2024年高考數(shù)學(xué)：填空題中之分類討論思想(教師版)

高考復(fù)習(xí)材料

填空題中之分類討論思想

.【中考考向?qū)Ш健?/p>

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一與等腰三角形有關(guān)的分類討論問題】................................................1

【考向二與直角三角形有關(guān)的分類討論問題】................................................7

【考向三與矩形有關(guān)的分類討論問題】......................................................10

【考向四與菱形有關(guān)的分類討論問題】......................................................18

【考向五與正方形有關(guān)的分類討論問題】...................................................23

【考向六與圓的分類討論問題】............................................................28

【考向七與相似有關(guān)的分類討論問題】.....................................................33

尸門

.離【直擊中考】

【考向一與等腰三角形有關(guān)的分類討論問題】

例題：（2022?四川廣安?統(tǒng)考中考真題）若（…）2+后有=0,則以。、b為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為

【答案】11或13##13或11

【分析】根據(jù)平方的非負(fù)性，算術(shù)平方根的非負(fù)性求得。涉的值，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論,

根據(jù)構(gòu)成三角形的條件取舍即可求解.

【詳解】解：（a-3）2+Jb-5=0,

二a=3,6=5,

當(dāng)°=3為腰時(shí)，周長(zhǎng)為：2a+6=6+5=ll,

當(dāng)b=5為腰時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為。+26=3+10=13,

故答案為：11或13.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?遼寧朝陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題）等邊三角形N2C中，。是邊2C上的一點(diǎn)，BD=2CD,以4D為邊作等

邊三角形4DK,連接CE.若CE=2,則等邊三角形4BC的邊長(zhǎng)為.

【答案】3或鼠叵.

13

【分析】分兩種情況，先證明=再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案.

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【詳解】解：如圖，E點(diǎn)在4。的右邊,

???\ADE與\ABC都是等邊三角形，

:.AC=AB,AE=AD,ZDAE=ABAC=60°,

ZDAE-/CAD=ABAC-/CAD,

即/CAE=/BAD.

在\CAE和\BAD中，

AC=AB

<ZCAE=ABAD,

AE=AD

ACAE=/^BAD(SAS),

:.CE=BD=2,

QBD=2CD,

.-.CD=1,

BC=BD+CD=2+1=3,

二?等邊三角形/3C的邊長(zhǎng)為3,

如圖，￡點(diǎn)在/。的左邊，

同上，MAE=ACAD(SAS),

:.BE=CD,ZABE=ZACD=60°,

/EBD=120。,

過點(diǎn)E作所交C5的延長(zhǎng)線于點(diǎn)/，則NEM=60。,

:.EF=—BE=—CD,BF=gBE；CD,

2222

7

:.CF=BF+BD+CD=-CD,

2

在RtAEFC中，CE=2,

:.EF2+CF2=CE2=4,

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V3,7,

???(^CZ))2+(-CZ))2=4,

誓或3-嚕

（舍去）,

.?.等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為巫,

13

故答案為：3或處.

13

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明AC/EMAB/。是解題的

關(guān)鍵.

2.（2022?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題）在RtV4BC中，ZC=90°,有一個(gè)銳角為60。，4B=6,若點(diǎn)P在直

線月8上（不與點(diǎn)A,B重合），且/PC3=30。，則/P的長(zhǎng)為.

【答案】■或9或3

【分析】分乙43c=60、々5C=30。兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法，分別求解即可.

【詳解】解：當(dāng)乙48C=60。時(shí)，貝i]N8/C=30。，

,-.BC=-AB=3,

2

???AC=>JAB2-BC2=373，

當(dāng)點(diǎn)P在線段48上時(shí)，如圖,

；NPCB=30°,

；ZBPC=9O°,BPPCLAB,

■■AP=AC-cosABAC=3y/3x-=--,

22

當(dāng)點(diǎn)P在42的延長(zhǎng)線上時(shí)，

???ZPCB=30°,^BC=^PCB+/.CPB,

.■.zCPS=30°,

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:.乙CPB=LPCB,

:.PB=BC=3,

；/P=AB+PB=9；

當(dāng)乙48c=30。時(shí)，則AB/C=60。，如圖,

2

ZPCB=30°,

：.^APC=60°,

“CP=60°,

；PC=APAC=AACP,

.??△/PC為等邊三角形，

：.PA=AC=3.

9

綜上所述，/尸的長(zhǎng)為5或9或3.

故答案為：，或9或3

【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形綜合題，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等邊三角形的

判定和性質(zhì)等，分類求解是本題解題的關(guān)鍵.

