法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾

何體進行解決.②等積法：等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形（或幾何體）的面積（或體積）通過

已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，

這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值.

18、(1)證明見解析；(2)存在點P是線段A8的中點，使得直線AC與平面PCF所成角的正弦值為".

4

【解題分析】

(1)在直角梯形ABCQ中，根據(jù)3E=5C=3,NBCD=60°,得ABCE為等邊三角形，再由余弦定理求得AE,

滿足AE2+BE2=AB2,得到再根據(jù)平面8CE，平面ABED,利用面面垂直的性質(zhì)定理證明.

(2)建立空間直角坐標系：假設(shè)在A3上存在一點P使直線AC與平面PC尸所成角的正弦值為力，且A尸=/lA3,

4

/\I「人\3/16

Ae(O,l),求得平面尸CF的一個法向量，再利用線面角公式cos(C4,〃)=/丫=彳求

解.

【題目詳解】

(1)證明：在直角梯形ABCD中，BE=BC=3,ZBCD=60°,

因此ABCE為等邊三角形，從而BE=3,又AB=2框,

由余弦定理得：AE?=12+9—2x2百x3cos30。=3,

?*-AE2+BE2=AB2＞即A￡_L3￡，且折疊后AE與8E位置關(guān)系不變，

又?.?平面8CE，平面ABED,且平面8CE平面ABED=BE.

AE_L平面BCE,VAEu平面ACE,

二平面ACE_L平面BCE.

(2)???△BCE為等邊三角形，F(xiàn)為BE的中點,

：.CFVBE,又???平面BCE_L平面ABED,且平面BCEp)平面反田=BE,

...CF,平面ABED,

取AB的中點G,連結(jié)PG,則FG//AE,從而FG上BE,以E為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系：

假設(shè)在A8上存在一點P使直線AC與平面所成角的正弦值為手，且/=4潴，AG(0,1),

VZ?kj,o\=(-73,3,0),故4尸=(一6/1,340卜

CP=CA+AP=V3(l-2),|(22-l),-^y-1又憶。弓

該平面PCF的法向量為n=(x,y,z),

V3(l-/l)x+|(2/l-l)y-^z=0

n-CP=0

=><

n-FC^Q3百n

I2

令-1)得〃=(百(2/_1),2("1),0),

:Jcos(CA,〃)3273

273?^3(2/1-1)2+4(2-1)2

解得力=4或%=二(舍),

26

綜上可知，存在點P是線段AB的中點，使得直線AC與平面PCF所成角的正弦值為且.

4

【題目點撥】

本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理和向量法研究線面角問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔

題.

19、（I）見解析；（II）—.

4

【解題分析】

試題分析：（I）連接AG,BC},由比例可得DE//BC],進而得線面平行；

（II）過點A作AC的垂線，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)的=1,則4q=AG=2,求得平面44氏4的法向量

為m,設(shè)平面的法向量為〃，由cos5，〃）=^求二面角余弦即可.

試題解析：

（I）證明：連接AGIG，梯形AC|CA,AC=24G,

易知：AC,n4c=D,AD=2DC,；

又AE=2EB)則DE〃BC1；

BCy<=平面BCC]Bj,DEB平面BCGB,,

可得：DE〃平面BCqB1；

(ID側(cè)面4GCA是梯形，AA^AC，

nA4flAC^AlAB,

TT

則N84。為二面角C-AA-B的平面角，ZBAC^y；

=均為正三角形，在平面ABC內(nèi)，過點A作AC的垂線，如圖建立空間直角坐標系，不妨設(shè)AA,=1,

則A4=4G=2,

4。=4。=4,故點4(0,0,1),C(0,4,0),

3(26,2,0),4(6,1,1卜

m-AB=0

設(shè)平面448A的法向量為加=(x，y,zj,則有：＜=>

m-AB,=0：；N「二N孫

mCB=0

設(shè)平面G4BC的法向量為〃=(馬,%,Z2),則有：＜=>

m-CB}-0

/、mn

cos(m,n)=--

H川

故平面9少與平面G“。所成的銳二面角的余弦值若.

7

20、(1)見解析(2)F(x)的最小值為尸(2)=/-21n2

【解題分析】

(1)由題可得函數(shù)/(X)的定義域為(。,+8),

ax2-(tz4-l)x+l_(x-l)(ax-l)

fW=a--------+—=(x>0),

xx~

當。40時，ax-1<0,令/'(x)<0,可得X>1；令/'(x)>0,可得()<X<1,

所以函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,”)上單調(diào)遞減;

當0<a<l時，令/'(x)<0,可得l<x<,；令/'(x)>0,可得()<x<l或x〉L,

aa

所以函數(shù)f(x)在(0,1),(4,+00)上單調(diào)遞增，在(1,L)上單調(diào)遞減;

aa

當a=l時，/'(x)20恒成立，所以函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

綜上，當aMO時，函數(shù)/*)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+w)上單調(diào)遞減；當0<a<l時，函數(shù)f(x)在(0/)，(-,+<?)

a

上單調(diào)遞增，在(1,!)上單調(diào)遞減；當。=1時，函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

a

412312

(2)方法一當〃=1時，"(X)=/(X)H1—z---=x-2\nx-\1—---工￡[1,2],

xxxxx9

2r-2

設(shè)g(無)=x-21nx,xe[l,2],則g<x)=l--=-——<0,

XX

所以函數(shù)g(x)在U,2]上單調(diào)遞減，所以g(x)Ng(2)=2-21n2,當且僅當x=2時取等號.當會口⑵時，設(shè)'=/,

X

則六[一11],所以三Q十1二一7彳=3，+/一2/，

2xrX

|11O

設(shè)〃(f)=3f+f2—2d,re[-,l],貝！1〃⑴=3+2f-6*=-6(f--)2+—,

266

所以函數(shù)〃'⑺在[；[]上單調(diào)遞減，且“(；)=|>0,〃'⑴=一1<0,

所以存在r°eg,l),使得〃4)=0,所以當;4"%時，〃'(。>0；當r°<Tl時，"⑺<0,

所以函數(shù)以。在(；,*>)上單調(diào)遞增，在&』)上單調(diào)遞減，

因為人(3=3'〃(1)=2,所以/7。注力(g)=入所以3+當且僅當x=2時取等號.所以當x=2時,函

2222xx2x32

37

數(shù)F(x)取得最小值，且F(x)n,n=2-21n2+-=--21n2,

7

故函數(shù)F(x)的最小值為j21n2.