3.（2022?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在V4BC中，Z.ABC=40°,ZBAC=80°,以點(diǎn)A為圓心，AC

長(zhǎng)為半徑作弧，交射線詡于點(diǎn)。，連接C。，則48。的度數(shù)是.

【分析】分兩種情況畫圖，由作圖可知得/C=4D,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即

可.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)。即為所求;

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ZACB=l80°-40°-80°=60°,

由作圖可知：AC=AD,

ZACD=ZADC=1(180°-80°)=50°,

NBCD=ZACB-NACD=60°-50°=10°；

由作圖可知：AC=AD',

NACD'=ZAD'C,

AACD'+ZAD'C=ABAC=80°,

ZAD'C=40°,

ZBCZX=180°-NABC-ZAD'C=180°-40°-40°=100°.

綜上所述：/BCD的度數(shù)是10。或100。.

故答案為：10°或100°.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握基

本作圖方法.

4.(2022?青海西寧?統(tǒng)考中考真題)矩形48CD中，45=8,40=7,點(diǎn)E在48邊上，AE=5.若點(diǎn)P

是矩形NBCD邊上一點(diǎn)，且與點(diǎn)4￡構(gòu)成以NE為腰的等腰三角形，則等腰三角形NEP的底邊長(zhǎng)是

【答案】5也或4右

【分析】分情況討論：①當(dāng)NP=/E=5,點(diǎn)尸在邊上時(shí)，由勾股定理可求得底邊尸￡的長(zhǎng)；②當(dāng)

尸￡=/￡=5,點(diǎn)尸在邊3c上時(shí)，求出由勾股定理求出P8,再由勾股定理求出底邊4P即可.

【詳解】解：?.?矩形/BCD

?,?乙4二48=90°,

分兩種情況：

當(dāng)4P=AE=5,點(diǎn)P在邊上時(shí)，如圖所示：

B

?"40=90°,

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■■PE=yjAP2+AE2=A/52+52=572:

當(dāng)PE=AE=5,點(diǎn)P在邊8C上時(shí)，如圖所示:

?；BE=AB-AE=8-5=3,N8=90°,

■■PB=^PE2-BE2=552-32=4,

二底邊4P=yjAB~+PB2=782+42=475；

綜上，等腰三角形/EP的底邊長(zhǎng)是5亞或4右

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定，進(jìn)行分類討論是

解決問題的關(guān)鍵.

12

5.2022?江西?統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=—（x>0）的圖象上，點(diǎn)2在x軸正半軸上,若V04B

【答案】5或2遍或加

【分析】因?yàn)榈妊切蔚难淮_定，所以分三種情況分別計(jì)算即可.

【詳解】解：①當(dāng)/。=48時(shí)，48=5；

②當(dāng)時(shí)，AB=5；

③當(dāng)。1=02時(shí)，則。2=5,B（5,0）,

12

設(shè)4（。，一）（。>0）,

a

,?,CM=5,

解得：％=3,4=4,

??/(3,4)或(4,3),

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■■AB=^（3-5）2+42=2右或AB=^（4-5）2+32=回;

綜上所述，的長(zhǎng)為5或2百或.

故答案為：5或2行或

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，考查分類討論的思想，當(dāng)時(shí),

求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

【考向二與直角三角形有關(guān)的分類討論問題】

例題：（2022?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考中考真題）在V48C中，4D為邊8c上的高，AABC=30°,NCAD=20。,

則ZBAC是度.

【答案】40或80##80或40

【分析】根據(jù)題意，由于V/BC類型不確定，需分三種情況：高在三角形內(nèi)部、高在三角形邊上和高在三角

形外部討論求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，分三種情況討論：

①高在三角形內(nèi)部，如圖所示：

???在AABD中，4D為邊8C上的高，AABC=30°,

ABAD=90°-AABC=90°-30°=60°,

?-?ACAD=20°,

ABAC=ABAD+ACAD=60°+20°=80°；

②高在三角形邊上，如圖所示：

C（。）

可知ACAD=0°,

-.?ZCAD=20°,

故此種情況不存在，舍棄；

③高在三角形外部，如圖所示:

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???在AA8D中，4D為邊2C上的高，ZABC=30°,

ABAD=90°-AABC=90°-30°=60°,

?-?ACAD=20°,

ABAC=ABAD-/CAD=60°-20°=40°；

綜上所述：N8/C=80?；?0。，

故答案為：40或80.

【點(diǎn)睛】本題考查求角度問題，在沒有圖形的情況下，必須考慮清楚各種不同的情況，根據(jù)題意分情況討

論是解決問題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?遼寧撫順?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtV/8c中，乙4。8=90。,/8=60。,8c=2,點(diǎn)尸為斜邊4g

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與點(diǎn)43重合），過點(diǎn)尸作垂足分別為點(diǎn)。和點(diǎn)E,連接。E,PC

交于點(diǎn)。，連接工。，當(dāng)△/尸。為直角三角形時(shí)，4P的長(zhǎng)是

【答案】3或

【分析】根據(jù)題意，由△/尸。為直角三角形，可進(jìn)行分類討論：①當(dāng)乙4尸。=90。；②當(dāng)440P=90。兩種

情況進(jìn)行分析，然后進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，

?.?在RtV/BC中，NACB=90°,NB=60°,BC=2,

ABAC=30°,

AB=2BC=2x2=4,

AC=A/42-22=2c，

???當(dāng)△/尸。為直角三角形時(shí)，可分情況進(jìn)行討論

①當(dāng)N/PQ=90。時(shí)，如圖：

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貝1]APLCP,

???2百x2=4CP,

???CP=V3;

在直角A4CP中，由勾股定理，則

/尸=’（2拘2T揚(yáng)2=3；

②當(dāng)乙4。尸=90。時(shí)，如圖

■；PDLAC,PELBC,NACB=90°,

二四邊形CDPE是矩形，

■■CQ=PQ,

"AQVCP,

??.△ACP是等腰三角形，即AP=AC=2也

綜合上述，/尸的長(zhǎng)是3或26；

故答案為：3或26；

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，30度直角三角形的性質(zhì)等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行解題.

2.（2022?河南?統(tǒng)考中考真題）如圖，在放入42。中，乙4c2=90。，/C=BC=2近，點(diǎn)。為的中點(diǎn)，

點(diǎn)尸在/C上，且CP=1,將CP繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)0,連接/。，DQ.當(dāng)乙4。0=

90°時(shí)，的長(zhǎng)為.

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【答案】據(jù)或汨##而或逐

【分析】連接C。，根據(jù)題意可得，當(dāng)乙400=90。時(shí)，分。點(diǎn)在線段CD上和。C的延長(zhǎng)線上，且

CQ=CP=1,勾股定理求得工。即可.

【詳解】如圖，連接。，

???在必AABC中，乙4c2=90。，AC=BC=2也，

AB=4,CDVAD,

:.CD=-AB^2,

2

根據(jù)題意可得，當(dāng)乙4。。=90。時(shí)，。點(diǎn)在C。上，且CQ=CP=1,

DQ=CD-CQ=2-1=1,

如圖，在RtZ\/D0中，AQ=^AD2+DQ2=VF+F=V5.

在RtZ\/。。中，AD=CD=2,QD=CD+CQ=3

AQ=S]AD2+DQ2=V22+32=V13

故答案為：病或而.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，確定點(diǎn)0的位置是解題的關(guān)

鍵.

【考向三與矩形有關(guān)的分類討論問題】

例題：（2022?遼寧錦州?中考真題）如圖，四邊形/BCD為矩形，AB=啦,AD=3,點(diǎn)、E為邊BCk一點(diǎn)、,

將△DCE沿?！攴郏c(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作。E的平行線交4D于點(diǎn)G,交直線于點(diǎn)若

點(diǎn)G是邊AD的三等分點(diǎn)，則FG的長(zhǎng)是.

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【答案】心或逅

33

【分析】過點(diǎn)E作用以_LG/7于點(diǎn)”，根據(jù)題意可得四邊形"即G是平行四邊形，證明=等面積

法求得ME,勾股定理求得可得用'的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解.

【詳解】①如圖，過點(diǎn)E作〃于點(diǎn)

?/DE//GH,AD//BC

四邊形HEQG是平行四邊形

：.HE=GD=-AD=1

3

???折疊

ZFED=ZCED

???/MED=90°

即ZEE"+/FED=90。

:.ZCED+ZHEM=90°

AHEM=/FEM

???ZEMF=AEMH=90。,ME1=ME

.,MHEM^IFEM

:.HM=MF,EF=HE=\

EF=EC=}

四邊形/BCD是矩形

:.ZC=90°,DC=AB=42

RtVEDC中，DE=^DC2+EC2=J(0了+F=百

GH=DE=43

■：MEVHG,HG//DE

xx

SVvUni?L?r——2MEDE=SV.D,n匕CFr=2—DCEC

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_V2xl_V6

DE

RMffiWE中，HM=yjHE2-ME2=

:.FG=HG-HF=HG-2.HM=432屆立

33

同理可得〃￡1=6￡>=40-/6=3-1=2,

EC=EF=HE=2,

DE=

:.ME=DCxECV2X2273

DE3

276

RMffiWE中，HMHE1-ME2

3

:.FG=HF-HG=2HM-HG=^--y[6=—

33

故答案為：立或返

33

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)，注意分類

討論是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?遼寧盤錦?中考真題）如圖，四邊形/BCD為矩形，AB=3,AD=4,AC,AD為矩形的對(duì)角線，E

是/。邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是cr＞上一點(diǎn)，連接ER將△。跖沿斯折疊，當(dāng)點(diǎn)G落在矩形對(duì)角線上時(shí)，則折

痕EF的長(zhǎng)是

BC

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【答案】:或:

23

【分析】分兩種情況，分別畫出圖形：當(dāng)G在/C上時(shí)，連接。G交所于證明ZJGO=90。，從而

EFWAC,得是ZUDC的中位線，可得￡/=2；當(dāng)G在AD上，設(shè)BD交EF于N,證明入12。5八0環(huán),

2

「?，門5310

可行=—，EF=—.

EF23

【詳解】解：當(dāng)G在4C上時(shí)，連接。G交跖于如圖甲所示：

"是AD中點(diǎn)，

；.AE=DE,

???將△。跖沿斯折疊，

：.DE=GE,乙DME=^GME=90°,

：,AE=DE=GE,

??/EAG=^EGA,乙EDG=^EGD,

?:乙EAG+乙EGA+乙EDG+乙EGD=180°,

???24￡G/+2"GD=180。，

；/EGA+AEGD=90°,即^4GD=90°,

---Z.AGD=Z-DME,

^EFUC,

???K是ND中點(diǎn)，

；.￡尸是—DC的中位線，

??.EF/AC,

■■AC=YJAB2+BC2=^AB2+AD2=,3?+4?=5,

5

：?EF=-；

當(dāng)G在5。上，設(shè)BD交EF于N,如圖乙所示：

???將△。斯沿斯折疊，

：/DNF=90°,

：/DFN=90°-乙FDN=UDB,

??ZEDF=90°=UAD,

?,&BDMDEF,

BDAB

.?百一法’

?：BD=AC=5,DE=3AD=2,

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5_3

-EF~2

綜上所述，折痕￡尸的長(zhǎng)是g或

故答案為：g或

圖甲圖乙

【點(diǎn)睛】本題考查矩形中的翻折問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是掌握翻折的性質(zhì).

2.(2022?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題)在長(zhǎng)為2,寬為x(l<x<2)的矩形紙片上，從它的一側(cè)，剪去一個(gè)

以矩形紙片寬為邊長(zhǎng)的正方形(第一次操作)；從剩下的矩形紙片一側(cè)再剪去一個(gè)以寬為邊長(zhǎng)的正方形(第

二次操作)；按此方式，如果第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形，則x的值為.

【答案】j或/

【分析】分析題意，根據(jù)尤的取值范圍不同，對(duì)剩下矩形的長(zhǎng)寬進(jìn)行討論，求出滿足題意的x值即可.

【詳解】解：第一次操作后剩下的矩形兩邊長(zhǎng)為2-x和x,

x-(2-x)——2,

又Ql<x<2,

2.x—2>0,

/.x>2-x,

則第一次操作后，剩下矩形的寬為2-x,

所以可得第二次操作后，剩下矩形一邊為2-x,

另一邊為：x-(2-x)=2x-2,

???第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形，

???第二次操作后剩下矩形的長(zhǎng)是寬的2倍，

分以下兩種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)2-x>2x-2,即時(shí)，

第三次操作后剩下的矩形的寬為2x-2,長(zhǎng)是2-x,

則由題意可知：2-x=2(2x-2),

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解得：尤=1;

②當(dāng)2-x<2x-2,即x>g時(shí)，

第三次操作后剩下的矩形的寬為2-x,長(zhǎng)是2x-2

由題意得：2x-2=2(2-x),

3

解得：x=；

:.x=-或者x=3.

52

故答案為：1或3.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，熟練掌握矩形，正方形性

質(zhì)以及分類討論的方法是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題)如圖，將矩形紙片N8CD折疊，折痕為點(diǎn)M,N分別在邊4D,

BC上，點(diǎn)C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別在￡,尸且點(diǎn)尸在矩形內(nèi)部，兒機(jī)的延長(zhǎng)線交與點(diǎn)G,EF交邊BC于點(diǎn)、

H.EN=2,48=4,當(dāng)點(diǎn)〃為GN三等分點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為.

【答案】2拒-4或4

【分析】由折疊得，LDMN=LGMN,EF=CD==4,CN=EN=2,乙EFM=KD=90°,證明AGHE:AWE得

竺野W，再分兩種情況討論求解即可.

GHHFGF

【詳解】解：???四邊形/BCD是矩形,

:?AD//BC,CD=AB=4,zD=zC=90°,

:?(DMN=(GNM,

由折疊得，Z-DMN=Z.GMNfEF=CD==4,CN=EN=2,Z^EFM=力=90°,

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??.(GMN=〃3NM,(GFH=(NEH,

:?GM=GN,

又(GHE二(NHE,

/.\GHE\AATffi,

NHHENE

~GH~HF~~GF

???點(diǎn)"是GN的三等分點(diǎn)，則有兩種情況:

G?NH1._HENE1

①若7^7=7時(shí)n，則mrl有：H=k=7

7GH2rHFGF2

iA28

:,EH=-EF=—,FH=—EF=—,GF=2NE=4,

3333

由勾股定理得，NH=EH2+NF2=+22=|V13,

.■.GH=2NH=-y/u

3

:.GM=GN=GH+NH=2屈,

：.MD=MF=GM-GF=2^/13-4；

②若NH=2時(shí)，則有：落=容=2

GHrlr（jr

■-EH=—EF=-,FH=—EF=—,GF二NE=\,

33332

10

由勾股定理得,NH=y/EH2+NF2

T

15

：.GH=-NH=-

：.GM=GN=GH+NH=5；

.-.MD=MF=GM-GF=5-1=4

綜上，的值為2g-4或4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性

質(zhì)等知識(shí)，進(jìn)行分類討論是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2022,黑龍江?統(tǒng)考中考真題）在矩形/BCD中，AB=9,4D=12,點(diǎn)E在邊CD上，且CE=4,點(diǎn)P

是直線8c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若V/PE是直角三角形，則的長(zhǎng)為.

【答案】曰31或15,或6

【分析】分三種情況討論：當(dāng)乙4P￡=90。時(shí)，當(dāng)乙4￡P(guān)=90。時(shí)，當(dāng)乙以￡=90。時(shí)，過點(diǎn)P作尸尸1。/交ZX4延長(zhǎng)

線于點(diǎn)尸，即可求解.

【詳解】解：在矩形A8CZ）中，AB=CD=9,AD=BC=12,乙BAD=KB=KBCD=UDC=90°,

高考復(fù)習(xí)材料

:?乙4PBMcPE=90°,

??ZBAP+UPB=9O°,

:,(BAP=(CPE,

vz5=zC=90°,

：&BPFPCE,

ABBP9BP

-------,即nn-------=---

PCCEn-BP4

解得：BP=6；

如圖，當(dāng)乙4￡P(guān)=90。時(shí)，

,2DAE+UED=90°,

：?3AE=4EC,

vzC=z￡>=90°,

??,MDEFECP,

ADDE口口129-4

???——=——,即一=----,

CEPC4PC

解得：PC=1,

31

;.BP=BC—PC=——；

3

如圖，當(dāng)乙山E=90。時(shí)，過點(diǎn)尸作小交04延長(zhǎng)線于點(diǎn)R

木艮據(jù)題意得乙￡4/二乙489二乙F=90°,

高考復(fù)習(xí)材料

???四邊形48。方為矩形，

；.PF=AB=9,AF=PB,

??,乙P4F+乙D4E=90°,乙PAF+乙4P-

??/DAE二乙4PF,

vzF=zr)=90o,

；?AAPF?AEAD,

AFPF口口AF9

-------,即....——，

DEAD9-412

解得：AF=^,即尸8=：；

44

綜上所述，8P的長(zhǎng)為￡31或1?5或6.

故答案為：低31或15?或6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩

形的性質(zhì)，并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

【考向四與菱形有關(guān)的分類討論問題】

例題：Q022秋?廣東梅州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，已知在菱形/BCD中，AB=5,/C=8,點(diǎn)P是NC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作所1/C交/。于點(diǎn)￡,交48于點(diǎn)尸，將△/￡尸沿E尸折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)H處,

當(dāng)△HCD是直角三角形時(shí)，/P的長(zhǎng)為.

【答案】2或《7

O

【分析】分兩種情形①當(dāng)H與。重合時(shí)，VC04是直角三角形，此時(shí)==；/C=2.②當(dāng)4。1C。

CDOC

時(shí)，VCZM'是直角三角形，此時(shí)8$/。。'=.=",列出方程即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接8。交/C于。.

高考復(fù)習(xí)材料

???四邊形A8CD是菱形，

：.AC1BD,

■.■EF1AC,LAEF是由AAEF翻折得到,

：.PA=PA',

①當(dāng)H與。重合時(shí)，VC0H是直角三角形,

止匕時(shí)N尸=,O/=LNC=2.

24

②當(dāng)HDLCD時(shí)，VCO4是直角三角形，

此時(shí)cos4>C4=*=",

5_4

'G?"5?

??。’與

11257

???AP=-AAf=-(8——)

2248

7

綜上所述，滿足條件的/尸的長(zhǎng)為2或

O

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思

考問題，是由中考填空題中的壓軸題.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022秋?浙江金華?九年級(jí)義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)校聯(lián)考期中)已知，拋物線>=辦2+2依+6上有兩點(diǎn)

4(-2,4),5(1,0),將拋物線沿水平方向平移，平移后點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為夕，且四邊形

44幺B剛好為菱形，那么平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

【答案】［吟16)或16,g

3

【分析】利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，由四邊形/H8Z為菱形，得出

AA'=BB'=AB=5,即可得出向右平移5各單位的得到新拋物線，進(jìn)而即可求得平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐

標(biāo).

4。―4。+6=4

【詳解】解：根據(jù)題意得

a+2a+b=0

高考復(fù)習(xí)材料

4

解得好一

6=4

AB="2-if+（4-0）2=5，

?.?四邊形&03為菱形，

AA'=BB'=AB=5,

484216

..V__T2r+4-_fr+n+

333V73

二頂點(diǎn)為,,

???當(dāng)拋物線向右平移5個(gè)單位的拋物線的頂點(diǎn)為（4,.

當(dāng)拋物線向左平移5個(gè)單位是拋物線頂點(diǎn)為1-6,gj

故答案為：或16，了）.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形

的性質(zhì)，求得拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?河南信陽(yáng)??？家荒＃┤鐖D，在菱形/BCD中，乙D/3=45。，=4,點(diǎn)產(chǎn)為線段48上一動(dòng)點(diǎn),

過點(diǎn)尸作收，48交40于點(diǎn)E,沿尸￡將—N折疊，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)產(chǎn)，連接EF、DF、CF,當(dāng)YCDF

為等腰三角形時(shí)，/尸的長(zhǎng)為.

【答案】0或2或行+1或2后或2亞+2

【分析】分類討論：如圖1,當(dāng)DF=CD時(shí)，如圖2,當(dāng)CF=CD=4時(shí)，如圖3中，當(dāng)FD=FC

時(shí)，分別求出即可.

【詳解】解：如圖1,當(dāng)。尸=CD時(shí)，點(diǎn)尸與A重合或在點(diǎn)F'處.

當(dāng)尸與A重合時(shí)，P與A也重合，此時(shí)AP=0；

高考復(fù)習(xí)材料

圖1

???在菱形ABCD中，AB=4,

CD=AD=4

作ZW1/5于N,

在Rt^ADN中，-：AD=A,4DAN=45。,DN=AN=NF'=26，

AP=2日

如圖2,當(dāng)CF=CD=4時(shí)，點(diǎn)F與B重合或在F1處，

:.AP=^AB=2,

2

當(dāng)尸在一處時(shí)，過C作坊J.用于M,

則可得MF'=2亞,

則/?=4也+4，

AP=2s/2+2;

AF=2四+2,

AP=-AF=.

2

綜上所述：當(dāng)7CDF為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為。或2或V2+1或2亞或2亞+2

故答案為0或2或亞+1或2行或2亞+2.

高考復(fù)習(xí)材料

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵.

3.（2022秋?廣東梅州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,點(diǎn)、E,F在直線AD

上，且四邊形BCFE為菱形，若線段EF的中點(diǎn)為點(diǎn)M,則線段AM的長(zhǎng)為—.

【答案】5.5或0.5

【分析】?jī)煞N情況：①由矩形的性質(zhì)得出=/3=4,BC=AD=5,N4DB=NCDF=90°,由菱形的性

質(zhì)得出CF=￡F=8￡=8C=5,由勾股定理求出得出々田，即可求出4W；②同①得出NE=3,求

出ME,即可得出NM的長(zhǎng).

【詳解】解：分兩種情況：

①如圖1所示：

圖1

???四邊形是矩形，

.-,CD=AB=4,BC=AD=5,ZADB=ZCDF=90°,

???四邊形5CEE為菱形，

...CF=EF=BE=BC=5,

；?DF=NCF2-CD2='52—42=3，

/.AF=AD+DF=8,

?；M是EF的中點(diǎn)，

:.MF==EF=25,

2

AM=AF-DF=8-2.5=5.5；

②如圖2所示：同①得：4E=3,

圖2

???M是E廠的中點(diǎn)，

：.ME=2.5,

??.AM=AE-ME=0.5；

綜上所述：線段的長(zhǎng)為：5.5或0.5；

高考復(fù)習(xí)材料

故答案為：5.5或0.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形和菱形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)

算是解決問題的關(guān)鍵.

【考向五與正方形有關(guān)的分類討論問題】

例題：（2022秋?浙江紹興?九年級(jí)統(tǒng)考期中）正方形48CD中，E,尸分別是4D,。。上的點(diǎn)，連結(jié)E尸交

DG4DF

對(duì)角線2。于點(diǎn)G,若BE恰好平分//￡尸，—?jiǎng)t-而的值為______.

GB13AE

【答案】g或4

【分析】延長(zhǎng)E尸交3C于R,作GTLDE于7,不妨設(shè)Z）G=4,GB=13,DE=4x,可證得VRE3是等腰

三角形，可推出F黑G=蕓DF=D=G=三4，進(jìn)而表示出EG,然后解△DEG,從而求出x的值，進(jìn)而可得結(jié)

RGrBRBCJ13

果.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)Eb交于心作67，。￡于7，

DG__A_

???不妨設(shè)DG=4,GB=13,貝ljBZ)=17,設(shè)JD￡=4X,

???四邊形是正方形,

BC//AD,AD=&BD=小區(qū)

22

:./EBC=ZAEB,AE=AD-DE=^^-4x,EGDEDG_4

2而一而一而一百

*'-BR=13%,

高考復(fù)習(xí)材料

VBE恰好平分N4EF,

ZAEB=ZFEB,

，/EBC=/FEB,

ER=BR=13x,

459

，EG=—ER=—x,

1717

在RtVEGT中，GT=DT=—DG=272,ET=DE-DT=Ax-242，

2

由勾股定理得(20『+(4-2可=[*],

102r-17r-

角牛得X=—<2,

60224

￡>^=4x=—V2^—V2,

156

當(dāng)。￡二感也時(shí)，^E=—V2-—V2=—V2,

1521510

DE

——=4A

AE

當(dāng)。E=口后時(shí)，AE=-42-—yl2=-42,

6263

?DE_1

??=一，

AE2

綜上所述，筆DF=：1或%

AE2

故答案為：*或4.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線分線段成比例，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題

的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋,山東日照?九年級(jí)?？计谀┑妊黇23C,AB=AC=\Q,BC=12,正方形尸Q"N的兩個(gè)頂點(diǎn)

在V/8C的一邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在V23C的另兩邊上，則正方形尸的邊長(zhǎng)為.

7、24_p,240

【r答a案】不或其

【分析】分兩種情況討論：①正方形的邊在3c上，根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明△ZPNs/s/gC,得到

PNAF

—,再利用等腰三角形的性質(zhì)，得到m=6,由勾股定理得到"0=8,即可求出正方形邊長(zhǎng)；②

正方形的邊0M在上，作CGLA8,利用三角形的面積，求出CG=g,再證明VCPNSVC43,利用

高考復(fù)習(xí)材料

相似比浣==,即可求出正方形邊長(zhǎng).

ADCCr

【詳解】解：①如圖1,正方形的邊叫在2C上，尸、N分別在48、AC±,過。作/。工8c交PN于點(diǎn)

E,

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x,

正方形尸0龍亞，

PN//BC,

:VAPNs\/ABC,

.PN_AE

,,正一茄’

?/AB=AC=10,BC=12,AD1BC,

:.BD=-BC=6,

2

AD=>JAB2-BD2=V102-62=8，

.x_8-x

??一,

128

解得：x=g24；

②如圖2,正方形的邊。河在48上，尸、N分別在4C、BC上,過。作于點(diǎn)。，作CG_L4B于

點(diǎn)G,

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x,

\'-BCAD=-ABCG,AD=8,BC=12,AB=AC=10,

22

“BCAD12x848

CG=-------------=---------=—,

AB105

???PN//ABf

:YCPNs'CAB,

.PN_CF

''AB~~CG'

48

-----x

.A=J—

.?10一竺‘

T

解得：x=襄，

49

綜上所述，正方形的邊長(zhǎng)為2§4或24登0，

549

故答案為：§24或2辭40.

549

高考復(fù)習(xí)材料

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的額判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，

熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.（2022秋?江西宜春?九年級(jí)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，正方形Z8CZ）的/。在V軸正半軸上，邊BC

在第一象限,且4（0,3）,3（5,3）.將正方形力繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（O°<aW9O。）,若點(diǎn)8對(duì)應(yīng)點(diǎn)旦恰好

落在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為.

【答案】（7,4）或（5,-2）

【分析】由正方形的/。在y軸正半軸上，邊8C在第一象限，且40,3）,3（5,3）,先求出月8長(zhǎng)，

進(jìn)而得出。（5,8）,。（0,8）,畫出圖形：當(dāng)正方形/BCD繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（O°<cW9O。），分兩種情況，①

點(diǎn)5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)"恰好落在x軸正半軸上時(shí)，②點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)9恰好落在y軸負(fù)半軸上時(shí).

【詳解】解：,??正方形/BCD的/。在了軸正半軸上，邊8C在第一象限，且4（0,3）,5（5,3）,/.

AB^5-0=5,C（5,8）,D（0,8）,

畫圖如下：

當(dāng)正方形/3。。繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（0°<&490。），作。￡，苫軸于石，分兩種情況

①點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q恰好落在x軸正半軸上時(shí)，如圖，

■.-AB'=AB=5,OA=3,

OB'=后目=4，

高考復(fù)習(xí)材料

VZAB'O+ZOAB'=90°,ZAB'O+NC'B'E=90°,

:"OAB，=ZC'B'E,

在A4夕。和中，

ZAOB'=ZB'EC

<ZOAB'=ZEB'C,

AB'=B'C

；.VAB，O§VEBC（AAS）,

B'E=OA=3,EC'=OB'=4,

：.OE=OB'+B'E=4+3=J,

.??點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7,4）；

②點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8'恰好落在y軸負(fù)半軸上時(shí)，如圖,

貝UBC=AB=BC=5,

:.yQ=3—5——2,x^j—AB=5,

.??點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（5,-2）；

綜上所述：點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（7,4）或（5,-2）.

故答案為：（7,4）或（5,-2）.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，圖形的旋轉(zhuǎn)變換，三角形全等，掌握正方形的性質(zhì)，勾股定

理，圖形的旋轉(zhuǎn)變換，三角形全等，利用分兩種情況考慮點(diǎn)"的位置求點(diǎn)。坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

3.（2021秋?北京東城?九年級(jí)?？计谀┤鐖D，正方形48co的面積為3,點(diǎn)E是DC邊上一點(diǎn)，DE=1,

高考復(fù)習(xí)材料

將線段/E繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在直線8c上，落點(diǎn)記為尸，則尸C的長(zhǎng)為

【答案】6-1或6+1

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得N8=/D=8C=6，ZABC=ZD=90°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

AF=AE,然后利用"HL"證明RtV4RF和Rtz\4D￡全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF==1,

然后分點(diǎn)尸在線段BC上和CB的延長(zhǎng)線上兩種情況討論求解即可.

【詳解】解：；正方形NBCD的面積為3,

AB=AD=BC=5NABC=ND=90°,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/斤=NE,

\AF=AE

在RtV/3尸和RS/OE中，,c，

yAB-AD

RtVABF絲RtVNDE(HL),

①點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，F(xiàn)C=BC-BF=^-1,

②點(diǎn)尸在磁的延長(zhǎng)線上時(shí)，F(xiàn)C=BC+BF=s5+l,

綜上所述，”的長(zhǎng)為6_1或6+1，

故答案為：6-1或G+1.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出全等三角

形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要分情況討論.

【考向六與圓的分類討論問題】

例題：(2022秋?江蘇宿遷?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，將一塊三角板放置在e。中，點(diǎn)/、3在圓上，/C為直

角，ZABC=60°,點(diǎn)尸為夕8上一點(diǎn)，則//尸5的度數(shù)是.

高考復(fù)習(xí)材料

【答案】60。或120。

【分析】根據(jù)點(diǎn)尸的位置分兩種情況討論，即可得出答案.

【詳解】解：如圖：

P'

當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧九3上時(shí)，連接尸區(qū),PB,

vZABC=60°,

??.Z8/C=90°-60°=30°,

?/OA=OB,

；,/OBA=/OAB=3。。,

：,AAOB=\80°—30?！?0。=120°,

.-.ZAPB=-ZAOB=600■

當(dāng)點(diǎn)P在劣弧無8上時(shí)，連接尸'/，P'B,

???四邊形尸為圓內(nèi)接四邊形，

：.ZAP'B+ZAPB=\?,0°,

.■.ZAP'B=nO°,

綜上分析可知，/4P8的度數(shù)是60?；?20。.

故答案為：60?；?20。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，直角三角形兩銳角互余，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用分類

討論的思想，數(shù)形結(jié)合.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021秋?浙江湖州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）在eO中，弦43和弦AC（AB,NC都不是直徑）構(gòu)成的

ABAC=50°,M,N分別是48和NC的中點(diǎn)，則NMON的度數(shù)為.

高考復(fù)習(xí)材料

【答案】130?；?0°

【分析】連接。河，ON,利用垂徑定理得ONVAC,再分類討論，當(dāng)